DEPARTAMENTO DE CIENCIAS PRÁCTICA CALIFICADA: NORMAL ESTÁNDAR

NOMBRES:_________Solucionario________________________________I.- Calcule las siguientes probabilidades:

a) P ( Z ≤ 2.33)=0.990

b) P( -1.65 ≤ Z ≤ 1.65)

P(Z<=1.65)-P(Z<=-1.65)

0.951-0.049

0.902c) P (Z ≥ 1.96 )

1-P(Z<=1.96)1-0.9750.025

d) P( Z ≤ k ) = 0.98

Z=K=? F(Z)=0.98

Z=K=2.05e) P( Z ≥ k ) = 0.025

1-P(Z<=K)=0.025P(Z<=K)=0.975 Z=K=1.96

II.- Resuelva los siguientes ejercicios:

CASO Nº 01: Radio Panamericana FM, con programación variada, descubre que el lapso

medio de una persona sintoniza la estación es de 15 minutos, con una desviación estándar

de 3.5 minutos. ¿Qué probabilidad hay de que un radioescucha especifico sintonice:

MEDIA=15

DESVIACIÓN=3.5

a) 20 minutos o más?

P(X>=20)=1-P(Z<=(20-15)/3.5)=1-P(Z<=1.43)=1-0.924=0.076=7.6%b) A lo más 20 minutos?

P(X<=20)=P(Z<=(20-15)/3.5)=P(Z<=1.43)=0.924=92.4%

c) Entre 10 y 12 minutos?

P(10<X<12)=P(Z<=(12-15)/3.5)-P(Z<=(10-15)/3.5)

=P(Z<=-0.86)-P(Z<=-1.43)

=0.195-0.076

=0.119=11.9%

ESTADISTICA APLICADA Página 1

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d) El setenta por ciento de los radioescuchas sintonizan durante cuantos minutos o menos?

P(X<=K)=0.70

P(Z<=(K-15)/3.5)=0.70

Z?....................F(Z)=0.70

Z=0.53

(K-15)/3.5=0.53

K=(0.53*3.5)+15

K=16.85MINUTOS

CASO Nº 02:El tiempo de duración de los focos de alumbrado eléctrico producidos por una compañía eléctrica tiene una distribución normal con una media de 1000 horas y una desviación estándar de 250 horas. Determinar la probabilidad de que:

a. Un foco tomado al azar se queme antes de las 990 horas de funcionamiento

P(X<990)=P(Z<=(990-1000)/250)=P(Z<=-0.04)=0.484=48.4%

b. Un foco sé que queme entre 980 y 1120 horas de funcionamiento.

P(980<X<1120)

P(Z<=(1120-1000/250)-P(Z<=(980-1000)/250)

P(Z<=0.48)-P(Z<=-0.08)

0.684-0.468

0.216=21.6%

c. Un foco dure más de 998 horas

P(X>998)=1-P(Z<=(998-1000)/250)

=1-P(Z<=-0.01)

=1-0.496

=0.504=50.4%

ESTADISTICA APLICADA Página 2

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CASO Nº 03:El bar “Un par más” ha instalado una máquina automática para la venta de cerveza. La máquina puede regularse de modo que la cantidad media de cerveza por vaso sea la que desea; sin embargo, en cualquier caso esta cantidad tendrá una distribución normal con una desviación estándar de 5.9 mililitros.

MEDIA=NO SE CONOCE? SE AJUSTA SEGÚN LO QUE DESEA CLIENTEDESVIACIÓN=5.9

a) Si el nivel se ajusta a 304.6 mililitros, ¿Qué porcentaje de los vasos contendrán menos de 295.7 mililitros?

MEDIA=304.6DESVIACIÓN=5.9

P(X<295.7)

P(Z<=(295.7-304.6)/5.9)

P(Z<=-1.51)

0.066=6.6%

b) ¿A qué nivel medio debe ajustarse la máquina para que sólo el 2.28% de los vasos contengan menos de 295.7 mililitros?

U? INCÓGNITA

P(X<295.7)=0.0228

P(Z<=(295.7-U)/5.9)=0.0228

Z=-2 F(Z)=0.023

(295.7-U)/5.9=-2

295.7-U=(-2*5.9)

295.7-U=-11.8

295.7+11.8=U

307.5=U

c) ¿A qué nivel medio debe ajustarse la máquina para que el 84.13% de los vasos contenga menos de 313.6 mililitros?U? INCÓGNITAP(X<313.6)=0.8413P(Z<=(313.6-U)/5.9)=0.8413 Z=-2 F(Z)=0.841(313.6-U)/5.9=1313.6-U=(1*5.9)313.6-U=5.9313.6-5.9=U307.7=U

ESTADISTICA APLICADA Página 3

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CASO Nº 04:

Sea X el número de gramos de hidrocarburos que emite un automóvil por milla recorrida. En el supuesto de que X es normal con media 1 y desviación estándar 0.25, calcule:

a) La probabilidad que un automóvil seleccionado al azar emita entre 0.9 y 1.54 gramos de hidrocarburo por milla recorrida.

P(0.9<X<1.54)

P(Z<=(1.54-1)/0.25)-P(Z<=(0.9-1)/0.25)

P(Z<=2.16)-P(Z<=-0.4)

0.985-0.345

0.64=64%

b) La cantidad de hidrocarburos que exceden el 8% de automóviles con mayor emisión.

CASO Nº 05: Los puntajes de coeficiente intelectual (IQ) están distribuidos normalmente con una media de 100 puntos y una desviación estándar de 15 puntos. MENSA es una organización para personas con coeficiente intelectual elevado, y sólo acepta personas con un IQ mayor de 131.5 puntos.

a) Si se escoge aleatoriamente a una persona, determine la probabilidad de que satisfaga el requisito de MENSA.

P(X>131.5)=1-P(Z<=(131.5-100)/15)

=1-P(Z<=2.10)

=1-0.982

=0.018=1.8%

b) En una región representativa con 75000 habitantes, ¿cuántos son elegibles para MENSA?

75000*0.018=1350 HABITANTES SON ELEGIBLES

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CASO Nº 6:

La media del diámetro interior de una muestra de 200 lavadoras producidas por una máquina es 1,275cm. Y la desviación típica de 0,0125cm. El propósito para el cual se han diseñado las lavadoras permite una tolerancia máxima en el diámetro de 1,26cm a 1,29cm., de otra forma las lavadoras se consideran defectuosas. Determinar el porcentaje de lavadoras defectuosas producidas por la máquina, suponiendo que los diámetros están distribuidos normalmente.

SI EL DIÁMETRO CAE DE P(1.26<X<1.29) NO DEFECTUOSASP(1.26<X<1.29)

P(Z<=(1.29-1.275)/0.0125)-P(Z<=(1.26-1.275)/0.0125)P(Z<=1.20)-P(Z<=-1.20) 0.885-0.115 0.77=77% SON LAVADORAS CON DIÁMETROS NO DEFECTUOSOS

POR LO TANTO EL % DE LAVADORAS CON DIÁMETROS DEFECTUOSOS ES EL COMPLEMENTO:

100%-77%=23%

CASO Nº 7:

Las piezas de pan de centeno distribuidas en las tiendas locales por cierta pastelería tienen una longitud promedio de 20 cm y una desviación estándar de 1.5 cm. Al suponer que las longitudes están normalmente distribuidas, ¿Qué porcentaje de las piezas son:

a. Entre 19.4 y 29.3 cm?P(19.4<X<29.3)P(Z<=(29.3-20)/1.5)-P(Z<=(19.4-20)/1.5)P(Z<=6.2)-P(Z<=-0.40) 1-0.345 0.655=65.5%

b. Si se producen en un día 18500 piezas, ¿Cuántas se espera que tengan una longitud menor a 18.9 cm?P(X<18.9)P(Z<=(18.9-20)/1.5))P(Z<=-0.73)0.233=23.3%

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