SOLUCIONARIO QUIZ 2 SEMANA 6

1. NGULO ENTRE VECTORESa. El ngulo entre los vectores (-2, 3, 0) y (2, -3, 0) es:Para hallar el ngulo entre dos vectores, primero se calcula el coseno del ngulo entre ellos dos, esto es:

Teniendo que , para hallar el valor del ngulo se debe calcular , donde se obtiene que

b. El ngulo entre los vectores (0, 2, -1) y (-1, 0, 4) es:Para hallar el ngulo entre dos vectores, primero se calcula el coseno del ngulo entre ellos dos, esto es:

Teniendo que , para hallar el valor del ngulo se debe calcular , donde se obtiene que

2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTESa. Sean A, B matrices 3x3, tales que detA=2, detB=-2, entonces es:Para resolver este ejercicio se debe tener presente las propiedades de los determinantes que se encuentran en la lectura 3 pgina 3. En especial la nmero cinco en la que se menciona que si una fila de una matriz A se multiplica por un escalar, entonces el determinante de la matriz resultante ser el determinante de la matriz A por escalar.Dado a que nuestras matrices son de 3x3, el resultado de las multiplicaciones tambin ser una matriz de 3x3, por lo tanto al calcular las tres filas se estn multiplicando por el escalar , por lo tanto, el determinante de la matriz resultante ser:

Por lo tanto,

b. Sean A, B matrices 3x3, tales que detA=2, detB=-1, entonces es:

Para este ejercicio, adems de las propiedades anteriores, se debe tener en cuenta que Por lo tanto,

Luego,

3. DISTANCIA DE UN PUNTO AL PLANOa. Considerar Z=(3,4,5), P(1,1,1), Q=(1,2,3) y R=(0,1,0). La distancia de Z al plano que pasa por P, Q, y R es:

Para hallar la distancia del punto al plano se necesita la siguiente informacin: La ecuacin del plano para lo cual es necesario hallar el vector normal del plano a partir del producto cruz entre dos vectores del plano, los cuales se terminan a partir de los puntos P, Q y R.

Luego, el vector normal al plano es

La ecuacin del plano sera , donde D=2

- Para hallar la distancia del punto Z al plano se emplea la frmula

b. Considerar Z=(2,-1,3), P(-1,0,-1), Q=(1,-2,2) y R=(0,1,-1). La distancia de Z al plano que pasa por P, Q, y R es:

Ecuacin del plano:

Luego, el vector normal al plano es

La ecuacin del plano sera , donde D=1

Para hallar la distancia del punto Z al plano se emplea la frmula

Por lo tanto, la distancia de Z al plano es

4. PRODUCTO CRUZ

Calcular el producto cruz entre los vectores (2, 3, 1) y (4, -5, 2)

5. ECUACIN DE LA RECTA

a. La ecuacin simtrica de la recta en que pasa por los puntos (1, -1, 2) y (7, 0, 5) para es:

Para hallar la ecuacin de la recta se necesita hallar el vector paralelo a la recta, el cual se determina a partir de los puntos dados: (6, 1, 3), por lo tanto, al escoger el primer punto se obtiene que la ecuacin simtrica de la recta es:

b. La recta que es paralela a y que pasa por el punto (0,2) es:Para que dos rectas sean paralelas, deben tener la misma pendiente o el mismo vector paralelo. En este caso el vector paralelo son los coeficientes de las variables es decir (3, 4), para teniendo el vector la ecuacin sera para hallar este valor, se hace uso de punto dado, donde la coordenada en y la coordenada en

Por lo tanto la ecuacin es 3x+4y=8, al despejar de la ecuacin, se tiene: