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UNIVERSIDAD POLITECNICA DE TLAXCALA

ALGEBRA LINEAL

DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACIÓN

NOMBRE COMPLETO (Apellido Paterno, Materno, Nombres)

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MATRICULA:

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FIRMA:

UNIDAD IV Proyecto Integrador CARRERA: CUATRIMESTRE: GRUPO:

NOMBRE DEL FACILITADOR: Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez FIRMA DEL MAESTRO:

Soluciones de Sistemas

Lineales

Concentraciones

esperadas

Operación de la

multiplicación en Excel

de: 𝐴−1 ∙ 𝑏

Operación de la Inversa

en Excel

Datos del sistema en la

hoja de Cálculo

Inversa +5 +5 +5 +5

Concentraciones

esperadas

Iteraciones hasta que el

error converge a

0.000001

Primera Iteración del

Método Iterativo

Datos del sistema en la

hoja de Cálculo

Gauss-

Seidel +5 +5 +5 +5

Jacobi +5 +5 +5 +5

Formación del Sistema

con la diagonal

dominante.

Formación del Sistema

lineal.

Sustitución correcta

de los valores 𝑉𝑖 y 𝑘𝑖 Balance de cada reactor

Sistema Lineal

+5 +5 +5 +5

Explicación Método de

Jacobi

Explicación Método de

Gauss-Seidel

Explicación: ¿Qué es

un Método Iterativo?

Explicación cuando una

matriz tiene una

diagonal dominante

Métodos Iterativos

+5 +5 +5 +5

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Proyecto Integrador: Solution of Chemical Reaction and Material Balance Equations

A chemical reaction takes place in a series of four continuous stirred tank reactors arranged as show in Fig. 1

Figura 1Series of continuos stirred tank reactors

A chemical reaction is a fist-order irreversible reaction of the type

𝐴𝑘𝑖→ 𝐵

The conditions of temperature in each reactor are such than value or the rate constant 𝑘𝑖 is different in each reactor. Also, the volume of each reactor 𝑉𝑖 is different. The

values of 𝑘𝑖 and 𝑉𝑖 are given in Table 1. The following assumptions can be made

regarding this system: 1. The system is at steady state.

2. The reactions are in the liquid phase.

3. There is no change in volume or density of the liquid.

4. The rate of disappearance of component A in each reactor is given by

𝑅𝑖 = 𝑉𝑖𝑘𝑖𝐶𝐴𝑖 𝑚𝑜𝑙/ℎ

Reactor 𝑉𝑖 (𝐿) 𝑘𝑖 (ℎ−1) Reactor 𝑉𝑖 (𝐿) 𝑘𝑖 (ℎ−1)

1 1000 0.1 3 100 0.4

2 1500 0.2 4 500 0.3

Tabla 1 Volume and rate constant in each reactor

Respond to the following questions:

a) Set up the material balance equation for each of the four reactors. What type of equations do

you have in this set of material balances?

b) What method do you recommend as the best one to use to solve for the exit concentration

(𝐶𝐴𝑖) from each reactor?

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c) Write a Excel script to solve this set of equations and find the exit concentration from each

reactor:

a. Invert Matrix

b. Gauss-Seidel

c. Jacobi

Method of Solution:

Part (a) The general unsteady-state material balance for each reactor is:

𝑰𝒏𝒑𝒖𝒏𝒕 = 𝒐𝒖𝒕𝒑𝒖𝒕 + 𝒅𝒊𝒔𝒂𝒑𝒑𝒆𝒂𝒓𝒂𝒏𝒄𝒆 𝒃𝒚 𝒓𝒆𝒂𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 + 𝒂𝒄𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 Ecuación 1

Because the system is at steady state, the accumulation term is zero; therefore, the material balance simplifies to:

𝑰𝒏𝒑𝒖𝒕 = 𝑶𝒖𝒕𝒑𝒖𝒕 + 𝒅𝒊𝒔𝒂𝒑𝒑𝒆𝒂𝒓𝒂𝒏𝒄𝒆 𝒃𝒚 𝒓𝒆𝒂𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 Ecuación 2

This balance applied to each of the four reactor yields the following set of equations

(𝟏𝟎𝟎𝟎)(𝟏) = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝑪𝑨𝟏+ 𝑽𝟏𝒌𝟏𝑪𝑨𝟏

(𝟏𝟎𝟎𝟎)𝑪𝑨𝟏+ 𝟏𝟎𝟎𝑪𝑨𝟑

= 𝟏𝟏𝟎𝟎𝑪𝑨𝟐+ 𝑽𝟐𝒌𝟐𝑪𝑨𝟐

(𝟏𝟏𝟎𝟎)𝑪𝑨𝟐+ 𝟏𝟎𝟎𝑪𝑨𝟒

= 𝟏𝟐𝟎𝟎𝑪𝑨𝟑+ 𝑽𝟑𝒌𝟑𝑪𝑨𝟑

𝟏𝟏𝟎𝟎𝑪𝑨𝟑= 𝟏𝟏𝟎𝟎𝑪𝑨𝟒

+ 𝑽𝟒𝒌𝟒𝑪𝑨𝟒

Substituting the values of 𝑉𝑖 and 𝑘𝑖 and rearranging

The above is a set of four simultaneous linear algebraic equations. It appears to be a

predominantly diagonal system of equations, as the coefficients on the diagonal are larger in

absolute value than the sum of the absolute values of the other coefficients.