República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

I.U.P. Santiago Mariño – Porlamar

Realizado por:

Br. Dalbeth Lunar.

C.I: 24.766.508

Ing. Electrónica

PORLAMAR, JUNIO DEL 2016

1. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

2.  Métodos de Eliminación Métodos para resolver sistemas de ecuaciones

lineales utilizando matrices. Eliminación Gaussiana También llamado

Algoritmo de Gauss, propone la eliminación progresiva de variables en el

sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita.

Una vez resuelta ésta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener

los valores de todas las variables. Consta de los siguientes pasos: 1.

Determinar la primera columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer

elemento de la columna es cero, intercambiarlo por un renglón que no

tenga cero. 3. Obtener ceros abajo del elemento delantero sumando

múltiplos adecuados a los renglones debajo de él.

3.  Métodos de Eliminación 5. Comenzando con el último renglón no cero

avanzar hacia arriba para que en cada renglón tenga un 1 delantero y arriba

de él queden sólo ceros. Para ello debería sumar múltiplos adecuados del

renglón a los renglones correspondientes. Ejemplo: 4. Cubrir el renglón y la

columna de trabajo y repetir el proceso comenzando en el paso 1. Al

término del ciclo entre el paso 1 al 4 (es decir cuando se han barrido todos

los renglones), la matriz debería tener forma de escalón.

4.  Métodos de Eliminación

5.  Gauss-Jordan Métodos de Eliminación Consiste en realizar

transformaciones elementales en el sistema inicial, destinadas a

transformarlo en un sistema diagonal. El número de operaciones de este

método, es mayor en un 50% al del método de Gauss. Pasos de este

método:

1. Determinar la primera columna (a la izquierda) no cero.

2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercambiarlo por un

renglón que no tenga cero. Multiplicar el renglón, y hacerlo 1. Este primer 1

será llamado 1 pivote.

3. Obtener ceros arriba y abajo del 1 pivote sumando múltiplos adecuados a

los renglones debajo de renglón pivote en la matriz completa.

4. Cubrir la columna y el renglón de trabajo y repetir el proceso

comenzando en el paso 1 con la columna siguiente.

6. Métodos de Eliminación Gauss-Jordan

7.  Métodos de Eliminación Descomposición LU Se basa en la

descomposición de la matriz original de coeficientes (A) en el producto de

dos matrices (L y U). Esto es: A=LU, siendo L la Matriz Triangular Inferior y

U la Matriz Triangular Superior con todos los elementos de la diagonal

principal iguales a 1. PASOS: 1. Descomposición LU: A se factoriza en

matrices triangulares inferior L y superior U. 2. Sustitución: L y U se usan

para determinar una solución X para un lado derecho b. Primero se genera

un vector intermedio Y mediante la sustitución hacia delante. Después el

resultado se sustituye en la ecuación para obtener mediante sustitución

hacia atrás el valor de X.

8.  Métodos de Eliminación Descomposición LU

9.  Métodos de Eliminación Factorización De Cholesky Una matriz simétrica

definida positiva puede ser descompuesta como el producto de una matriz

triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior. La matriz

triangular inferior es el triángulo de Cholesky de la matriz original positiva

definida. El resultado de Cholesky ha sido extendido a matrices con

entradas complejas. Es una manera de resolver sistemas de ecuaciones

matriciales y se deriva de la factorización LU con una pequeña variación.

Ejemplo:

10.  Métodos de Eliminación Factorización de QR, Householder La

Factorización QR Dada una matriz cuadrada y no singular A de orden n x n,

entonces existe una matriz ortogonal Q y una matriz triangular superior R tal

que A = QR; esta es llamada la factorización QR de A. Si la matriz A no es

cuadrada y de orden m x n con m mayor que n entonces: donde R1 es una

matriz triangular inferior de orden n x n y 0 es una matriz de ceros de orden

(m-n) x n. Si la matriz A es de orden m x n con m menor que n entonces A =

QR = (R1 S); donde S es un matriz de orden (n-m) por m. Existen tres

métodos de obtener la factorización QR y uno de ellos es Transformaciones

Householder.

11.  Métodos de Eliminación Factorización de QR, Householder

Transformaciones Householder y la factorización QR Una matriz de la

forma: es llamada una matriz Householder, donde I es la matriz identidad y

u es un vector no nulo. Propiedades de la matriz H: a) |Hx|2=|x|2 para todo

vector x. Es decir, la matriz Householder no cambia la longitud del vector. b)

H es una matriz ortogonal. c) H2= I d) Det(H)=-1.

12.  Métodos de Eliminación Método De Gauss Seidel Este método utiliza

valores iniciales y después itera para obtener estimaciones refinadas de la

solución. Es un método indirecto, puesto que después de tener la

aproximación inicial, se repite el proceso hasta alcanzar la solución con un

margen de error tan pequeño como se desee. La fórmula utilizada para

hallar los xi viene dada por el despeje de cada una de las xi en cada una de

las ecuaciones. Los nuevos valores de xi sustituyen de inmediato a los

valores anteriores y los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el

nuevo valor xi depende de los valores actualizados de x1, x2, ..., xi-1. La

desventaja de este método es que no siempre converge a la solución

exacta o algunas veces los hace de manera muy lenta. Únicamente es

confiable para aquellos sistemas dominantes diagonalmente. .

13.Métodos de Eliminación Método De Gauss Seidel Ejemplo:

14.  Métodos de Eliminación Es el método más simple y se aplica sólo a

sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como

ecuaciones. PASOS: 1. Primero se determina la ecuación de recurrencia.

Para ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se

despeja la incógnita i. En notación matricial se escribirse como: x = c + Bx

donde x es el vector de incógnitas. 2. Se toma una aproximación para las

soluciones y a ésta se le designa por xo 3. Se itera en el ciclo que cambia la

aproximación xi+1 = c + Bxi Método de Jacobi

15.  Métodos de Eliminación Método de Jacobi Ejemplo: Matriz A: D: matriz

diagonal. L: matriz triangular inferior. U: matriz triangular superior.