Ejercicio 6. Pagina 26

Dado el campo vectorial, G = 2x2yx 2(z x)y + 3xyzz . Dibuje las gra-ficas de Gx,Gy, Gz , todas evaluadas a lo largo de la linea x = 2 , y = 1 , para0 z10.

Ejercicio 5. Pagina 54

En el espacio libre se encuentra Q1=10 nC localizada en P1 (0,-4,0) y Q2=20nC localizada en P2 (0,0,4).a) Determine E en el origen. b). Donde deberiasituarse una carga puntual de 30 nC, de modo queE=0 en el origen?

Sabemos que: ~E=(1

4pi0)( dq ~RR3

)

Calculamos el vector posicion para Q1~R1 = r r~R1 = 0 (4~y)~R1 = 4~ySacamos la magnitud del vector R1 = 4R31 = 64

Calculamos el vector posicion para Q2~R2 = r r~R2 = 0 (4~z)~R2 = 4~zR2 = 4R32 = 64

Como es cargas puntuales la integral de campo electrico se desapare-ce y se convierte en una sumatoria de cargas

1.) Se calcula primero para la carga Q1 vale 10 nC

~E=(1

4pi0)( 10nC4~y64 )

~E=(5nC~y

32pi0)

2.)Ahora se procede para la carga Q2 que vale 20nC

1

~E=(1

4pi0)( 20nC4~z64 )

~E=(5nC~z

21pi0)

~ET =(5nC~y

21pi0) + (

5nC~z

32pi0)

Para encontrar los puntos utilizamos que el valor de ~ET=(1

4pi0)( dq ~RR3

)

Como es carga puntual la integral se va y queda como una suma-toria de cargas .

~ET =(5nC~y

21pi0) + (

5nC~y

32pi0)

(1

4pi0)(Q

~RR3 )=(

5nC~y

21pi0) + (

5nC~y

32pi0)

1515~R

2R3=(

5~y

21) + (

5~z

32)

~R

R3=

10~y

315+

10~z

480

Ejercicio 25. Pagina 56Una linea de carga con l =50 nC/m , esta situada a lo largo de la linea x = 2, y = 5, en el espacio libre. a) Encuentre E en P(1,3,-4). b) Si la superficiex=4 contiene una densidad superficial de carga uniforme s= 18 nC/m

2, Enque punto del plano z=0 da el Etotal = 0

a) Encontramos el vector posicion~R = r r~R = 2~x+ y~y 1~x 3~y + 4~z~R = ~x+ (y 3)~y + 4~z

l =Q

dL

dq = ldy

~E=(1

4pi0)( dq ~RR3

)

~E=(1

4pi0)( l(~x+ (y 3)~y + 4~z)

(17 + (y 3)2) 32 )

2

~E=(l

4pi0)( 50

dy~x

(17 + (y 3)2) 32 + 50

(y 3)~y(17 + (y 3)2) 32 +

50

4dy~z

(17 + (y 3)2) 32Resolviendo las integrales ya sea por tablas queda:

~E=(1

4pi0) [(

2

17

21+

3

17

26)~x + (

121

+126

)~y + (8

17

21+

1226

)]

b) x = 4s= 18 nC/m

2 Calculamos el campo electrico

~E=(1

4pi0)( dq ~RR3

)

Calculamos el vector posicion~R1 = r rNotamos que nos dice en Z = 0 por ende:~R1 = 0 x~x y~yNuestro campo electrico quedaria:

~E=(1

4pi0)( s(x~x+ (y)~y)

((x)2 + (y)2)32

)

Como observamos el campo electrico es 0 cuando x = 0 , y = 0 debidoa que X y Y son funciones impares en la integral.

Ejercicio 24. Pagina 86Sea D = (10r2+5er) C/m2 . Encontrar v como funcion de r * b). Encontrarla carga total en el interior de una esfera de radio a centrada en el origen.

a.) v = D

D = 1r2(r2)(10r2 + 5er)

r

D = 1r2

[40r3 + 5er(2r r2)]

D = 1r2

[40r3 + 5err(2 r)]

v = 40r +5er(2 r)

r

b.) v =Q

V

Q = vdV

Q = (40r +5er(2 r)

r)(r2 sin drdd)

3

Q =

40r3 sin drdd +5er(2 r)

rsin drdd

Q = 20pi pi0

a0

(40r3 sin drdd) + 20pi pi0

a0

(5er(2 r)

rsin dr

Q = 40pia4 + 20pi(2Ei(r) er)

Ejercicio 12. Pagina 123

Una lamina uniformemente cargada , s1=500 C/m2 , se localiza en z = 1.5m

, en tanto s2=500 C/m2 esta en z = 0.5m a). Encuentre E en cualquier

punto b). Encuentre y grafique V(z) como una funcion de z para 0.5 z1.5si V =0 en z = 0.5m. c). Repita lo anterior para V = 0 en z = 0m

Para poder calcular el campo electrico utilizamos la formula de laLey de Gauss:Qen0

=~E da

Como son planos infinitos utilizamos con area gaussiana un cilindrocon infinito entonces como son tres areas las de considerar 1) La dela tapa superior 2) La de la tapa inferior 3) La del contorno.

Qen0

=~E1 da1 +

~E2 da2

~E3 da3

Como los planos estan paralelos al plano xypodemos saber queno se encontrara campo electrico en el contorno y ese campo electri-co sera 0 para las tapas si abra campo electrico y se observa hay doscampos electricos E1yE2 se procede a calcularlos :

Qen0

=Eda+

Eda

sda

0= 2

Eda

Como son la misma area se procede a cancelarla y el campo elec-trico queda:

s0

= 2E

E =s20

ahora el campo E1yE2 es igual a :

E1 =s1

20~z

4

E2 =s2

20~z

Ahora el campo electrico en la region 0.5 z 1.5

ET = E1 E2

ET =500

20+

50020

ET = 0

Ahora el campo electrico en la region

z > 1.5

ET = E1 E2

ET =50020

+50020

ET = 50

Ahora el campo electrico en la region

z < 0.5

ET = E1 E2

ET =500

20 500

20

ET = 50

b.) Para hallar el potencial electrico dado queV = 0enZ = 0.5 enton-ces tenemos que asumir solo el potencial en z = 1.5 el campo electricoseria en ese caso.

E1 =s1

20~z

E1 =50020

E1 = 25~zAplicando derivada parciales al potencial encontramos lo que es elcampo electrico asi que nosotros procederemos a hacer a lo inversoes decir antiderivando con respecto a Z.E1 =

25dz

5

V1 = 25z

Se nos pide graficar desde 0.5 z 1.5

Figura 1: GRAFICA

Ahora cuando V = 0 en z = 0 tenemos potencial para z = 1.5 y z = 0.5entonces procedemos a calcular lo mismo que el anterior paso solo queahora incluimos el E2 pero si observamos nos pide el calculo en la re-gion 0.5 z 1.5 debido a que calculamos que el campo electrico enesa parte era 0 entonces podemos decir que el Potencial en esa zonaes 0.

Ejercicio 30 Pagina 176Un cable coaxial con a = 1mm y b = 5mm tiene un dielectrico de teflon ( veaseel apendice C). Si E = 80/V/m desprecie cualquier perdida en el dielectricoy suponga 4 109moleculas/m3 en el teflon , encuentre a). E, D, P y p comofunciones de ; b). R, e y Vab = 0

La constante dialectrica del teflon es 2.1

E =P

0(r 1)P = E0(r 1)

6

P =(80)(8.85x1012)(2.1 1)

P = 7.788x1010nC~

2

Calculamos D

D = 0E + P

D =(8.85x1012(80)

+ 7.788x1010

Calculamos el Potencial electrico

Vab = ( 15

80d

Vab = 80ln(5)Vab = 128.75V

Calculamos e

e = r 1e = 2.1 1.1e = 1.1

7