Solucionario de Análisis Funcional - Brézis - Tronel

o --Fp ANPILN SE Fisibl CTI ONIÑ C- L Gia

<240•09 Nrimtiiimploo.

H 11,10%-ts

. Trwilml

_~. ..0.n,re.4... 412 ( um pA . eN 5 li 4%,sk 1%-AL S SiLer¿ Z 20 i 3'19

CHAPI7IRE

LES THÉORÉPIES DE HAHN-BAIJACH

INTRODUCTIO'N A. LA THÉOR I E DES FONIC.F 1 OSAS

- CONVE_XES CONjUGUÉES. «gr -• :

FropiEltd3 d l'apptídation do durnitd. r „t i f .14,1 ••••,. "

• ,'

- •

"z vid;

Soít E Un .75,,pace vectoriel narra (• c.v.n.). Pour tout x e E on définit

'ariplíe-stiJn de aatité par

F (x) -ifEt" Hen n I1211 et <f,x7.'1,slix51 2 }.

1) Montrez que l'on a

Flx) {f E E' ; et <fp:1> ikr2 1

cn ciue F(x) eJt 11-041 vide, convex2 e: Urné.

2) Montrer que 3i E' es. t str5zel:mune convey_e, atora FW est á 'Ir

(On rappelle e.via. est etrictement Jonw..= sd pour tour oc1,7111 f,g d.1

ospac•r1 Lel que 11 f 11 c.: on a Uf + (1-t)gll <1 )Z.1,1E).

3) Viontrer que l'I on a élaleinerit

F() ilfEE' <f,y-x> Vyer,).

4) En dIduire que

<r(x)-F(y), x-y> >0 Vx,yE E.

-Tlire, plus pr¿cisgment

<1-g, x-y> o Yx,ye E, WE F(x),

LI

Montrer que 1. 1 pn a en (ait

rl

<f-g, x-y > ( x11-15111 ) 2 y e E, l'eq E F (X) 1r) •

5) Ort svppost a riouveau que est strictement convexo. Soien xi yEE

tels Cuy

l'Ioncrer que F{x)

<F(x)-F(T). O.

S.bit E un espace vectoriel de dilnension 1 Gn censid-ere une base

tei) ixi.c de E. Pour icE E on écrie x.e. avec x..€ tt pulir fe Dn pose

..Cf e.>

1) on rpun t E d la norme

TI

U xII1• [21-

a norme duale f

d'un Illnent E E E'

b) Chécereliner explieitement Vensehi.ble F(x) CappliCatiarl e dualit'5 )

pour timit xE E-

2) Reprendía les quest i'..erns a) et b) E. est luni de Ia rilotmo

0 a • Max. 1 x . 1 . i<i<rt

3) Reprendre lis de la nprne questions. a) et b) si E est eintní

Tizo l= ( 1xii 2) \ili

t-i

(t plus gnéraleinent de la norme

rt

fixn ( lx.I P)UP avec pE ,cut P i-] 1

3 1 Siot Clf0,13) = C([0, ; wuni de no me usuelle

Itax 1'11(0 . tE[0.]]

r

E

r

E E E

On considare E = {LIE cao, 1. 1) ; u(0) =01. de surte

fermá de C([0,1))„. on consid-are la forme linZaire

f : uEE 1.-41 f(u) 1 u(t)elt. •

1) Montrer que rEE" et calculer IIf El

•

2) Peut-on trouver uE E tel. que iluí • 1 et Í(u) • 11 f 0 E , ?

■-•1_1.4_11 On considare 1J espace E (aspace

voir exercices du Chapítra XI).

A tout IlIment de co , u - (ul ,u2,u 3 ) on ssoci e

0p

f(u) 1 —1 u . n.1 2n n

1) Vérifier que f est uae forme iinéaire continue sur E et calcuter IflEs

2) Peut-on trouver un éllment ulE. E. tel que

Ilu II=1 et f(u) ?

E un a i v.n. dr dímension iufinie.

1) Montrer qu'il existe une base ulerébrique (t.).lel

de E telle que

-1

\lote 1.

On roppelle qu'une base algébrique, ou base de Hamél, est un sous-ensem-

ble (ei)ie, de E tel que tout xe E s'écrive de maniare unique sous la forme :

x . x.e. avec JCI, i12.1 1 1

(Utiliser le léeme de Zorn).

2) Construiré une forme linéaire sur E qui n'est pes 'continua.

3) suppose de plus que E est un Banach. Prouver que 1 est non dénom-

brable. (Utiliser te Iemme de Baire, voir lemme II.] du cours).

1151 Soit E un e.v,n. Montrer qué tout hyperplan de E est soit

soit dense dant E. (Si f est une forme linéaire sur E qui n eet pos continué

on pourra montrer que f ((xo,r),) Yxo E E, Vr > 0) .

a que E est un sous-espace

des suites qui tendent vera O,

y 1.5 1 Soit

1

-

E

n L r L J Soit E un e,v.n. et soit CCE convexe.

1) Montrer que C ct IntC sont convexes.

2) Sclienc x e f et yE Int C ; montrer que

tx+ (1-1)y.C. Int C YtE (O. I I.

3) Et déduire que si int C*95 alors Int C.

I.8 1 Soit. E un e.v.n, de norme E E. Soit cc:E un convexe ouvere tel

_que DEC. On désigne par p la jauga de C (vi ir lemi-ne 1.2 du cours).

1) On sunpose que C est s yaltrique (i.e. -C C) et que C est biNrné. Nein-

trer que p ett une norme sur E et que p es C. equivalente á II O.

A

1.7

1 Soit

2) on ooptid1re tiaintenent E C([0, 1 ]) muni de la Tit rae Max 113(01. 0Ei0,1] 1

C de {uEE ; - o 12d t <

a

Vérifier que C est convexe, muvert, symItyique et que O'C. C est-t -1 ?

Déterminer 1 ¡auge p de C, Mcntrer que p est une norme su'r E ; est-elle équi-

valiente A II d

R4hn-Banach em dimeneion

Soit E un e.v.n. de dimension Seit CcE un convexe, non vide, riel

que 09C.

Orx se propase de montler qu'il existe toujo:urt un hyperplan qui slparv C

et (O} au sens large:

Noter que

i) On ne feit aucune hypothZse supplémentaire sur C.

Tout hyperplan est fernI (pourquoi ?)].

1) Soit (xdrovi un sous-ensemble ddnoenrrable de C, dense dans C. Pour c`im-

quit u on pose

ennvfxx x 1' 1

4

1 1 1

r Jm.

(Le . l'enueloppe Ct.:VI...e:le des pOiTILS Ki ,X2 , - ). Vérifier que C ést eón-

vact et qué ] en. e5.t dense dan5 C.

Montter qui 11 ex.ist1 fn

E' te1 que

t 0 1. 1 et <f n,,x> ii Cn.

3) En d duire qu'Ii1 existe fEEI teL que

f fl 1 et <f.x> O NirxEC.

conclure.

4) soienr A er B deux sous-ensemblem dé cqnvexel, nnn vides et dis-

juints. !loritrer qu'U existe un hyperplan I I qul sépate A et > a u 5ens large.

FI-101

E un e.v .n. et soit I un. ensemble IV indice9. CID se donne

sous-enser:51e .:1..) — de et un sous-ensemble (adiex MontreE que les

deux propríltt-s suivantes sant lquiválentes

(A) II existe fEE" tel que <f ixi> a a. Vi E 1_

(B)

11 Eiste une con5tantl 14;10 tel La qué pnur touté part it frie

et toste fazilie de z-ée15 112..7 on a

1

ti- p e.a".im o

je y O íx i l

íGJ ..1

E—hontrer que peut cboisir le E' avec II r II c ,‹ N..3ans l*implicatinn (B) - (A).

(Mur vrauver que (.8.) `;` (A), on p.ourra. ccualencer par l i es-

paee vect.Oria enCridr1 par Les (x j»..0.1).

71i sclierit E un e.v..E... et 1.1> 0. Soient (1i) u<5.11 n álétaents de E' et

n n r_els Montrer que Les deux propriltés suivintes sóin lqui-

valeutes

Yu>0 3x E E tel que

(A) fix 1:1 M+e et c a. Vi- 1,2,

(3) I,12 i1M o al rlels.

i 11

•1 1A1

a

(FOur prouver que (11) (h) crn pourra Cummencer par supppser que les (.,) sont

linairement indépendants et a l inspirer d2 la dl=stration du lemme 111.3).

Comparar les exerciceS LEO, .1.11 et le lemme 111.3.

1032 .1611.1:101-1- r.1.. 4.1ry2-1

(1:rri Soient r unespace veCtoriel, fl,f2, - p En n formes linlaires

sur E G.E a l, a t -ER lixás. Montrer qua Ies deux pro.priéts suivunte5 áont

Cquivalentes

(A) 11 existe ): E tel que fi(x).-csi. VI- 1,2,-.,n.

Peur toute suite 9.1 ,62,--,Bn de R Lene. .que f 1

e la..L -

- 1 n 1-1

on a aussi 1,

A. =G. i-1 "

7711-1. Swit -R11 ; orF pose

{xgRil .>

Soit hE un sama-espaca vector iel de E tel qua

n co)

Móntrer qu'il existe un hyperplan H de E tel que

11= H tt H n P (G.]

(On pclurre cormi.ericer par prcuvar que 1.1 I (I Ton pe.),.

1,=I4 Soit P t i (espace dts suites soy railes voir ezerc ices du Cha-

pitre XI) On Considre les deux eriGetbl.es

x= x= (x )r>1 Cl • x =0' v-i.> 1/

Y 'I I" ( Yn)r>I E ; Y2E1 • rt 51 211-L VQ> 11 '

1) Vérifíer que 1 et Y son: des wus-espaces Eermés et montrer que

X *Y = E.

L

- r 1._

r 6

IJ

u

u lJ

2) Soít cE E defini par

e 2n- I = O `fin> 1.

fe 2n

VIO t. z

1n 1

Vérifier que e .X +Y.

3) On pose Z * X - c. Noter quo yriz=o. Existe-t-il uo hyperplao feroa

de 2 qui separe Y et Z au $en5 large

Competer le r¿'-sutt2t obteau á celur du rhéoréme 1.7 et á eelui de 14exer-

ojee 1.9.

Zeprendre les munes questions dans E:=1.1:1 , 1 VxEC}

r **

C t'E ; <1,x> < 1 VI E C 1.

*ir _ 1) Montrer que C =C.

2) Qua pcl.Lt-on aire de C lorsque C est un sous-espzce vectoriel de E.

IJ

Soient E un e.v.n. et f El avec f O, On eonsidlre l'hyperplan

d'equáticn. 1f On se propase da montrer que pour tout xE E on

I > (t) dist (x.H) = Int

r x •

YEH IIfli

!) Vérifier que 1<f,i>1 C fifil dist(x,H) v:‹EE.

<E i x> 2) Soit u E 2 lig en noterit que y - H, an..ntrer que <5,u>

dist (x.1.1) < <flu bit V2cE E .

3) Prauver (A).

4) Uterrainer I et Yetrouver (') á l'aide de la formule (17) du Chapi-

tre I. i.

5) On prend mintenant E* {u E C ([0,1 ]} ; u(0) =0} et < f pu> al I u(t)dt. 1 0

Montrer que dist (u,H) * I j u( t)dt I , VuE E. O

En déduire que si uEE et u4711, alors Influ-v: niest pas atueint, 414

E E

17771 vIrifier quu les foactions 11R..-* CW1iniES c£-essous

sont ConvexeS S.C.i. et détermrier lea Eonctions ConjUgu.é.e (011 pourra aussí

traer les graphes et hachurer épigraphetz).

V a) W(x) • ax +b avec a,h€11.

b) t,p(x)=e11.

•-• d) (P(1)

e) 14)(x) =

E) =

x ) =

/b) i(x) =

i) 9(() •

j) 9.1( x ) =

x

v..+mtrax(x,0).

Ip x

oE O oil 0<pi< I

sL x < C.

L) 11'1(X) NI 1( 011-0+? oª |<p <cci, p

my] soit E un e.v.n.

1) SuiéLIL : E 1-de.,] des fonctions telles que (poll:p. Montrer que

t *

2) soít

]-=-,+92.1 une fonction convexe s.c.i. selle qi- F(0) O

ce F(t)>O VtEit. pose kp ( y.) F )

Montrer que 19 est convexe s.c.i. et que 411. (f) =f(.If 10*

Uta E E. e avec 1<p‹Cce, (voir exerciees du Chapitre XI). Montrer U.:171

que les fonctions (pi. E 1..,+.) définies ci-dessous sont eonvexes et

déterminer les fonctlone conjugu615-

on note x = NI ,x2, - ,xn,--)

1

44r1 1111

/ OCki2 si 1 III 1 2 <lral xic

b) = lxk i k k= 2

(vérifie.r que tette serie est convergente pt.ur tout x E E) +111.

l xkl si lxk! <4'21

c) i.i(:1) 1 1‹..i I

sinon,

Soient E F. =112 et C {(x1,x21 xl>0 ftt. X2)1'0. EI.20

Qn dIfinit sur E la fonetion

- 472 XE C

+. si X9 C.

1) Montrer que ti, est convexe s.c.i. sur E.

2) DIterminer 0

3) Cr introduit l' ensemble • (Union] ; =01 et la fooztion **Ir ;

calculer les quaotités

Inf{Lp(x) +Ex)} et Sup { -q (-E) -1 (f)1.

XEC fEl

4) Comparer á la conclusion du théorlme I.l1 et expliquer la diffIrenee.

•

+14 ainon.

SoLutt E un e.v.n. .et A= E kifi ferm& non ville• en pose

1,9(x) = e.ot ‹):,A) = ii.í I! 1%-a 11 . alA

1) Vérifiet que 1.0(x)",p(y) 1 x -y a Vx,y E E

2) On suppo.le que A est convexe. Montrer que tp est COUVCX.e.

3) inversement prouver que si 11 Ctit COLIVeNe, A est comexp,

4) blontrer que 0 • (IA) + E t

(pour tout A, nrn ncessairement coolvexe).

1.22j Iaf-convolution *

Soit E un e.vin. Itant donnles deux fonctions wip :E -4, ]-,0,4--) on définit

1'inp-conr.5ZutUin de ro et 0 de 1a maniare suivante : pour tour xIIE on posa

(P v (x) rof {1P{x-y) «Y)) • YIE

Ot1 r2narquera que

i) CPVI.1)(x) peut pretdre valeurs

(0v ik) (x) <4.u> 51 f LeUle1:1,27: 1- 5j- Ice D(1 ) ci ( JJ) •

1) Dn supp,ise D((..? ) )*O. Vérifi.er que. (1,7 1:11..) ne PI-ZTIC1 jai

valcar at, Toontrer que * k

0.2 12 %.2 •

2) On suppose que D(sP) n D(1) ¢ . Montrer que

* * k (1„9-!-1.5)< (q V ) sur El.

3) On supposo que IP et sont et qu'U existe xo .e D(45) ) tel

que (1) solt continue En xa. montrer que

0+0)1 ' (IP* 4,*) sur E P

4) On sup pose que 0 et sont convexas sfe.i. et que D(p)n DG) 40. Moncrer

411-52

* * * (O I ) = 0:40 sur E.

Etant dounie une fonction cp : oo pose

lo

tJ

ci

ti

a

CpittL.P= {151:i l}E E x11. ; k.p(x) <)L}

5) 3,révi. (ler que l s t conveXe. si et se.1-51Pn'eU Si ap151 Ersl 51)11-1 5-en-

sernble COUVeXe de E x11..

6) soient 4.11,14, :E -cn,-HEJ des forte tions [elles que D(1.15*) n D(1,1) .

Montrer quc

epiát(1.15171:0) u (epist 1p) + (epist .1)

(nette 51 e end. .311 sens de Vaddition alObrique sous-criswaibles

7) En dÉduire que si (0.1,1? spnt des fone lierss corve:ces tintes

que El (ip )• n (14, )1

▪

1.S5 F alors (1p911,1)) est une ro riction eXe

I.23 1 ,F,Vgz.11.4.2-2:5ation par inf-cor.vauttion.

Soit E un e.v.n. el eQiil 1.P: 1-i41 1.01] une lunctiml comete

te l qbe -. .repose dE etinatruire une suite de .f onz. t las,- ( IT) Cell e

que :

(I) rour tout : E 1 , 04 es t corvexe et .tonrAnUe,

pour tout. x t, 4.1] (x) ciOnv eroissnril vera 11(x)•

A c. t poSe

(X) = Inf x-y +4,5.(y)]. TEt

1 ) Montrer que peut trouver DI as sea Brand te l

E -4, I Dans t4.ute la suite en prendra n>-9,

que si n> N' RIOTS

Montrer que 1011 est zonveyle (JOit lutxercice 1.22) t que

11Pn(x)-1v.n( i) I ‹n I Ki-x2

suite

3) 1I.5.terairpel' Wiri)

v.lt¡rjer que 1.1:In(%) <1p(X) Vic E E l 11.Dntrer que pour te.ur X E E la

(IP (x)) est cróissaote. R

S) Soit € n(9) ; choisit ynE E rel quC

1pu(x)'Cnilx-y -114)('51 ) r- (x) u . •

Montrer que lim y • x et en di"J.duive que lím(x) i—ii)(-;c) •

Tire, n 11-F°,

6) Pe-ur xg b(Q), izslintrei.- que líti n(x) = -2-u ton pourra ra.isnnner par l'en-

wat).

IA1L] Semí7Frodui t acata ira

Soit L un e.v.n.

1) E-0 t 4.0 : E —I`

funetion

-45°1 conmexe Etánt donnés x,y E› on considIve la

) h(t) -

41(x+tv -L(x) ,t

t >0.

VIrífiet que h est croissante $ur )0,+m( et en déduire que

1im h(t) Inf h(t) existe fans [-c°,4.54. t40 C>0

on dUinit la scmi-prcdwit zwc:cire [x,y] par

2) Montrer

[x,y] =1.nr [ tyll -1! n 21 . - ¿>0 "

[1 .-"E [ n `1; II XII y

3) 1.1;.¿Intrer que

CX 1•xh 2 + Idxsyl Vz.c,yG E. Nrk En, 1. o

et

[kx›Py]•;',Idx,y] +x, 'E F, VÁ?O,

4) liontrer que your tour xE E, la fan tíos y [x,y) est convexe.

lienatrer que la fonctitin G(x,y) - ['x,y) e$1; sge.i.

5) , Mbutrer que

Max <E.y> seox.y EEE

EF(x)

oü F désisne l'applícation de duálitl (voir eprollaire

sur E x E .

du eours et exer-

ciee ?curra posar a 31 lx,y1 et aNYliquer le théorame 1.11 aux foncLions

et dérinies par

ttl(2) = 111:1:+z 11 2 - x r, 21 zIE 1 et

- ta pouT Z ty ce t> O

+4 silleurs. 1(z) 1

r 0 lAteumínec [K p yrj lorsque ffillitil Cst rruni da la n'orne DK. J 11 IN 1 P\11? d.'ji i

ave.e 1 p<':ED ou bien fi x Il m u Mala ix. p. lin

(on Pautra s'aider des TéSUltats d 1' exe.rcíce 1.21.

> 251 Norrnoe et fariet.ilon5 atrietentent colipezes.

Soit E un e i v,n, OrL dit que la norme II II eSt strieleMInt COTIVE%e(1) Si

tx. + (i-t)yli <L o 595:s yEE ario y1 1Ix 11 ■ 11 y11-1, Vtl]Or li.

Ori diL qU'une feineUrph q :E est strictement COETY5XÉ 5i r

11(tw,+ (1-1)y) <t1.1)(x) + (1-1)1,Ky) YX, y E E ave} x v- y, l'et E )0, [ •

1) Mtintrer que 1a norme 11 11 esr strictement conveKu si et seulemeot Tri

la fonetlopi ) • II X a 2 És I strictement CetrVeSe.

2) 11.1me question avec .1,9(x) - 11x 11 1 et 1 <p <go.

r711.3 Soient E et F deux espaces Banach tt Selit G' E 1:11 S.Ciu5- 511=07-E r

fenr:5, Sio T :C F une arplication UnInilre ContinliC.

}::pose d r..,Dritrer u1 L 1 niemi.ste pa wujenurs

T :17. r lindaire zontinu. A cet effet on eppsitlii-re nn espece Banuch E ec

sou,...-esp.2ce lerm1 OcE sans supp1émenteire topuIlnique (vlir la remarqlse

du Chapilre 11), Oy. ,:rand F • G et T I. MQnever que T n'aduitt aucun pvolonztoiInt

T :E —4. Y linéalre contínu. (On pourra raisonn2r par 1 r absurde).

Comparer a la cone1usion ¿e turullaire 1.2.

•■■■■.1■.E.i

(1 ) D4n5 ce cd3 Sri dit que E est striclement carmewe.

CilikPITE I

L 1) Noter que l'Istaitl 11 x11 2 entraIne II ?II] II 1 p . F(x) est non

vide d'a,pr:13 l corellaiTe 1.3 riu .ccurp. ti eát ciair 1 gtine á la Esconde fcitoe

de Fix), que F(X) est eninvext et

2) Dan un E i v i rt. strieteuent conveze ur ensemble couvexe, nen vide tt

centeno cians une spUre esL réduit á un .5E1,31 point i

3) Eoter qi_te

1 2 1 <fi y> < f U y 11 <71If fi +721,11

2 .

Inversement, vippcsons que

(1) y II . leve E.

2 2

(1) on elLeisit d'aberd y 2C avec Ielk ; en faisanL varier 1 t P. viera

J

J <E,,r.> lx:1 2 On elniejle encuite dtfis (I), y av.2c 11 y P >O

11 vitra

<f ,y <162 .1-11 x1 2

Par consIquefit

451I f II - Sup <E y> yE

II y1=6

X i[2

On connIut en prenant ó »

4) Si fE.E'erz) on

Al

et si gEF(y) on a

Ir x11 2 - -1 ylE 2 < <gpx-y 2 2

Par adclitic.in iI vient <f-g,x-y> > O. Par &j'Acure on notere que

< f-g,x:y> = II x11 2 + Il y1I 2 - < f,y> - <g,x>

>11x0 2 +11y11 2 -21xE11yg.

5) D'aprls la question 4) on sait dája que lix.11 = bit . D'autre ps-rt en a

<1"(x)-F(Y)1x-y>. [0)(11 2 <r(X),y> C 11)(11 2 <F(y.),x>)

et les termes entre crochets 5Drit >0

Don:: 11 x a 2 Ni 11 yll 2 1.<F(x),Y> < F(Y) ,1>

ce qui implique F(x) E F(y)

fi P ari v(x) g.F(y) &dee la question 2).

afll Max 1f 1 ' 1<inn

f E r(x) si et seulement your cha;ue j 4n. or, a

0rbieraire dans l'inzervalle [-1>:111, 411xlii) si. x-= .. 1..

2a) i=1

2b) Etant clonné xE E cm considlre

I= 11 <i‹n ; ixi i = 11x11 .1.

Mora f E F(x) si et seulement si on a

U) fr,1. = 0 Vi g 1.

(i1) f ix.i>0 Vi)- 1 et l [f u i . 6x11 . iet

3) I f El .( 1,1 le.12\1/2

E' is, L i. ,/ I il

et feF(x) si et seulement-si oil á E,1 =x, Vi = 1,2, .... ,n. Plus généralesicnt on a 1

I f 0 = ET ( i If.IPYIPi 1 1 avec -+ -1

i=1 1 P PI i . ipl-2x1. ' . 1 Iix IP-2

P

f i = si x*O'

et f E r(x) si et seuleraent si en a f . , . 1,2, * n

u ErE

149 1 3 '

1) 1 f 11 r

h 1 notar ve f(te

) 1.1 a >0 .

1 2) S'.íl existait un tal ul E on aurailit C1-u)dt =O et done u E 1 - absurde.

o

1) Soit 1' la famille des souG-ensenbles de E líné'airement indépendanta.

11 est lacile de vebir Toe P ordonnl pár 1'inclu5Un est indued-t. Gr:Ice at lezne

de Znen. P adoet un - 1.5.mant maxlmal ; at est une base álbrique (ei)tei. Count

e *O Vi E 1, (pul peut les nongaliser, et sumnser é... = 1 Vi- E I.

2) Corone E est d,2 dfinension "J'Unja. orL paut suppnserIwL n exiata une

faene 11 aire f (et une sevl e) lene que

f(e i )-i si iE11

fiCe.) =0

3) Supposons que 1 est dlonnbrabIe, i.e. 1 On consid1.1.e Fri =etpaee

vectoríE1 enendré pp.r le$ (e.) > Alorb

•

est feria d: ezfrreien XI

el: U E E. GrZw-e lelizna da 3aire it n=1 11

D' al E. PrLD

-5bsiJrde.

Sbient x, yC C. alorl et y = limyn avec xnkyp E C. bono

O (1' (1-t)y= Lica [tx (1-0y] et par Suite tx+ 0-ithrE VIE 1,O,, ti. Soient

x,yE Int e ; aloes i1 txisce 1-.). O te1 que E(x,r).=C e t 12.(y rT)C. Par suite

tE(K,r) + (1-1)11(y,, r) cC Ye [0,1],

▪ t1 3.(5¿,r) + 0-013.(y,r) =E1(tiz + (]-t)y,r) -

2) Soft r >0 tel. que 5(y,r) C. On a

+ (1-e)Idy,r)c17., Vte [0,1],

e " est-a-d ira 15(tx + -t)y, (1 -t.)rj CC- Par conséquent + -t.)y E InLe Vt [O, !1,..

3) On fixe yo e C. Eunt dogal x E C on a x =(1 -4x + -1 3r.31 . Or n n

(1- 17)514n:1e Int C eE done € Irle C.

1

existe nD tal que r est d'intEr.leur

3

a

E

19111

r

t.

r

c

u

r

r L

y

Pot

L.

L.

On a cinsi prouvé que CCTM ; dora

"Cc Int C.

I • e

1) On s dt dájá que

p(Xx) = A.p(x) \ni> O, VxE E et p(x+y) p(A)+p(y) slifx,yE E.

I1 reste á prouVer que :

i) p(-x) = p(x) Vise E ; ceci résulte de la ayniétrie de C,

(p(x) • o) (x =C1) ; ceci résulte du fait que C est bort...6. Plus pris.cisl-

mont soit 1~> O tü.l que nxli L Vxe C. II. est facille di voir qua

p vxE E,

1 ./2 II u o

On p (u) lu(t) P 1

dt)I O

p est une norme qui n'est pas Zquiva-

lente la rzme u U .

MIL1

1) Soit

(X io .kr ,)k n)E11.71 ; Vi et = i-t J

de gene que P et un compoet de En et Cn

est i t ivage de P par i'opplication.

2) On applique Salla-Baruch, 4.1ela i..upe forme zéoritltríque C et {O}. Chi

normalise cnsuite la tormg 1iu aire associae á l'hypzrpIan qui s&-pare en et 103.

3) Evident.

4) On appliquft ce qui précnie C •A - B.

I . 10

(A) (B) est trivial.

(B.) (A). Soit G P.:space vectoriel ensendzé par /es (•c.) iE1, 2tant dorin.1

xE G on écrit s. 8,x. et on pose 100 41/ Ca •

jEJ " iEJ X 1-

r 2) C n eot par borré ; par em.mple la suite u

n(t) i

hnt varifie u

nIEC st

U

On vérifie, grlice 1.1hy r,c,ti-ise (B) d'HinitIna a un sans et

'que I g.rx) 1 JQ II U a VxE G. la prolonga ens‘Líta 8,1Eál l aíde d'u Coron aire

n7'. 71

(A) -1 05) Est trivial..

(10...1.M.cluniplic,se~clueles(f.)sont Iinvéairement ineMpendáncs.

On pose el v. cc s u) 1E.71' at on conaid.lta P applicatirm p : E —N- dé` -nile I. ,

Pár 115'lx)`('C flpx>i<f2FX > 3 ••• .<£1.1. .x> )•

5.DiE C=11.E1', 1151:‹ hi•hc .!. Crt dlercha á 1nontrer fue E 1P(C). OE IZ i-5ornrk

par l'absul:da et ori 1.1.ppoSe que al 4p(C) On eépZire (P(C) et (z) sens 1 .511-81

(voir E:cariz:Ice existe done o tel eiva

0.141(01:75. 11 . v, C, i.e. < IZe iliix> Ilial x5 C. Par suite _J

01+s) Ii i i II <L t a 11 hypeithaáa (3) =O. Cauna 1.42s (f i )

sunt lính.:terranr. inLit.p.endents c qui t a e Al2. 51—Idt •

Dans le e;3. r'n "2:4.trait deld (y un systL:na ind6pen-

danr rr.lx5indi et on lui .apr.liqk:le ce. qui prts.c111 -2,

i) IL Est clair que C.= skg

tt que C est fermá.

4* IntréiSIortt Supp4SonS qU I il existe xa E C +1 9kke. s&pare INO

et C a szins etzict ; il eX7,13te darte .Egi, et %GER tei que

<f c,„x> <Q,D <

CommÉ OEC, a turs > G ; pasarit Vient

<g p x> < < <f,xo> VxEC.

DeJnic g C et ci, á.boatit á une contrarliati.Dn car 9:1) C•

2) Si C est ion sous-espace vectcrial alars.

C ={. .E' ;<f,x>= Q V:tEel.r01.

1) Voltee quu si yEln, alQrs

I <f,x> 1 -| <f,x.7> 1 i1.f11x-y 11 .

2) Trivial.

3) 1-^Isuite de 2) que

kf u> 1 ‹c.r %), 1 Uf 11. »Sup

II piE díst(w,a) ueE

(I )41. (g) gOlIf 51

(deux KPrintS linháires qui arte le EnZrne ninau 512nt 90 ir

9.P

4)

L formule (17) du Chapitre t •écrlt aloes

dist(x,I-1) •nix <g,›E> . gEllf

11

5) Ori 3.wit (voir oler¿ice 1.3) lile li 21 ei; Une distru,11)= 1 < > 1.

Slinipo2;rib qui 11 in.iste ven tel que disit(u,1I) A.loTs un a

ih.L-71! • ifu(üdti (1,,rgee i(*)j.

Dote :fax lult-17(z)[mi.r[u(1)-V(t)Uti | carlte u(01 DV(e) 2tt2 1.1 .1.1t1 tE[Q, 1]

n'elt pos 5 ible que si u-vE0 e i_ dcFne

-b si e =a a) 40 (f) ..

-,-- si f *a,.

f r)g, f E si !>0

b) (e) - Ú si f • C1

si t <O.

é

e) (f) = [e!.

i) 41 (t) - 0.

O Si

Si C.

e). q> (1.1= . 1 4cp- -1011,1f1 si |<O.

11)

(| i £ 2 ): /2 .

1 2

O

1 pu d si f

O si f <O ,

4-- gi g>cf

--111r1 Pr ■I E .

+11 ¡Cr'.

r.19 I Le5 Unctilm5 conjugwles sont défini9s sur — + 1 = L par : 11

P 1 f 1z

T k=| a)

s. a. ik,((k -1) b) 14' • (f) .g• 2 • I k=

+p. ski

al( f (k -1 )

k-2

sien,

<

4-12 _ (k-l)

EME

1) Evide.it,

2)

•

- I gü A

c) • -)

si E

1 [£L,I2] ; £ 2 et 4fif2>

3) Or. a

1111(0<x5 + (x)}

1 sí,* .i » • tIfi,f .21 ; •0}? • tir,`

eE

(-Z) 4 1. ¥£E E 4

et par suiie •

e Sup {-1,9 (-t) (f)} = 'XI I tEE'

L•es hypotIlLs25 du 11-t&itine I.I1 De seint pas satisfaites : n'exilte

pes d poin't e E tel. que 4(:)<1.-, p(Ec) <+- et EP continua en xo.

On a

E x-a II < II x-y II + 115-3

preriant les In! vient $[e}« v.-y II + k.P(y) Etbangeant x,y on obtient iELEA

ILP(I) ~My) x -y

2) s'olent. le.,y€ E et t E I0,1] Etent do nnª > O iI existe e EA et

beA tals que

U -a ] <1,9(r) + E éC y-b .c.p.(y) + .

LI2nc

(1.-0 y - t La (|-t )13] II .1 up(x) + (1-'013(y) e.

Cr [ta + (1-1)ni E A et don

5I(tx (I-t) ti,P(r) + (i -t)q1(y) + VE>0

3) Carrime A est fermé DD a A {kE E | 1.1)(x) et done A est tanvexe

si est convexa.

A) On a

. • (E) = Slap{ < f - Inf II yt-a II 1 E.

geE agA • 2x]p sup{‹f,x). - 11x-all!

)...EE AA Sup Sup{ < .3; > - al :4 E

- 1.)* (1.) + IE (f). Er

1. 22: 1

1) SoiL ferp(.p#1) n D(17) On a Vx r y E E

< „x-y > - 11)(3.:-V)

<f,y> - 41 (y) <011 (f)

et par addition vient

0-9 IIP) (X) » < f > IP (f)

En. particulier (951 1) ne pren4 ja-nais la valeur On

( (f) Sup{ <E,x> Infrw(x-y) +1.11(y)] } wEE yEE

«Sup Sup{ 4,9(x-y) - (y)} gEE yEE Sup Sup{ < f,x> IP.(x-y) - (y) } )E rp (f) 1.11* (f)

2) Remarquer que (04-2)

11 a'allt da. ylr.ifier csue Yxe F on j

• < f

> - 449(x ) Lj, (1: ) f-

Ceci est 1.1.t:ide.r.r sí l'on écrit

f-1,7x>+<gpx>.

3) Etnne donné faut nontrer que

(1) Stip{ <fpx>. - LP(x) -I(x)} . Inf {011 (f -g) + 11:1. (E) } , ZIE •OE'l 9

Or 1

Sup{ < f 1 z > - u(x) - 1.5 (x) 1 r- - Ird {";',2 (x) + qi (i.:31 xEy. aEE

avec 441(x) .1.0(x) - < f 0: > .

App1iquant le thálirlmt 1..11 aux fonctlors j] et -4:.. on obtiene

,-,. r ...-It t , Inf to(x) + 01,x)) a Sup 1.-(p (-a) -.0 (g)1, itlE su{

ce qUi currespand précialment á (1). n

9 en a

U

u

ci

114 4.911 )11 (x) - sup < 1x) - Ltp (E—g) (g) 31

rsEi gE

P. Su p. Sup <E,x›-dl(f-g) - lir<s))

Sup x > -g) - (g)1

1,11" * go** (x)

5), Et) c.t 7) sont des questions faenes.

L. 772-51

L. on sajt {Noir prelpositio.n. 1.9) qu' il Existe LEE' et OElk tela que

14(y» Vy E puend n> if , on a qle.(x)?-nIIKII-C).-w..

2) La Ewnetion gpri est Virlf-crinvolution de deux Eorsetinns convexes ; elle

est done convexe quEstion 7) de l'exetcice

5,pin (x1 )-rinti(x2 ) 1 ‹ n 11 x1-x2 d DU raisonne t inmune á 1.11 quCS-

tiani ! ltexercice 1.2!,

3) ) +49 srált la luestiz,n 1 1 ¿e llexercice 1.22.. rt. n$ E ,

5) IV E:J.1,113 la .qua tior 1) pti. a 1451,y) -1E1 II y II - C, Vy E. Di 5:11 vient

n II x-yn II < !I II yn II +C tP{x.) +

Ork d.éLluit d'abtirCI que IIyn ll restP. bDrfil guara t. 'Sc° et país que

111011xy (Ji dipu¿ tp(x) ›L.D(y -- et con-n.9 la forbIti0E1 1.11 es1 S .e ji 1r~

ca. tiro ip,(x)›.(12(11). trk. 6) Supposgns par l'_ Jsurde qu'O. exisn arta constarite C Lene q'

V. On choiint y co=pee la questiun 5) EL GEL volt qua1.. On y —

et d.j,ne wr.x ) 1,pryn)<C ; ce qui €St absurde.

U,. •

Pcur ctlaq ue t >0 f ix la f.brietIon

u _ y 1-1, xi-ty i! 2 - o 2]

est eDuvexe. Done La foneticin y tx,,y1 est conexe cc .e Ifirlit.e de fonctio.ns

G(x,y) = $up - 27 x+Itya -1: 2 ] est cae sup t>0

de fono .L cumtinues.

convexes. DT d tre

6) a) a . Ilic II P-2

P t) 2211, tx,y1 12 11 }: 111 { 1 (Sign xi)yi+ 1 ! ,v, 11 .. 1

i 1

c) p [K,yr]-Max(x.,y.i. ) ot..' I- {1 irL ; [nil

1 <E,ty> 2

et donc

D'zkutre part on a

et

bc,y1> <for> vx,y€ F., YfEF(x).

I I (f) 2 -<fix> 2

1 o si <f,y> +n40 #k (f) *

11 est f acije de voir que Infhp(z) +1(z)1 -O. On dault alors du thétt- Ime WEE

«1.1 existe fo E E P tel qu qii (f0) + 4 11 (-fo) .• e l est di re <fo,y> DE a et

1 I 2 <fo,x> I1 en résulte que Ufo!' fix II et <f oix> xE 2

du.ne f e F(x).

• 11

1. •

abIL1 Soi:t T F .in prolongtmértt linéairÉ tontinu dc., T. O vérifie X a ais,%erit gin. E N(T

•

)

▪

+ G et (Y) n G{{:11. Dono N(T) scirait un suPpl.laentaire

copologique de e - alisurde.

<f,y> +EL>i).

'1

lJ

•

CRAPITPE i/

LES THtORÉMES DE BANACH—STEINHAUS ET DU GRAPHE FURME,

RELATIONS D'6THOGONALATÉ: OPÉRATEURS NON-DORNÉS,

NOT ION D'ADJOINTI CARACTÉRISATION DES OPÉRATEURS SURJECTU7.-S,

contiruité del .ronctl:0?:t

Soit "..7 un espElce de Banach et Boit 0 :E - ] ] 1.11bc fOrLCtíCl. Celrxexe

3.c.i. Soit xc e Int D(4.

1) Montrcr qu'il 6145te deux const.tnrts R>01 Lenes que

r kpi(x) VxcE E avec !x-x.0 U R.

L.. pourra introduire las ensembles

n ; p et 11(x)‹nli.

2) Iktcyntre7 qui?. Yr<1, L 0 tel quo

.00:1)-(,9(x2) x1-x2 , V.19 ,x2 E aves II -DED r , .2.

Plus précisément, on pei.t choisir L

r

E que

Soit E un espace vector'...1 et soit p:E — 11 une fonction

i) P(x+Y) Z p(x) P(Y) Vx,YEEk

pcur xE S fixé la fonction peue) eSt cQrtt irme e R da.r.e

ni) si una suite (xn) de E várifie p(xn) --N O, alors p().xn) 0 pel.z. tout

>LER. r

Montrer que si une surte lx ) de t v1-rifie p-(xn) O tt si int sLi:te

L

(d) de Y1 vérífie cin

alors

tant

p(eln ) --h O.

¿r.nnl 5.50 wri. pourr:. Ittre.duirz les ennerbles

EIT7Y1 Soient E et F espacts de Barsaz.h. Sede a(51,y) :E x F —5, 11 une

[n..] St,it E un aspace de ranach tt soit (É ) une suite

tif3 te11e que 'Dm(n

O.

SoL} (fn) uné suite de E' v.lril- ía17,t la propriétl

da wi2eis

a. Que

'kat ic.n. D9.) c E —I E' aPP1

F a = {1.ER

IrDi Soianc E et deiux espaces da lanach et soiit (Tn) une suite de

:(E 1 F), Or supposie que peur duque xE E, T x converge quand n verv unÉ

wirelfinite r>1

IlipntreT ve si >in x dans E, alors Tx dais F.

forte bilirlaíre cene que

i) pour tout xE E fixé , l'application y q--I- est tontinue,

ii) pelir rout -/C-F fiYé, 1'epp1inatIon x e(chy) es¿ clAtinue.

Y.entra7 qu'a indste une canstarAt nkell talle quv

vyCr.

f In pwi rr¿, irty-1.-Llirl un uOrztawr T :E --... Fl et proLver T rlut

opftracur r4 sr'ke

Li

ri

u 0

u

›.1

y77E1 Oplratow$ ponotonw locaIendlnl bórnplo.

Sien E un espace de Batach et p(A) un SoUl.—eft.5.1mbIft de E. On die qu'ffire

est mor2tuno si elle.v&rírie 1

3r>0. v. e. E avec :: wIl < r i C ( ) el t .e 1 {

<f x> < e 11fn

II + Cex.) pour n.

tOn ligurra introdulre n =

Mzeitrer que le suite CEn) est tiorna, fn

+ en 1: t n 1

.<A31.-A-jf,x- y> >0 Yx,..yED(A),

]) Soic x Int ti (A) . mr,,utTer qu' i) elds.te deux constanICS 11›.0 et e '

tepes que

a Ax IL <C Vx1,1.)(A) aveQ. O x-1.0 r < R

[0:: pourra rais.9nner par l'ENsuyde et tonstruire una suite Ixn) de CICA)

II t.ó1Ie qu2n

xo et II n

--m T. Choisir i> 1:1 tel que B(xw)<:D(A.). Utili-

ser la mcnotcnie de A aux points x et x04x avIc Hx2<r et appliquer l'exer-

cite 11.5].

2) Gáne'ratiser 1.(1 asultzt de la question práadente xpe Intreonv D(A)].

3) Gri.c.3.1.i.ser le r.ésultat de 13 gueátion 1) eu C35 Mit tiVDCIlie. P C5t-l-

dire qU par E DIA) AX. est Un SoUS-CM.Emble =I71 Vide ¿e E' ; la rew-

tioníe s r e<primie aloes par

< -gi.x. y> SerX.Y11:3 (A) r i•EAx, Y Ay..

nat 0 a ) UDC luite de rtslls ct swit ]114Z-, ifn, suppulle que

) de 2.P ,, di..1Dr5 1 I lx I <`"•• R

14Dritrer ql.2 a E 7...P

II:Ft...1T 11 d6rinitien de P.P. vcir emareices du chapitIe KT)

soit t un espace de Banach et soit T :E y E' un opérateur linIaire

te;_ que

<TX,K> >0 Vx e Fi.

Moncrer que Test centinu

[On l'tablira ce r¿sultac par deux pi&thedÉ$

(i) Utiliser l'em'rcice II.6.

(U) Appliquer le thorl'ime du grépbe ferpfl,

M:71 Scit E un elp.r.ce de 5..11-12c1-5 et s.c.ít 7-E -4- E' un ol.D'rateur

aire tel que

<Tx,y> «.<Typx> VxpyreE..

1'lontrer que T est continu.

1:4..10 I Soient E et F deux "paces de Banach et soit l'E.C(E,F) . en suppoE¿

que T est surjectif.

1) Eoit !4 un 54115-eftsemb1 e de E. Móntrer que T(15) est fetmé dzns 7 sí et

seu.lur,ent 5i t.'1 1•N(r) eS fenn4 dan E.

2) En déduire que si M est un sous-espare vecturiel de E et si

dice, yen <co, alors T(h) est fihrtié.

ULLI saient E un "pare dft Sara' h ' v.,L1 et. CML) On suppg5e que

T est surjectlf,

Mbatrey qu'U. e i te SEL(F,E) tel que T 4, S g. autrtment dit T est

inyer.J.ale á droLte.

02 ?es i-fr11:qucr 12 11-15,cre 11.:0, 1Sis chPrchAr h explinitement S en

la Voae calzm:qua da L1 ].

II 1F.

Uít T17.£(E,F). On zuppose que R(T) est fern ot que dim Ort

considlre sur E une autre norme 1 !, plus falible que la non -le fi :s i.e.

ixi<1411x3 E WEEE. montreT qu'il exista une constaue C telle que

Ex1E

4C(lindiF *15t1) Vxe E.

len poLirra raisonnez par l'absutdel,

EAL So.ient E et r deux espaces de Banaeh. Montrer que l'ensemble

ri • {T.E.t(E;F) ; T est invcruible a ¿atoche}

est cuvert dan :(E,r).

[On pourra commenc.er par prouver que l'ensmble

{Tex(E,F) T est bijectif}

est ouvert danl X(E,n1.

se.

1 !'l " I Solcut E et F deux espáCeS de Banneh.

1) Sol_L TE£CEM. que R(T) est ferm.1 si el sOutiftlent S l il existe

une constante C telte que nj

L

r L

E

r

ri

r

r_

L

L

díst(xj.:91) L C II T II Nix e E.

[CID pourra uLiii.s r l'esp3cP. quoti:ent E!N(T) ; vuir cxerwicc XI.,

Z) BU) cE '-'1" 7 un 45p .re.teLice uluri.-borne et Montrer que RO..)

.1s.t ferrel s t et seuli=ment 91 ii i¿xl.s.re une constante C telle que

di.S.r. (11.1'2(A)] C. II MI 1.1 VLI CA) .

[On. pouTra. in.tz-duí_re l'opIrateur 1' E0 F avec E0 - (A) man 1 de la noma du

Gr.pp!-.e. T:.A et appli.locr la question 151.

501.1.nu El, F. et V tr.pis clpáleS de Banach. .S0i ene Ti F..e (1:1 j)

Ta .q.C(E7,r). On surpose que

1(.117; n F“.1. 2 ) 1,0) et k(71) bRn5 - F.

llontret gut: Rcr1 et Rer2) scrit fe-m/9.

[:11 est util,2 d'Intru.:_ruire l'applization T ztím[:2 dgfirde p9r.

Illc1i11 211 .1r 1:1 + TZx¿i

fr:76-1 Suit E un espace . de Banoch. Soient et L deux soils-espoz.fls 1.er-

oL15 de E, On supposo qu i n exitice elDn5t.s.nte e t

dist (x...G n Lj ‹c (K,L) vlIE

tiontrer que 1 +1. eAt

- .11 1 de aorta que (vnir ex.árnines Civapitre 115.

On 1,1= co co un sctis-espaTe feri de V.

1-.).1teritiner

(xer <E,x› -0 vfc.±.21 et

Efe {f ; <f,x>= o 1fx1111• .

L

virilier que lq *12.

Soit E • C(10,1,1j) muní de sa norme usual Le. On considare l'opéra-

t.mir A :D(A)=E E dIfini pzr

Da) =C1 ((0,1 1) et Au • UY á

1) Verifier que T:14A) •. E.

2) A est-L1 barrí ?

3) A est-il ferwl ?

4) OrL considlre l'opérateur

B D(E) E --> E défini par

DeB)=Q:2 ([0,1]) et

B est-il ferme ?

11.191 soient 2 e,: F espacal de Banca dt soit A :D(A)=E F un

oOrateur non-born1 aves J(A) E.

1) Zontrer que

et * c• 11(k

2) en cuppose c:e plus qua A est ferarl ; Toontrer que

11. I

15,11CA) I. R.(1; )

Or. aborden, ilirec6erient ces quÉttions z.43.ns chtrcher reproJuire la cilmerstre-

tion da eornliaire 11.17. Baur la question 2) on pourra taisoniver par l'absure,

considlter R(AIr

)1

tal qul tu,03 G (ft) et appliquer 11.2hil.-13anach.

1 Soierit E un e.gpec.E de Barsach et á D(A) í.; —I,- E' un operatPur

L'orné aves LO) = R.

1) 011 suppo.e qui n <zxiste une conste.nte 0 telle fue

(P) ‹Als!u > C Al: El 2 Vu E D(A).

liontrer que l'.7.(A)c',‘Z(A ).

2) Inversement on suppose que ti(A)wN(A ). Montrer que si A es t. formé et

si R(A) est fern6, eters fi existe une constante C cene que l'on ait (V).

Soient E et F deux espetes de Banach, Soft TE“Ein ee soit

A t D(A) c: E F un opérateur non-borné, fer=6, avec RÍTIT= E.

OR oonsidre 1 4 oplreteur B El(B)c=E F défíni Par

D(B)=1)(A), B *A+T.

1) Nontrr que 11 est fenné.

2) Nontrer que D(.G ) DD(A ) et A +

M.2] Sait E un aspare de Banach de dimensión infínie4 On fixe un élé-

ment a E E. av50, ainsi. qu'ene forme linlaire f : E -4-1ft non continue (de telles

formes existent, voir exertice I.5). On considlre l'opérateur A :E E dIfini

par

kx.•x-f(x)a, xEt.

1) DIterminer E(A) et R(A).

2) VA) est-il fer1.4.1 ?

3) DItetmincr A (prIciser avec 20in UA ))

4) Déurminar 1.1,(A *

) et R(A ).

* 1. 5) Cp!...par,:x N(A) et ) a) ns i qu.~ no, ) et R (A)

1 .

6) Cordr.pnu¿a les rIsultat3 cbtenus avec ceux de l'exercice 11.19.

ni= On se propase ici de donner un exemple ,l'opéra:eur A : D(A) c: E E

nr,,n-borná, ferrn; avec D(A) -E tel que FUI-L )*El .

Soit E L1 , da sorte que E' On considare Itopérateur A !D(A)CE E

dIfini par

Da) = {u m (un) e xi ; (n un) E 01

et

Au (n u . n'

1) Vrifitr que D(A) F E et que A est termá,

2) DIterminer P(Ak), At e: D(, F)

•

•

;

nj

Soit t un. es paca 112 15a.ná.th t suit T'GZ(E), G ra.ppelle - voir

cotollaire 11.17 - que

Nen DR(1 . ).

on s propase de dc.rmer un exemple OCP cene inclu.sion est s.:ríete.

soit E -.1.1 de soy e que E' &k. 01.1 considl-re VolArateur l'E.C(E)

per

n rs>I

Dé!cerminer KT), N(T) , r Der4 ) e t

ILUS So:ient E, F et C tris espaces de 111,2nach, 'Sait D(A)

ephateur Rvec D(A) = E. Scit Te+C(F,G). .01-1 considiLre l'apr:rateur

T3 1:1 () e dbfir.1 par T3(73) ■ D(A) er B.-T a A.

o D.r.ters.dx...,r

.p.le 13 piest pas ná'enssaire-neilt 011 /99 5 i A ptzt

VE.16 Soi.:ne E, F et G r i espaces. de lbmar.b.

it I) Sien eL 2E.e(f i G), i.o.ont.ner ‹.: Je. (5 mr

2) Cn 512.1.411133.12 que T'EX (E, P) elt bijnt f Iluntre T est bijlttif

et que (111)-1

Saient Ectr deux espa.cns d Benac.li at SZeit IZJC(E,11. Sd.t

14' F "HE' une .E Q ti 1311 e4:1 r-Ve XE seppose qu'u]. .e.r..1.zte ue, poirit dker)

oil est .rinie nt apritímre.

en pose

W(x) = (Tx) x E E.

Eontrer que pour taut E F' *u a

* * EP CT f 5 (f -g) = piin .* (f-).

geN(T* , gEtl(T4 )

11.27

3

3

3

r-.

r-

E

c E

r•

C1-1.APITPE I I

(m Quitte faite une transiation en pcnt toujours su:31.- eser que xp =G>

1) Boit { E II x II ; cin choisit P >0 assez petit pcur gua

KcD«,p). Les en5ecnblea FT'

sone ferms er U Fn

lrr aprr., le lt uné de pira rt

il existe tio tel que Int(Fn ). wi CE PI dp i >0 veis que .111{:c ur p i) wr

• soit ineiutenant x E E avec Ilx1 <-111 ; cit.- -f,,x;+2x) et 2 2 2

done I 1

004 117 110 + 714)(-xL).

2) Il .1,'E E et [ai li tris que P. f eC txi (I-01. On a

ti r

.14>N2 1:LP ( ) t)11̀

et par svite. ,,p(x2) -.;r(x1)4(1-L)Dv-r.p(y.51.1i

or et par II. ( -1- ) (7.-1) 7 d't5;:1

1.45(x2) -zig(i•Ei) <j21

D'autre pan si 1. 'on prerd x.2 -O ri vient1.:1 II et

11-ts x, II 1 +R --- 7'

obtient atora <J(0) -115(x 1) <4.E11.••krir:x113 et par siii ce - 21M

[ira Nottr que les F sont fetuDI:s et que ti F Crátc

Zaire, i1 existe no tel. que Int Vti 71. 45 Vorie 1_1 existe ko CE et >e te11,5 qul

ip(0.0-ht)xj1 Vk>ria i lit avec iti <1.

15-

ti

Wautre part on note que

P (a kxy ) P[('0"k-a)xid p (akxy)

Done Ip(0.0k)1 <2e pour k assez Brand.

p((o-).0)x.kli

pi(xu—a)xlc)•

=1 Grace I on pelar introduire un oplrateur 1inéaíre

T —hl" tei que e(xiy) * <Tx,Y 5F l i ir

Ii a t eglt de prouver que T est un opfreteur bórnaj que T(BE) est berné

dans F I . Graze au eorollaire 11A fi suffit d fizer yeF et de tanntrer fue

<T(Es),y> est bern1 ; ceei r4sutte de fi).

r,

1) on 2 <Ay TL

- A(K0 +>,), xn-x0-x> et ar.L ‹Aznix> tn 2Axr): C(x)

avec en • E xn-xo 11 i t C (i:) • ilA(x0+x) U (i t II y ii ) (en 5uppesalt quti4 1

Yr,)

ein d5duit du IL5 gut !bl.xn ll ráste bota - AbsuTde.

2) SuFpcisz,ns qu'U existe une cuita (x rt) cl.o. 1)(A) tenla que x x

d On cho:_siL r>0 tel que B.(zo l r)enenvt(A).

Denc si X5 E avec Ilxi<r, on peur_ étrire

ta el

xo +x• 7. tiyi avec ti>0 Vi, i ti=1. et

i1 i•1

yiE D(A) !, V

i•

(nen entendu C.1,y et m dOpendent de i‹.). On a

<Ax n nI -Ay.• x -y.> >0 13

e At done t.<,U 11 -v- > > t. < y...x -.-y,>. Paz eenle.éluen!: il vient j 1. n* n • 1. 1 i n 1,

a

<lan,

x1 -x1-x> > I t. <Ay,,x -5, >. . u i. t L z 11 L

1- 1

< ¡Un>

zc> .1 en

!Lean

1 1- e: (x) ' L_J

avec en

Pp 11xn-x0 II et C(x) =c. aAy. W( 1 + xiinri ). 111 iI "

1:4

.51 3) Seít %E Int D(A), On =urce ee=e á la question 1) qui n. existe deux

constantes 11>0 et C telles que

II f II 4C Vx E D(N.) arce x-wo N <Ft et f C Ax.

i1.71 Pour xE 2.1 en pose T x gi yoixi , de corte que pour cheque x e eP, i.ti

Tnx converge vers une limite. DI aprls le théerlme de Banach-5teinheu5. U. existe

Una constante C talla que

iT12X I, C x VxE ."1.1> RP

n choisissant convenablentnt x on voit que acjf,P1 ee gola , LP

Néthodc (ii), V5-vitiens que le graphe de T est terral. Soit kxn)

une suite de F. avec Kn x et Txn —I. f. Oa a <Txn-T5r o x -y> O et a la licite

<f-Ty 1 x-y>>0 VyeE.

Chol.s U:sant y + GZ avec t EIR n ¿E! on v i.t que

MIUDJ

1) Clia -1.u.7..pc12 d'abOrd que T<Y,) est fernl, facts T-1(11(r-9) est rer=35 ; or

T-1 (TO) •. 11 + E! (T) .

Inverse=ent supposons que hl +11(11 ) est fermé. Cin=ie T est surjeetif on a

C. (H+N(T)) 4T(M). D'apr -es le tblorZmé de l'applicetion Ouverte cm sait que

C (11 + IT(T)) est ouvett, et ¿ene TM ezt fermé•

2) On sait (voir exercíce Xl. ) TIC Si Nl est Ury. JOUS-espace vectoriel

ferrné et si N est un soca-espane vecteriel de dirdensiori firsie, ah-11-s ;1.+N est

t'eruté.

D'aprZs. le théorlme de l'applicati_en °lavarte i1 existe c:>0 tel

T(DE)De 5F. ,D'oit (en, la base canonique de O, est-a-dire

e = (0,0, , 0, II ,0 „ ) • (n)

ex iste u e E. avec ii•I Eic Len flux:r(u = e n

Ztant posQ n Celné sdrie est

n•L 1jen CODvergente et on vérifiJI Illeilewnr quo S rpoiliJ Ñ la gdesLiart,

(11.11..tte ccinsidárur T actuffle un c.plYa.tEur d E sur R(T), on pieut

toujours suppDser qt'c T est Bwrzeo"1:f.

Raisorinuns par i l .absyrde Ruppo5ons

tenté qué

ciu f n exi-5te uné suite (xn5 de E

1 111LZn fi

E = 1 et II lir, II 7 • I

ft <-

ft.

D'aprl.s le théórZr& de 11 11ppliCaCiOD OUVWCte in existe une Colnlante c>")

tellé c:,ue TOLE

) =t 1SF . Ce.11-ne Tx <-1 existe y E E tel que

n ni

Tx .E.Ty ify < n n et

Ori peor br.c 11.ztire x y -+ z ,p-Jec z E nen. Ér 1! - 0_ O. Paf surte

C n 11 e.

zE 1 .

0 1

D i autre :levet I n i

; 'oO t <1* lyri [ I. 11 U:1'11 EL n 1 C. n ft TE

es!:. ZAr les nrn-i-:Pq E II „ ce I sont U'1liv¿ 1 EntrA ri27.`

(pui.sque ner) <c..) +

LiT212 Solt dlabotd T'O ; ore sait (unir ciprollaire 11.6) qiurr2 T-1 EX .CF,E)

'Supposons que UE,C (E,F) II < 11 tbrierons que T + ; en

eaet op é.crit

I+ u C I+ (c-1 .0)

1+ O) ÉSE tv:Ljectif p1. 2.5que It-1 < (nezséquenne

et il est bien connu que

faene ¿u thEurtne de 71Inilit fixe de Banach, volt théor ■ine 51 . 7).

maintenant Ore sait (gr3ce au t5-iécirCrtot II. 11) que R(r) eát fg:rtt6

et atImet un suppl.-már.la.ité tóped-Dlique sea..rks F. Soit 13 1F ken un projecte•Ir

contirsu i t r Qpératcur ? T est bilectif de E sur R(T) et par COnslquent peor

1L i applisuer ce qui prée:1-1.e. EOit ILIE.r(E,F) avec II U II <1 ; l'en elw:isit

assél pérít 1 "cFp.1=tEur (13 T+ FU) E R(T) est enwra inversible et Qn pélit

rE

E, E r

1

introduire (1T + pu)-1 Ill&nent £ (1'.(7),F4, . On pose S 0 (PT+11 1J)-1P. II est

clair que SEX(17,E) et que S(1 +U) w IE.

+.0

1) On considere l'espace Je Baruch E =EPNI(T) et la surjectien carien iglIP

n :E —#.1 de surte que II 11x11_ ■ dist (x, ( r)) V'KE E.

On faetorise T sous la forme T =T 4 n avec TEZ(E,P) et T itjcetir, Biec

5Gr R(T) =R(7) et done R(T) ferina 4= R(T) iermé.

Gr2ce au corollaire 11.6 en voit. que

R(T) ferrs& .1=1 9C tel que 11)11 < II 'se y €

et trivislement i=•* 91: tel queE < CrIrly:11 VxcE,

* 9C. tel que dist (xI MT)) <C IL1'11.11 VY.E

CI1 .I L'op&cataur T F e5;.: ersairtra et curiecti f.

D'ppre.5 tliCorbte de. l I cyplizntion euverte CZ:11.5e.e une etnstint-2 C te11.2

IYIEF 9%)C Ei, :,•:.::eE2 avec Tilll I: 72%2 7 f

et II xi fi + S 1c2 II < C II t II .

Soit uEEE1 ato pose 11.-Tiu. 11 exisi:e done xIEEIL tal que Tlx1 0 1r1u

et n xL 1 Cll f par sk:ite ditr,u,11(TI)) (u-3:1)11<ellIluTI vuEE1. en

applique ¿Llore L'exercice 11.14.

11776.1 soit U la surjeczien eDnonique de E 51.4 E/L. On corsidl-ue l'op&-

rateur T :C EIL défini par Tx=itx pour xEEG. en a

dist(w,N(T)) -diz%(x,Gnz) dist(x,1.) •C5Tx11 VxEC.

Il en rásulte (voir exercice 11.14) que R(T).•- fl(G) est ferme. Done

irlquen =C+L est feraiá.

L

- Ou rappelle que N(A -7 R(A)

1) Soient 12 e N(A) et vCD(A) ; on

<111•(WitV),41 a*Vi C191,( 10tV) [1 2 YteR,

D'oil ion dIcluir que <Avpu>iL O et dont u E FI(A) .

2) D(A) muni de la norme du sraphe ese un lsnach k(A) muni de la ore

indulte par E' est un Banact9, Voildrateur :DCA) —s R(A) les 11 5-11 Deb1511

du thSorlme de l'applicatíon nuverte. Done il knia:e une constante C te1le que

vric R(A), 3v E D(A) avec Av r f et v D(A) <C P f II ; 4-9

en particalier 110 < Cif

Solt uE D(A) ; out appliquc ce qui préc'e.de á f Ti existe alnr5

vcD(A) te1 que ku Av et < CP. Au . Carne .r-VEN(A)1(A)1

on a

<AU,U> =<AV,U> • <AV•V> II Av li Piler ;70- ClAu

FYY.1.1]

P, lin <:ibt.inkir.a dcw: :as :

(a) ir 1

=Ra e: R(A) k%(f) ;

ceo G.) 1.(a)* 1

alors A(A) ..{01 et R(A) E.

2) C(K) n'esE pas ferreC ; !linón on déduirait du thUrInie du craptle feirT.IC

que-A est "'liorna. Cr A u. i .esw pa.s hornt piuisque f pas continua,

3) D(A ) tu E Ei

.- o) et A u = u VuED(A ).

4) N(A) -ie {O} at k(A ) ... &CE* ; <u,a>= O. -

5) 'Dn a R(AYL (0) eL R(A) 12 ina (mur que NIE) est dense dans E -

voír ezercice 1.61.

Drte. nSir )4•Z(ish)I N w 5UA.* )

*1 Dans le cas ii) 1-1(A) 1111:MA h

6) On wat que si A n'est pas ferm6 il pea: $e produire que 1.1(A)91R(d5:1r)-1

J 3 1

3 3

iEm 1) I1 Cst elair que D11) est dense dans E ; vérifiims que A est fumé.

Snit (u3) urce suite de D(A) telle que ui --I u dans E et Au j

f dans E.

IL en rru1ee qua

1

Ir/ —k un

Vn. (j --+ dú) n

ntri --4, fa

Nen (, —› =1) . TI

par suite WE D(A) et Au = f.

D(A*

) (vn) E (n vri ) E Lsa l

ne,ne nun .11 Vn. ;

2)

j,: Atv = vil) et T.R7*-§. ) = ea -

r-

* * * * 1) On a DO 5 (ve Gt ; T vED(A )1 et & v = A T v YvED(B

2) Si D(A) 94 et T • O, al nrs 5 n 'esr pRz feral. An effitt itn1 peut rre.uvar

une suite (u ) dans D(A.„' te1111 que un

—5, u, avec uy D(ti) ; mora ;S un

O,

21411-1 n1 D(11)..

1) 'Trivial

2) Oil sait (v.alr ectoliaire 11.6) que T-I eZ(F,E). D'autre parí an

T-1 4•1s et T T-1 • y

Done

T (T-1 ) 4 e e (`r-1)• ,

Far suite T*

est hijectif et (T )-I ■ (T-1)*

FIT.27 I On a *

(T f • 5up { f,x> - 449(x)}

xEE

• sup 1<f,y> -4()91

liER(T)

Inf 11(y) +1(7)i YEF

C (Y) -<f,Y> R(T)(y).

LI

Cace au thorlmt I.LI obticut

OT

* g*(T*f)

• (g) (-g)1.

flgE RO')i

)0 Si (g)=

si f+g, Rr) +=I

par suite * * (T E) = Hin dr (—S) 0 Min a 55 (1-11).

f.asiEN(T ) liEKT )

CHAPITRE 111

TOPOLOGM FAIBLES, ESPACES RÉfLEX1FSh

ESPACES SÉPARABLES, EZPACES UNíFORMÉMENT conuxEs.

Efff..-T Soit E un ewprzee ¿a Irmach et hoit Ar:1 wn sous-enserte de E,

ecrpar.t rc;ur la topolo3;e muntrer que A est hernié.

sciit E un Csp2CC de Ballach icit (x ) une suite de E 'cella que

rrur 1,1 tcralnit laibi O pose u

Muntr.t.r pwur EaLble cr(Ll,E 1 ).

iLJUIJ Suit E uu espaec <1.2 lanza. Schit AcE un ácit6-enl-e=ble. 12.mx,Imw-

Mcntrer lile La Ismeture de A 1,1Jul7 13 topoIo3ie forre nt pour la to?olGzOn

e(2,E1 ) coincident.

= .5Dit E un .11ce de !ancLth et suiit (xn) une Sui ts c"-E q"

n prur la toppliníe faib7 o(E.I.11 ).

i: yontner un,;_h suite (yn) r telle que

(a) y E nenv (U Z vn et

(h) yn rcirtrnment.

25 montrer existe une suite ) de E telle que

(11 (a) EE Qcinv ,

V L.11 })

al 1

1 (1.1) z x fOrtethEnt.

41

1 1 1

1 1

a 1

I I I I I 1 I I I I I I 1

L

5711.71 Soit E un -J.space vic Bauach et Eczt ur 5°14-ensemble de E,

compaot pour La topplogie ferlu. Sois: (ya) erbn $117LC t1 K tulle que x x n

pour cr(E.E1 ). Móntrar que x forteml.nt,

ton pourra Taisonner par l'abnurdel. y

Soit X un espacie tz)polosique et scit E un espace de 8án3ch,

Soienf u,v :X —4 E deux appli(ationa continúes de X á valeurli dares runi de

la topologia faible o(E•E'),

1) Montrer que ll applitation 1—* u(K)+Y(x) est continuo de X á valeur3

dais E muní de la topologie c(E,E r).

2) Soit a:X .--> P. une foncLion continue. Moritrer qu,z l e applícation

x +-4 a(x)u(x) est confirme de X a valeurs dans E muLi de la rop5losie faible

Sait E un espace de Beiutr.h. Soít AcE uft sous-ans¿mbl e fera...5

110". la tcpu.pnie feib Le cy(EX), scIlt 11:=E un r..ens—evsarlite cnupkntt 13,1.1:1.- la

topologia fAible c(E,11 ).

1) mourer que A+ cÉt fezmé piJuv fa;ble cl(S,V).

2) on svprose de plus sue A et 9rdtt carvexcs, ruln irídes at dísjointw.

nutrer qu t ii existe un hyperplen farmc sépdrent et 2 au sens strirt.

Arr - a o:

vurnn Soit E un espace de Isoach dd dímersien infirlle. en se przlpoae

de mentrer que la topologia faible o(E,E4) n' est pat., meLriu.blei no raís.nnnt -----

par l' absurda et ore suppose qut il existe unt c(::,y) sur E telle que

1e topologie assocU.e co:ndde avec i topolng:e faible c(EX).

1) Four toút entíec 1E11 ! on designe par Vk

nu voLsinaga d'; O pOUY la

topologie faible o(E,EI) tel que

Vkw{xeE ; d(x,9).

. 1

Montrer qu'U existe une suite (fn) de E' t'elle qii tour " S I dle:q5-42 ICIOG 1

1

forrr d'une eombinaison linéeire fínie des f . il

(On pourra utiliser le lemme ILI-21.

2) En dédulre que E' est de dimeLlsion finie.

(On Pourra appliquer le lemme de Eairt come a l'exereiLe 1.51.

3) Conclure.

4) rrouvcr par une méthQda símilaire que la topnlogie fpíbie * 0(E' p E)

n est pes métrisablc.

[Tnr.Y1 Soit E un espace de Banach ; soft M un scus—espace vectoriel

Ce E et soit

Mentrzr qu"i1. existe go M tel [Luye

lar fo = u ufo --ge l. gEM

On Sto lit* ce rlsultat par deux máthodes

1) en util;.s1;nt la t1 arene

2) en uttUsunt la topolnie Is ible * o(1',E).

r1777.11] Soietr C et F deux especes d Sunach. Sóit T€Z(E,F), te anrie

que Tt E-C(F1 ,V). liontrer que T est cenfzinu de F I ouni de le topoIugie d(F P ,F1

a velmurz dans E' muní de 1v Lopulogit 1(El ,E).

Soit E un espete de Banach et soit A:E El une spplicatíon

=notarle (veir l'exercice 11.6). On súrpoae que pcu: tour n,ye E l'applicliricen

ten 1-4 <A(w+ty),y>

est conrinue en t =O.

Montrer que A est continu de E fort dans E' zulú de la topedogie o(E/ ,E).

71.1.11] S.rlit E un esNize de Banach et soit Ko e E. Scit t :E —›

une foiletion convexa k +••

1) mpntter que les propríQuis suivantys sent 6quivalentes

3[1,>0., 111‹.:~ tels que W(m) t sifxe E. avec Ox-x011nR,

(B) iitn {ip — <1,7% >1 fe E' f U-1-x

2) Moyenn3nt l'hypothhse (A) ou (B) prouver que

* Int {tp (f) ‹f >I est atteint.

[On pou:ra utiliser la topo!ogie v(E',E), Pu bien le th¿.lorm.l. 1.111.

fuelle est la valeur de ce', !DI

Soft E un espace de Banach. (xn) une suite de E et xE é.

On posó

Kft I. c.nv 57-1 N.} . ron

1) Ore supposr.: qua Ir,n poner la topolvgie Yontri9r 11%a

411

n 1 Kn R(11.

=

2) Ciu suppeae que E est r.Wextf. 14->ntrtr que, ui (xn)

est bornIe et si in. K aler51 n

E17/71:17-11L1 Soit E un «:pace de Banach rEfiexif et soit 1 ur. ensenble

dices. Gn donne un sous-ensemble (fa. de E et un sovs—enj",17-5 -P 17.¡Jútll

de E. Sott >15 O.

Montrer que les deux p7opriétás suivcnte.y. sont 1.1uivalentcs

r- xn x your la topPlot'IP Q(E,V).

(A) 11 existe

On a

1: E E avec bid' ,que a

1eifd jEJ 1

iEJ

pour toute partie finie 3c:I et toute famille de réels

Compartir aux exereiees 1.10, 1,11 et zu 1e~rse 111.x.

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

igaryceP:tra d'une rwsure :ni convexe.

Soit E un espace de Banich réflexif et soít 1:c=E eonvexe, fermé et bornl.

K est done eompeet pour la topclogie e(E,EI) et on considIre l'espaee F s C(K)

buril de 50 notase usuelle.

On r'I"Ke C ri aves II u ll. I F Cn 5uppose que >r>O i.e.

> O Vu C(1:1) , u> O sur K.

Montrer qu'il existe x0EIC (migue tecle que

- (1) <f,>

len pourra commeneer par montrer qu'í1 existe xr.t e E varifiant (1) ec prouver

encuite á l'aide de Hahn-Banach que xo e K) .

Soit E un espaee de Banaeh,

1) Soit ',"fas) quito de E. On Éurprise que pvir tenvt. x= I, <f n,x>

converge ver: une líníte.

Montrer riu existe fEEI tele que fas f patri la tepJlogie faible*

,1),

2) On suppu.se maíntanint que E. est réflexif. Isait (2n) ene wlitit de L

talle que pour tout f e E' <fokri > converse verá une limite.

Mantrer qu'il existe xE E tal que x, x pour la topolollia faible oU p E').

3) Construire un example d'espeee E non réflexif .:onclus ion de L)

to.nbe en défaur.

(On pourra prendra .1.111 cD (voir exercices d1 nap'irre 51I) et Itri o --,1,0,0.., ):.

(n)

LIL I . L 7

) SOit. (21) une suite d' élément s de .t1) avee I p On sLippos que

Tri-co

n' --h x pour la topolo8Le cr( tP,tr ), Mentrer que

a) (X ) est borné dans £7.

b) x. ---.mi pour taut

phri. note z•

et

2) Réci.prQquenent, joit (21) une suite d 4 L''ZISWerit de LP 2.41, ee I <p‹.".

On suppase que :

a) n) est bical dans

b) x,

Y.1 pOur toult

1171-m

MOntVer que p.-,E el el quft xri x ppm' la tOp010.gie C(2.11,1.111 ). trigss

7f; H7, c:I.aque entier Ts> 1 011 pose

(n)

1) ,.....ntrer ve en. p.: e dWrIE F pout LA trIplogie 12(2,Z151 ) AVEC J<FIZII'.

2) l'entrar qu'U n'eximA .auTu..5.2 sowl-ruitt c!ztrn'J.I. g! (01k) ciai coDvere

dans £1. ta topolcie G (11 > P.7)

t}r3 MI CU Un egsemple d'udN.ce de :ffiani.L.zh. 'e: et (r. ) LI

que Ufn

Yn t selle ciue (fa)

ne poss7edu aucune Eiyur-s..1:te

topellezie LAME. corlixa.lietifyu la cour,c:it¿I

44 BE'

11.!Dor }g) ?

[OrL pour:a chnibir E a d

• iirl-TE Soient 1.7 =1.11 et l'-1Z9 avec i<p<9:. et 1 Zq<- a :11 —s. 1L

une functian contilukt terla qua

la(t)1'(Clu;:)111 YteE.

Etarát di:511A

.̀ (xl h 1:2 y ) t9

cn p'

5(5:L ),a(x2)*.- ).

1) Iloutrar que Ax k tt que li sppliratíon zontinue de p (fel-z-;

dares es (.1ort)..

2) M.untrer que si (mil) est une suite de 22 tecle que x rour la

1 faible u(113,1,13 ), eiws Axn pclur te.polee G(2.421,0 ).

3) En déduire que A e:st contjnua 41e B E mufli de la topolniá 13{E,EI )

valeurs dais F muni de la't,apolólle Er(F,F 1 ).

Sit E un esillice de. Banach.

1) 1.1putuer qu' A existe un es pace tppoIesique wmpact K áL une iscalltrie

de E dans C(K) muni de sa norme usvelle.

(i)E poxtra choisir purd de la topolazie feibIe cr(E',E)j,

2) fin áuppos de plus E sqparable › Yontrer qu'il existe una jsométrje

e E dans R .

Soit un 2....p.ace da Sanach loin ) und suite bornée

dz; r11 . 1:Lintrer direetemnt, se.r.s JZJiire App.21 'AUX prprTí5t.;s 4e d7L1,:tris,111j11. té

qu'U e511,1te nn2 smus-suitie (f, ) colverle yOUr la tpplawgie faibl 'k

*

un proeUl de luir-e 21g,,walle].

L111,22 I Soit E un .es pac de Banach cht dinensiDn itfinle 17-érifíant l'upo

des hypth-éses suivantes

a) E' est séparable,

b) E est rffleldf,

Montrer qu r il e::iste une ÉlliE2 (% ) dans E Lena que Oxn

4, 1 VI% et n

pour lz topolnin faible er(F,E').

17175-1 La démJnstratinn duNth5name 11,15 est ecilsiareblement

si on suppose dC plus que X est rfflellif. Pburgund

lExaminer (b) rt (a)].

60 Soft t un e5.pane de Banneh. On se propse de rWDDntter le 1.M.ó-

thle II1,25 1 , el eilit-.5-díre qué lez1 rbreprihjs su/ventes sent &quivalentes

(A) El est rApanlbIe.

(b) DF est m'átrisablc* pour la tr>rologic faiblu e(1:.1:1 ),

Pour l l implication (A) (B) oei pourra s l inspiler de 1a dll.TQnstratien du tháo-

y•ána III.?5.

Pour (3) (A) on preces corma. 5uit,

d(x,y) une métrique définia wr TIE

qui induisa La topolu tr(EX),

On pose

1,11 {}r.G d(x„0) <--r .

Int Vn

en voisinagd. de C peor u(E,E 1 ), de la formt

1111-1xEE ; 1<f, > < 0 1 d

tv avzc f.

TI >0, Q cEl fini,et tal que V

n . SciL D - Lj h at 591.0 F l l espa;ze

yuntouiel err,endTé pat. I. on va ineintrur Lu.r± clt rs rt e Ir.r,s E' piDur la h-ope-

logie !zrte. Gro ritilonn2 par l'alisurdf, ot c,TL áuppóge

1) r.kyntrer <tu' zixisLu CE F." EL fo CE! tala que

<Z,,,f0> > <,.E>d O vfe F Cr. ni: "1.

2) Soit

W- ixER . 1 <z x>1 < 1 /2] P

Ilontier flul il existe ne >1 tel que V

ilo =1Z.

3) ri:01.1wr qui n exi.gte xi tel tel .civa

1<f p:g. > - 4l p f>1 <t,... wilc. u.

1<foixi > - <4if ei >1 < 1/2.

4) En d duire que v el 1 o

S) Conclure.

que <for x1 > > 1/2,.

Fli1.+ 25 Soit. K un cspace trique ceitipmt nen rilduit . un nembre iini

de pnints.

qui á xii,(xx2. - -)

1' 1 "n n"

T ; F

hontrer gut l'espacie C(K) muni de sa norme usuelle ni ost pos r¿eleNif.

(IntroJuire une suite (an) de points de K Lene que an a et nn

16 a Vii. b.

Conáidíjrarla forra.. linéairc f(u)= --- u(an), et sliosnirer de u..*1 21

l'exereice

j 111.261 Soit F un espaco de Banach sépacable et soLt (ate) ur sous-en-

semble dense de 5,

On considlre l'epárateur linéaire

assoeie Tr..= I XJ1.4

1) Montrer que T est un opérateur borré suricecif.

Datas la suite on suppose de plus que Ir est de dimensión infiníe et que

F' est sgparable,

2) Montrer qua T n'admet pes d'ínverse á droite.

[Oto p;.purre utiliser ler résultats du prohibe

3) EE, oduíre que nen plmimet pa:, de suppljwanteire tnolo2,:que d:1-1

A) DAt.Proiler 1 .

prE7277 Soir, lI un @space de llanalb sCp¿rible de novuu II P

▪

Cr_ eZ1k;igne

afussi par 1 II lá lizrme duele sur E'. On SE, ilropobe de construí-re sur E wie

norme éguivalento a II E, si:ríete:men: convexe te: dont la norme dua12 12.st ausbi

suietement convINe.

luit (a.n)c:3

E un Bous-ensemble dense de B

E. Sois (bn) t un ácill.J1-Ind2T-

.L.

Me dense dans 3E4

pour 13 Lopologie 0(E',E). Pourved ur tel ensemble existe-

?

Pour f E E' on pose

I £11 = f 2 4.

n.1

1 < f ano 2 liz

1) Montrer que 1 B 1 est une nOrme équivaIente II I.

2) huntrer que la norme I 11 1 est strittement convexe,

[On pourra utilice; l'exereice 1.25].

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1

PouT xE E on posé

ax[12°{1i)(111+ 1-1 12} 112

uml 21 5

(al) OmU l Sup < f a f al 141

3) Montrer que O 0 2 est une norme zerittemtnt convexe lquivannte R fl,

4) hantrtr que la norme duale de 11 h est aussi strit remera corwewc.

ton peurra utilíser un Déeultat de l'exercíce 1.221,

S) Proponer une autre approche a 1 1 aide des résultats du PrJ1W-Ime

FIDI711 un espata de Banach vn.lrormlmert cnriveK0, Cr dE;ailne u,r F

l'applicátian de dua1it6 (nultívoqu) da E darla E' ; vcir coreliáre 1.3 tt

exeralee 1.1,

!-Sontrer que pCnIT t01.1.1: f e E' t1 e-wiziza xe E talicluig f '''t>1) •

rfri72-71 Scdt E un espace de ilanbc17 uni.1111-m&nent convexa.

1) Mantrer que

lp, 0, VI> O, 38>O tel que

II 12% 2 1: 2

11 112 +11 • 112 - Vx 171 pvec y». I! y1' ;1.2.: c > z 7

rOn pourr a nal sonnar par 1' ah suvde ,

2) Whne quest hin si l'on remplace 0 0 2 par II !II:1 ¿vet ]

Soit E un -espata de Banach muni de La nnrm2 d II . en SUPpball

qUI iL existe sur E une norma 1 1 unilonmkaGar nonyexe .á 5

Mantrer qué, pcour te m: k> I, i1 existe una norme U ii uni.E.pr71&-,Ent: CV7I.V17:-E

tallé que

< 111x111 kIIx V>: e E

[Ort paurrá poser 111%111 2 - 112c II + x1 2 ¿yac F.1- >0 as 1112. pvcit t appliquer 1 1 excr-

cite 111.291.

Applínation F E=P",

1

11L31 Soit E un espace de Blloach uniforwl5ment cenvcxe. Montrer que

Ve>0, Vae-2(, 3S> O tel que

I tx e -thril I - 45

YtE U1,1-113, Vx,yEE av.ce 11x11 <t 11y11 <1 et

(Si t <t. Dn pouTra écrira + (11-tiy ) 2 *

Proizetion eur un come= remad dans un espace unifolltent

COmexe.

Soit E un etsplee de Eandch unifornIment eonvexe et sisí,t C c E elDnyLxe,

tema ct non

▪ 1) Montrer que t'out. tout xe E

YEC

est etteint en un point unigue de C notl rc2,

2) MzAltrcr L'Ud ulule suírl minimiszntn (ya) converge iorteme7a vers Pcx.

3) Mott.er ve repl'It.AHI,1 ?cl: est czntinut Qt E rort dans E ro 4a

• 4) Plus nrUlsilm2nt, wo....trer que 11 c, est uniformOxvnt e3ntin-de sur /es

bornSs de E.

[0.19 poul-ra Itewercice 111.29.].

Soit 43 1-.P,fml une Zunction cQrsexe, s.c.i., tpt

5) ivr.ontrer que pour tout xe E et tout entier n> 1

InE{ollx-yil'+1.49(y)} )EE

est atteint en un pnint uníquE unté yn .

6) Mlyntrer que yu Pcx uú c -1511) .

CHAPHRE

DreprZa le th1orlme (lit hanseh-Steinhaus il suffit ¿e vIrifier

que pour tout Eer l'ensemble 1:(A) est born1. Or f est continua 1...our la topo-

cgie Ci(E,E P ) et A eb compar:t pour la topologie o(E,E1 ). Done f(A) est compect

et par suite bornl.

II faut v&rifier que pour tout f V <f 1 on> ‹fix>

1 <f n> — <f,xi> <f,x > <f i x>

1 \ 1) Or- pose G I (x,. r. Contoie xn poar la toi›eloi,,f..r. tr(E,E 1 :.

-a(r. V) „ n dilduit que x E Gn

vn. D'autra part, etzmiC en

CunviLincl les fermItufts

pour la Lopulozie faibla HM') ist pour La toilik,ilogie fccr-le

exereice Par suite xeIn Vn. Done, 011 E U t COn ti:1.; ir f..' krile £'11

t211e que yneCn Vn et x fortetene.

2) Orz pos e Kr, ■ conv U j Ixi)) 1 de surte qua

de convexes. Soit on adist(x,V.n) ; riontrons que p r IO. En effet, supposoni, p2.r

l'abaurae que p;›,11>0. pour tout n. 0n 17eut alers 51parer ru sens largo le wr-

vare ouvert B(x,p) et le convexe K. Par conslirwent, O. existe ZO.T...1 ,

E* O tel que

<f.xspy> < <fxn> 1111 Yy5, E avec ryll <1.

Dteia il résulte que <f,x> <E,x> - absurda.

de Cn

(voir

(Y.5 (11n) est uno suite. eto.

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1.2T LaL2.]

1) sóit x (A+B). On Ja córiRLruire W voisinC de O piour la topoIó

0(E,E1 ) qut

(3.:+14.) n

Povr tou4 ylEE V( y) voisinne ccinveme

+ V (y)) n (A-Fy)

(tal- A-1-1, est ferm.1.,:.tit xg it+y).

On

B V(v)) 1 -

a col= E ed.t coppact 11 existe 1 fini cel que

de 0 tel que

1

BC,I, (y. ---V(y.)) avíe

pQ5t

Ii 1 IRYj) '

Alcrs (y+W)n LL.u1) r . En mED:It supposcms pz; qu'il c2LIsza W tz) que

11 + w E (A; 12) .

Llóile £1 exista Lel tal qi]

Coi. 2 1,7(yi) ese conveze, on en Ucluít qu'll cdste Id.' 5 Inyi) t411 que x # w 4 E

rar suite (1L; .1 '9(yi)) n (A+yi) f - all%uvd E •

Rtmarqu'l Lig...roque W nst sper2biz et A est iwn.15 on pzut utilistr de5

Zuites piur pyzuver out A.411 est fv1.-L2 czr lq roperiqpie leible re3LT.dint4 111AX bDr-

nés ust thUr'áqn 111,251 )- La raisonnement devient alors plus

5.imp1 a . Ln u z7.f et soit Xn « an.bri evor x pout CF(E,,17), an e A .0 bae

xZ(A-kr1). Cerae 8 es.t E0ibl2m=mt ncmpant Qn peUE 5421>pC15.er que b nk

pour 1-1(E,":1') evec liE Dit:iu

X b pouz Q(E,Ei ) aomwe A est faiblemenc

fenal on en ?.1.duit, que x -be ti et par suite xE

2) D".pipts WE qui ptl.e.Ide (A-II) est taiblument fermé et done aussi forte-

ment fenme. Or F e.at a] ora sáparer {12-convexe compact-ct b=invexe Eermi

au sln 1 strict.

e

“SM”

L

s4- 111.8

1) Canee 1'k est un voisin.rige de O pour tr(F.,F-1 ) peut tou,nurs suppoicr

(voir proposition II1.4) que Vk est de la forme

Vk i•NEE ; 1<f,x.>1 < Ék

oú ck>0 et F est un sous-enser.ble tíni de E'. Par suite l'enserible F 1.0 U] k

est dénombrah1e.

Montrons qua tout gEE I s'écrit cornme combíneison linéa3re finie d'él1-

nents de P.

Soit geEl fixé et soit V ...N:CE ; I <g,x.> I < 11. Creme V 1•st un vi.yi2.1nrle

de CI pour la topologLe er(E,E'), k te1 que (x E E d(.,1,0) V et

a fortiori VkcV U

Si xE E est tel. que <f.x>l• 0 VrEFk' alors tu.E vt et par suit.1

tx1V VtER ; done <g,x). E O.

0;1 rréduit du I ra 11.1.2 que g osr. co:7.ibirifilson LIÉ• P.,

2) On. raisor.re exaetecoent co=e 21.: •

3) Si din: E' <la, alorz n...-2c2ssaireme,lt En eflkle, ir I

a una injectin carlortiqte 3 de E dans F.H .

4) On ctili.se ici le lemma auivant

Soient xl ,x21,—,xu, yEE tele qua [fe E' ; f,:t,I>.• O 'el ] '1' i 4-7. f.>>. O:.

n Atara il. existe des réels Ii i .,..1. 2 ,...„Xn tela que yu 1 ./..x..i ..e. (ce 1c- . est 1..;.;,.. i.1 1

5 équerice faene du le®e 211.2).

1) Appliquer le thlorlme 1.11 avec •

u

ID(x) • <foix> 4 IB (x) et E

1(50 -111(x).

r•-;

2) On utilise le fait que

.A.) BEI est compaet pour la tepologie Eaíble*

b) I4

1 est fenal poiSc la topolcgie faible c(E r .E) (pourcruci 1).

n luffjt líe mont rer civil si unL suite (xn) de E converge forte-

taent vera x. alors Axr por Le. <Axn,y> -+ ‹iskx,,y> VyiE E.

SupposQns, par l i absurcle, qu'U existe yEE tel que <>.3:11 „y>-f-4, <Ax,y>,

D'aprls l'exereica 11.6 on 5ait d6já que (A.xn) Esst born.É. On pet.t done

extraire une sous-suite talle que <Ax <Azt y>

Arpl wonotonie de A il ien

nk -A(x+ty), xnk

-x-ty> O.

A la liTaite on cbt:ent

t.2.4 e <A(x+ty),)..> O.

b' al de.ditIE (dísLins,uer ley cap t >0 et. r <O) .1. di <Jkx,y> - ahstirde.

177177 1) L'hypu-aizze 1A) (r) ;IR !: M EI

Inversement an suppese (S) et on note 4(f) 1-4 *

(1) <foco > Montrr.ns quin

existe drs constantes k>0 eC C telles que

(1)

W ia - vf€ .

Quitte á faire une translation pn pe.ut Su pose que 1,(0)<«- (voir

1.9). On fize u>1(0) ; grrice 1`hypotiplac (E) i1 existe r>0 tel que

p(g) a Nig e' Ei avec II z II r.

Etent don:LA:. f E E1 ave..1. 11f II >r on

1(EZ)<til(f) (1-01.1(0) avec L

et corne t II f II = t II vient a - 41(0 Trft Unf) -9(-0)). Coci conduit á (I). En

pissant de (1) á la relation conjuple on obtient. (A).

2) La fonetion est COnVL:Xe 5.C.i. ¡mur la topolrgio o(EI ,F). L'hypo-

tUse (E) entratne que pour tout 11 onsemble if€ ; 1,11(f) <1,1 est boroé

suíte tet .ensetblr eempeet pour la topoldgie o(E',E) (Erillee au theorlma

111.15). Done Inf 1 est atteint.

Diantre part oca a

*ror inf - stip{ < ,x0 (f)} = No) al -CP(X0) •

far

On pourrait aussí retrouver ces résultats en apptiquant le thllorl.re 1.11 ak:x

foncitíons et Ifx (notar que la fonetion 0 est cuntinue en xo - eKer-

cine II.]).

1) Fi ut tout p fixls n a xPin

P Nion. Ala 'jaita (q9land rr ob- .

tient zelt puillue E est faiblement brrn1 (voir th154%rZma IiI.7).

D'autne part selt V un vc,isinagc convexo de x po-Jr lc topnlocj.e

11 existe « tel nue x esr 'kín>r4. K WID N et par ralTe rk n

01 AV' 1.x) ot'erdésigna la familia dos VOidiAEZet, C.D.WWE dt Y ?:..11.-

(justifier 1).

2) Sil, t y un yolsinage ouvern de x pour la LOPUlóCiU QU'11: 1 ). On P1151

Klaqc 115.

K est eompaet pour la topologia (E,E') (En est convexa fe,=a born.1 dans un

r6flexif - voir eorollaire ITI.19) ; done Kñ est aussi ccall-met.

D' nutre part 1 l4:;1:=511 et par state 11 exiEta N tel rus 1‹,;,1 vs.1 ,

Fs

.., 2) Supposons par l'absurda quo --- a dans ti pour la tol.ololíe

1 ).

Alors <ejen > <c,a> Y111 11 On censidara 611ment particuliar

11~1

ce Lis Ufini par .a.m.m ■■••••• ■■•••—■ —

(n1) (T7) (n3)

k ., et do= t

> = (-1 )k lurnv¿iSe pas quánd k Coraradiction.

3) seit E= 97 de Aorte ril:c Z.1 Cr' pny.l. In = J. Suppesel,_5 que

ft f dans Y 11T pour la topplozie n; < É• F: ic miz

pour tclut “E E, On c.J.1151.d'érá 1 1 1121.e.ment particuIiet cor:ma 'á la til,us-

tion 2) et den.: ..1.1f11 ,1›..F. (-I)k na c.:orivarze pas absurdt. IL n'y 3 pas de

contladietion avec Le tl-Plorlole 1.11.15 ; ceei montre seulament quE,E'

tuni

III la topol.nie est Leí un espete compact. rwn mOtr.C.mbIe. Di vetrenwe

aussí. le fait que E. = n'est pas sl';parabl (appliqutt le th.1nréme I11.25).

LUI. 19 1

1) Qommancar par vérifiar que si xl x dans IP (fortY olors

112'u >: gi L. que 15j1., 11'1 .1él Vr1

2) Utinser l'e.xereice III.11.

3) Cr.;l.).á l'e:gpant S1 pout la torDlosie ('e ir thiio-

r)L772 1:1.25 1 ) il sulf;t de la ezintinuité de A suv iés sulltc;.1.

t) Vapplication T :E Ca) d'éfinie par

er:0(e). - < r., x > x.E1 E a t'E Sz,

Cu a bien 4 Tx Sup (rz) - x II teK

2) It = RE , est un espata altrique CumpaCt l'out la topclóit 0(E',E). IL

exl_see dure un sous-n6etribl (t ) dInombrable dense dans K.

On. c n 1 re 1 'applieacíon S E cLefune Par

sx < tl›x > <E2.x > <t ix> ›.

Wrifier qi. II Sx II 97 ■ Ilx

oit (a.) un sous-ensánble déno.ebrablt dtnse de E. Clú extrait

ttria. pranib:e ETV5-suite Leila que < f F c 1 > crver,e quend k eci 13U S Gn nk

r

Lr

r-

L

r

r

oztrait unc soiLiz-Bous-suil e ten'? igice < .' El

1a 2 > con"12:ge etC . Par un pro

eigclé usuel de suize diagorsale n Gltient alDrá rtoEIÉt ), extralte

de la 51.1ill-q? telle• 1lJe V I •

Ore 2 El d dIJ rá. e 1 a E..InSiZ CI'2 S a - T12 3. Vit E E. D' u::

ii rt'eulte que ni., coriversi t paur le toptilógi€ c5(.E I ,E) (Yr5ir

Lui.227

a) B est Tec'etTiseble pfflur La 1-011.010:;i2 e(E,,V) (voir tFziloribLE E

Di tautre part O ast adlilreot 1-1 sphlre unit por la lopolop e o CE,E 4 ) (•quir

refivirque 2 au Chapitre T11).

b) Carrine diiti volt consLruire. tl 5eus-Pirape é <ti Cluc rl-

nexif), et d,2 dimen_sier. infinic. Cin ap:)11c....e. F.o le caz; a).

Su.pprsÉam, par 1 i i.11-.isurde, COZ> sei= 1-- 1171-"ii• Mor;

E= {1.2CC-115'.) ; egt auzs 4. r6ft.nzif e t Sup f(u) u:n atteint. uq8-

T.) " autve Fraru #lLp f (u) 5 ; ea ef :Set Ihf:q ., 2111= t'A lac u i et 'LIE P. F

11(ni

1 = :3, .14 par le (IQ 7.1.e . .

s1 1 1: ..L1'7 E„ gua E(,]) alor ..(Jn' 44) O

a.báur¿Je.

1 .) Szbit yE17' fi exssa t elve <112- -1 1. 2

L T est densa fiFins -

2E

R .a..,-. dc,Jaa :.l eniste ti.2 >ti1 t.el que

r I 1 - Ity-a - - a

11 II < - L ni 2 2 4

Pir t''eurve.nr.:e rj coratruit Lne suite ny t t elle que

1 ' I 1 ". a + 1-2 + e +

n1 o, Él 2k-J tált

2) 1-0,r l'ab%..urdp. Suppusons qui i1 existe S F.0 (r.31) tg1 ei;ie .p,pr

ail eurs, seit (y ) une suite de r telle que II yni! ." 1 Va. et ya O pata. la

topolezie failxl e o(FJ 1 ). Ahrs ly —• O pour lo topologie taible Er(.2. 1 ,t.1).

on en déduit (vair prolillsie ) qué Syn

fortérent dans ti, Done

yii .Tsyn —1- 0 - absurde-

3) Voir tliZeirloe

.4) T t est dé.firt par

1111.27 [ B E, est un esplice rú7 trisuble canpact pour la EDpeltózip. c (E r iE)

11 existe r!'..Qnc un sous-ensemble dlricvn:brable dense pour cene tnpollogie.

1) Cc a Ilf I Iltill ...71 11E11 Vf e -

2) On po.se if 11 - < f,a 1.1 > p. Remarque_ quo 1 1 est une norme 11-1

(rourquoi ?).

I1 a"a¿it de v-a.3fier que la for2c!liatt f 4—h- fif E 2 + 1E1 2 eS t á tt ie tement.

nVexe

OTI nointre lisZeent que YtE[0,]1. f. E E

vi;<!-c);r:-gi 2 ti11 1 +

3 '11L-1£ méLE:03411 qu'a la qi.Lezti.on 2). IrZoter q1.1 si <bn,x.5. - O iiirt„, dL Qr5

X g`O (pOurcwoi 1),

4). on pasé — x> 2}1

et on 11..1slIna par 1f 1 la nortat :„

212 rG

duele - rica unir zver La normé déf ini4 a la questl.on 2) !

IL faut iy:'érUler que la fahetion f I! est sttictement convexn.. or

1 „ n 44 canw_Ide aves con ' rie la felietion x 11-1- — 1; Appliquanz

2' Z'

I'exarcien t + 22 lquestion. 3)) on voit que El

f II f {II f-11 19 'I VgZ"

{ f 1h1 21 WE r

EI T.autré part on. R er_core 1' identiLE (01. Er, effet ot a

Es.r tonsGqucul L fooctIon f 1E1 2 est sZrictemeTit conihme que la vont-

Lión 1 2 + If12 .

t.

El,. I ÉT!SQ7.- Jets

I lifi-(1-0g12 =Sup(<L1+0-r.)gpx> - -111ci 2 ) x,

t-C.1 2 Sup{ <f- ,,y> '1Y121 ';

t done

liltf I- (1-081 2 .4e(1-01f-tp ■

-Sup{.(tf+ (1-1)5.3:>+ t(-t) <g-s,,y>- 1-112 -41 (i-t) ly1 2 ]

x,Y L

Ort conclut gr:Ec au, henzement de varl Pbles

x = bC (1 -1)11 et y g •

- Soilent .E,1E ; Órb fize h1,112 e E P tels que L

11 f !I - + !hi1 2

IE gil I • II z -]12 111 + tlti1 2

Soit te 30,1[ ; on a

+

1:tf <ti,' ( + 1 thl (]-01-22 1 2

<t'II-17 11;4 (1-t)11.:1:!1,

szuf si f h1 et •11.z i.e. i

1....cant riliflexif.„ < ';,x> rt DigB

Aleas S FIN)

Aa.g*Ti.tr Soit FT l'applica dm:. de duaUcl E I

ble F' (1) est pon vida icarolleiró 1.3 strit &e. 7 t f . Come 1: est ri.I.ELE.m.1,

il e.xi5te NE E te]. .1jue (1 est 1' ion ekncanr.i.it. de E dzns

II 111 = Ilf 2 - lx.11 et > II" <1,1E>

F(x) -

Soient e: x tels que f l'hl) ('E E(x2) AlDrs

1.!..2t i 1.! = I6 x 2 L1 = Il f II et done si XI 96 x en a

< r G

L DI Rk,ltra parí <1,z1 > • ‹f ix2 - 11 f 11 2 et donc

lif12 .<fA_+2.11.› < V fiI 2 si xl# x

tteint en un poln.: y. E ;; r..

1) Sup?C.5.0115, par l'hlis.uvdo,

(x ), (y ) telles que

cr.i.cte fiC deuX SUitps

CI)

II z n II 'QM.,. El yri. 11 >cc, et

2

II 1 1111 > II p. Yn II .+111 2 I

-1-

Quitte 1 extraíre une áouá-suite on pLeur supposer que 11Kn ri -4- a etyn II -+ 11.1

rG 2 obtient .131.s.rs a*b>eo et - 82 + b2 ($4) , Par suite a « bl 2 2

x. YTI X n ,

n 4

nti

11717 el f m ily n n g

E

Four r assez Irand on a -y1 11>

▪

+ lix'

n Q(I) (ici, et dans la suíte , on dlsi-

n

grm par u(:) di'....ewsJIs quantitás pcailimes pu rizaLives fui ttndent vera O . ill

E

quaLld n ce), 17,rAat á I'unífnrime cnnvemité, ex:".51e

4 #y ' xn4y

rs1

i 2 M 4.

o >0 tel que r

1)1 .1pr-ás on a

11 51 R"n h

I II 2 (1-15)-Fer(1)•

a +yn I n2 ›a:. +Q(1)

C

ei.21C49: (11-i5 ) 2 + c(1) - absurde..

1) Le mínimum e.31 atteint par E tát ÉlfIexif et un pevt appliiluer le

corollaire 111.20. Ll unicit pruvipnt .du f2i1 que E est strictewnt eonvexe

et dona la fcncti.2n y I~P- Hy-xfi l tlz sttiettment canvege. L

2) Soit (ya) une suite minimísance Qn p05.1

d et d = 51-'y p

yEC

On pPuE eztraire une haul—suite (yn ) lene

alIDTS zEC el 3 x-yd cpourrvar, ,

de corte que dn --, d.

.que y

lk

-- 2 faiblement, O a L

E

Par consgquenr 11 vieut

x-Ynk

x-z

d- EK-a.

Ii en rgsulte (veía' propositien IlL30) que fDrteraent unid:, té.

de la litaite iDplique que touto Z auite yn con.verge fortement vera PaX (prl-

cisen le rnisonneinent).

3) et 4). Supposeens; par l'absurde, qu'O_ existe Él > CI et des suites

(x), (yn) telles que,

xnr. <111 yet II <1{, Ir xn-yn II O et II t'cxn-Pcyn

On a done

Ir X - X it C

P x +ID en eyn 11II —2-

" x +11 C a C' 2 —|

t ª ta

1! yn- x +11›,y C n r, .n

—2— o(1).

Ver consiaquInt obtient

(1) -I [I x i 2+ - (I 2 < 711":1Yri Prx114rCYL11 + 0(1). 2 j 'Iba C 7 Yn - c>11 1 —2—

D i a.-nye part 'De pose

an xn -Pxn et b- -P y e n'

de sorte que Ilan-bu t ›to + o(1) et bart II

Cr2c .13 Vezereice 111,29 11 e>zí5te e>o tin b

II < -12 11 +111 bn

- 2

ciest-á-li Lee

x +y n

2

o

(2) ix +y P y

n Cn'C 1 z

DR „„,-gd, Y. "' +III ,

e n n 2 iyn -0, 7111 -

Combinant (:) et (2) on trouve une contrsdietien.

5) Raisonner mame 1 la questien 1).

-6 .

6) On a

(3)

TIA y el+x II 2 + LP(y L ) n II y-51 ii +ipy)

En (JE tiisant le fait que e5 t winarl. par una 101"4 ticin tiPM Carie; quo (pW0-

po s tiou. 1.9) an 'Volt que ( n) reste bcirrie luand n (Fvé.cisez)

On extrz..it une strus-sul te (y . ) talle que yak— z fa iblertent e t

55 E D(1.1.) Ipourquoi ?) On déciv.i.Z de (3) que

z—x 12-• n wyD(r,p1 cc en5ui re Vy @ Dki,P)

Done z = Fcx 1511 D (1,11) .

D P autre part, BrIce á. (3) Dn

lis sup II y n-x < E y -x Vy C C1 ()

et en. ;.articuIier

I im s u p yr- DI « z-x. .

Ot cartela[ gut. y z Eunn, Cc la 1

c es t t (yn) qui . .re tuve rge f 03 tewnt via=5 .

J

B

u

fl

Lj

1

II.

CILAP.IUE IV

LES ESPACES 1.9 .

Digns tout ce chspitwe, et sauf Indítatícil 9 dÉ'sígz:e LL

esFpate mrlsur3 muni d'unrr mesure

On nute U f au licu dt II G . LP

;10ilat a>0 et B>0.

11-13.2

f(x)- p 11‹11) -1 [1 + •

A quell.c2 wri]tions n GR )

; E T...12 (2) avec p <es.

1) Z3u.t el-isque 1- ES el n enti:er >I on posE

r si ItHrl

M0 ;per que Tnt f dais L(a).

jr' 1 si 1 ri ›n•

2) Soit (2 ) une suíve crois5allEe

.= L sQit k la fonztion ea',:eet'dristique d nn 4

)iontrer. qul xnE f dnns I. (2).

35 nu.nluer que x T f dan t: 1•15(M. n

LCV.S On supp.ose que 15:11‹. Solent 1 11;p<V17-El

Flonlrer que 1.(1 MCL11(1-) 3VCC injection certinue 'plus rnZeisement In a

d'en5EmbleS nEsuráMág teIÉ que

I

9E11 1111 9 q 11E11

Vf E Lq(9,),

Uutílizer Irit,..92g.alitl de Wildt .d.

LLV.4 1

1) Soient lige LP(2) avec I < p<i».

Várifie.r que h(x) • trEax[f(x) ,g(x)1 E LP (SI).

2) Soient (f n) et (gn) deux. suites de If(11) avec 1 cenes que

. f n —4. f dans I.,1" (r2) et gn g dares LP (P).

On pose h

n is hiatc{fn,.gn).

tiontrei; qua hn h flans 1.1(11).

3) Soit (f ri) une suite de LI(1) avec

On Suppase gnu f n f dans LIG.), En g

Montrer f rign #g daos LP (r.).

ern.

I C p •"nu et sy.it (gin) une Suítr! L (n).

p.p. et Prri li ca <C.

Sziiont. k fonctinns f•.f 2 1.-.*Ek. tene5 11.2 f- E Vi, ave':

i‘pi,..1= 1 et L DEI Fi

pcIEC le £(3t) • 17.f -

1 (X) .

L Yontrer 'que f LPG-1,) evet —I . L el.: que

P .1 Pi k II f .11 .

P 1 Pi.

(Comencer par le cas k = 2 ; procIder er_suite par récurrencel

2) En dIduire que si f E I"' n (r,a arree 1 p et 1 ‘i", atoes

f E 1.r (n) pour tout Y Comprig d'are p et q.

Plus. pri9cisr..:inent, si It'on Icrit 1-1 12-4- 1 ave,: 0‹ u C.1 alors P q

Ilfll .1. f " f q

e,1 0 •Ct- r j. j rr 4"1 - •

fl

I V .

1.i

Sgiant I p <4 et 1 4:q<=b,

1) Montrer que Ll (i1) nT:(0 est un seis -ensemble dense de LP(n),

2) Montrer que t' ensemble

(te if(r1) n Lq ; f li g < I}

est fertn dans LP(f).

3) Soit (fn) une suite de 'LP('.2) n Lq(ri) et ECU E LP(n) On tuppose que

f n t dans I,r (1-2) et que e f n i q <C.

Montrer que CEEr(n) et que f

n -4 f dans L

r(n) pour tout t compris entre

p et q, 7:91 q .

G

1 "•.21 Ort suppose que

"".

Soit fe 17(9). Ileontrer que lin IIfII p = 11E11..

2) Solt fE 1 Í LP(e). p4:1

On suppos e qui il existe une ecl.stinte C telSe que

Ilfil 6 C f 14p</e., p

Montrer que le ¿( ).

3) Ccnstruire cine feloction fe ,,,,» tulle que f (20.1 [)

¡isr .g1 Sci.ent 1<p<q<Pi. Soit e(x) une fonction nesurable déSjInie sur f.

Ori suppose qua auELq(2) pour tout u E LP(i'd).

Montrer que al5. 1<r(n) avec Pq

si =

q si F'°° •

(On pourra appliquew 1c thUrIme dux graphe ferm.1],

IV. 9

So it XcL1 (9) un seas-espace vectoriEl ferré. On suppose que

1 5d. 11 Ll(n).

1) Montrer qur r1 existe p> L tel que x 4=LP(n),

ia

[Pour tout entier n> Loa pourra considher l'ensemble

n

xn .(fexnLle(liv) (n) ;

2) Montrer quin existe une constante C telle quÉ

1111 <CM: vfEx,

inilgaUtá d Iterasen.

On svppose que

$Qic j uno fonetion convexe, j # +ffil.

Soit f E 1..1 (2) lel que f(x) E D(j) p.p. el (!}E 1 5 M) •

Montrer que

[71717" cor.vexes.

On 14',7..c.a.t. que !ni

Soit. 1 < p < Soit

""i• tru: fenction IrDn-

vene contiw.1.1.

On eTirSirl.lf.e la fonction I :L111 --P ]-'",'I'l dáfinie 131-r

Eu(x))dx sí 11:0 42 L1(9)

J(u) a 19 4.. si j (u) g I) (51) ..

1) Monzrer que J est convexe.

2) nontrer que J egt s.c.i.

[On pourra commmnwor par SuppOSIET que j» O et utilíser le lwr,ne de Fatou).

3) Prouver que la fonetion conjusule * :L

p (0) 1-c.,~1 est dognée pir

J* (c(x))dx si j (E)ELI(9) 3* (f)

" sí j (011T)(9).

(Lorsque | < p<u2 on 1:•urra introcH ira Jn(u) =J(u) et comencer par

dlterminern

4) On d1;.signa par a3 (resp, 1.11) le sous-difIlrentiel de j (resp. J)

voir problIne

j

D

3

3

u So i trit u E L;19 et f (r1) ; Diorcrer quc

fe .T(0 Z(x) gi(u(m)) p.p. sor

E.gpacee L.1(11) avec

Sud.t 0<c, <1. Ori. pose

Let (n) = {u ; u mesuraimIe et ¡u:" Ll

u(J1.to

11111) •

1) 1.1 rifir que 1.1 (52) est un espace vectoriel r.ais 1 3a n'est pas uue

Plua i.hr-ácillevent mont;cer gol u ,,v Lel (2) u> O p.p. et v7.4.0 p.p. mien!

1 E 1 r

. 2) :'Iont7er que

(u+vj Lulo +1,41 , a

tu.? + Vti,,v E La .

r

r •

1'•

C. L & t 4011: ce-Inve:f.e igEulr 1 p ? th2dEd ¿ C.

1) Simit i<p<7D.. Moritrer qu'U unz:

dft p) telle que

1.5-13 1 15 C(1.2 i P * ibi9 1-1 (1 4 1 11 * 1b1 1:1- 2 1 . 1 5

1fab 1-1

ta dáÉbrits que T.P(2) est i.milwrimiUnent cor.voze rniur l <'5-: 2.

[tleníser a quesd.on. pr6cOder...i.e et l r i..11.11-,allt de ]1E31:1.er].

Ev.74] Sois 10 erais te une const_Inte CÉ >0 telle que

11a+briP-laIP-11.1Pi<ela1 15 +Cia rbIP YB,bEE.

2) Sóic (fm) unl luica ¿a 1P(g) reno q

1) fjx) t(x) p. p,

if LEI suite (fm), est bornáe dans II f p Vn,

Muntret qu.e fe LP C-1) et que

lit I itn I P 1 1 trsia - - $-:

pulla appliquer La questi.c.r, 1) .sveu a =En - et b = f . Il est uti:10 e in- +

troduirei peor 1>Ch fixa, ld. buite kpu I Cf ri IP -I P - I 111-£ - I trE-f

t

une suite de LPG.) 12t soit

f(m.) p.p.

II f § .

f i..15 (5...) tela qL.

tforitrtv .gLie !E O. n p

s d'Egete. e t d vi: ,

en s uppnse que I < cc!

.11n) mi.? quite d'e fc.1.1CtilDrIl CIC3vraSies tenis que

E --h f p.p. (11<e. p,p.).

E) S2.1 4: e.> o 11.1se.

(11.hé I 1.E 1 0 ~ j - 11

2) Plus pri7 ei31-nent, isnit

Sti(a) >

Montret que 15TI

(a)I e,

3) (Elórov). Mantrer que

> 0 resutable tel que

Phil <6 et f uniforiat Eur

[Etant d r 1 entier, prouver Cn titilisant 25 qui existe

tel que I < — et eKiste entier lel que 2 CI3

ifk(X) -EN) I <: Nik Nca , 't?. ; a

4) Nitati). Soit (En) une suite de 1..P(5:15 avec 1 el,

11) lillt>0 315:›0 tel que if 112*1 É Vn

A n

et YA mc-surable avec

<3-

ii) fn —4. f p.p.

Montrer que f ieLP(9) gt" qUe fr -4' f daos LP(2),

IV, l6J Soler $1 = )0.

1) On COn5 idare la surte (f ) de fonctions dlfínies par fn re-"".

r-

Montrer ciue

i) fn

O p.p.

n) est bornéedarsL1 (51),

m) fn

—q. O dans 1.1 (U).

iv) t ty —96- O peur la topologie of1.1 ,1. ).

EKontrer qu'O. n'existe aya le sc.us-salte ebaraite (t ) qui ennverce pour

La topDlo,hie faíble c(11 .17).

2) Uí1-. On eonsidate la suite (3n) dt fcaetit.nt dZficiet. par

1b lip

e- nx

. 151)

Mor.h.r.l.' que

i) ln O P.P.

ii) (sn) zst berrile dans L

Lii) gra O dans LP(2),

iv) gn O pour la topolvgie 011.11,LPI).

Boit I <p <10. Seít (fn) uni d2 1.9(■!) telle que :

1) (fn) ect borne dans LP(n),

ii) fn --h f p.p.

1) Vontrer que fn

pour la topolozie 1(1.1),LP ).

Rin pourra eemneneer par lontrer qunsi fn f paul- 0(LP,IY") et f

n E 24,

aLors f = f p.p. (utilíser Vexercice ILI.4)).

2) Mame eonelusina si 1' on remplact ii) par iiT) fn-11 O .

3) On 5u pese moíotenant que hl <=. et on fait les hypothltes i) et ii).

1L Montrer que HE

q —4 0 pvur tour q, 1 q <p.

lon pourra introduire Les fonetiens tror.quOes Tkfn (voir exercice 1V.2) ou

bien utiliser Egorold.

Fonction5 de Rademacher,

Soi_t I <p‹~ et sea f E 1.10e CF) On supp-ose que f est T-périedique i.e.

f(21.4-11=f(E) p,p,

On pose T

7 1• 1-1 f(t)dc. 0

On 'l'ansiare la suite (un) de TY(0,1) délinie par

un(x)=-f(nx), xe- ]0,][.

]) Montrer que un ---f dann 1.11(0,I) pour la topologia 0(1.P.LPI).

2) Détermiber tia HUp c. L

3) ítaam:rwr 1(J:: e;semples luivants

(;,1) .= sirL 4x,

ui) un

(y.) ) o et

« xE ,12[

f (x) si xE]IJ2,If.

1.415 fonctionn de l'exemple Ii) sorit les 49nets:ons ladem=;ler.

TI-5711

1) Scnt {gin) une suite de I.PM) avec 1 <p<ts et sois EELP (n). sup-

pose que ;

i) f f pour cr(LP,L17 ),

ii) Uf Up —+ Wt1 .

Montrer que fn f fortement dans Lr

2) ccristruire une suite (fn) de LI(0.1), £1:1 10

i) fn f pour

telle que

ii) II 111 11 —1- In'.

ii i) II En-f El C.

3) CrD;n5:laer aux résultats de rr eizerdcl

On suppeSe que 111 :5olerte 1 ‹? ee I <

Sóit a :11 —hl une fonction ccuelnibil telle qu2

la(t)I <C (1C17/9•+ i) VtEE

On eónsidinre l'application A : (n) 1.- ri. (51) difirds par

(.40(x) a atu(x)),, Y:Grr,

1). Hornrer que A 12st continu d LP(:) lórt .dans CI(V►) Uvrt,

2} (ir, prend kci W - 10,1[. On suppate qua pt.ut tOUtÉ GIF (U) Celle

que u

u róur ce-P.LP ) atoes Aun -- Au pvor rILIL I FY ) •

wórrer que la fr=rícird a est tr1=1

[01 1.0.1r.r util iser '25 fDpótious de Rad.1,.neher voir exiorríne IV .1.;]

2tar5L Erinctizr u — oft prps.c u (x) E j 1w4 1' .

1) Lui)reise K:Ut U o e Leca) :Avec 1 ‹r, p !.:entter

(1,1 11. .

O danIT

2) Qn SuppoSE que U0.'1: L 0:1.) et 1 1,1e u

O (x) -4 O qlland 1%1 —1' al au $1115 sud-

vont

poor t011t 6 -5 O 1 'E nsetie Cluo I > 6] e5 r. de mesure '!inie,

W Mane rar qUe 0 dans L (11.) puur (L ,

.4).

3) Qn peend '•1 0 7]U ' i

MontTer ji e q e.X.5 te aurune shas-suite U (u ) n

covergil ns T i M) nk

pou y o. (1.1 ;L) ,

11.M

1) Seit (fu) une suite de 1.1)(51) aren et soir 1E E-13 ( 1:2) .

Nontrt; que les deuK prOpriltd5 scnt lquivzlienter..

n (A) f

n .-4" É :Jour la topoleigic Q(1-1..1...

1N4 ).

1 Of a e

(13) j et í f -4. f f VEt=1-:, E eicurable el [E[<''''

E. n E.

2) 54 p= 1 et 1472[.(ix vUifier 14.e (l) ' -1 (B).

1) On Guppose nain....enant que p =1 et que ini Montree que (A.1 <B).

Censtruire exente nersirsnL que, en 8,L;nral, (11) V"

kin poi rta u1.1i9er l ' exetei,te IV.21, qurstion 1)i,

11) Soit U£) une suite da 1.10) et snie fE 1. 1 (1-1) avec

a) E ZIO Yn et f>0 p,p, 11.L

I f' b) ieft

e) f , n

f YE= u E plsrAbte et E

Moutrec que fu — f dens 1..1 (1;)

[Gr. biourfa per pe.7.uver que

in

í F mesurab-Le et

E

On SUppOSe

j

V111.21 1 Soit 111 —.11, una r. price ion orsut-21-..1 e e L 1} < . hlr pn.-

pY3r! de mor L'r.2r que 11 ans,-...rb le

CD{oELP(i,72) 1 u>1 p.p.}

e.st fartaC daos 1.P (n) polar La cDp:D1c.cl.t G(1..9,111 ).

rt tensie.lee d r aboed le eas. L i p<ts.>

) ?..:ontree que C est eonvexe et dar-5 LP (It) fort.. En dil.duire .gue C

ferné .,:eirr la topologic g(L12 ,1.Y 1 )..

Orb tansidre mainterlant le eas p =te,.

2) !.:entrar

1;1,P;"offE.P WeL1(r;), rzPeLie” et tPLID

ron

intrchavire L.>n.• [Ifi <ft11.

ter=eneer par supposer que f E L bens le c2.s alrtral on pourr..1

r

1

í

r L

E

3) Ea déduire. q e esc ftaié dan pour la tapcilc.gie cF(1-7,I)).

4) Solenr Éf2 E L.E.(0) avec f 1 p llontrz e que L'ensembl.e

{1-111° {F! 11 "12 P`P`}

st coTcpac t dans 1:(0) polar la tcipolnin

Ly . Ei 1 So t u€ R19) Spit cl) salte r5gulariserte,Soic ift ) une

03 N suite L (IR ) Lene que

ln

II n

< 1 Yri et

f P•P- sur E

On pose

1T = n

p (cnu) n

1) gernt .cer que 51 V dans m

) pvur la topologia o(1:".1.1),

i 2) Z:unLrer cLUC IV -Id -p O pOUr tOULC inule 11

a '

4.,

uhit ri,zzN iwt

1) SoiL Illastcer q'1• i1 exis.te 4:112 SUitl) dn c7m) teLln riye

a) 111E n u

13) la —3. 4l p..p. don- P

45 c) u. u dans 1. (2) pwit la topolozin c(1.. 1 ).

2) Si d.t plus uzw0 p. p. monrrer l'pn phaut prendre en cutre

3) V6liEler gut e (P) eSt > uen9e dl.ns mur la co...ulnia

TIV.26 1 8tDitti

un ouvert et soir: f E Li (r.» loe

mnnlrer que f 1.1(l Si el.: sel.klerit

Supl j£1.5 c.c (01 11E1)11. < 1 } <el

et dans ce cas A = fir 11 1 .

21 Hontrer que f+ E Lle-g) Si et selatement si

•

B- Suptflq) ; tACc. IP-Pri '7 4 1 /415:"-"D1 < 9'

eL das ce eas 1E1 D f+

.3) t'Ulises questions si. 'cin rer.plaee Cc (i1) par Ce n1(2).

4) En déduire que -

ef f19 ,"

Et (..ÍZT:3 O

em e..0)

\kPEC:(P) 7$

111 2 22 j Soft nca n claven. Seient 11,1.2e Ll (11) tela que u*O p.p. sur

un sous-enzemble de n de mesure posir.ivet.

On supposh que

koe c:(11) fuo> 0) .• (Ivso o\

i" • Eontrnr qu iil existe une enrist&rit-¿: )4> O ten* quei

vi= .1u .

I 1;..571 503.E LIZ") que p 1 Ort rr) ql P (x) ° ;,;;(0x).

•

SciltZELI5 e.ii1.19 )

Mvutrer "" *2 dArts L?&) • in

I.V.29 I Scvi,t Y, rIR,11 un ccuipact.

Horttrftr que pour rout end.er n> l il existe une fonetlou telle rh

a) 0<un sur .11, IT

Ir) un = i sur K,

e) Supp un c K + b O , 119 ,

Inillu rt( x) I 4Can i i'l l VicEZN

va multi-entiar

(ca e eh:. une constaott qui dépend !.:.eult•rzent de 0.).

[Suit xn la fo.r4tiort carectIrstlque. de l'ens2.,:ible +15(0..t.

▪

pourra prendre

21% * Kia).

„ izii.ent 1 .Qp

1 tele que

, vri pasa.

P q

1 — —

1 —1

-1 de scitte que 1 .N: £.Q..„ P q

5.pient f E LP ar1,11) et g E Lel-ORN).

H

mor.trer que pour presque Laut E>ri.c don. y E-4, f(x-y).g(y)

C5E tir

intilareblt sur .

[011, pourra int.roduire a EI piq u i, c1/p' et .1crire

1f (x—y)g (y) - 1 f —y)] 11 Rcy)i 113 ( 1 E( — y ) I I- —a g 11—d)

3

2) On. pose

L

U* 8)(z) = 133111, (x`Y)1 (Y) d'Y.

f * g l,r et quef * 2, lir

g, .

3) On suppost meintenenZ que / —4 I—* 1. P q

!-Soni_ret que U* ig,)C c(0,1 ril..0111) et que Si 1 <p <"

(e* ¿I) (x) 1:1 quid [.r:

Frani:Cr guC

a1ors

770...111 1 Son .1- E 1.17.11)

Feut c!-Laque r›O ort pos..e

1 fr Ix1 -1. 13 p Z) I j br,r)

1) Mantear que fr

Z LP Q1111 ) ti CaN ) et que f r(x.) ---> 711

2) Mottrer que fr

E lona t<p ) L.

[Ort pi:1u rra .1crIré ir f woec cpr epümertablement cho-LsiJ..

L

1) Soient f .1E L1 (0.11 ) et h 1,0.) avec 1 p m.

Véririer que I* f et que U 91 S) Ir h= f* (8, Ñh)

w N 2) U1.1.1 1. 2 01:14 ) ; pn supp.ose que Goa. ) bki.ntrer que. f - p..p . sur IR Clinérallser au. .cas EE L1 CRII)

142c

rl

hif-11N <1 LP M

3) Mane rar que 5dc > Q :=c).11: puye et burrtl

et VEeri-

que

11111 aves 3

11 solt 1,EEL) ) une fanctioa cpusiare 1'op4r.eiteur

T MIS --I. L2 O?) cláfimr, par

Tí E,

rrY Kif i2r que T es t t'orna. DétErmialr T TI*

et T*T ; que remarque-t-oo

A gutlle candition sur g a-t-o 7 T

1

r 1 111.33 1 Oii /-xe Line f oncljo n 4ple C CR1) F O et on o^.11dre 12 fa mi1la

da forte tons r

L

oa w(x4n) F ?t'EJ.

.1) Sóit 117.p 4C.n. Montrer Tát VE >0 5 :15.131 rli que

Th

i p

Vh evec LhI<5 et ' e7.

2) Murnit..:Er 1:0141: n'est. p49 conpuct LPM1.11 )..

ezt

E'7, 5F 1..;o 1,t S'un nout.-enzmmbi de T-Q".111)

verteri z. k5.3 s LP CRI).

blcintrEc que 57 as t bcyrn.G...

Nüntrer VE >0 96>C1 tel que

p.var. I 'g. p <-.. On SUI2

1 f I N < V!'

LP CR VI)

Cenápar.er au corvliáirt IV. 26.

PAhrml 1.`.05:1 T , % une ECITLCtiDTL f 1}:19 avec 1 <0. et scit ni. 3s

oil 35 dZsigue un ticirml de 1.1 0115-

Itnattlr que ..7[ n est r.alat eir.pact dari LP (2) pout tcLSL auve CL

111 Inr.111 11.i . Compare:. au C5re11.1fte 11l, 27

J:?mi-intJgrobic.

on dit qu'un spliá-ensemb.le 7wL 1 (n) est ¿trii—ínt42rabl.e s'a

les propTiLltls áuivallte.w

(a) Yest bGra.1 dans L1( 5-1) (1)

W:>0 93>0 tel que

(b) ifi<e E g. E meswabl.5 aves 11

E

Vf. e 7,

Vg>al a'AJC:n mesurdbIe avec led:<:,-; tel qua

(e) f <E VI EY.

soic m y une sulla erGissanté d r tnSCUblaa másurábleS DV.EQ. i I <- vn,

cella crut n

I) Meintrey que :Fest

(d) lit sup 1 1 1"0

ái et seulement si on a :

et

(e) lim 11115 1([ IQ- 1.919

• 0,

2) Ilkuir.rer gut Gi 7=1.1(-1) Ott relatZveL.Ank eobliact c!ons T)(9) alors7

est zlquI—J.,71L4rale. La rIcti;tóque ust-elln vrai?.2

(1) On pe:Jc montrer que (A) est unt consquence de (b) et (e) si 14 mesure

est diffJ.se (ne. sans aLomES. ciDnEij&er par "Empla rd =r1.11 cual de la mesure de Lebesgue.

CHAP I 'In IV

2)

Nater que hn ri.

+ f n + g).

3) Nater que f ngn (En-f)gn f (gn-g) et que f(gn-g) o arls LP (12) par

converGene■ dorniné.e.

1) Notar que 1.1 (1:) n1.(1) c:LP(n) et plus pr&ti_sifrerit f Pf 1:1 1.

CQL11.2.9. n est o-f 1crit n.Uri ave Ir: :"<all Vn. U n

Etz.nt deinnil fe T"(n) alqrs xn n -.7 1.1 (Z) n Cel) xT f—fdr..ns n n-rl"

L(P.) (vut: exareice

2) Suit ur.e suite .d.e LP (12) nt5e1:, teuE quAl. dar 1.P(2)

f II ql I r. q

C,ri,e.te & extr.: ire une soug -si.lít e cm peut wurpuner quo f.n f p•r• (tbln-

raue 11/.9). en décluLt du leame s Faitou que f T.1/42) et lif q <1.

3) On sait cuja. gráce 1 la questian 2), que fET-.1(51) et dore fELr t,.9)

pour tour r compris entre 13 et q. D'autre purt on 1-a vec. O 4 i k),

23

L.

L.

1A

Alors

1AL*0 et 11 e' ›lz_IA1 1113

Par suite lim inf ilf > 1‹. Yke et soit A défini :orna ei-dessus, Alurs kP LA

\P et done IALI C "fp. IL en résuIte que LAHO.

3) f(x)= 1131!xj.

1%1.8 On considére l'opérateur linéaire T:LF(9) Lq(Q) d'áfiJi par

Tu, = Du. Le zrohe de T est farm1. En effet, soit (un) une suite de 'Y( ) telle

que un

dans LF(n) et aun

! dans Lq(n)- Quite á extraire me SOug-suite

on peut suppuser qua un u p.p. et aun f p .p . Done f =au r,p. i.e. f ••• Tu.

'Par suite T est un opérateur borné (théorlme 11.7) et il existe une eont-

tante C telle que

II auli Vu E LP(ri)

ler ces 1 p<1',

On d¿l:dut ae (1) que .

jial q hri < CgAvii piq Vvegig0).

L'aplicat¡an y 1+,1, J141q1, défínit une forme linéaire LI.n.tinue sur I.PkG” et

par constquent al e l.(Pk) (5» •

2iéele Inas p

On choisit u 4 1 dans (I).

1) > t'uní de la norma II II 1 est un espaee de Benauh. ?out ehaque n, Xn

est un sets-ensemble ferié de X (voir exereiee

D'autre parí' 'i X =X. rn effet, soit fEX ; íl existe q> 1 tel que 5

f e! Lti (2) . Done f E LI + I in(n) dls que 1 +--.41q et de plus

an In 1-1211 1-0.n I 1f II , II f II

l II f II ave.: —.1.

'Ha., q 14, -T-n7 . i

q

Par conséquent fe):n

pour a assez grand.

r

n

L.;

1.2IRCC a:.1 1 DülEkr, kl exihku r tea. que _Luc 2b11.

1- 4> r Suite

XeLl+Un

().

2) L'identitá I X esc un opa'alilur den.t es.t

ús t donc LrL opérateur borné

Sc ir On a

f(Y.)1,j(E(x)) + j (t) p.p. sur

et en int'j-zrz;nr on obtí.ent

Sup fi) e j.? (L)}<AT j'U), e;11 1 11 1

111 17-

1) SoiEnt1, u2 E Duy et t E [11,1]. Al..ctrs ± tul T Lb 47) est. nasuz- z.ble

(u,tr j .C9C anneinun>, j r autre yart (tul + (I -t)u2) Lj (1,q) * (71-t)jeu2). Enlin

ti exis.iz des constzw¿es` ,2 ce b quc j j a5 +S Vverg,,

j (tu: + 41-Gu2) E L1 (.".) et + ( -1)111) + (1-0.2,11.1.2) .

2) SuppQ3ons crabnrd que j ›0 › SQ i 4 EV.,. Ii1 ens2451e

{LIE ; J(u)

est fermZ. Ert effee son (14n) une ssjita de (5:1) telle que u

n .1.L dans L,P(5:2)

.:; et j (i.L.a) X. Qui t te .á ext.:Eire une sous-suite té.. cin pflut S uppuser qui2 u --I' u 1....p, 2

11 f déduit du le= á de rz.lou qua j (u) E li t (5i) t qu.2 _:. (u) 1_ Done J 'tse s ,e ii ,

Darte It tan ore pn52 j(s) = j(s) -as - b e, Alors 3 eá.r. Ét done

áussi J (u) = + afu +b[:17.1

3) notons d abord que

Ir 1/21 (r)

ir 1Z) sí (f)E L I (P).

elEet on a

fu - (u) < jir (1) p.p•

et done

Sup{ r] f u - j'y] (u )} 9: 13* ( f), u

L'inégalité inverse ást plus délicate. Qn coutence ptir supposer c.ut I <p <ma.

On pose

4(0 = (t) tj15,, ter,. r

On va .montzer que

Erg Boit f L91 (9) ; pOur presque- 1:out 3cE fi-Né

1 p Sup{ (x.)n - j -IuF } uerl.

ES E aireint en ur, po ,atique noté u(x) tel que

f(x)u(z) j(0).

r-

r

L

r

11 en rLsi 1 te quo UE (-15(r) et que

tune jn(t):::1'

r j*

n(f) ; 1.1r on

Ir ft curnz J.::

211.1., en a .5 < .T i....e,

* DiaurtP pi': ̀t., pour i:out ser", j ri

(voir elltreice 22) .1t or p 4c r1e

On ocndur s gr'iut ru 1é0

I F- 1.-11:12) (Pobrq-Jci

ínver,le, (1)

* Iii f i ri er y Ir:" i (1) •

,s. (s) : j* 4,S) eltari u e - ¡ en 1.1.7 £1.: 41.

ensuite corme á l'exer.t.irls 1.23.

converzer_ce rrxmcrione que i f 7.1(1 )

.

,g- ti :•1 '4 .-i VI'

alors

_\1'. i •

1

1 jii

(f)qL1 (2) er (n

I?aris Le cas r = on reprzr4 la cnIthode ci-dwasus, par LIcemple. avec

(t)

4) Cra su pose d'abord f(x) e 3 J., (11(x)) p.p. sur P. Alors

(v.) -i(.(„))›.,,,,,,(v -u(x)) VvEt et p.p. saz P.

Pranant v=0 on voit cluC 3(u) e L: (1.1) et done

J (u) j (v-u) Ifve D().

Inversement supposons que felli(u) alors on a -TM +.1*(04E15.u.

Ponc

j(u) E L1 (n) j* < o E L1 (9) et {j(u) +j'Ir (£) - fu} =0-

Circe j (u) + (E) - fu >0 p.p, on concluí que

j (u) + j(f) - fu p.p. i.e. f ■ Di (u) p.p.

I IV 12j Ori pene f v' et p= I .

11 s'alfa d montrer que

P ipp l/Ply (IfY1 +(fg) < ilk f On DGae a • ft ct b= )L de aorte que

aP bP .1j-1 f bP- 1 8 < f(yobP) LIP I (flinP) I IP

(aP4bP) fp j(£pisp)1 /p .

D l oCh (ar-pbP)11'4114(EPi-zP)1/P i.e, (l).

1) On 5e razáne a .prouar que

{ t IP+1 ) 1-5 t + 1 - 9111-111P)24 N

Inf - 2

tE 1 + I 1 t-i IP

1.1 aulfit de wIntler que

[-1,91] re I t-11 2

pc la fonotion Lp(t).• 1 ti ' •L 1 '" 21111 9 vérifie

4.p(t)>0 Yte[-l p +13, 1,p(1)i.lip1 (1)-0 et .4"(I)>0.

1) On se rarkne á montrer que slft>0 Ue >0 tel que

1lef1IP -it115.-11<ELti+ec

VtER ;

ceci .1quivaut á

(!)

i t IP + 1 - 214.¡P { lel - -

O.

n Li

u

EJ

u

u

9

n

3 i

fi

j

1

1

i (+II' -itiP- i o.

Itip

On a Co<lin ee lf11) et akitre pare (Pri. —1. D p.p. On en dIduit

vergence dooinée que O. Par ailleurs on a

IfI P- If n-f1P 1

ri I 1 f n i P If if n-f1P 1 <141:1 + 1(710P -

litri aun Ve :›0 n441

et par consáquent ti

lin 111f n

I P - -flP i =O. rrfro,

3) App1iqu«rr la question 2).

ID: 7111

1) Ét 2) Soit gn i.rxs (fur.,:tion elraetflristirLut 11e St.), Almrs 11

et tZ on en dr.:12,,,iit par corf-grsenee ...1"9") que ig i•c` n

is 1 —1- G. n

3) Soit m> 1 éntier ; on appliskda la ques.dor. :1... ee 3,

trouvet un entier Nal tel que I5N II) 2.21

Ort pose E ■ S,m et on a done

= On rwat. de =,

fk (1) -E(x)( qQ-1- Yk> hl YKE

tá

Ork pose enf in A U E= de sorte que LAI Montrars quli En f uniformé:: n:

sur ri \ A. Et3nt clonné >0 on fixe un enti.er ae > On a done

I fk(x)--f(x)1 <e Vkii- m 1

V>: e 91 Erao •

et a fortiori

• 1 f

k(x)-f (x), <e 'VI>

m xe In A. o

4) Etant donal c>0 nn fixe d'abord 6>C1 grhe i) et puis Acá gr;1ce

la question 3), On a done

Par con-

et done

it víent

1 et

£n —+ f uniformémane sur n\A.

A n• I if 1P"íe Vn

1 On en délluit (par Fatou) que rf IP. < e et

FIV:al

l) Notar que fria --. 0 kikpeCa(n). Supposons, par l'absurda, que

rn

--`f pour o(L1,1.1*). k

Alors ffimg = 0 \-kpEC(11) et par sume (lema IV.2) f =0 p.p.

D'autrT pa:t, on a jfnk-4. jf ■ 0 ; mais-t

dt --* 1 absurde.

2) iv) Voter quo f. 1.D 0 WEICc

(n) et utíliser te feil. que Ce(Q) elt

den-5e flans LP 1 0) (ear p>1 et

11751,!._17.1

1) Prouvons d'ob3rd quQ si une suite, (f)

f f pina. la tppolnie 0(1.1,LP'),

b) Ir a r p.p.

alors f ="1. 1!

En aftet, ih existe uta suite (gn) de LPU) telle que

c) grLE convt fn, f t -

d) gri tortement 445215 I F M.

Il 1. suite de b) et c) que ga f p4p.

D'autra pare (thr5orlme exíste une sous-suite (s ) tecle que nk

0.

8k f p.p. Done f p.p. •

Montrons maincenanz vous les bypothlses i) et ii) que f

1, pour

topolosie

On Extraít une sous-suite (f ) telle q u.e E f pour la topolegie

P

nk

u(Lr,Lr ). GrUe a ce qui précUle on a f .7. p.p. L'unicité d€ La limite" en-

A

lErt-i115 + Ifti-f1P2/3e+ A 91A L 211 j \

3

J

r

u

r

et Une

lis sklp fif T1-fi q (20q 81-(.1111) VS .5 11-141

•

1 1V . ,3 ]

1) On v rifie ai:55;nent que j u Li(t)dt (1i-a)7. On en déduit que u

n --

pour

) si I <p (ear les fenctions et escalier sent alors denses dans

LiPt ). Lorsque !El) (11) un approrhe f par une fenction E Lid(E1), T-périodique, ice

tiene quÉ - if-.g; <c.

Soit v(x) P g(m), xE 10, I[ ct soit LDEL On

I jun.11) - 4,1 2.1 II K.P II -

et done 1.122 lu an 'Jur? -1101 < 2c II c7g Ve > O • Par r_Qr.séquent un -1« f pour la L 11~

topplOsit

2) 11a Eu = r, rT j!ip

ir.. n p Ti

3) i) un O pour la toriJ]cgie o fL7 ,L1 )

.E) tin 210.+” pour 14 ropcitggi (t. F T. á )

1) leit (un) unC suite de LP (51) talle que un -- u dann LP(1.2) rart. On peuc

L

r

extraire 1.1n€ 5011S-su i te talle que unil(x) u(x) p.p. rt lu 1 <v Vk avec

VE. 1,01) (théorlme .111.9),

On en dédul.t par converger--ea dominéa que Au Au dar_a Lq(5-.)

V"unicité de la limita"" perrnet de conclure qug lotete 12. suite Aun —P- Au

(dé ta 1.1 ler ! )

2) On utilice la suite (u ? die Vezercice 1V. 15, question 3 ii). Alors

au 2(0413) et Aun -. , -ta(a)+a(e)). On en déduir que

(0.4 a ki 2 I'la(a) 4 a ( ) ) Yei , e

Ét done La fonction a est nécessairement uffínr.

iraine que erute la suite (fu) converge faibleenent vez-5 f (détailler ie rai-

sontement),

2) Cn extreit une aous-suite nk) talle que E -4` f ptp, D'apr'ás ce

qui précIde on sait que f f pour la topologle a(LP,LP ). runicitá de la

limite" entrame que tem te la suite (f u) converge faiblerent vers t (détailter

raisonnetent).

3) l'are mIthode, On écrit

(1) II frif < - II + a - + tí -f q En Tkf n q Tkfn Tkf q rkf q

PeUr t, .t k >0 on. a

f i f n-Tkf ti lti< 1[ifj>k]

f fn141 . a

pl áutre plrt oa 2

r I 1Pcri er donc kPqf If Il<CP.

111 lifrjkl.

On er c:ue

( (2) E f

GroYIS -T

n 1 fVa,

4- q

L2 1 per,Q 41 rAtc.,2. enteiatr,e qu.r.

cP \l /q (3) II f-Til f II q

CP ale Etairt donn5 1:50, on fino k as set goa d pinur que (-21 <t, Par conver.

kl-li dominie cn cit qu2 II Ykf A-Tkf i1q r O et done i.1 Exísto. tel

1-0, que

(4)

Ca=binant

E Tkn-Tk f II q < g sdn,› N.

(1) (2) (3) et (4) %D.n obtient

f ri-1 II q <3f, Va> N,

tel que

nue 2,..é.Lhode. On applique Egorov étant danná 6>0 YL existe Aen

!Ai et. En

f uni.forOnieut sur écrit

ílf í in A A

f n-f el.,(2‘isa + II f n

-f li p IA11-(q/P)

4 I fn-f I q. Ini (2C)11 61-111/P) L (0 A.)

v. 271

I) VErifier que f u (t)dt —P- O

den.sité. dans 4' OR) des fonerions en esealier,

2) Voter que I un(t)ds —.0 VI Intervalle borné.. En effet, Gtant donné

E>O, on fixe 3>0 r21 que 1(11%1 11. 1L1) <e. en pose [iu01 > 6], Chrl

un(t)dt ti

ci.(c)dt u .1 u

14.n III-T011 e ICE4-il)n.

Qix chois i t dc. serte que I (I-in) Er ‹.5 \In> Y Cpourquoi est-ce possibe

0n a abra

jilin(t)dt ‹: ¿ilL <:e Va>

c,nalure grIce la densité c:ans LlaR) des funr.tiens en scaiier.

SuppoBens que urt k

tiesa par

–4- u dans L1 C1) p.= Q (L1 4 4.4.) OR cons'id.brc la fonc-

Alurs jun (-I. ne converle pas k_

1 ry.2.2]

prouver que (B) Pi (A) utilser le fait que lias:uce vectori el

an3andr.'3 p.nr lee fon(tíons 7CE avec E nesurable nu 1I1 <os est dense dial Lr

(tir 1 <p' <ed) .

2) Utíliser le fait que l'e£pece vectorial [hal. les fe-rictious

Ect9, E m2surable5 esZ dense dará L21( ) ( justifier eeLte assertiun 1).

ti) Etapa dor,ft E>0 Cirt riNe wc t .13 ner5 .11r2bit 1411; < et

(1)

CID a

l<1

(2)

et' donc

f .,(j f fi.L)+( ,) ,Fko 1„ 2

I E= j. E 4, o(rJ gtrula d b) et a)

VI intervlle borré. Conelure E,r:ice 1 la

•

DI autrC pAtt, .n.11 a

cc dpne

•r f n u = 17 I- o(I) n Intu

f-J

f ■ (1. -C)+D(I). F F rn. 11

Colabinant (1), {2) at (3) ou voiL rc.us

lirfa-f» +D(1).

Oh, en d.Eduit jF € Lt

--D. j f.

-1 utillsá.li Le pJC +,!rii;y2n,J7.- ¿= p?ir Len

fencticns c...P.2c P, F I.L Ir I e5 der.z... danl L (6) (juát::_fier

FTV7571

1.) 1-1.7. 2.! ) ni_[ te de C L.21. 1.e. 11. 11 tito de t,3 fw.- On paur

Trnill-nwitE. (L ) r,ue -4 u p 1 ii 11;2

p-p

iti

2) so:l.t LIE 1.72 () 1-.....1 rIv e

.1 r

•P'

1.-z1 L qdr u> f

n Tk

fi [lEi<n] sir; ti L; 9.

Suit A ir [11 < ) isane „ quin I E-u! 1+0 et rione

n 1.15. r1 ZI P

Slzr cc.p56'quent 1A1 0 -

3) 1Zoler que pu:- LPE (i” ÑLL Avm 14 1 12) 1. 1 e,!nb e

I e 1.1 j(u 11(» '1, 141,0"5 .C1,411 't e LEA pour 1c t:...pribn,ie o (T.7,:r-1) .

I ›:2.14

11) .Selit :reL1 0:::r) ia

K.Pd ! u (;) jui: (15 n .1

11'

er done

1 s p149.91 2.uH VIn + RuE n-0,01 .

Le premier terne tcrA ve=s O grace 19u 41110~ IV.22 el le st.eond terne tend

vera O par eonversence deminéc.

2) Sepit s,fi(x o,R) cc snit 'g. la fonerion rar¿ictristiqufl de 1(1<0,71.+L).

P050115 yn =p or“

axu) alors

n • v

a sur B(x0,B.). En effet

ft

SUPP(VII-vn'ic:Z(0,D A-S(X0 ,?..+]) .

D'IutrE pare

ivri-v I -

IP T1*(1;3,1- -i)(11 1 I (15 5 I

L. .111. • 1r4 n .1F

r

1: Le prol.onement de u per 0 en deheirs de .71. Soit

nn • {xe Li51:1•X,n) 41t < .

Spit gil (resp. 0 la fonction caraccUistiwa de n (resp, 0) de corle que

ifi

C lur S11 .

ot pose

va = pinik

(C

Alors y (f:) et gráce á l'eil«ecice TV, 24. Qn a n

O pour tete boule 3. 1.

Pour duque beule peut done extraire une 5c.u5-suir2 qui converge vers

u p.p. sur B. Pul- un proellid de $uite d: gomal or< construiC une coas-suita

,N ez.c.traite (.J ) qvii converge vers p. p. sur • nk

1) Supposors que .A.<‘*. Meintrons que f 1.1 (2) et 1 <A. On a

1 I ftpi A ll LP:I n V..pe Ce (9 ) .

e

$oit Xcri compact et sait y C Ce(2) aves 0;:.n et = 1 sur K.

Snit e ; on corta idee une Suite lun. ) de Cc 42) teiie que

E ti II iC I; u II et u •-"I p. p sin. a Pa

(voir exerziee IV.25)„ en a

iffiPun 1

A la limite bar convervnce dominét) on obtient

Iff1/11 1 Allull. \fue T..(r2) .

Prerant u - sisrm(f) on voit que 'fi ‹A.Ceraine K est un compc...rt arbitraire

de 11 on g d4duit que f€L1 (n) ét

2) Srppzgons que B On a

ft-4941B VOE C

c (I1) tp›.

Reprenant a mlr't mlithud.a qu'al la questiun 1) qn obtient

Prenant

Niu E 1,19 (n) , u> O.

u m.X [f>ji on volít que f+ CF., EC.

. enEmere par examíner une situatior. RbstraiLe. Soit E 1,;.:1

et sciertr, doint formes linéaires sur E tt.1.1.es que f 4 O. On suppose q!.

(ct)E E et f (49) >0) (z.(q)) >0).

On v Mentrer exil.te une r_orstants I>C5 te11,e que gil. hf.

fiXe IP E t tal que f(141 ) - Pour cha u2 01-: E on

pr done

f(49- f(I,P)(9 + E1,0 )=E >o 0 o

*Fi f (;P)LP0 stP O Ye>0,

'ar suite .00 00g (01, ) VIDE E.

Posan 1,P O on obtient

E-PC:(11), Ey» = fulp et

01511, 1

limJ o 1) et 2). Notc.r que -pI = l et d'eutre p¿hrt (1-6)r • p,

(1-0)r= q.

On écrit (x étent fixé)

f(x-y)0(y) =kZli (y)111 2 (y)LP 3 (y),,

avec 1 (y) = I f :.x-y) 4p2 (y) j g( y) 1 13 et 03 (y) - L f (x-y) r c(y) I I

Dozw

a' N ' [pi E L 01 ) at 102 E= 1,9 ter,) .

Par eilIcurs

ItP3(y) l r - 1 f(x—y)11%.(y)1q. Grice &u théorcle /V.15 on sait que pour presque tout xERST la fonctien hp3(y) i r

est intágr¿ble. Apr;iguent 1161der ('oir exercide I'1.5) on en cIde.lt que pour prea-

gut t .,I.ut 1‹.=¿h. la fónction y 4-* f(x-y)g(y) est int4.rab1e et

lir fir( -Y)i l g())!IIV HEU: 1 2. 1 (j[E(21-Y)[ P ig(Y)1 11Jy) •

1(hz)001r < ofillítür flf u—y)111i.1(y)1°.d y GC uar c..‹.-164Jeat

11.1(9.g)(E)[rdxI. P

ar lIgl Ir lif11 7 0stl q = eff« r EeP T P q . P u.q.

3) Si I, .1-1:1< ,d. e.... 1 <41<id, ii existe des suite& i:fn) et Izn) darbs Ce L iti-

n

les que f n dares LP ) et g

n g da Lela ). Alorm f nilbgriGcc

) et

li U:en5 - (Vis) II -, 0.

Par eónsquent (1q)(50 O gumnd lx1

EI4 .3 4 Etant donnl É3›. 0 on recouwre ,r parun nombre fini de boul,ls

11(f it e).

2) Pour cbaklue I, il existe d i>0 re1 gut

ll-thfi.- `i II In: <e TheP.11 avec ihi <di Lv )

(Noir le=e

On 1:10 5 e 45 = Hin V.Er if ier que I .i.11-11

1T f -ni <3E lilt1.11 aves I-`1q<ó et YfE:F,

3) Pour eNlí te fi- cP11 ouverl bornÉ que

I E i p—N <E,

L huar i)

an pcsc p. = Vériltler que

LP < E ;7,

CR. U)

CHAPITRE V

LES ESPACES DE HiLBERT

Dans toa& la eteíte H décigne un eopace de Hilbert muni du produit sca-

(,) et do la norme aszocide 1 1.

17-11.11 Identité parallél-ogYzerte

iL E un e.v.n. tient la norme II tt vérifie parallélegrecoe,

alrb r 2 + lia,..b1 2 ..2(11aW 2 +11111! 2),

On 5e prot-ise de montrer que l'expresslon

(utv) —z 2- 1 u v 2 ) u.0 =7 E

Jéiinit produit scalaire te1 que (14„.1)

1) VIrificr que

(u,v) ■L(v,u), (..-u„v) - (upv) et (ii 0 2v) r 21ful i V) 4/L1,V E.

2) Montrar que

(u+v (u 1.51) + (y r w.) vt! v E.

[On peurra avitej(i)

ar'r

a.u, my > GO a Ru-mq, b = et (in) IP u +;?-. ..id

31' nonti:el- que Dm o v) a 4u ,v) EIR Yu,v r: E,

leonsUirer d'abord le ces 15,:i >C1.9, puis A r: et .erti A CM é

Conclure.

- r

soit 1 un eepaCe asead muni d' une newure On euppose quril

existe A¿;'11 meSUrable aves OZIAI

On =aídlre l'e5paca tP(n) avec 1 4:134.fa muni de sa ,orne usuella 1 1 .

1.0ntrer que R g na várifia paf l'i1entitQ du paralillogranne, sauf

si

(Don pourra considéret deu lonceions a 5uppotts disjoints].

• <

t._.

iy,31 Sqi.l.nt (u ) une suiza de H et (tn) une suite de 1Q1

11. que

• (tnn-tmumi

un-um)AZO Vm,n.

1) On 5uppose qué la suite (tn) e5t cruisBante (non nécessalwemene

bprtváe).

Montrer que la utii,te (un) .converge.

peurra ommenaer par vlrifier qué la cuita lun1 est dbroissantel,

2) On cipmlost que la suite (t1) est décroiaaante.

10fttrer Libe 'i on a Valternative

ou bien [un -4'

(2Y) .511 1-len (o r) ennverge.

si c -- 4>Q airare (un) converge et si e

n lez cas et

(Li) peuvlInl; s'E produire.

j ,bolt Lcin un convexa; fenal' non vide. Stie.tt E1FH et - f.

montcer que

iv-u12‹ iv-f12 -

tri d,Sduiyo que

kr-14 1V-11 11*

InterprItation OorLatrique.

u grit~9T"P"IliTurim,r•tir•7 • EP %-

1) Soit (KII) une suite déoroiwanto de convexes ferrus de H selle que

I n

liontrer qu4t, ?our triut fl:fl, La suite un.i?f converge (ftirtement)

vera une Limite ; identifier netre límite.

2) soit (Kn) une suite crirsannég de eorivexes Eernés nchr Vides de R.

Mmtrer que' pour tout f H, 10 suite un •• PI E cenve.t.ge (fnrtement) vera

une limite ; Ldentifier tette limite.

Sois •13 H —>11, uné Ennetion coraínue et !aoville infZrieurement.

MJES re r que la suíce converge et identiEler 1a Unita.

Kri

1',IJ Propotion =dilate lur la boldo unitá.

Schit E un e,v.n. dt arme li 1.1 .

On pose u si 11 u II C 1

Tu •

U II 1 .

Moatrer qua IlTu-Tv H 2 2 u-I. 1 u , I E+

2) Muntver que, tn un Oe p,lut pis amM.inrst ta constante . 2,

L- ngidlrer 2L muni da ta norme II u II = 11111 1u21, avec (Lel ,u2.)),

3) (lue pÉue-ore di re si la norme q II est ássAvii-á.l. á un preduit scdluire

nr-7- jfl $142, un 12311e conveui

uit Kett un ceine nonvexe d2 sommet O, c' ea t-.1-dice

I I 1.1jv e K '71.1 , > 0 * V E ;

on S u p puiS e de plus que K t ferftl.

gpít fEE H t morare" que u =y élt can feriad por Lea proprílt1,5!

(f-12,1,1) - O et (1-u,v)40

¡

• L I

I •

• — ""-°- "-"m.—~1w-2-~ u-N-quo-Al-4n 4.19.

soit un. e4paca neSuté muní d ' un mEs..:re c-Einie.

h [Q,,i-usí urbe feinttiun mesurahlt.

x=lue 1.2 (n) ; I u(x) I <l'O) p.p. SuT

lr'aririer que 'A ase un cenvexe i ermé ruDn v'..de de E = L20) Déterrniner

f pvUr eab.J t f 1{.

Saiient A fl et fi rI deux corbvexes ferriés non vides W.5 que

n =e at b est borra. On pose

1) Montrer que C est un. cacivIke

2) Oft pó 5 e'+ P O et on Icrit u -b o avec a e▪ A. et b E

▪ B (deci est

e 0.

poissible cat uE C)

VDriEj..nr quPlec-b4 1

dist(A,B) w Ir--f • -

aeA

bB

fAl.erT.Jirber P b et Pp,a

3) :1 131,..1. al C h et h l El ust asure coupie rzel qua 1 2.1-'5 11 dZat (Alln.

11.antr2r que

Consi7rulro, 'un ex.emple aa 1.11 .¿cuple iaó,b01 eit unique (resp. nr mst p.as

r an111.19.1.

deffl dessins

4.) Donner una d'uli.stratian du th-ár.r:É.7e da lann-Sanach, deuxar.e

fume tse trique' dans le CAS ¿'un espaee de dirSert-

L sed.r -p E urce fanction cciriveze de darse el.

Sois t411,1 carivexa et sd. t

Montrai que les pwcpriétias suivantes sont equivalentes

(i) <P(v) vveI,

(ii) r.r (u) >0 WE X,

.8mempla ¡v-e 1 2 avec

19,

•

3

j

d ci

u fl

rjj

I v . Soit 1.11(=EL un sois-espace vectoriel firmé' non ríduit á (0). o hl

Seis

1) Montrer que

▪ = Inf (f,u) 1.11M

1 11 1'1

ebt atteinten un point unique.

2) Spient UPL , ti>2 El et soit E l' espace veetckriel engendré par

NI', rP3i.

Díterlmín2r n dona les ces suivants

(i) H - E.

0.0 M ■ El .

Ci t.& __----- -Ixenlner le eas particulier&H ... L2(0,1), WI(t) t, W2( )

193(e+= t3,

71717-1 computJan d'un espace prdhilbertien,

Soit E un espace vectoriel du produit scalaire (uiv). E muni de la

no.rme xoc3Pe inl = (u,u)1 pac 1(.1pp-usé ,t. o.mplel: t^a 4it alcas que E est

préhilLertien),

Variner que le dual E'. muni de la norme duale 1f r , est complet.

Soit u:E l'applícstioo dlrinie par

<c(u),v E • (Li l y) Vu,vtE!.

,

Vérifier que r 2át une isgmétrie linéairt ; 111211u rundition i cut-elle

surjeclive 7

Ore We propcse de moutrer gue R(c) est dense dan; E' et qud E' est un

espace de Hilbert pour la norml U H E ,

I) Transporter sur R(0) le preduit scaleire de E et te praleinler á R(c)

en un prodvlt scelaire noté- «f ,J1)), f 'BE k(cr)

Vériner que la norme asocie1:1:f,f»- eoínuide.si

MOntrir tiLIC l'en a

- <f1y> VVI:E, '1FERIO)

11

rb CA-si/A.~4%-LS e CIA- tAZÁle &Su

vtrctr

AJA

A

r

[ftnnt dunné fEEE' ore peurra rransperter f .En une forme llnéaire sur g.(13) at

appliquer ensuite le thaor'Ime de représentarion de Riesz-rrClehat dana R(5)1.

En déduire que E' est un capare de Hilberr pour la norme I nEI.

3) Conclure que le complété de peut 2tre identifíé á t'.

vim soir E un e.v.n. reuní de la norme 11 H E. On rappelle que l'ap-

plícarion Je dualité F est définie pour claque uEEE par

F(n) u {fEE' ; II Ell e.et

I) On suppose que 1 Wrifie la propriété

F(u) +F(v) =1' (u+v) Vu,v e E.

Montrer que le norme n H est associée á un produit sealaire.

(Yin pourra utiliser l'exurcite V.I).

.1)IrroenlemnrsilsrlormieHH.est associée á un produit acalaire, que

petlt-en de F

ter. .7:zurra avpliqucr des résultats des extreiees V.I2 at X,1].

r7"-71 Snit a(u,v5.1211. --+P une forme bilinilaire continue telIe

a(v,v) o v H.

Mentrei7 qu2 la fonetien vEH 1-* F(v) gi(lopv) est convexed r.lasse C 1

L et déterminer aa diffarentielle.

Zar

p77751 Soit cc=11 itin s.Jus-espace voctoriel dm. 1 P es?ace de Hilberl. H.

;:oit F un esFaca dá Banach. hit rt :G F un npérateur línéaire cóntinu.

Montrer que l'on peut prolonger T en un opérateur S :Ii 7 tel que

í151 DT! x(9,r) £(G,F)'

J

1-1

-""

'•"~ P`. ~~~,~~~. Z#11~ ,91■7-1S•

r v, fue

v.15 Le tr¿plet Vc:Hc;VI .

.Sait K un espace de Hilbert muni du produit senlaire (,) et de La norme

Assocíée I I. Qn identifie H et son dual 11'.

Soit V CH sous —espace vectoriel, dense das R. On suppose que V est

L

muni d' une norte U R qui en fait un esraee do Banach ráfliholf. On suppose

onfin que ll ínjection ilanonique VetH est continue, c'est-a-dice, --,_,---

1,..X.4.4... lr-47.fr-Z5v t -2 L

--------1 en considlre Vopérateur linésira T : H —I Vi rléfini par

1) VIrintr que ITfil v,NZCif; VUz- H.

2) Hontrer que T est injective.

3) Clantrar que T(H) est dense dans

9 u,it E V' ; montrer que (PE R(T) si et sculement s' i1 wziste une

constante an telle que Kcp,v> 1 4+ alvl VI..€ V.

Soient Milic:H deux sOUs-espaces veelJoriels fermés. On supr,nse

Tie. 11,1 (u,v) 'm O Yu Hp Illtv E N •

tir.fitTC; qua 1-1+ N est fermé.

Soient E un Baruch, H un ailbert et TEL(F,a). Montrnr que les

ptrrlriztls suivante5 5:int eluivalente5

(i) T edmet un iniptrse gauche,

(ii) il existe urce constnnte C telie que Ha ICITul

vu e E

50it (u ) une suite talle que u a Zaiblewmt. ee SuppOile

diwg 1iCil S 119 1111:11

, Montrar que u u foztement, sane faire apFel X la proposition IIT.10.

ELUI Soit S E.t(H) un opGrateur tel quC (S40 O VuC H.

i:Qintrer que

fi 4

V.érifier que I+« esz bijeccif peer CaµC t>0.

Montrer que!.

1i (.1-t5)-I ff, Vf E H.

4-1-=

[teux Trtéthodes sortt pass:hiles

a) Envisa8er Les cas 5:(S) et R(S).

b) COmméucer par établir la convergence faible].

P721 ItérJes de contraenano lindaires et le théorlme ergedigun da LO

Kalcutani-Yosida. r

SIDit TEE£(1,H) avee JTfi ' I. Soit On dIfinit o pour tout entier

I

1.1) = n n

n

u (E) -("TrE.

n k 2

On se propone de muntrer que.

lir n(t) =1.(n 1.1n(f) f. :14,1-T)

n÷it

1) Vér if 'Lex que

sTst bloul_rer qu'U existe une constante C tell.e que

t ;

:?) En déduire que, pour tout f eR, on a

lira (f) =1DN(I-T)

á) On pose i iat(IY1). Mantrer que

u-suj 2 + Isul 2 < 1(11 2 Vu E H.

L Ea déduire que

! stu..s1. 4- 1 (1 12. < rlu i2 Vu E H. i=0

et tu

I Sri(u-Su) I l

Vu E H,

5) Soit f E R(I-T), tIontrer qu'U existe une constante C telle que

; n

-knrwir9614Pariwnzpurrz~~19~~,~p~~r~a-nr~~iorzirii.~..mr-r....~

1

r.

E

r.

L

et

6) En dIduire que, pout tout f€H, on a

1 irn un(f) P f

Soit C'H un zonve*e fermé et soir T :C H une contrartiOn.

c'est-a-aire

Vu,ve C.

11 1) $071t (un) une suite de C telle que

113n

u faiblement et u -Tus -+ f Certement.

74.2ntrer qua u-Tu = f .

Crnmencer par le cas 0.:j e =EE et utiliser 1" inégzi1ité ((u-Tu)-C-kr-Tv),.u-v)>0

JVu,vEd.

2) En ,!.éduire que si. C est borré et V,e)=C alors T adteet point fixe.

1Considérer Tt

u l-e)Tu ea avec a e C fixé et e >0, É -+ 01.

Ole in4gaIíté dy 2arantbs/74...

T H une carwraction. Soitat a l des rE.al.s 1,2Is que

4:1->C1 et ce t ,.. 1. Soietit u1 , u - ' ua des éléments de H.

iu l

ITo - í a_Tul 3.

(Cm polirra écrire

OF p-C11 C 2 miui.

4ue i.1

, 01-

2 • L .

í

17.1"1

1u, -u 1 2 -ITu.-Tu.121 . 4

n 2 p 7-- Hr-lcuvul-1,(La.(ro-Tu„mr-Tu.) ] .., i., 1 k . 1 3

¡pis' 1 J

et noter que (3,b) =1(181 24 1b1 2- la-bi 2)].

:1

Qua peut-on en déduire si T est une isométrie ? (c'esr-I-c;re I TLI-Tvl =

1 u-va Vu,v E El).

Ey7771 ProprUté de 8anach-Sbro7

1) seli_t ttii ) une ?uitgt de H tette que u O raiblemant, n

Lb

e récurrence une suite extraite (u

ni ) titile que

u°1 'kr ct

-i

11,4 1

Construire par

n. P

Eu dáduire que la suite (o ) Ufinie par o =- u converge fortement vers O ? p j=1 nj

quand p

(On poutta estímer le11.12]

2) Soft (U) une suite bornle de H.

Montrer qu'il existe une suite axtraite (uni) telle que la suite (o p)

dlfinie par d — converge fortement vera une limite quand p - *. P P ni

ficcmparer au Tésultat de l'exercice 111.4.

r+

[V77] Variations sur le lemme d'Opial.

Roit Kat/ un convexe fermé non vide, Sait (un) une suite de P. telle que,

póur choque vell la suite (tun-vi) est décroissante.

1) V6rifier que la suite (dist(un,K)) est décroissante.

2) MGricrer que la suite (PKun) converge fortemant vers une limite nor.ée

r e Ey.

r- iOn pourrd utiliser l'nxercice V.41.

3) IJ suppose leí qua la suite (un) vérifie la propeiétá

rJur toste sz,usi-suite (u ) qui converge faiblement vers. un 01

nk

-,..:;712nt u I= N. alors

MOntrer que un --L

L failLement.

4) Oo suppose ici que Lj (K-K) .11. >>0

nontrer existe un ulH tel que u u faiblemcnt et que PK1

L.

5) On suppose ici que Int K96 11.

Montrer qu'il existe un uE H t'el que u -4 u frtecient.

ion poutra se ramener au cas 00 K est une boulel.

6) On pose o •- n(u1 fu2 n

) et on suppose que la suite (on) vifrifie

vérífie La propriSté (P).

Montrer que en faiblement,

U

ira:

(en) uriC base Eli lbernenne de Lb.

1) VC:rifier qua eri

O fai'blement, TI-hm

SoiC (a) une suite hornée de ra'els,

I r On pose u mi- n aie.

L íuzl. 2) MAntrer que lu I --h

Montrer que un -- O faiblement.

;;.27 f Snit Dcil un sous-eusemble tel que i P espace veatcyd.el engendré

.lait dense dans H.

Stt CEn

) uno suite de sous-espdces vect0Tieis ferral.s deux a deux ortho-

k5a pese

Oft áuppose que

IiPn131 2 .1u12 VuE D..

Moiltrey que 1{ .est recele Hilbertienne des (En.). >

1-107:S i;11 suppgse nue H est se arable.

Vel-t sglie-ea:›ace ,lector gel dense fans U,

'.cicnrret que V reilltD2111 une basa Hilbertiet-Lne de 11.

n $oit (en) une s'Ate orthonennée,

(e. ,e.) "0 si i j et je.I al

Montrer 4ue l'on pelle etimplilter les (en) en une base Iiilbertienne.

51.2r1 Un ht7.71:0 de. C2.athendeck

Snit Urt espane :T'Asuré avec <té, Scit 3 p <Té ,

50115-espaCC vCCELFriEl fErm.á da LP(I) >

Cul 5uppose que Eat.. (2).

Cla se propone de izontrer que dita E <;1.

L) Hóntrer qu'II 2xiste une constante C tetle que

IIuI .Q Chin VuE1.

[ 011. guarra appliquer la remarqua II.5

J

L.

u

1

r-

1

L [CquioGneer 5521 con.sídIrer ntEigkl,

k 5) En chIduire que le-(x)12 <112 ''9'-,ten's.w •

iml L

Monk:Ter qu'i1 exista wiCP I'Lglisee111.a tal que

1: k 1 ,12 rz. CC .it. (X) iq.'[ ( .Z al i si:{G rl \ u, va - Ni ,Iy2 , .-. ;ale ) ER11.

1 1 i-1 .1..1 1

2) PrQuver eHlste U11 .:011.áLazae ilL1L12 qUe

Qui te < cIk II2 +uee.

Ion pouyra distinguer ies CO5 1 4;15 1;2 et 2<p<cal.

acá 3) En dé aire que E est un s*us-espace íeviná ele L2(0.

re.A. On "pilo" que dial E et r, introduit dafis E une $ulto orthenormdia

Ille.)..pour le produit scalaive de L2(9).

On fixe un entilr k,

£) Concture.

L

L

tl u u

-•"-1:1F ~va • „

r?, (i-j-

1.1Z.1

C1

#4,

(1.L- k_

f

cre_

I-- e-

. 2111 ri

- - -

s Crt-

-J_

:1—) 12 (1'H %

'11

o

Ji

.r- .CA.,91/4,..

le-'4"125.

N

)

1 p rgie,A

- ti C.Nr. f.

O

f.(

11,-,3 •-• L L

dir '

-fi........Q.,1 11/.,,2_ 1 24r- d. • _

u.

P‹

z, j)2.-P.< .-._92- , \-- ) - - , --- - - -

. c e.4...4..t...5,

n f

!")

[ o -1)

4

11-Qa,5 VA:7" -W

9 O

e- b. 1; o, _

G.76c.)

V

..-5 ..,-,

sí- )

el.... . c.i...,t... t ' :=5 O

uz.e...:.....u...-kr.i..i..Lie_ , 1

.,(

í ,..r...._ - i_ }1...i. )1z . .. ,

(.70,“•: ei t)14‘

1 te- r-4

1_1

j-T1 L--n - -

c4.

C

Cit •

4-19, ,1.-L

Cr< 4

-r-

r .

L

L

'11

cRAPITRE

ZAR

Pour montrer que (t,21,r) ■ 2(u,v) appliquer r identiLl du parallélu-

grPsalo lvec a = f v el th v,

2) Forrder (i) +

3) NOter. grZce á la définition de (,), que l'applicetion (Xu1 v)

t confirme.

Soient A,BcS1 mesurables avec A 1-1B et O< IAl 0 <.=

e'....1-1".if:er que A et B axis tent) ,

Soient u ii-xA et v ■

rkt nurbpoee d r abord que 1 011 a Il u í iI P P r: Al 4 !El e t p '

dcmc 11+v11 + liu-v ti 2 .•2(íA14.1B1)21P .

rau tre par:: 2 (II u: 2P+ vil 2 ) 2( I A i 2/P + 1E11 2/P)

Enfin 011 note que

01+6) 21p >112/13 +82/p 1uJ>0 3i 1, <2

ca+03 2,5 <112/p +132/p Vci,B>0 ?) 2.

On les n'Aries fonctions utv pelar ls cas a MI

V.3 1 011 vérifie que

(*) 2(ttiun-t,uCuto) (tn+trn) lu -um12 + (tn-tni)(1un12-111uh:2) .

Dlot déduit

(tn-tca) (lun1 2 -1urn 1 2 )<0 Yai,n

) Se ent n>ttt, alurs tn> et 1%1 I%a l i.;er mulo s alars ra

un =u sr:ice á (L)).

1 ti

1.

L

r

D'aukre part on pour n>n,

41 .. 11 I

n1 t.-)44--1---e- -5(tr rtmnun-u

mi 2 <(t-t

n)(1u 2) (4* 2-i4

et done

lun.-J.1241u 1 2 - lun1 2 • m •

J1 en r6sulle que jun in quand n453. ..1..t (lari) est de Cauchy.

2) Soient n>ri, alors tm>tn at lu m I 1 ‹ l u

n1. Pour n>m on a

4t +t ) 1L u -u 1 2 (t.iri-tr4)(iuni 2--iulo

j 2 y<(t.--4-e--)-(-1-n-12+---1-2-1. n m n m TI1 n n 71

0. 0.: donc - M- k4,.. I

iu n

-um i

2 % i LbnI a - lum 1 2 4

On a l'allernative

(i) ou bien ¡un, .quand n+= j,

ou lun ift <=, quarid nfw, et dans ce cas (un)est de Catichy•

nutre part, si l'Ion pose sin = tnun et sn

I ,ftri on a

(s. -a PI

y11

-y )<O,

n Tl n m

et don. (y) :onverye d'aprés 1a question i), en en déduit que si t -+ t>0

(us cunverle,

Cr!:;:n si tn les cas (i) et (i.i) peuvent se produire. er'rea:•?.re, par

Q..xcepT,e, et (i) un =Citi, (a) un =C.

t.'.oter yie

1.1.-u1 2 =iv-fl 2 - lu-ii 2 .:1, 2(1-u v-u)

kJ

u I

u fl

1

o v .s

10-1

1

•-•

1) Soit nK ; on montrer un. --""Xf.

n

La suite dn

= 1f-u 1 gl dist(f Kn) est creissante et eriajorItt. Donc

Appliquant Videntité du paran é:Logra:me ({,ver'- a =f-un el: b =f-u.va) on

dn

GJUS:P5%...e".

obtient

E V +LL-I n - 2

Unr:91:In 1 1

2 n i 2 4- If-tim1 2).

—27:j

on en déduit que kor

lu -u 1 2 <2(d2-d2 ) si. rri>rk. n m n

Done u et )11 est cisir que uE C. Dl autre pare orb a I f-uni ‹lf-vi VvE Ku

partieulier on a If-urti < WEK e.t á la limite I f-ul < *C K.

2) Soit Xffi 1717n

; K est convexe (pourqua( 7)

n va contrer que u u=P f

1.e suite d if-unii.dist(f,KeL) est décroíssante et done dn -+ t.

D'ilutre part on a ici

in -u 1 2 <2(d2-d2) si oi'n m ri m

eL done un

-- u al,rec uE K.

Enfin on note que VvEil.n si m>n et J la limite (quand

—g• 4) i.L vient If-u1<tf-v1 siveiptrh . La suite (an) est dOcroissante et done

converse 4C1::› une límite notge a.

noitrons que a winfip. D'abord il est nlair que Inf 1,P < °Lo et dona

:33eip ‹ez, r t autre part í soit u.EK et u:1C ti PK

Alors *ti <tp(ua) et á la

1:,;nita on ,111.1t.:1..ent ce.<IP(u) (car u). 1:111 a donc étobli que, cc <.Inf .

On

car

Contidlrons,

u-v

par exemple,

Tu-Tv 11

<

1e caz

1177¿ V 114

+

Hun

so" 11(.111)

I ot

11

kvil

) 11

I.

ex&YiN„1,

tf)

75i- II

- 1 <21u-911

+Ilv11 < !I u-v11 l• .

2) saient u =(1,0) et y-(1,1:1). Atore

rru.-Tv et Il u rll = Hal

Cr' chaisit alors o*CI, arbitrairement voisin de O.

1.3) 'E coincide avec P, . 1 suffit de vérifier que si Hui >I, atora DE

(11-ribl a.1)

"s'y E B

EI

Wr • .9 "P.e ":"••

V. i61

,10

i) AN. (ii) 1er it que

r(u.)<' . ((1-thi Ly) vt II(, 14: E K,

ce qui implique

[Flu (v-u)) - F(01 >0.

On nbtient (ii) en passant á La quand t O.

. On remarque que

Flv) F (u) (1" r (u) ,.t-u) VIJ , E H.

En efZet, la fonet ion 4p(t) F t(u-11)) est convext, da eles se

rig ;I ( ) LKO) > W1 (0) •

1 y. i 2 I .3 ese sui jettive si at eialeTrient S i E est complet.

1) transpór te R (o) in produit .s.calaire de. posant

((el { u „ cdv ) )) ( u , v „ i.t E E.

On doté.: que

Dehl r, n proi.priger p.ar ccntinuité e t denzit.1 -Le produit scalaire, «1 )) I

deviint ainsi un espace ce ,1k:bgr Y.

Z) Spit t E ; 1 appl iva.t jou ,1E 11(0) <f $ .7-1 (1) > défirlit 1,3^a fume

)inlaire continué sur R(o) que t i cn peut prolengar (pa c ccntinui t1) 411.7) ,

alerrs :L e thUirl:medeRi•Isz-Fr¿chet da ns. R(.71 Gin trouve LL7L 1 1-27rte nt u

11 .1 171 teL .que «b!.g)) ‹.f,,o-1.(1)> „ VsER(d), ((h.„d(v))) 1.< " > r T;

-dite <15 < siiivE E facie f eM),,

3) Or a cunstruit une isarr:él:rie a lE avec, R f,1F) denso. da

7

complet. Ceci áignine que est le enmplIté d E (a un ilcmcuphismn prh),

1). On va .1tabll.r l ' identité du parallélogymne, Sulent Ee F(0, g E Kv) ;

alürs f ± 1,C- 17 (u ±v. ) e t done i1 v intit

<1+8, u+v > = 1 u+v11 2

< f -g, u-y> = 11 u-y II

1-1w-Sir

01 e t

r

1 1

r

L

r,

2(1u11 2 + 11v11 2 ) 11;1+0 2 + j14

2) soic a :E --+ 3:application introduite . l'exercice V. i2 Abre

F(U) {r1(0). En effet 1.1 est olair que a(v)EF(u). [Vali:7re part, on sait que

E' un Hilbert pour la norme 9 H E , . En particulter Et est strictement con-

vexe et done (voir Exercice 1.1) 11(u) est réduit a un llément.

[2le .11 inégalité a(tu+ (L-t)v,e11 ( 1 -t) < ra(upu) + (1-t)e(v,v) équi-

\mut á t(1- t)3(u-v,,u-v) >O.

Identinant H et 11' on i ntroduit 1 aplrateur

A E (H,11) te 1 que a(u,v)=(Au,v) Vu„v11.

Alors F` (u) Au + ; en effet on

r(u4h) -F(u) (AktA*u„h) a(h„h),

v.15 on conmence par prolonger T par c2ntinuf.tE en un opérateur Jti

T:C F, On rase encuite SET , P 4 F est la projectinn de 5! sur I.

iTi,71T]

(ii) (í). Lllyputh1se (t i) entraiue que T est iu3ectiE et que k(T) est

ferré. D i autre para R(T) admet un supplémentalre topololique (puisque H ese

un Hilliert). On peut alors appliquer le tliánrIme II,I1ur; COn.c.1 u re quu T admet

un inverse a lauche.

(i) L'Lypothhe entrame que T est injectif et que R(T) est

formé. On en dIdult gace au théorIme 11.20.

Neter que

Liuzsuplun-u12 ■ limsup Clu .1 2 - 2(un,u) +11.119 <0.

-r

-mar gEn:11~rnn-tmaz~~-nélp-i-o•-tpfly,..,-.~

9

9

J

1".i :20 u 1) 5t u€111(5) on a (Sv,v-u) O Vv H ; templagant v par tv on voit que

(Sv pu) 20 Vvell.

Inversement si uE R.(5)1 ion a (v)

) > O Vv E H ; renplagant v par tv

on volt que (Su, v) O VvE14.

ausei le prohibe 141.

2) Appliquer Lax-ililgrata (coraltaire V.8).

3) biéthode a). On pose ut (I..t.5)-1f,

Si f E N(S), alors ut = f, Vt >0.

Si f R(s) un cr. t f 25v et Von a ut +S(tur-v) ■ 0 ; Van dIduit

„I que,(ut' tut-v)<0 et iu ti

I '

Par conséquent O ; cn déduit que ut pour tout fe1 S)

(prkiscr le raisonnerrient) Dans Le ras génáral oú f EH, ost décompose f f ina

ti

9111- br'-4̀14-1'

vec f én E2 — 2P f - .2.1 R(5)

Mthede b). 0n a ut + tSut .. E et dono kit ' <111. en peut suppbser que

ii --i- u faiblement et par suite Su 2 O, c'est--1-dire u e No) . tr

Drapt,és ta question 1) on a (Su.t ,v) V-.- 1 1...;(5). D' ea l' on (1.1.duit que

14-111ov) -o Vvet;(5) et la limite (E--..1,1r,I 'tO Vv("...4(S). Par conoequent

P t„.$).f et die la 'Limito tntrnirte que ut u GrgLiaci.).

D'autre par( on a (Sut ,ut) >O, ) 1̀ 13

sup t 1 2 < (E,u) - 114 2 3 t (421 .sw

On concluí que ut —h u fortement. SI

1) Poser S = I -T et app-liquer la question I) de l'ex,Ircice V.

2) Ecrire f 2 u - Tu et noter que On(1) 1nu).

3) V1riiier d i sbord que lin ern(f) N 0 Vf E tVidx.

E tant donné E EH, att décompose f 2(1 ta avec fy N(1-7). et

f2 e Nci-Tri =a(1-T)

On a alors on(f) =13,1( 1 1) +cr11kt2) atl l'unk:11:2;

o

4.1

r

r

4) Appliquer succes3ivement 1' ini'galité (') á u, Su, S'u, ... ,s u, ...

(aire la some. Noter que

ISnu-Sn+l v

iu_ s i+ I u

5) On écrit E -u-Tu el 2(,2-Su) et on obtient hinco' --------

.6) rroelder mmne á la question 3)+

1-7:13-1

2) Soit m>. n On applique l'exereiee avee f , v*tPK uá et on

obeient

1PKu n-P riiKun-um 1: - 1P1..0in -U 1 2 a

1PKun-un I 2 - Pxkin-Ilm 12

Done la suite (PKun) ezt de Caueliy.

3) Un suppose que u --k u faiblement. On note ve nr,c.

1:1-Ln."?Kuripv-PKurb)0 Vv E K„

ut pags4nt A la lione sd.vhat il viont (7-1-9. 1 v-1) <C 'tv€sC.

Ceame uq".Z., et peut eFscisir et d'uctern u L'unieltd dri

).ín;.te entrohl9 que un )?.. faiblement

.k1

r

r

. I L

4) Pcur tcut pwe r(v) 1 in ft: 1"1. et on vett TIC liii (t.t

n-11111 ewi.ste Vv ,v

on eu déduit que 1.p(z) - lira (u ,z) existe NYVEI'd et tor;.t +p(z) (u,z) nrqg

zrare ai. thUrIme de Rlfloz-l-réchet. EriFin cu note que (u-a,v-t) 0 VveK

et done L r P . K

5) j\prls bransi,ithu et 31.1.atation on peut toujouts supposer que K *Bit .

Dono luni 4 a .

Si a< hig.r.4 u partir d'un eertain rata;.

S i u.> or. trote ? un converge fortement et atissi.(ur),

lu

) Qn 11 (I,T n

-F uti a

't VvE.g. et done (urd-t,v-t.) g¿e. Vv€K

iti Y..

a --> O (et sn Eiápend de v).

par zdditiein. nr oJC1,211 Illa-tsv-1:21 <en V'er K avec en' Cl.

u

U L

1~1,i1111"). -"r- " "r ^~73111M.

avec

Si eF --4. 0

-

faiblertent, licirs d'

-

E X. et On a (o-1,v-Z) <O V-JE K. u' rya Di‹ n „.i. ,..,,...„,„ de La limite eDtratrie que

.,,n. -'.- t faiblement.

1.1-7-1T

Natér qué n'u est borniá et peJur cheque j rIxe., twilu n,é.)> O.

[V..27. L Soit F la .érméture de l'espatt vectoriet engendra pát les

fa1/41: razintrQt. que P =El iu eneute = (0).

On qte 1 P RU! 2 = 115rui 2 Vul EL et done ¡P u l = P 1 ul Nfli I) ; . 5,

,VeD. 13 u Fi

5771

1) Ort sait que est séparable «mit preposition 111.22).

52it (y ) un 54:11j -elnietine de V dammbrabIe ét demsa. C,c ptt.eade encuite

la dImonstration. du thIorItri.e V.10,

7771

7-) Si 2 <p [in L.itiline 1” ittlgalitl. 1-2i13 Z1u1 2ill ..t '

ocer qué t.924..t. espata dé 11.ilbett (EiC!pard.ble 11.1.1 tren) da dier.orisi..Dn.

s(17let suite grthannrml.e,

-D-11 5) En intégpant 5uw 0 nn nbrient aktát Máigtá

de diga E. fl

iI

ti

1 1

9 E 11

1

•

-

ir

_ - -

o

„ ir

eillil....L.• . . F.ZZ,

1 II 1,11,. wrif i ., h, I

1_,C t.-.,,.2 (./. • )

ea ,

L. le ' Ir:- 'IN" ) +? ' " r..k.... II- 4.- 1■1 , . . . 't e- - UD i a t.'" e 1-k r....

'S 11.7= - .-= 2,5.1.::::. ....,,_._ ve g.42-„,-,...:. ,_ ...............„1, -.P?_,5 ....- 11" ) -1.1 CIL L rsa._ tz

..-.. -,., ....- 10 11.. ¡hoz 2 %

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1 (3 .0.......3, ii.L._ ''-.•;:'.-,......7, 2 . (7.:

4- G 1.• 11,,„ok."--1- 4.

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Solucionario de Análisis Funcional - Brézis - Tronel

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