Solucion Fox Cap 4

8/18/2019 Solucion Fox Cap 4

1/83

CAPÍTULO 4

Problema 4.4

Dados: Uma pequena bola de aço, de raio r , colocada em cima de uma esfera muito maior, de raio R, começa a rolar sob ainfluência da gravidade. Desprezar as resistências do ar e de rolamento.

Determine: O ponto em que a bola perde o contato com a esfera.

Solução: Some forças na direção n.

F F mg ma

a V

R r

O contato é perdido quando F o ou

mg m V

R r

ou

V R r g

n n n

n

n

cos

( )

,

cos( )

( ) cos

2

2

2

→

(1)

A energia deve conservar-se, se não existe resistência. Portanto,

E mgz m

Vmg R r m

VE mg R ro

2 2

2 2( ) cos ( )

Dessa forma, das considerações de energia

V g R r

Combinando as Eqs e

V g R r R r g

ou cas

Assim e graus

2

2

1

2 1

1 2

2 1

2 1 2 2

2

3

2

348 2

( ) ( cos )

. ,

( ) ( cos ) ( ) cos

( ) cos cos

, cos cos ,

←

(2)

Problema 4.8

Dados: Uma lata de alumí nio de bebida, ml 20 g, D 65 mm, H 120 mm. O ní vel de conteúdo máximo é hmáx, quandoV b 354 mL de lí quido. SG da bebida é 1,05.

Posição inicial


2/83

Determine:(a) O centro de massa yc como função do ní vel h.(b) O ní vel para a menor tendência de tombamento da lata.(c) O coeficiente mí nimo de atrito estático, µs, para o qual a lata cheia tombaria sem deslizamento.(d ) O gráfico de µs)mí nimo para inclinar (não deslizar) a lata como função do ní vel de lí quido na lata.

Solução:

M SG g

cmmL

cm

mLg máx

hA D

mLcm

cm

mL

mm

cmmm

Em qualquer ní vel m h

hM m g

h mm

mmg h mm

b b

máxb b

b

máx

b b

∀

∀ ∀

1 05 1 0 354 372

4 4354

1

6 510 107

107372 3 47

3

3

2 2 2

3

, , ( )

( , )

, ; ( ) ( )

, ( )

Das considerações de quantidade de movimento,

y M h

m H

m h h h

M m m h

y h

hh em mm y

c b c

b

c c

2 2

1

23 47 120 20

1

23 47 2400

3 47 20

3 47 2400

6 94 40

2

2

( , ) ( ) ( , )

,

,

,( )

[ ]

←

l

A tendência para tombar será menor quando yc for mí nimo. Portanto,

dy

dh

h

h

h

h

h h

h

c

2 3 47

6 94 401 6 9 5

3 47 2400

6 94 40

24 1 278 16 700

6 94 400

2

2

2

2

( , )

,( )( , )

,

( , )

, .

( , )

Usando a f órmula quadrática,

h para y mí n mm

hy mí nc c( )

( ) ( , ) ,

( , ), ( )

278 278 4 24 1 16 700

2 24 121 2

2

←

Traçando o gráfico

Trace um diagrama de corpo livre da lata para tombamento iminente

AlturadoCG,

y c

(mm

)

Ní vel de lí quido, h (mm)


3/83

Para o centro de rotação

Coeficientedeatritom

ínimoparatom

bar,

s

( – –)

Ní vel de lí quido, h (mm)

F F ma

F F mg ma

F mg

Como F F então F ma

x f x

y n y

n

f s n s n x

0

µ , ,

Somando os momentos sobre o ponto D:

M y ma D

F

ou y ma D

F

Mas ma F o

y F D

F

Assim para inclinar

D

y

b c x n

c x n

x s n

c s n n

s

c s

20

2

2

2

µ

µ

µ µ←

, log ,

, ,

Traçando o gráfico


4/83


5/83

Solução:

( ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ)

( )

a V dA az j b k wdzj awz dz V dA

b V dA awz dz aw z

aw z

V dA

z

A

z

A

r rr r

r r

r r

1

1

01

2

0

12

1

1 1

1 12 2

←

∫ ← ∫ ∫ ←

←

( ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ )

( ) ( ) ( ˆ ˆ )( ) ˆ ˆ ( )

c V dA azj bk wdy k bwdy V dA

d V V dA azj bk bwdy abwzdy j b wdy k V V dA

r r

r r

r r r

r r r

2

22

1

2

←

∫ ∫ ∫

∫

( ) ( ) ( ˆ ˆ ) ˆ ,

. ,

( ) ,

ˆ

( ) s

ˆ ˆ

/ ( )

e V V dA abwz dz j b wdy k b wdy k

pois z ao longo de A Dessa forma

V V dA b wy k

m

w m k w k m s e

y

A

y

A x

r r r

r r r

202

2 2

0

1

2

2 2

2 22

2

3 2

1

0

5 1 25

Problema 4.13

Dado: Um campo de escoamento dado porr

V ayi bj ˆ ˆ

onde a 2 s1, b 1 ft/s e as dimensões são em pés.

Determine: (a) Vazão volumétrica.(b) Fluxo de quantidade de movimento através da superf í cie inclinada.

Solução:

A vazão volumétrica é Q V dA r r

∫ Para a superf í cie inclinada

dA dA ı dA j c dyı c dxj

onde c ft

Q ayı bj cdyı cdxj acy dy bcdx

Q ac y bcx ft ft

ft ft

Q ft s Vazão volumétrica

x y

A y o x

r

ˆ ˆ ˆ ˆ

( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ)

/

2

25 2 12

2 3

8

1

0

3

22 0

1

0

3 12

3

∫ ∫ ∫

] ]

←


6/83

O fluxo de quantidade de movimento é dado por

f m V V dA. . ( ) r r

∫ Então,

f m ayı bj acy dy bc dx

f m ı a cy dy abcy dx j abcy dy b c dx

Ao longo da erf í cie inclinada y x

f m ı a c y abc x

A. . ( ˆ ˆ) ( )

. . ˆ ˆ

sup

. . ˆ

∫

∫ ∫ ∫ ∫

]

0

12 2

0

3

2

0

3

0

1

2 33 0

1

31

311

2 23

2 22

1 2 3

0

3

22 0

1 2

0

3

1 2 3 2

0

3

1 2 2

2

] ]{ }

∫ dx j abc y b cx

ı s ft ft abc xb

x j s fts

ft ft fts

ft ft

ˆ

ˆ ( ) ˆ

{ } ←

ˆ , ˆ

. . , ˆ ˆ

ı ft

ss

ft

sft ft j

ft

s

ft

s

f m ı j ft

s

Fluxo da quantidade de movimento

8

32 2 2 5 2 6

7 67 8

4

2

1 24

2

4

2

4

2

Notas: As unidades de massa especí fica são slug/ft3.O fluxo de quantidade de movimento tem unidades slug.ft/s2 (ou lbf).

Problema 4.19

Dados: Escoamento permanente e incompressí vel através do dispositivo mostrado.

A m A m A m

V ı m s V j m s

12

22

32

1 2

0 05 0 01 0 06

4 8

, , , , ,

ˆ / , ˆ / r r

Determine: A velocidader

V 3 .

Solução: Aplique a conservação de massa usando o VC mostrado.Equação básica:

0 1

0

( )

∂∂

∀∫ ∫ t VC SCd V dAr r


7/83

Considerações: (1) Regime permanente.(2) Escoamento incompressí vel, constante.(3) Escoamento uniforme em cada seção.

Então,

SC V dA V A V A V A∫ r r r r r r r r

1 1 2 2 3 3 0

ou

r r r r r r

r r

V A V A V A ı m

sı m j

m

s j m

V A m s

3 3 1 1 2 22 2

3 33

4 0 05 8 0 01

0 28

ˆ , ( ˆ) ( ˆ) , ˆ

, /

Comor r

V A3 3 0 , o escoamento na seção é para fora do volume de controle. Portanto,

r r

V A V A

VA

m

s m

m

sm s

3 3 3 3

3

3

3

2

310 28

1

0 060 28 4 67

,,

, , /

Finalmente, a partir da geometria do desenho

r

r r

V V sen ı V jm

ssen ı

m

s j

V ı j m s V

3 3 3

3

4 67 60 4 67 60

4 04 2 34 3

ˆ cos ˆ , ˆ , cos ˆ

, ˆ ,ˆ

/

° °

←

Problema 4.20

Dados: Óleo escoa para baixo em um plano inclinado.

u

gsenhy

y

µ

2

2

Determine: Uma expressão para a vazão em massa por unidade de largura.


8/83

Solução: Na seção transversal sombreada,

˙

, arg

˙

˙

˙ /

m udA

dA wdy onde w l ura

m g sen

hy y

w dy gsen

hy y

wdy

m gsen

w hy y gsen

w h gsen wh

Dessa forma

m w gsen

o

h

o

h

o

h

∫

µ

µ

µ

µ µ

∫ ∫

2 2 2

2 2 3 2 3 2 3

2

2 2

2 6 3 3

hm u

3

3µ ← ˙ /

Problema 4.23

Dados: Água escoa em um tubo conforme mostrado. R 3 in, umáx 10 ft/s.

Determine: A velocidade uniforme na entrada, U .

Solução: Aplique a equação da continuidade usando o VC mostrado.Equação básica:

0 1

0

( )

∂∂

∀∫ ∫ t d V dAVC SCr r

Considerações: (1) Escoamento permanente.(2) Escoamento incompressí vel.(3) Escoamento uniforme na seção de entrada.

Então,

0 2

0 1 2

11 2 2 1

1 1 2 2 2 2

22

2

2

2

2

2

0

1

r r r r r r

V A V dA V uı dA rdr ı

U R u r

Rrdr

ou

UR

u r

Rrdr u

r

R

máxo

R

máxo

R

máx

∫ ∫

∫ ∫

; ˆ, ˆ

rr

Rd

r

R

U r

R

r

Rft s U

← 20

1

2

1

45 00

2 4

0

1

, /

{A velocidade do escoamento uniforme na entrada é a metade da velocidade máxima na seção de saí da.}


9/83

Problema 4.24

Dados: Curva redutora bidimensional conforme mostrada.

Determine: A magnitude e o sentido da velocidade uniforme na seção.

Solução: Aplique a conservação de massa usando o VC mostrado.Equação básica:

0 1

0

( )

∂∂

∀∫ ∫ t VC SCd V dA r r

Considerações: (1) Escoamento permanente.(2) Escoamento incompressí vel.(3) Escoamento uniforme nas seções e.

Então,

0

2

1 1 2 2 3 3

3 3 1 1 2 2 1

1

2 2

3 3 1

2

1

2

1

1

1

1

r r r r r r r r

r r r r r r

r r

V dA V dA V A V A

ou

V A V dA V A V y

hwdy V wh

V A V w y

hV wh

ASC

Amáx

o

h

máx

o

h

∫ ∫

∫ ∫

,

, 22

1 1

2 2

3 3 2

3 3

3 3 3 3 3 33 3

2

1

2 10 2 15 1 5

0

5

V whV wh

o V A

w

ft

s ft ft

s ft ft s

Como V A o escoamento em é do VC Sentido

Dessa forma V A

w

V A

w

V wh

wV h

máx,

log /

,

,

r r

r r

r r

para dentro ←

ftft s

Vh

ft

s ft

ft

sft s do VC V

2

3

3

2 215

1

1 55 3 33 3

/

,, / ( ) para dentro ←


10/83

Problema 4.27

Dados: Um acumulador hidráulico, projetado para reduzir as pulsações de pressão no sistema hidráulico de uma máquinaoperatriz, está operando sob as condições mostradas, em um dado instante.

Determine: A taxa na qual o acumulador ganha ou perde óleo hidráulico.

Solução: Use o volume de controle mostrado.

Equação básica:

0 ∂∂

∀∫ ∫ t d V dAVC SC

r r

Considerações: (1) Escoamento uniforme na seção.(2) Massa especí fica constante.

Então,

0 1 1 2 2

1 1 1

21

1

∂∂

∫ ∫

∫

tM V dA V dA

MasV dA Q

vcAA

A

( )

onde Q vazão volumétrica e SG H O2

Portanto,

0

40 88 2

0 88 1 94 5 757 48 60

4 354

1 25

1 2 2

1 2 2

1 222

3

32 2

2

∂∂

∂

∂

tM Q V A

ou M

tQ V A

SG Q V D

onde SG Tabela A

slug

ft

gal

mim

ft

gal s

ft

sin

ft

vc

vc

H O

( )

, ( . )

, , ,,

min, ( , )

22

2

2

144

4 14 10 1 33

in

M

t

slug

sou lbm s

Mt

A massa está inuindo no VC

vcvc

∂∂

∂∂←

, , /

( dim .)


11/83

Como

M

M

t t tSG

t

t SG

M

t

ft

slugs

slug

s

t

ft

sou gal s t

VC óleo óleo

VCóleo óleo óleo

óleoóleo H O

óleo

óleo

óleo H O

VC

óleo óleo

∀

∂∂

∂∂

∀ ∂∀

∂∂∀

∂

∂∀∂

∂∂

∂∀∂

∂∀∂←

( )

, ,( , )

, , /

2

2

1 1

0 88

1

1 944 14 10

2 43 10 0 181

32

23

Problema 4.28

Dados: Um tanque retangular, com dimensões H 230 mm, W 150 mm e L 230 mm, fornece água para um tubo desaí da com diâmetro D 6,35 mm. Quando o tanque está metade cheio, o escoamento no tubo tem um número de ReynoldsRe 2000. Neste instante, não existe escoamento de água para dentro do tanque.

Determine: A taxa de variação do ní vel de água no tanque nesse instante.

Solução: Aplique a equação de conservação da massa para o VC que inclui o tanque e o tubo.Equação básica:

ot

d V dAVC SC

∂∂

∀∫ ∫ r r

Definição: R DV DV

ve µ

Considerações: (1) Escoamento uniforme na saí da do tubo.

(2) Escoamento incompressí vel.(3) Despreze o ar entrando no volume de controle.

Então,

ot

WLh D

L V D

o WL dh

dtV

Dnote que L cons te

dh

dt

V D

WL

o

o

o

∂∂

∴

2

1

2

2

1

2

4 4

4

4

( tan )


12/83


13/83

Então,

o V dA V dA m V dA V dA

ou o U w m U y y wdy wL

Assim

m U w U w

abSCbc

cd da

bco

o

bco

r r r r r r r r

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

˙

˙

,

˙

,

3 2

3

1 5

1 yy yd

ywL

w U U y y

L

w U U

o

o

o

2

3

2

2

2 5

32

22 5

1 5

2 2 5

0

1

,

,

,

,

υ

υ

υ LL w U L

kg

mm

m

sm

m

sm

m kg s m o do VC m

o

bc bc

←

( , )

, , , ,

˙ , / ( ˙ , log , ) ˙

0 3

999 1 5 0 3 3 0 0015 0 0002 2

1 42 0

3

υ

para fora

Problema 4.40

Dados: Funil de lí quido sendo drenado através de um pequeno orif í cio de diâmetro d 5 mm (área, A), conforme mostrado;

y0 é a profundidade inicial.

Determine: (a) Uma expressão para o tempo requerido para esvaziar o funil.(b) Expressões para o resultado em termos

. do volume inicial, V 0 e

. da vazão volumétrica inicial

Q AV A gyo o o 2 .


14/83

Plote: Gráfico de t em função de y0 (0,1 y0 1 m) com o ângulo como um parâmetro para 15° 45°.

Solução:Aplique a conservação de massa, usando o VC mostrado.

Equação básica:

ot

d V dAVC SC

∂∂

∀∫ ∫ r r

Considerações: (1) Escoamento incompressí vel.(2) Escoamento uniforme em cada seção.(3) Despreze ar comparada com H O2 .

Então,

o o

ot

dt

d V A V Aar H Oar

ar H OH O

( ) ( )3 3

22

21 1

∂∂

∀ ∂

∂ ∀ { } { }

∀∀ ∫ ∫

Para o VC,

d A dy r dy y dy y

Dessa forma

o

t

yA gy

o y dy

dtA g y

s

H O H O

∀ ∀

∂

∂

2 2 23

23

2 2 1 2

3

3

2

2

2 2

( tan ) ; tan

,

tan

tan /

Separando variáveis,

y dyg A

dt3 22

2 /

tan

Integrando de y0 em t 0 até y 0 em t

y dy yg H

t

ou

t y

g A t

y

3 20

05 2

2

20

5 2

2

5

2

2

5 2

0

/ /

/

( )

tan

tan

∫

←

Masy

e Q AV gy então

ty

g A

y

y Q t

o∀

∀

←

02

3

0 0 0

205 2

01 2

01 2

0

0

32

2

5 2

3

3

6

5

tan ,

tan / /

/


15/83

Como A d 2 /4, podemos escrever

t y

g d

y

y

d g

2

5 2

8

5 2

20

5 2

2

20

5 2

2

tan tan / /

t é traçado em função de y0 com como um parâmetro.Drenagem de um tanque cônico de lí quidoDados de entrada:

Diâmetro do orif í cio: d 3 mm.Resultados dos cálculos:

Tempo de Drenagem t (s)Altura Inicial, Ângulo de Meio

y0 (mm) Cone, (graus) 60 45 30 15

300 5935 1978 659 142

275 4775 1592 531 114250 3763 1254 418 90,0

225 2891 964 321 69,2

200 2154 718 329 51,5

175 1543 514 171 36,9

150 1049 350 117 25,1

125 665 222 74 15,9

100 381 127 42 9,11

75 185 62 21 4,44

50 67 22 7 1,61

25 12 4 1 0,285

0 0 0 0 0

Tempo versus Profundidade Inicial

Te

mpo,

t (s)

Profundidade inicial, y 0 (mm)


16/83

Problema 4.41

Dados: Tanque contendo salmoura com corrente de entrada de água em regime permanente. A massa específica inicial é

i H O2 .

Determine: (a) A taxa de variação da massa específica do líquido no tanque.(b) O tempo requerido para atingir a massa específica, f , onde i f H O2 .

Solução: Aplique a conservação de massa, usando o VC mostrado.

Equação básica:

0 ∂∂

∀∫ ∫ t d V dVC SC r

r

Considerações: (1) tanque constante.(2) Massa específica uniforme no tanque.(3) Escoamento uniforme nas seções de entrada e de saída.

Então, V 1 A1 V 2 A2, posto que o volume do tanque é constante e

0

2 2 2

∂∂

∫ ∀ ∂

∂ ∀ ∀

td VA VA

tVA

d

dtVAvc H O H O H O ( ) ( )

E daí

d

dt

VA ddtH O

( ) 2 ←

Separando variáveis,

d VAdt

H O

2

∀

Integrando de i em t 0 até f em t ,

d VA dt VA t

H O

H Of H O

i H O

t

i

f

i

f

2

22

2 0∫ ∫ ]

∀ ∀ln ( ) ln

Finalmente,

tVA t

f H O

i H O

∀

← ln

2

2

{Note que f → H O2 assintoticamente quando t → .}

entra

constantesai


17/83

Problema 4.42

Dados: A vazão mássica instantânea de vazamento de ar, ˙ ,m de um pneu de bicicleta é proporcional à massa específica, , eà pressão manométrica, pg, no pneu. O ar no pneu é aproximadamente isotérmico (porque o vazamento é pequeno).

A pressão inicial do ar é p0 0,60 MPa (manométrica) e a taxa inicial de perda de pressão é de 1 psi por dia.

Determine: (a) A pressão no pneu após 30 dias.(b) Incerteza da regra corrente segundo a qual perde-se “1 libra por dia” no período total de 30 dias.

Plote: A pressão no pneu como uma função do tempo para o período de 30 dias; compare os resultados obtidos com aquelesda regra corrente de “1 libra por dia”.

Solução:

Aplique a conservação de massa ao pneu conforme o VC.

Equação básica:

0 ∂∂ ∫ ∫ t d V dAVC SC

r r

Considerações: (1) Propriedades uniformes no pneu.(2) O ar no interior do VC comporta-se como gás ideal.(3) A temperatura, T , e o volume, , do ar no pneu são constantes.

(4) ˙ ( ) .m p p c atm

Então, podemos escrever

0

1

0

0

0

0 0

0

0 0

0 0

∀ ∂∂

∀ ∂∂

∂

∀

)

∀

∀

tm

tp p c

Mas p RT edt RT

dp

dto

RT

dp

dt

cp

RTp

para t p p e dp dt dp dt Assim

dp

dt

cp p p e c

p p p

dp

dt

atm

atm

atm

atm

˙ ( )

/ , log ,

( )

, / / . ,

( )

( )

p

0

(1)

Substituindo na Eq. 1, obtemos

0

0 0 0

dp

dt

p p p

p p p

dp

dt

atm

atm

( )

( )


18/83

Separando variáveis e integrando,

dp

p p p

dp dt

p p pdt

p

p p p

p p p

dp dt

p p pt

p p

p p

dp dt

p p pt

atm atm

t

p

p

atm

atm

atm atm

atm

atm atm

( )

/

( )

ln ( )

( )

/

( )

ln /

/

/

( / )

)

)

)

∫ ∫ 00 0 0

0

0

0

0 0

0

0

0 0

0

1

1

1 1

Tomando os antilogaritmos,

1 1 1

11

6 895 1

701

1

701 101 1

0 00166

1

0

1

0

0

0 0

1

0

0 0

p

p

p

pe

p

pe

onde

k dp dt

p p ppsi

kPa

psi kPa

k dia

e

p

p

atm atm

dp dt

p p p atm kt

atm

atm

atm

)

)

/

( / )

/

( / )

,

( / )

,

p p

pe

Assim

p p

p p

pe

atm kt

atm

o atm kt

0

0

0

1

,

(2)

Avaliando para t 30 dias,

pkPa

l

kPa

diap diast

101

1

600

701

544 3030 0 00166( , ) ←

A regra corrente “uma libra por dia” dá

p p kPa

diat

Para t dias p kPa kPa kPa pregra

0 6 895

30 600 207 493

,

←

(3)

A regra corrente “uma libra por dia” prediz uma maior queda de pressão.Resultados para ambos os modelos são apresentados na figura a seguir.


19/83

Problema 4.49

Dados: Carrinho com pá defletora, movido por jato de água.

V m s A m j j 15 0 05

2 / ,

Determine: (a) A massa necessária para manter o carrinho estacionário para 50°.

Plote: A massa necessária para manter o carrinho estacionário para 0 180 graus.

Solução:Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento para o VC inercial mostrado.

Equação básica:

0 2 0 3( ) ( )

F Ft

upd u V dAs x BxSCVC

∂∂ ∫ ∫

r r

Pressão

do

pneu,p(kPa)(manométrica)

Pressão do Pneu versus Tempo

Tempo, t (dias)

Modelo exato

Regra corrente


20/83

Considerações:

(1) Pressão atmosférica em torno do VC.(2) F B x 0.

(3) Escoamento permanente.(4) A velocidade do jato (e área) permanece constante na pá.

(5) Escoamento uniforme em cada seção.(6) Escoamento incompressível.

Então,

Mg u V A u V A u V u V

V V V A A A

Mg V VA V VA V A

M V A

g

1 1 1 2 2 21 2

1 2 1 2

2

2

1

1

( ) ( ) ; cos

;

( ) cos ( ) (cos )

( cos )

{ } { }

(1)

Avaliando para 50°

M

kg

m

m

sm

s

mkg M 999 15 0 05

9 811 50 409

3

22

2

22

( ) ( , ),

( cos )° ←

M é traçada como uma função de

Problema 4.52

Dados: Um fazendeiro compra 675 kg de grãos a granel. Os grãos são despejados em sua caminhonete por um carregadorafunilado conforme mostrado. O fluxo de grãos é interrompido quando a leitura da balança atinge o valor bruto desejado.

Determine: A verdadeira carga paga.

Massaparareterocarrinho,M(kg)

Ângulo da pá defletora, (graus)


21/83

Solução: Aplique a componente y da equação da quantidade de movimento usando o VC mostrado.

Equação básica:

0 2( )

F Ft

d V dAS BVC SC

y y

∂∂

∀∫ ∫ v vr r

Considerações:

(1) Não existe força de pressão líquida, F RS y y .

(2) Despreze dentro do VC.(3) O escoamento dos grãos é uniforme na seção de entrada.

Então,

R M M g m

V m

A

y t l

( ) ˙

˙

v

v

1

1 1

{ }

ou

R M M g

m

Aindicado durante o escoamento de grãosy t l ( )

˙( )

2

O carregamento é terminado quando

R

gM M

m

pgAkg

Assim

M kg m

gA

kg kg

s

m

kg

s

m m

M kg M

y

t l

l

l l

˙

˙

( ), ( , )

2

2

22

2

3 2

2 2

675

675

675 40600 9 81

4 1

0 3

671

←

Balança


22/83


23/83

Como R x 0, a força deve ser aplicada para a esquerda. Rx é traçada como uma função de para diferentes valores de d/D.

Problema 4.60

Dados: Escoamento através de bocal semicircular, conforme mostrado.

Determine: (a) A vazão volumétrica.(b) A componente y da força necessária para manter o bocal no lugar.

Solução: Escolha o VC e as coordenadas mostradas. Aplique as equações da continuidade e da quantidade de movimento nadireção y.

Equações básicas:

Q V dA

F Ft

d V dA

A

S BVC SC

x y

∫

∫ ∫ ∂∂

∀

r r

r r

0 2 0 3( ) ( )

v v

Considerações:

(1) Escoamento uniforme através da seção de saí da.(2) F B y 0.

(3) Escoamento permanente.

Forçaparareteroprato,

R

x(N)

Razão de diâmetros, d/D 0

Ângulo de deflexão, (graus)


24/83

Na seção,r r

V.dA VRtd , visto que o fluxo é para fora do VC. Então,

Q VRtd VRt VRt

Q m

sm m m s Qs

[ ]

←

∫ / / / /

, , , /

2

2

2

2

15 0 3 0 03 0 424

Da quantidade de movimento

R V dA V dA V dA

com V

R V VRtd V Rt sen V Rt

R kg

m

m

sm

ySC A A

y

y

∫ ∫ ∫

∫

{ } { }

[ ]

v v v

v

r r

1 21 1 1 2 2 2

1 2

2

22

2

2 2

3

22

2

0

2

2 999 15 0 3 0

cos

cos

( ) ,

/

/

/

/

,, ,03 4 052

m N s

kg mKN Ry

←

Problema 4.61

Dados: Motor a jato em banco de ensaio. O combustí vel entra verticalmente a uma vazão ˙ ˙ , ˙ .m m f mcombustí vel ar0 02

Determine: (a) A vazão mássica de ar.(b) Estime o empuxo do motor.

Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC mostrado.


0 1 0 2

1 1 1

( ) ( )

˙ , /

F Ft

u d u V dA

m V A p RT

S BSCVC

ar

x x

∂∂

∀ ∫ ∫

r r

Considerações:

(1) F B x 0.


(3) Escoamento uniforme nas seções de entrada e de saí da.(4) O ar comporta-se como gás ideal, T 70°F.(5) O combustí vel entra verticalmente (dado).


25/83

11

12

2

2 2 3

1 1 1 3

2

14 7 144 29853 3

1

5300 0644

0 0644 500 64 2060

p

RT

lbf

in

in

ft

lbf

ft

lbm R

ft lbf R

lbm

ft

m V A lbm

ft

ft

s

ft lbm s mar

,,

,

˙ , / ˙

°°

←

Da equação da quantidade de movimento segundo x ,

0 0 5

1 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 2 1

( )

˙ ˙ ˙

, , ˙ ˙ ˙

R p A p A u m u m u m

u V u V m m mx g f f

f

{ } { } { }

Também o empuxo T K x (força do motor sobre o meio ambiente) R x .

Então,

T p A m V m V m V m V

T m V V p A

T lbm

s

ft

s

ft

s

slug

lbm

lbf s

ft slug

lbf

ftft

T lbf T

ig

ig

1 1 1 2 2 1 1 1 2

1 2 1 1

2

2

2

1 02

1 02

2060 1 02 1200 50032 2

298 64

65 400

˙ ˙ ˙ ( , ˙ )

˙ ( , )

,,

.

←

Problema 4.63

Dados: Escoamento incompressí vel, sem atrito, através de uma expansão súbita conforme mostrado.

Mostrar: Que o aumento de pressão, p p2 p1, é dado por

p

V

d

D

d

D12 21

2 2

2 1

Plote: O aumento de pressão adimensional como uma função de d/D para determinar o valor ótimo de d/D e o aumento depressão adimensional correspondente.

Solução:

Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento usando o VC mostrado.

Equação básica:

0 2 0 3( ) ( )

( )F Ft

u d u V dAS BSCVC

x x

∂∂

∀ ∫ ∫ r r


26/83

Considerações:

(1) Não há atrito, as forças superficiais são devidas somente à pressão.

(2) F B x 0.

(3) Regime permanente.

(4) Escoamento incompressí vel (dado).(5) Escoamento uniforme nas seções e.(6) Pressão uniforme p1 sobre a superf í cie vertical da expansão.

Então,

p A p A u V A u V A u V u V1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ,{ } { }

Da continuidade para escoamento uniforme,

˙ ;

, ( )

m A V A V V V A

A

Assim p p V A

AV V

A

AV V

A

AV V

p p V A

A

V

VV

A

A

A

A

e p

1 1 2 2 2 11

2

2 1 1

1

21 1

1

22 1

1

21 2

2 1 12 1

2

2

1

12 1

2

1

2

2

1 1r

p

V

A

A

A

A

d

D

d

D C Q D

1

12 1

2

1

2

1

2

2 2

2 1 2 1

← . .

A partir do gráfico mostrado adiante, vemos que p

1

2

12 V

tem um valor ótimo em torno de 0,5 para d/D 0,70.

Nota: Como esperado,

• Para d D, p 0 para tubo reto.• Para d / D → 0, p 0 para jato livre.

Note também que a localização da seção deve ser escolhida com cuidado para fazer com que a consideração (5) sejarazoável.

Aumentodapress

ã o,

p

/ p V

2/2( –

–)

Razão de diâmetros, d / D (––)


27/83

Problema 4.68

Dados: Bomba a jato d’água conforme mostrado no desenho esquemático.O jato e a corrente secundária são bem misturados na seção, e as pressões de entrada são as mesmas.

Determine: (a) A velocidade na saí da da bomba.(b) O aumento de pressão, p2 p1.

Solução:

Aplique a equação da continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC inercial mostrado.


0 1

0

0 5 0 1

( )

( ) ( )

∂∂

∀

∂∂

∀

∫ ∫

∫ ∫

td V dA

F Ft

u d u V dA

SCVC

S BSCCV

x x

r r

r r

Considerações:


(2) Escoamento incompressí vel.(3) Escoamento uniforme em cada seção.(4) Nenhuma força viscosa age no volume de controle.

(5) F B x 0.

Então, da continuidade,

0

10 075 0 01 0 065

1

0 0753 0 065 30 0 01

2 2 2 2

2

2

22 2

2 2

2 2

V A V A V A V A V A V A

VA

V A V A A A A m m

Vm

m

sm

m

sm

s s j j s s j j

s s j j s j

{ } { } { }

( ); ( , , ) ,

,, ,

←

{ } { } { }

6 60

1

2

1 2 2 2 2 2 2

2 2

2 1

2

2 222

2

1

,

( ) (

m

s

e

p A p A u VsA u V A u V A

u V u V u V

p p pA

V A V A V AA

V

V

s s j j j

s s j j

s s j j s22 2

22

2A V A V As j j )


28/83

999 1

0 0753 0 0 065 30 0 01 6 6 0 075

84 2

3 2

2 2 22

2

22

2 1 2 1

kg

m m

m

sm

N s

kg m

p p kPa p p

,( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )

,

[ ]

← Problema 4.69

Dados: Cotovelo redutor conforme mostrado. O fluido é água.

Determine: As componentes da força necessária para manter o cotovelo no lugar.

Solução: Aplique as componentes x e y da equação da quantidade de movimento usando a SC e o CV mostrados.


0 4 0 1

0 1

( ) ( )

( )

F Ft

u d u V dA

F F

t

d V dA

S BSCVC

S BSCVC

x x

y y

∂∂

∀

∂

∂

∀

∫ ∫

∫ ∫

r r

r r

v v

Considerações:


(2) Escoamento uniforme em cada seção.(3) Use pressões manométricas.(4) Eixo x horizontal.

Componente segundo x:

R p A p A u Q u Q

u V u V

R V V Q p A p A V Q

A

m

s m

m

s

m

s

m

s

x g g

x g g

1 1 2 2 1 2

1 1 2 2

1 2 1 1 2 2 1

1

3

20 11

1

0 01826 04

6 04 13 6 30

cos

cos

( cos ) cos ,,

,

( , , cos

{ } { }

°°

°

←

) ,,

,

, ( ) , ( ) , cos

999 0 11 1

0 008213 6

0 11 200 101 10 0 0182 120 101 10 0 0081 30

631 1800 133 1040

2 2

2

3

2

3 23

2

2 3

2

2

kg

mV

Q

A

m

s m

m

s

m

s

N s

kg m

N

mm

N

mm

R N N R

x

x x

Massa do cotovelo, m 10 kg

Volume interno V 0,006 m3


29/83


30/83

A partir da continuidade,

Q VA V V Lt m

sm m m s Q

V QA

ms m

m s

1

2

1

27 5 11 3 1 0 015 0 141

0 141 4 10 15

7 98

1 23

3

3

3

2 2

( ) ( , , ) , , /

,( , )

, /

←

Da componente x da quantidade de movimento, posto que o escoamento sai verticalmente do entalhe (u 0),

R p A u Q V Q R p A V Q

RN

mm

m

s

kg

m

m

s

N s

kg m

R kN para a R

x g x g

x

x x

3 3 3 3 3 3 3

3

2

2 2

3

3 2

30 104

0 15 7 98 999 0 141

1 65

{ }

←

;

( , ) , ,

, ( )esquerda

Da componente y da quantidade de movimento, visto que v3 0,

0

22 3

999 0 015 7 5 7 5

3 12 1

2

12

12 1

22 1

2 3

3

22

2

R v Q v Vt dx t V V V

Lx dx

t V x V V V

L

x V V

L

x

kg

mm

m

s

m

yo

L

o

L

o

L

{ }

∫ ∫

, ( , ) ,ss

m

s mm

m

s mm

R kN para Ry y

( , , ) ( )

( , , )( )

( )

, ( )

11 3 7 5 1

11

11 3 7 5 1

1

1

3

1 34

2 2

22

2 2 2

33

← baixo

{Um momento também será requerido no acoplamento.}

Problema 4.75

Dados: Bocal descarregando uma cortina d’água plana e radial, conforme mostrado.

Espessura, t

água


31/83


32/83

Problema 4.76

Dados: Pequeno objeto redondo testado em um túnel de vento. Atrito desprezível.

Determine:

a) A vazão mássica.b) V2, máx.

c) O arrasto sobre o objeto.

Solução:


0 1

0 4 0 1

999 9 81 0 02 196

98 0

1 1 3 2

2

( )

( ) ( )

, , ( )

, ( )

ot

d V dA

F Ft

u d u V dA p gh kg

m

m

sm Pa manométrica

p Pa manométrica

VC SC

S BSCVC

x x

∂∂

∀

∂∂

∀

∫ ∫

∫ ∫

r r

r r

Considerações:


(2) Massa especí fica uniforme em cada seção.

(3) Escoamento uniforme na seção, portanto ṁ V A 1

(4) Escoamento horizontal; F B x 0.

Então,

˙ , ( ) , / ˙m V A

kg

m

m

sm kg s m

1 1 3

2 21 23 104

1 9 67 ←

Da equação da continuidade,

˙

˙,

, ( , ),

, , ,

,

m u dA V r

Rrdr V R

r

Rd

r

RV R

V m

R

kg

s

m

kg mV

Amáx

o

R

máx máx

máx

2 2 2 2 2 2 22

2

0

1

2 22

2

22

3

2 2

2

2 2 2

3

3

2

3

29 67

1 23

1

0 515 0

∫ ∫ ∫

m/s 22, m áx←

(manométrica) (manométrica)


33/83

Da equação da quantidade de movimento,

R p A p A u m u V dA V m V R r

Rd

r

R

u V u V r

R

R p p A V m V R

xA

máx

máx

x máx

1 2 1 2 2 2 1 2 22 2

0

1 3

1 1 2 2

2 1 1 2 22 2

2

2

2 1

4

98

˙ ˙

( ) ˙

( ,

,

,

,

{ }

∫ ∫

00 1964

1 10 9 672

1 23 15 0 5

65 0

2

2 2

3

22

2

2 22

) ( ) , , ( ) ( , )

,

N

mm

m

s

kg

s

kg

m

m

sm

N s

kg m

R Nx

R x é a força para manter o VC no lugar. O VC corta a haste de apoio, portanto R x é a força para reter o objeto. O arrasto do

objeto e da haste de sustentação é

F R N FD x D 65 0, ←

Problema 4.78

Dados: Escoamento incompressí vel na região de entrada de um tubo circular de raio R.

u u r

Rmáx2

2

1

Determine: (a) A velocidade máxima na seção.(b) A queda de pressão, se o atrito viscoso fosse desprezado.

Solução: Aplique as equações da continuidade e da quantidade de movimento na direção x . Use o VC e a SC mostrados.


0 1

0

0 3 0 1

( )

( ) ( )

∂

∂ ∀

∂∂

∀

∫ ∫

∫ ∫

t d V dA

F Ft

u d u V dA

VC SC

S BSCVC

x x

r r

r r

Considerações: (1) Escoamento permanente.

(2) Escoamento uniforme na seção.

(3) F B x 0.

(4) Despreze o atrito na parede do tubo.

(5) Escoamento incompressí vel.


34/83

Então,

0 1 2

2 1 2 1

2

1

4

12

0

2

12 2

212

2 4

0

1

U R u r

Rrdr

ou U R u R r

R

r

Rd

r

Ru R

r

R

r

R

máx

R

máxo

máx

{ }

∫

∫

AssimAssim u U ft

ft s umáx máx, / 2 2 303

601 ←


p R p R u U R u u dA U R u R r

R

r

Rd

r

R

u U u u rR

ou

p p U

R

máx

máx

12

22

1 12

2 20

2 12 2 2

2

0

1

1 1 2

2

1 2

2 1

1

{ }

∫ ∫

112 2 2 2

0

1

2

0

12 4 2

0

14 6

0

1

21

212

1 2 12

12

2 1

1 1 2 1

2

1

2

1

6

1

6

2 4

8

6

u d r

R

Mas d d

e u U U

p p U U U

máx

máx

( ) ;

( ) ( )

( ) ,

∫

∫ ∫ ]logo,

112

12

22

2

2

1 22

4

31

1

3

1

30 075 30

32 2

0 699 1 2

µ

←

U

lbm

ft

ft

s

s g

lbm

lbf s

slug ft

p p lbf ft p p

s, ( )

/

,

, /

Problema 4.82

Dados: Escoamento incompressí vel em camada limite, conforme mostrado. O fluido é ar padrão.

Na camada limite:u

U

y y

o

3

2

1

2

3

Fronteira da CL

Largura


35/83

Determine: A força horizontal por unidade de largura para manter a placa estacionária.

Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento.


0 10

0 3 0 1

( )

( ) ( )

∂∂

∀

∂∂

∀

∫ ∫

∫ ∫

td VdA

F Ft

u d u V dA

VC SC

S BSCVC

x x

r r

r r


(2) Não existe força lí quida de pressão;

(3) F B x 0.

(4) Escoamento uniforme na seção ab.


Então, da equação da continuidade,

0

U m u dy dy m U u dyo bco

bc ooo

{ }

∫ ∫ ∫ ˙ ; ; ˙ ( )


F U U w U m u uwdy U u U U u wdyf o o o bco

o o oo

{ }

[ ]∫ ∫ ˙ ( )2 2

Força de arrasto F u U u wdy U u

U

u

U wdyf o

o oo o

( )∫ ∫

02 1

Na seção cd ,

u

Udy d

F

wU

u

U

u

Ud U d

U

o

f o

o o o

o

o

o

3

2

1

2

1 3

2

1

21

3

2

1

2

3

2

9

4

1

2

3

2

1

4

3

21

2 3 31

2 2 3 4 6

;

∫ ∫

←

∫ d

U U

kg

m

m

sm

N s

kg m

F

wN m para a

Fw

o

o

o

o

f f

1

2 2 3 4 5 7

1

2

3

22

2

2

3

4

3

4

1

8

3

10

1

280 139

0 139 1 23 10 0 0023

0 0393

( , )

, , ( ) ,

, / ( )direita


36/83

Problema 4.83

Enunciado: Considere o jato de água e a placa vertical do Problema-Exemplo 4.4. Uma consideração implí cita feita para

resolver o problema foi que o jato permanecesse horizontal até atingir a placa. Discuta as implicações de se incluir a gravida-

de na solução. Concentre-se especificamente na trajetória do jato antes de ele atingir a placa e na velocidade do lí quido sobre

a placa acima e abaixo do ponto de impacto do jato. As dimensões da placa vertical são importantes? As propriedades dacorrente de lí quido são importantes?

Discussão: A gravidade poderia ser incluí da na solução com relativa facilidade. A gravidade produziria uma componente

vertical para baixo na velocidade da corrente de água no jato. O jato teria uma trajetória parabólica; a corrente do jato cairia

mais à medida que ela se afastasse do bocal.

Como uma primeira aproximação, o escoamento sobre a placa vertical é suposto ser sem atrito. Portanto, não existe força

de atrito do jato sobre a placa. Uma força de pressão agindo sobre a placa não possui componente vertical. Conseqüentemen-

te, não pode existir força vertical resultante sobre a placa.

O jato lí quido dividir-se-á em duas correntes quando atingir a placa. Cada uma das duas correntes terá a mesma velocida-

de do jato, porque não existe força de atrito ao longo da placa para modificar a velocidade do lí quido. Entretanto, a corrente

inferior irá carregar mais da metade do escoamento; a corrente superior carregará menos da metade do fluxo. Posto que

nenhuma força vertical age sobre o escoamento, este dividir-se-á de modo a dar às duas correntes a mesma quantidade de

movimento do jato tocando a placa.

A placa vertical deve ser larga o bastante para redirecionar todo o escoamento do jato de forma que ele saia paralelo à

superf í cie da placa. Quando a gravidade é incluí da, a placa deve estender-se mais para baixo da linha de centro do jato do que

no caso hipotético sem gravidade.

As propriedades da corrente de lí quido incluem sua massa especí fica, área, velocidade e viscosidade. A força horizontal

exercida sobre a placa vertical é proporcional à massa especí fica, área e ao quadrado da velocidade da corrente lí quida. A

viscosidade do lí quido não é importante, quando ela é pequena o suficiente para fazer com que a aproximação de um escoa-

mento sem atrito seja um modelo razoável.

Problema 4.87

Dados: Modelo de escoamento de gás em um bocal de propulsão como uma fonte esf érica; V e constante.

Determine: (a) Uma expressão para o empuxo axial, T a; compare com a aproximação unidimensional, T mV e ˙ .

(b) O erro percentual para 15°.

Plote: O erro percentual em função de , para 0 22 5 , .°

Solução:

Aplique as definições: ˙ ,m VdA T u VdaaA A

∫ ∫

Use escoamento esf érico, simétrico.

A vazão mássica é

admitindo

m VdA V Rsen Rd V R V R

e e

e e e eoA

o

e e

( )

˙ ( ) cos ( cos )

[ ]

[ ]

∫ ∫ 2 2 2 12 2


37/83

A aproximação unidimensional para o empuxo é, portanto,

T mV V R Te e e D ˙ ( cos )2 1

2 21 ←

O empuxo axial é dado por

T u VdA V V Rsen Rd V R sen d

T V R sen

V R sen T

a e e eo

e eo

a e e

o

e e a

cos ( ) cos∫ ∫ ∫

←

2 2

22

2 2

2 22

2 2

O erro na aproximação unidimensional é

eT T

T

T

T

V R

V R sen sen

D a

a

D

a

e e

e e

1 1

2 2

2 2 2 21

2 11

2 11

( cos ) ( cos )(1)

O erro percentual é traçado como uma função de .

Para 15°

esen

e ou e

15 2

15

2 1 15

151

0 0173 1 73 15

( cos )

, , %

°

←

Erronoempuxo1-D,

e

(%)

Metade do ângulo de descarga do bocal, (graus)


38/83


39/83

Da quantidade de movimento,

R u VA u VA V A

u V u

R kg

m

m

sm

N s

kg mN para a R

x

x x

1 22

1 2

3

22

2

2 22

0

1 23 504

0 01 0 242

{ } { }

← , ( ) ( , ) , ( )esquerda

Essa é a força necessária para manter a placa estacionária.

A “força” do jato sobre a placa é

K R N para ax x 0 242, ( )direita

Problema *4.91

Dados: Jato escoando para baixo, atingindo um disco horizontal, conforme mostrado.

Determine: (a) A velocidade do jato em h.(b) Uma expressão para a força necessária para manter o disco estacionário.

(c) Avalie para h 1,5 m.

Solução: Aplique as equações de Bernoulli e da quantidade de movimento. Use o VC mostrado.


( )

tan

( ) ( )

5

2

0 6 0 1

2p Vgz cons te

F Ft

w d w V dAS BVC SC

z z

∂∂

∀∫ ∫ r r



(3) Escoamento ao longo de uma linha de corrente.

(4) Escoamento sem atrito.

(5) Pressão atmosf érica agindo ao longo do jato.

(6) Despreze a massa de água sobre o disco, F B z 0.

(7) Escoamento uniforme em cada seção.


40/83

A equação de Bernoulli torna-se

Vgh

Vg o ou V V gh V V gh V0

2 22

02

02

2 22 2 ( ) ; ←

Da equação da quantidade de movimento

R VA V A V A

V

z o o

1 22

1 2 0

{ } { }

Mas, da continuidade

˙ . , ,

, ,

, ( , ) ( , ) , ,

m V A VA Assim VA V A e

R V A V V A V gh R

Para h m

R kg

m

m

sm

m

s

m

sm

o o o o

z o o o o o

z

z

2

3

2 2 22

2 2

2

1 5

999 1 54

0 015 1 5 2 9 81 1 5

←

←

1 2 2

1 49

/

, ( )

N s

kg m

R N força Rz z

para cima

Problema *4.93

Dados: Corrente de ar na condição padrão atinge um defletor curvo. Um tubo de estagnação conectado a um manômetro de

água está instalado no plano de saí da do bocal.

Determine: (a) A velocidade do ar deixando o bocal.

(b) A componente horizontal da força exercida pelo jato sobre o defletor.

(c) Comente sobre cada uma das considerações feitas na solução do problema.

Solução: Aplique a definição de pressão de estagnação e a componente x da equação da quantidade de movimento.

Por definição,

p p Var0

21

2

Tubo deestagnação

Defletor fixo

Ar

Aberto

Água

Jato dear livre


41/83


42/83

Determine: (a) A pressão manométrica mí nima requerida na entrada do bocal.

(b) Magnitude e sentido da força exercida pela corrente d’água sobre a placa inclinada.

(c) Esboce um gráfico da distribuição de pressão ao longo da superf í cie da placa.

Solução: Aplique as equações da continuidade, da quantidade de movimento e de Bernoulli, usando as coordenadas e o VCmostrados.


V A V A p V

gz p V

gz

R Ft

v d v V dAy BSCVC

y

1 1 2 21 1

2

12 2

2

22 2

0 6 0 3

( ) ( )

∂∂

∀ ∫ ∫ r r

Considerações: (1) Escoamento sem atrito.



(4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente.

(5) Escoamento uniforme em cada seção.

Então, da equação da continuidade,

V

A

AV

WV

mm

mm

m

sm s1

2

1

2 2

12 7

51 812 2 2 99

,

,, , /

Bocal

Água


43/83

Da equação de Bernoulli,

0

2

1

2999 12 2 2 99 999 9 81 0 15 68 4

1 22

12

1 2 2 1 2

1 2

2 22

2 3

1

1

p V V g z z p z z h

pkg

m

m

s

kg

m

m

sm

N s

kg mkPa manométrica p

g g

gg

( ) ( ) ;

( , ) ( , ) , , , ( )[ ]

←

Calcule V 3 na ausência da placa usando Bernoulli ( p2 p3)

V V g H

m

s

m

sm s3 2

2 22

2 22 12 2 2 9 81 4 85 15 6

12

( , ) , , , /

Da quantidade de movimento: R x 0, posto que não existe atrito na superf í cie da placa.

Considerações:(6) Despreze as massas da placa e da água sobre a placa.

(7) Pressão atmosf érica age sobre todo o volume de controle; F RS y y .

Então,

0 0

15 6 30 999 0 0155 209 209

3 3 4 4 5 5 3 3 3

3

3

R v m v m v m V Q visto que v V

R m

s

kg

m

m

s

N s

kg mN K N K

y

y y y

˙ ˙ ˙ cos , cos

, cos , ,

{ } { } { }

° ←

A pressão é máxima no ponto de estagnação e mí nima ( patm) em e. A pressão em a é maior que em b devido à curvatura dalinha de corrente.


44/83

Problema *4.100

Dados: Escoamento uniforme em espaço estreito entre placas paralelas, conforme mostrado. O fluido preenchendo esseespaço tem movimento horizontal apenas.

Determine: Expressão para p( x ).

Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento.Equações básicas:

0 1

0

0 5 0 1

( )

( ) ( )

∂∂

∀

∂∂

∀

∫ ∫

∫ ∫

td V dA

F Ft

u d u V dA

SCVC

S BVC SC

x x

r r

r r

Considerações: (1) Escoamento permanente.(2) Escoamento incompressível.(3) Escoamento uniforme em cada seção.(4) Atrito desprezível.

(5) F B x 0.

Então,

0

0 0 0

r r

V dA V h QL

dx V dV h hdV QL

dx

V Q

h

x

Lc c pois V V x

Q

h

x

L

VC∫ { } { }( ) ;

; ( ) ; ( )


p h p dp h u V h u Q

hdx u V dV h

u V u u d V dV

x dx x dx

x dx x x

( ) ( ) { }

{ }

0


45/83

Da continuidade,

( )V dV h V h Q

dx

L

logo

dp h V h V dV V h Q dx

L

V h V h V hdV V Q dx

LQ dV

dx

L

2

2 2

0 ) (

Desprezando produtos de diferenciais (dVdx dx ), e com dV Q

h

dx

L

dp VdV V Q

h

dx

LV

Q

h

dx

L

V Q

h

x

L

Q

h

dx

L

dp Q

hLxdx p x

Q

hLx C

Se p p então p x Q

h

x

L p x

2

0

2 2

2

0 0

2 2

←

( )

( ) , ( )( )

p

Problema 4.107

Dados: Jato de água atingindo uma pá móvel conforme mostrado.

Determine: A força necessária para manter a velocidade da pá constante.

Solução: Aplique a equação da quantidade de movimento usando o VC móvel mostrado.


0 2 0 3

0 2 0 3

( ) ( )

( ) ( )

F Ft

u d u V dA

F Ft

v d v V dA

S B xyzVC

xyzSC

xyz

S B xyz xyz xyzSCVC

x x

y y

∂∂

∀

∂∂

∀

∫ ∫

∫ ∫

r r

r r


46/83

Considerações: (1) Nenhuma força resultante de pressão sobre VC; F R F RS x S yx y ,

(2) F B x 0. ; despreze F B y .

(3) Escoamento permanente relativo à pá.(4) Escoamento uniforme em cada seção.

(5) Área do jato e velocidade relativa à pá constantes.

Todas as velocidades devem ser relativas ao VC. Então,

R u V U A u V U A

u V U u V Ue

R V U A

kg

m

m

s mm m

mm

N s

kg m

R N para a R

x

x

x x

1 2

1 2

2

32

2

22

2

6 2

1

999 30 15 600 10 90 1

135

( ) ( )

( )cos

( ) (cos )

( ) (cos )

( )

{ } { }

°

← esquerda

Também,

R v V U A v V U A

v v V U sen

R V U A sen

kg

m

m

smm

m

mmsen

N s

kg mN

R N a força deve ser para R

y

y

y y

1 2

1 2

2

3

22

2

22

6 2

2

0

999 30 15 60010

90 135

135

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

{ } { }

°

← cima

Problema 4.109

Dados: Prato circular com orif í cio e jato movendo-se conforme mostrado.

Determine: A força requerida para manter o movimento do prato.


47/83

Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC movendo-se com o pratocomo mostrado.


0 1

0

0 3 0 1

( )

( ) ( )

∂∂

∀

∂∂

∀

∫ ∫

∫ ∫

td V dA

F Ft

u d u V dA

xyzSCVC

B S xyzVC

xyzSC

x x

r r

r r

Considerações: (1) Escoamento permanente relativo ao VC.(2) Nenhuma força resultante de pressão sobre o VC.

(3) Horizontal; F B x 0.

(4) Escoamento uniforme em cada seção.(5) Nenhuma variação na velocidade do jato relativa à pá.(6) Escoamento incompressí vel.

Então,

04 4

4 40 020 0 010 2 36 10

2 2

3 4

3 42 2 2 2 2 4 2

r r

V dA V U D d

A

A D d m m

xyzSC∫

[ ]

( ) ( )

( ) ( , ) ( , ) ,

,

,


R u V U D

u V U d

u V U A

u V U u V U u V U

R V U D

V U d

V U

x

x

1

2

2

2

3 3 4

1 2 3

22

22

2

4 4

40

4 4

( ) ( ) ( )

( ) cos

( ) ( ) ( )

,

{ }

°

440

41 40

999 30 10 2 36 10 1 40

167

2 2

2 2 2

3

22

2

4 22

( ) cos

( ) ( ) ( cos )

( ) , ( cos )

( )

D d

V U D d

kg

m

m

sm

N s

kg m

R N a força deve ser aplicada para a Rx x

°

°

°

← direita

{Nota: R y Mg, pois não há fluxo lí quido de quantidade de movimento na direção y.}


48/83

Problema 4.114

Dados: Uma série de pás atingidas por jatos contí nuos, conforme mostrado.

Determine: (a) O ângulo do bocal, .

(b) A força para manter a velocidade das pás constante.

Solução: Aplique a equação da quantidade de movimento usando o VC móvel com as pás como mostrado.Equação básica:

0 2 0 3( ) ( )

F Ft

u d u V dAS B xyzVC

xyz xyzSC

x x

∂∂

∀∫ ∫ r r

Considerações: (1) Nenhuma força resultante de pressão sobre o VC.

(2) Horizontal; F B x 0.

(3) Escoamento permanente relativo ao VC.

(4) Escoamento uniforme em cada seção.(5) Nenhuma variação na velocidade relativa sobre a pá.(6) Escoamento entra e sai tangencialmente às pás.

O ângulo do bocal pode ser obtido por trigonometria. O triângulo de velocidades para a entrada é mostrado no esquema:

Da lei de senos,

sen

V

sen

V

sen

U

sen U

Vsen sen sen

Do esquema de velocidades o

Também V

rb

rb

(

( ),

( )

, , log ,

cos

90

90 50

86 6120 30

90 90 90 30 30 30

1

11

1

1

1

)

1

°

°

° ° ° ° ° ° ←

,, ;

cos

,

cos

, / V sen V V sen m

s

senm srb

1

86 6 30

30

50 0°

°


49/83

Da equação da quantidade de movimento (considere a vazão total ṁ dos escoamentos através das pás)

R u m u m V sen m V sen m V m sen sen

u V sen u V sen R m V

x rb rb rb

rb rb y rb

1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2

˙ ˙ ( ˙ ) ( ˙ ) ˙ ( )

, ; ˙

( cos cos )

{ } { }

Dessa forma, como ˙ ,m Q

R V Q sen sen

m

s

kg

m

m

ssen sen

N s

kg m

R kN para a R

x rb

x x

( )

, ( )

, ( )

1 2

3

3 2

50 999 0 170 30 45

10 3

° °

← esquerda

{ Nota: A força resultante sobre o VC na direção y é R y 1,35 kN.}

Problema 4.122

Dados: Catapulta hidráulica do Problema 4.118 deslocando-se sobre trilha horizontal com resistência F kU D 2, velocidadeU , partindo do repouso em t 0.

Determine: (a) Instante de aceleração máxima.(b) Esquema da aceleração versus tempo.(c) Valor de para maximizar aceleração, por quê?(d ) Se U alcançará V em algum momento; explique.

Solução: Aplique a componente x da quantidade de movimento ao VC em aceleração.Equação básica:

0 2 0 3( ) ( )

F F a dt

u d u V dAS B rfxVC

xyz xyz xyzSCVC

x x ∀

∂∂

∀∫ ∫ ∫ r r

Considerações: (1) F F kU S D x 2, onde k 0,92 Ns2 /m2.

(2) Horizontal; F B x 0 .

(3) Despreze a massa da água sobre o defletor.(4) Escoamento uniforme no jato.

(5) Nenhuma variação na velocidade relativa sobre o defletor.


50/83

Então,

kU a M u V U A u V U A sen V U A

u V U u V U sen

ou

dU

dt

A sen

MV U kU M

rfx vc

vc

vc

21 2

2

1 2

2 2

1

1

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( ) /

{ } { }

(1)

(a) A aceleração é máxima para t 0, quando U 0. ← (b) A aceleração como função do tempo será

(c) Da Eq. 1, dU / dt é máximo quando /2 e sen 1dudt

máx.←

(d ) Da Eq. 1, dU / dt irá a zero quando U V ; isto corresponderá à velocidade terminal para o veí culo, U t . Da Eq. 1, dU / dt0 quando

ou

A sen V U kU

U

A senk

A sen

k

V V

( ( )

( )

(,

/

/

1

1

1 1

0 472

2 2

1 2

1 2

)

U será assintótico em relação a V .

Problema 4.124

Dados: Veí culo com pá defletora deslocando-se com resistência desprezí vel.

a m s cons te

rf x

2 2 / tan

A área do jato é A(t ), programada.

tendência assintótica a zero


51/83

Determine: (a) Expressão para A(t ).(b) Esquematize para t 4s.

(c) Avalie para t 2s.

Solução: Aplique a quantidade de movimento segundo x ao VC com aceleração linear.

Equação básica:

0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( )

F F a dt

u d u V dAS B rfxVC

xyzVC

xyzSC

xyzx x ∀

∂∂

∀∫ ∫ ∫ r r

Considerações: (1) Nenhuma resistência ao movimento.

(2) Movimento horizontal, logo F B x 0.

(3) Despreze massa de lí quido no VC.(4) Escoamento uniforme em cada seção.(5) Todas as velocidades medidas em relação ao VC.(6) Nenhuma variação na área da corrente ou na velocidade sobre a pá.

Então (com a arf x ),

a M u V U A u V U A V U A

u V U u V U V U

1 22

1 2

3

2

120 1

2

( ) ( ) ( )

( ) cos ( )

{ } { }

°

Como a constante, U at e

A A t a M

V at A t

Em t A A aM

V

Assim A

A at

( )( ) ( )

, ( ) .

,( )

2

3

0 0 2

3

1

1

2

0 2

02

←

Esquema:

Para t 2s,

Am

skg

m

kg m

s

m

ss

mm

mmm A

2

32 3

999

1

10 2 2

10 111 22

3

2

26

2

2

2

← ( )


52/83


53/83

Resolvendo para h h MC k

w

h kgm

kg

m

m

kg mm

h mm h

,( cos )

,,

, cos,

,

1

8000 1 37 10

1 00999

1

0 3

1

1 300 0179

17 9

3 3

°( )

←

Problema 4.143

Dados: Foguete trenó com massa inicial de 4000 kg, incluindo 1000 kg de combustí vel. A resistência ao movimento é dadapor kU com k 75 N/m/s.

Determine: A velocidade do trenó 10 s após a partida do repouso.

Plote: A velocidade e a aceleração do trenó como funções do tempo.

Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC com aceleração linear mostrado.Equação básica:

0 2 0 3( ) ( )( )F F a d

tu d u V dAS B rfx

VCxyz

VCxyz xyz

SCx x

∀ ∂

∂ ∀∫ ∫ ∫

r r

Considerações: (1) pe patm (dado), logo F F S R x .

(2) F B x 0.

(3) Despreze efeitos transientes dentro do VC.

(4) Escoamento uniforme no plano de saí da.Então,

F a M u m V m F kU VR rfx e e R e˙ ˙ ,{ } { }ue

Da continuidade, M M mt 0 ˙ . Substituindo com adU

dtrfx

kU M mt dU

dtV m

dU

dt

V m kU

M mtou

dU

V m kU

dt

M mt

Integrandok

V m kUm

M mt

e

e

e

e

U t

( ˙ ) ˙

˙

˙ ˙ ˙

, ln ( ˙ ) ln ( ˙ )

0

0 0

0 0 0

1 1] ]


54/83

e

V m kU

V m

kU

V m

k

m

M mt

M

k

m

mt

M

Então kU

V m

mt

Me

U V m

k

mt

M

e

e e

e

k m

e

k m

ln˙

˙ ln (

˙ ˙ ln

˙

˙ ln (

˙

,˙

(˙

˙ ˙

/ ˙

/ ˙

( )

1 1

1 1

1 1

0

0 0

0

0

←

Para t s

U m

s

kg

s

m

N s

N s

kg m

kg

ss

kg

N s

m

s

kg

kg m

N s

U m s U

10

1500 9075

1 1 90 10 1

400075

90

344

2

2

/

(1)

Problema 4.145

Dados: Motocicleta com foguete de propulsão, para saltos, acelerando-se em pista horizontal. Velocidade necessária, U j 875 km/h. Velocidade de descarga do foguete, V e 2510 m/s. Massa total, M B 375 kg (sem combustí vel).

Determine: A massa mí nima de combustí vel necessária para alcançar U j.

Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC em aceleração mostrado.

Da continuidade,

M M mtvc 0 ˙

Equação básica:

0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( )

F F a dt

u d u V dAS B rfxVC

xyzVC

xyzSC

xyzx x ∀

∂∂

∀∫ ∫ ∫ r r

Considerações: (1) Despreze resistências do ar e de rolamento.

(2) Movimento horizontal, logo F B x 0.

(3) Despreze efeitos transientes dentro do VC.

(4) Escoamento uniforme no plano de saí da do bocal.(5) Pe Patm.


55/83

Então,

a M u m V m ou dU

dt

V m

M

V m

M mt

u V

rfx vc e ee

vc

e

o

e e

˙ ˙ ˙ ˙

˙{ }

Separando variáveis e integrando,

dU Vmdt

M mtou U V M mt V

M

M mt

Mas M M M e M mt por to

U

V

M M

M

M

M

M

M

e

o

j e o ot

eo

o

o B F F

j

e

B F

B

F

B

F

˙

˙ln( ˙ ) ln

˙

˙ , tan ,

ln ln ;

1 1BB

U V F

B

Uj V

F BUj V

F

F

eM

Me

Finalmente M M e

M kgkm

h

s

m

m

km

h

s

M kg M

j e e

e

F

/ /

/

;

, ( )

exp

,

1

1

375 8752510

10003600

1

38 1

←

A massa de combustí vel requerida é cerca de 10% da massa da motocicleta motociclista.

Problema 4.155

Dados: Tanque movimentado por jato ao longo de pista horizontal. Resistência desprezí vel. Aceleração a partir do repouso.Massa inicial, M 0.

Determine: (a) Aplique a continuidade e a componente x da quantidade de movimento para mostrar que

M Mo V/(V U)

(b) Expressão geral para U / V como uma função do tempo.

Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC com aceleração linearmostrado.


56/83


0

0 1 0 2 0 3

∂∂

∀

( )∀

∂∂

∀

∫ ∫

∫ ∫ ∫

td V dA

F F a dt

u d u V dA

VCxyz

SC

S B rfxVC

xyzVC

xyzSC

xyzx x

r r

r r( ) ( ) )

Considerações: (1) F S x 0.

(2) F B x 0.

(3) Despreze u dentro do VC.

(4) Escoamento uniforme no jato.

Da continuidade,

0

∂∂

{ }t

M V U A ou dM

dtV U Avc ( ) ( )


a M dU

dtM u V U A V U V U A u V U

Mas da continuidade V U A dM

dte dU d V U por to

dU

dtM

d V U

dtM V U

dM

dtou M V U cons te M V

Assim M M

rfx

o

o

( ) ( ) ( ) ;

, ( ) , ( ), tan ,

( )( ) ( ) tan

,

{ } [ ]

VV V U M /( ) ←

Substituindo na quantidade de movimento,

dU

dtM

d V U

dt

M V

V UV U Ao

( )

( )( ) 2

ou

d V U

V U

A

VMdt

o

( )

( )

3

Integrando,

d V U

V U V U V

A

VMdt

A

VMt

V

V U

oo

t

o

( )

( ) ( )

3 2 2

1

2

1 1∫ ∫

Resolvendo,

U

V VA

Mt

UV

1 1

1 2

0

1 2

←

/

Solucion Fox Cap 4

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