Solución trigonométrica

Teorema de Pitágoras.

c

a

b

c2

a2

b2

c2=a2+b2

Funciones trigonométricas.

c

a

b

c

b

hipotenusa

opuestocatetosen

c

a

hipotenusa

adyacentecatetocos

a

b

adyacentecateto

opuestocatetotan

b

a

opuestocateto

adyacentecatetocot

a

c

adyacentecateto

hipotenusasec

b

c

opuestocateto

hipotenusacsc

c

12 cm

9 cm

Ejemplo: Encuentre las funciones trigonométricas de los ángulos y ilustrados en el triángulo.

sec66.13

5

cm9

cm15csc

csc25.14

5

cm12

cm15sec

tan33.13

4

cm9

cm12cot

cot75.04

3

cm12

cm9tan

sen8.05

4

cm15

cm12cos

cos6.05

3

cm15

cm9sen

cm15cm9cm12c 22

Funciones trigonométricas inversas.

c

barcsen

c

aarccos

a

barctan

b

aarcctg

a

csecarc

b

ccscarc

c

a

b

Ley de senos.

A

B

C

h

senChCh

sen

senAsenC

senC

senA

senAhAh

sen

Ley de senos.

senAHA

Hsen

senBHB

Hsen

senBsenA

sen

A

sen

B

A

B

C

H

senC

senA

Ley de senos.

senC

senB

senB

senA

senC

senB

senA

A

B

C

Ley de cosenos.

x

Ah

sen senAh

Ax

cos cosAx

h

y

cosABxBy

222 yhC

222 cosABsenAC

222222 cosAcosAB2BsenAC

cosAB2BcossenAC 22222

cosAB2BAC 222

Ley de cosenos.

cosAB2BAC

cosAC2CAB

cosBC2CBA

222

222

222

A

B

C

20,N40P

45,N60Q

Ejemplo: Las fuerzas P y Q actúan sobre el perno A. Determine su resultante.

Solución gráfica:

P

Q

R

20,N40P

45,N60Q

35,N75.97R R=97.75 N 35º

Solución trigonométrica:

P

Q

R

A

B

CSe conocen dos lados (P=40 N y Q=60 N) y el ángulo ABC (=155º), que es opuesto a la resultante, por lo que podemos aplicar la ley de cosenos para calcular la magnitud de la resultante.

Y la ley de senos para calcular el ángulo BAC.

20,N40P

45,N60Q

cosPQ2QPR 222

2222 N9550.2774º155cosN60N402N60N40R

N97.73R

BACsen

Q

ABCsen

R

BACsenN60

º155senN7.97

º04.15BAC

2595.0º155senN7.97

N60BACsen

º04.35º04.15º20

04.35,N7.97R R=97.7 35.04º

P

Q

R

A

B

CAhora podemos aplicar la ley de senos para calcular el ángulo BAC y con este el ángulo .

BAC

Otra solución trigonométrica:

20,N40P

45,N60Q

Se construye un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea el vector R, triángulo ACD en la figura.

P

Q

R

A

B

C

D

1) Resolvemos el triángulo BCD (cuya hipotenusa es el vector Q) para encontrar los valores de sus catetos BD y CD.

2) Con estos datos, resolvemos el triángulo ACD para encontrar R y el ángulo CAB.

20,N40P

45,N60Q

P

Q

R

A

B

C

D

1) Resolvemos el triángulo BCD (cuya hipotenusa es el vector Q) para encontrar los valores de sus catetos BD y CD.

25º

N36.25º25senN60CD

N60

CDº25sen

N38.54º25cosN60BD

N60

BDº25cos

N38.94N38.54N40BDABAD

N2774.9550N36.25N38.94CDADR 22222

2687.0N38.94

N36.25

AD

CDCABtan

04.35,N73.97R R=97.7 35.04º

P

Q

R

A

B

C

D

N73.97R

º04.15CAB

Ejemplo: Un lanchón es arrastrado por dos remolcadores. Si la resultante de las fuerzas ejercidas por los remolcadores es de magnitud 5000 lb y está dirigida a lo largo del eje del lanchón, determine (a) la tensión en cada una de las cuerdas sabiendo que =45º y (b) el valor de tal que la tensión en la cuerda 2 sea mínima, también encuentre la tensión de las cuerdas en este caso.

30,TT 11

º45,TT 22

0,lb5000R

(a) Solución gráfica:

30º

45º 5000 lb

T2

T1

B

lb3700T1

lb2600T2

30º

45º

5000 lb

T2

T1

B30º

T1

(a) Solución trigonométrica:

105º

º105senlb5000

º30senT

º45senT 21

lb25.3660lb5000º105senº45sen

Tº105sen

lb5000º45sen

T1

1

lb19.2588lb5000º105senº30sen

Tº105sen

lb5000º30sen

T2

2

(b) Valor de para que T2 sea mínima:

30,TT 11

,TT 22

0,lb5000R

5000 lbB

30º

T1

30ºT1

T2

T2

T2

5000 lbB

30ºT1

T2

T2

T1

º60º30º90

lb13.4330lb3250023

lb5000º30coslb5000T1

lb250021

lb5000º30senlb5000T2

Ejemplo: Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. Si P=15 lb y Q=25 lb, determine la fuerza resultante por el método gráfico y por el método trigonométrico.

º14,lb75.36R

45º

135º

45º

cosPQ2QPR 222

º135coslb25lb152lb25lb15R 222

lb15.37R

lb15.37

º135sen

lb15

sen

º135senlb15.37

lb15sen

º59.16

º41.13,lb15.37R

P

Q

º41.13º59.16º30º30

30º