Solucionario Unidad 1

Solucionario: Unidad 1 - Lmites y Continuidad

Edgar BaronLuisa Fernanda Martnez RojasPolitecnico [email protected]@poli.edu.co

Bogota, 2014

Solucionario: Unidad 1 - Lmites y Continuidad Ejercicios 1.

Seccion 1: Introduccion

Estimado Estudiante

Esta lectura llamada solucionario, se elaboro con el objetivo de ser un apoyo en el proceso de su autoaprendizaje. Eneste documento encontrara la solucion a los ejercicios planteados en la unidad No. 1 (semanas 1 y 2) que corresponde aLmites y Continuidad,debes tener en cuenta que el procedimiento para llegar a la solucion aqu planteada no es unico.

Les recomiendo que antes de ver las soluciones, hayas intentado realizar los ejercicios, con el fin de que se enfrente a losejercicios, los analice y trate de plantear la solucion y en el caso que hayas cometido algun error puedas identificarlo y corre-girlo.

Muchos exitos en su estudio.

Seccion 2: Ejercicios 1.

Hallar los siguientes lmites:

1. lmx5

x 5x2 25

Solucion

lmx5

x 5x2 25 Factorizando el denominador.

lmx5

x 5(x 5)(x + 5) Aplicando diferencia de cuadrados a

2 b2 = (a b)(a + b).

lmx5

1

(x + 5)Simplificando (x 5).

1

(5 + 5)=

1

10reemplazo x = 5 y obtenemos el resultado.

2. lmx5

x2 + 3x 10x + 5

Solucion

lmx5

x2 + 3x 10x + 5

Factorizando el numerador.

lmx5

(x + 5)(x 2)(x + 5)

Un trinomio x2 + 3x 10 = (x + 5)(x 2).

lmx5

(x 2) Simplificando (x + 5).5 2 = 7 reemplazo x = 5 y obtenemos el resultado.

3. lmt5

t2 + t 2t2 1

1


Solucion

lmt5

t2 + t 2t2 1 Factorizando el numerador y denominador.

lmt5

(t + 2)(t 1)(t 1)(t + 1) el numerador es un trinonio x

2 + bx + c,

denominador una diferencia de cuadrados

a2 b2 = (a b)(a + b).

lmt5

(t + 2)

(t + 1)Simplificando (t 1).

(5 + 2)

(5 + 1)=

7

6reemplazo t = 5 y obtenemos el resultado del lmite.

4. lmx2

2x 4x3 + 2x2

Solucion

lmx2

2(x + 2)x2(x + 2)

Aplicando factor comun al numerador y denominador

lmx2

2x2

simplificando (x + 2)

lmx2

2(2)2 reemplazo x = 2

24

=12

Resultado del lmite simplificado

5. lmu1

u4 1u3 1

Solucion

lmu1

(u2 1)(u2 + 1)(u 1)(u2 + u + 1) Factorizando numerador y denominador. Numerador diferencia de cuadrados

y denominador una diferencia de cubos a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2)

lmu1

(u 1)(u + 1)(u2 + 1)(u 1)(u2 + u + 1) Aplicando nuevamente diferencia de cuadrados en el numerador

u2 1 = (u 1)(u + 1)

lmu1

(u + 1)(u2 + 1)

(u2 + u + 1)simplificando (u 1)

(1 + 1)(12 + 1)

(12 + 1 + 1)=

(2)(2)

3=

4

3reemplazando por 1 y as obtenemos el resultado del lmite

6. lmx9

x 3x 9

2


Solucion

lmx9

x 3x 9 multiplicando por el conjugado numerador y denominador

lmx9

x 3x 9

x + 3x + 3

el conjugado del numerador esx + 3

lmx9

(x 3)(x + 3)

(x 9)(x + 3) realizando operaciones

lmx9

(x 9)(x 9)(x + 3) en el numerador tenemos una diferencia de cuadrados

lmx9

1

(x + 3)

simplificamos (x 9)1

(

9 + 3)=

1

6reemplazamos x = 9 y as obtenemos el resultado del lmite

7. lmx1

x 1x + 3 2

Solucion

lmx1

x 1x + 3 2 multiplicando por el conjugado numerador y denominador

lmx1

x 1x + 3 2

x + 3 + 2x + 3 + 2

el conjugado del denominador esx + 3 + 2

lmx1

(x 1)(x + 3 + 2)(x + 3 2)(x + 3 + 2) realizando operaciones

lmx1

(x 1)(x + 3 + 2)(x + 3) 4) en el denominador tenemos una diferencia de cuadrados

lmx1

(x 1)(x + 3 + 2)(x 1) realizando operaciones en el denominador

lmx1

(x + 3 + 2) simplificando (x 1)

1 + 3 + 2 =

4 + 2 = 2 + 2 = 4 reemplazamos x = 1y as obtenemos el resultado del lmite

8. lmh0

3h3h + 1 + 1

Solucion

lmh0

3h3h + 1 + 1

reemplazando h = 0 en el lmite

3 0(3 0) + 1 + 1 =

0

2= 0 realizando operaciones, obtenemos el valor del lmite

9. lmx2

x + 3

x + 6Solucion

lmx2

x + 3

x + 6reemplazando x = 2 en el lmite.

2 + 3

2 + 6=

5

8realizando operaciones obtenemos el valor del lmite.

3


10. lmy3

(5 y)4/3Solucion

lmy3

(5 y)4/3 reemplazando y = 3 en el lmite.

(5 (3))4/3 = (8)4/3 = 16 realizando operaciones, obtenemos el resultado del lmite.

11. lmh0

h2 + 4h + 55

hSolucion

lmh0

h2 + 4h + 55

hmultiplicando numerador y denominador por el conjugado.

lmh0

h2 + 4h + 55

hh2 + 4h + 5 +

5

h2 + 4h + 5 +

5el conjugado del numerador es

h2 + 4h + 5 +

5.

lmh0

(h2 + 4h + 55)(h2 + 4h + 5 +5)

h(h2 + 4h + 5 +

5)

realizando operaciones.

lmh0

(h2 + 4h + 5 5)h(h2 + 4h + 5 +

5)

en el numerador tenemos una diferencia de cuadrados.

lmh0

h(h + 4)

h(h2 + 4h + 5 +

5)

simplificando 5 5 = 0 y factorizando h.

lmh0

(h + 4)

(h2 + 4h + 5 +

5)

simplificando h.

(h + 4)

(h2 + 4h + 5 +

5)

=4

5 +

5reemplazando h = 0.

4

2

5=

25

simplificamos y obtenemos el valor del lmite.

12. lmy 12

x+2x+1

Solucion

lmy 12

x + 2

x + 1reemplazando y = 12 en el lmite.

12 + 2 12 + 1

realizando operaciones obtenemos.3212

realizando producto de extremos producto de medios.6

2=

3 simplificando, obtenemos el resultado del lmite.

13. lmx4

x2x4

4


Solucion

lmx4

x 2x 4 multiplicando por el conjugado numerador y denominador.

lmx4

x 2x 4

x + 2x + 2

el conjugado del numerador esx + 2.

lmx4

(x 2)(x + 2)

(x 4)(x + 2) realizando operaciones.

lmx4

(x 4)(x 4)(x + 2) en el numerador tenemos una diferencia de cuadrados.

lmx4

1

(x + 2)

simplificando (x 4).1

(

4 + 2)=

1

2 + 2=

1

4reemplazamos x = 4 y as obtenemos el resultado del lmite.

Seccion 3: Ejercicios 2.

1. Calcular, si existe, el lmite de cada una de las siguientes funciones:

a) lmx3

(2x 3)Solucion

lmx3

(2x 3) = 2(3) 3 = 3 reemplazando x = 3 en el lmite.

b) lmx2

x2 4x 2

Solucion

lmx2

x2 4x 2 reemplazo cuando x = 2.

(2)2 4(2 2) =

4 44 =

0

4 = 0 realizo las operaciones y as obtenemos el lmite.

c) lmx1

x2 4x + 3x2 1

Solucion

lmx1

x2 4x + 3x2 1 Factorizando numerador y denominador tenemos.

lmx1

(x 3)(x 1)(x 1)(x + 1) Factorizando el trinomio y la diferencia de cuadrados a

2 b2 = (a b)(a + b) .

lmx1

(x 3)(x + 1)

Simplificando (x 1).1 31 + 1

=22

= 1 reemplazando por x = 2.

5


d) lmx1

h(x) siendo

h(x) =

{3x 2, si x 1x2 + 5, si x > 1

Sugerencia: Debe calcular los lmites laterales.SolucionSe calculan los lmites laterales

lmx1

(3x 2) = 3(1) 2 = 1 Lmite por la izquierda.lmx1+

(x2 + 5) = 12 + 5 = 6 Lmite por la derecha .

Luego, lmx1

h(x) no existe, ya que los lmites laterales son distintos.

e) lmx9

x 9x 3

Solucion

lmx9

x 9x 3 Multiplicamos por el conjugado numerador y denominador

x + 3.

lmx9

x 9x 3

x + 3x + 3

Realizamos la operaciones en el denominador.

lmx9

(x 9)(x + 3)(x + 3)(

x 3) (

x + 3)(

x 3) = x 9.

lmx9

(x 9)(x + 3)(x 9) simplifico (x 9)

lmx9

(x + 3) reemplazo x = 9

9 + 3 = 6 reemplazo x = 9

f ) lmh0

(x + h)2 x2h

Solucion

lmh0

(x + h)2 x2h

Elevamos al cuadrado (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

lmh0

(x2 + 2xh + h2 x2h

simplificando x2.

lmh0

(2xh + h2

hen el numerador factorizamos h.

lmh0

h(2x + h)

hsimplifico h

lmh0

(2x + h) reemplazo h = 0

2x + 0 = 2x resultado del lmte

2. Determinar si cada una de las siguientes funciones es continua en el punto indicado:

a)

h(x) =

{3x 2, si x 1x2 + 5, si x > 1

en el punto x = 1.SolucionPara verificar la continuidad en x = a, debo ver que la funcion cumpla las tres condiciones.

6


i. f(a) existe

ii. lmxa f(x) exista

iii. lmxa f(x) = f(a)

Para verificar la continuidad, debo ver que se cumplen las tres condiciones

i. h(1) = 3(1) 2 = 1, por la tanto la imagen existe y es 1.ii. Calculemos el lmite, por esto debo ver que los lmites laterales existan y sean iguales.

lmx1

(3x 2) = 1 Lmite por izquierda.lmx1+

(x2 + 5) = 1 + 5 = 6 Lmite por derecha.

Como los lmites laterales son distintos, entonces lmx1

h(x) no existe.

En conclusion, como fallo la condicion (ii), decimos que la funcion h(x) no es continua en x = 1.

b) Trazar un bosquejo de la grafica h(x)

c)

t(x) =

3 x, si x 3x 2, si x (0, 3)x 1, si x (, 0)

en el punto x = 3 y x = 0.SolucionPara verificar la continuidad, debo ver que se cumplen las tres condiciones en el punto x = 3 :

i. t(3) = 3 x = 3 3 = 0, por la tanto la imagen existe y es 0.ii. Calculemos el lmite, por esto debo ver que los lmites laterales existan y sean iguales.

lmx3

(x 2) = 3 2 = 1 Lmite por izquierda.lmx3+

(3 x) = 3 3 = 0 Lmite por derecha.

Como los lmites laterales son distintos, entonces lmx3

t(x) no existe.

En conclusion, como fallo la condicion (ii), decimos que la funcion t(x) no es continua en x = 3.

Ahora, verifiquemos la continuidad en x = 0, para esto debo ver que se cumplen las tres condiciones

7


i. t(0) = no existe, por definicion de la funcion t(x).

Por lo tanto no es necesario verificar la condicion (ii.), en conclusion, decimos que la funcion t(x) no es continuaen x = 0.

d) Trazar un bosquejo de la grafica t(x).

e) Determinar en que punto es discontinua la funcion f(x) = 5x3 . Justifique su respuesta.SolucionBasta con hallar el dominio de f , el cual no incluye x = 3. Luego, f es discontinua en x = 3.

f ) Determinar en que puntos es discontinua la funcion g(x) =x

3x2 + 5.SolucionDeterminamos el dominio de g(x) para esto debo ver que el denominador sea diferente de cero, por lo tanto3x2 + 5 no puede ser igual a cero. Para esto vamos a buscar cuando 3x2 + 5 = 0, despejamos x.

3x2 + 5 = 0 Igualamos a cero

3 =x2 + 5 La raz pasa a la derecha

32 = (x2 + 5)2 Elevando al cuadrado

9 = x2 + 5 Operando

9 5 = x2 despejando x4 = x2 haciendo la resta

2 = x sacando raz cuadrada

Luego, g es discontinua para x = 2 y x = 2. Veamos un bosquejo de g(x) = x3x2 + 5.

8


9

Solucionario Unidad 1

Documents

Transcript of Solucionario Unidad 1