El Solucionario de Matemticaspara 1. de Bachillerato es una obra colectivaconcebida, diseada y creada en el departamentode Ediciones Educativas deSantillana Educacin, S. L.,dirigido por Enrique Juan Redal.En su realizacin han intervenido:M. Jos ReyCsar SantamaraEDICINAnglica EscoredoJos Miguel EscoredoMercedes de LucasCarlos PrezDIRECCIN DEL PROYECTODomingo Snchez FigueroaSantillanaMatemticas 1 BACHILLERATOBiblioteca del profesoradoSOLUCIONARIOPresentacin25ANTES DE COMENZAR RECUERDAClasifica estos nmeros segn el tipo al que pertenecen.0,716 685,00910,0201 67456,890,7es un nmero decimal peridico puro.16 es un nmero entero.685,0091es nmero decimal peridico mixto.0,0201 y 456,89 son nmeros decimales exactos.67 es un nmero natural.son nmeros racionales.Expresa en forma de fraccin. 0,22 34,0325,0120,10432,302 0,22 =25,012=2,302 =34,03 =0,1043 =Obtn el valor absoluto de los nmeros. 7 0 1 62 (6)27 =71 =1(6)2 =360 =062 =36Calcula las siguientes potencias.a) 34e)b)f ) (5)7c) (2)6g)d)h) 25a) 34=81e)b)f ) (5)7=78.125c) (2)6=64g)d)h) 25=325725492== 49647293 523125325=. = 35271253572493 525 3530040035214995 . 112333.2300999.22511900.11500022744348y348 27440011SOLUCIONARIO41SOLUCIONARIOLI TERATURAYMATEMTI CASEl cdigo Da VinciEl profesor Langdon se sinti una vez ms en Harvard, de nuevo en suclase de Simbolismo en el Arte, escribiendo su nmero preferido enla pizarra:Langdonsediolavueltaparacontemplarlacaraexpectantedesusalumnos.Alguien puede decirme qu es este nmero?Uno alto, estudiante de ltimo curso de matemticas, que se sentabaal fondo levant la mano.Es el nmero Phi dijo, pronunciando las consonantes como una efe.Muy bien, Stettner. Aqu os presento a Phi.Que no debe confundirse con pi aadi Stettner con una sonrisa desuficiencia.Phi prosigui Langdon, uno coma seiscientos dieciocho, es un n-mero muy importante para el arte. Alguien sabra decirme por qu?Stettner segua en su papel de gracioso.Porque es muy bonito?Todos se rieron.En realidad, Stettner, vuelve a tener razn. Phi suele considerarse co-mo el nmero ms bello del universo.Las carcajadas cesaron al momento, y Stettner se incorpor, orgulloso.[] A pesar de los orgenes aparentemente msticos de Phi, prosiguiLangdon,elaspectoverdaderamentepasmosodeesenmeroerasupapelbsicoentantoquemoldeconstructivodelanaturaleza.Lasplantas, los animales e incluso los seres humanos posean caractersti-cas dimensionales que se ajustaban con misteriosa exactitud a la raznde Phi a 1.La ubicuidad de Phi en la naturaleza aadi Langdon apagando lasluces [para proyectar en la pantalla imgenes de nautilos, pias, gira-soles]trasciendesindudalacasualidad,porloquelosantiguoscrean que ese nmero haba sido predeterminado por el Creador delUniverso. Los primeros cientficos bautizaron el uno coma seiscientosdieciocho como La Divina Proporcin. DAN BROWN1,618En realidad, el valor del nmero Phi es =. Los nmeros1,618 y son dos nmeros reales, pero uno es racional y el otro es irracional. Por qu? Qu error se comete al tomar 1,618 como valor de Phi?1,618 es un nmero racional, ya que es un decimal exacto.Phi es un nmero irracional, ya quelo es y al sumar o dividir un nmero irracional por un entero el resultado es un nmero irracional.Como ; el error cometido es menor que una diez milsima.1521 61803 + = ,5152+152+Nmeros reales1El nombre de la serie, La Casa del Saber, responde al planteamiento depresentar un proyecto de Matemticas centrado en la adquisicin de loscontenidos necesarios para que los alumnos puedan desenvolverse en lavida real.En este sentido, y considerando las matemticas a estos niveles como unamateria esencialmente procedimental, recogemos en este material la reso-lucin de todos los ejercicios y problemas formulados en el libro del alum-no. Pretendemos que esta resolucin no sea solo un instrumento sino quepueda entenderse como una propuesta didctica para enfocar la adquisi-cin de los distintos conceptos y procedimientos que se presentan en ellibro del alumno.45Demuestra estas igualdades.a) loga (b c) =loga b +loga c b) loga =loga b loga ca) Por la definicin de logaritmos:loga (b c) =x loga b =y loga c =zax=b c ay=b az=cay az=b c ay+z =b c loga (b c) =y +zEs decir: loga (b c) =loga b +loga cb) Por la definicin de logaritmos:loga =x loga b =y loga c =zax= ay=b az=cayz= loga =y zEs decir: loga =loga b loga cDemuestra la siguiente igualdad: log (a2b2) =log (a + b) +log (a b)log (a +b) +log (a b) =log [(a +b)(a b)] = log (a2b2)Si el rea de esta figura es 10 cm2, cul es su altura?La longitud de la base mide: 1 + cmCalculamos la altura: 10 = hh = cmDos piezas mviles de una mquina se desplazan a lamisma velocidad. La primera pieza describeuna circunferencia de radio 5 cmy la segundase desplaza de un extremo al otro del dimetro de esacircunferencia.Si ambas piezas parten del mismo punto, coincidirnen algn momento?Suponemos que ambas piezas parten de A.Llamamos v a la velocidad que llevan los dos mviles.La distancia recorrida por el mvil que se desplaza por la circunferencia en lospuntos A y B es: 5(k 1). Siendo k un nmero natural. La distancia recorrida por elmvil que se desplaza por el dimetro en los puntos A y B: 10(k 1). Siendo k unnmero natural. Las distancias recorridas por el mvil que se desplaza por lacircunferencia son nmeros irracionales, mientras que las distancias recorridas porel mvil que se desplaza por el dimetro son nmeros naturales, por tanto nuncacoincidirn ambos mviles.150101 210 10 2110 10 2+== +1 2 + ( )2149148bcbcbcaabcyz=bcbcbc147Ah11BC D5 cmB A44Nmeros reales1 SOLUCIONARIOLas unidades de medida con que se mide la cantidad de informacin son:Byte =28bits Megabyte =210KilobytesKilobyte =210bytes Gigabyte =210MegabytesExpresa, en forma de potencia y en notacin cientfica, las siguientes cantidades deinformacin en bits y bytes.a) Disco duro de 120 Gb. c) Disquete de 1,44 Mb.b) Tarjeta de memoria de 512 Mb. d) CD-Romde 550 Mb.a) 120 Gb =120 210 210 210bytes =15 233bytes =15 241bits120 Gb =1,2885 1011bytes =3,2985 1013bitsb) 512 Mb =29 210 210bytes =229bytes =237bits512 Mb =5,3687 108bytes =1,3743 1011bitsc) 1,44 Mb =1,44 210 210bytes =1,44 220bytes =1,44 228bits1,44 Mb =1,5099 106bytes =3,8655 108bitsd) 550 Mb =550 210 210bytes =550 220bytes = 550 228bits550 Mb =5,7672 108bytes =1,4764 1011bitsPARA FINALIZARSi es una fraccin irreducible:a) Cundo es equivalente a ? b) Y cundo es equivalente a ?a) b)ab +b =ab +a ab +b2=ab +ab b2=aba =b Como b es distinto de cero: b =aSi una fraccin es irreducible, son las fracciones y irreducibles?Como los divisores de a + b son los divisores comunes de a y los de b.(a +b) y a b no tienen divisores comunes, por tanto la fraccin esirreducible.Como los divisores de a b son los divisores comunes de a y los de b.(a b) y a b no tienen divisores comunes, por tanto la fraccin esirreducible.Demuestra la siguiente igualdad: = 1.= + ( ) = ( ) ==12112100 1 1199log( ) log log log k kklog log log1 121 1211991991+=+=+== = = kkkkkk k k k999log1199+=kk k146a ba ba ba b+a ba ba ba b+ab145a bb bab++=abab++=11aba bb b++abab++11ab1441433ndiceUnidad1 Nmeros reales 4Unidad2 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas 46Unidad3 Trigonometra 106Unidad4 Nmeros complejos 158Unidad5 Geometra analtica 198Unidad6 Lugares geomtricos. Cnicas 258Unidad7 Funciones 302Unidad8 Funciones elementales 334Unidad9 Lmite de una funcin 380Unidad 10 Derivada de una funcin 430Unidad 11 Integrales 490Unidad 12 Estadstica bidimensional 530Unidad 13 Probabilidad 566Unidad 14 Distribuciones binomial y normal 6004Nmeros reales1 SOLUCIONARIOLI TERATURAYMATEMTI CASEl cdigo Da VinciEl profesor Langdon se sinti una vez ms en Harvard, de nuevo en suclase de Simbolismo en el Arte, escribiendo su nmero preferido enla pizarra:Langdonsediolavueltaparacontemplarlacaraexpectantedesusalumnos.Alguien puede decirme qu es este nmero?Uno alto, estudiante de ltimo curso de matemticas, que se sentabaal fondo levant la mano.Es el nmero Phi dijo, pronunciando las consonantes como una efe.Muy bien, Stettner. Aqu os presento a Phi.Que no debe confundirse con pi aadi Stettner con una sonrisa desuficiencia.Phi prosigui Langdon, uno coma seiscientos dieciocho, es un n-mero muy importante para el arte. Alguien sabra decirme por qu?Stettner segua en su papel de gracioso.Porque es muy bonito?Todos se rieron.En realidad, Stettner, vuelve a tener razn. Phi suele considerarse co-mo el nmero ms bello del universo.Las carcajadas cesaron al momento, y Stettner se incorpor, orgulloso.[] A pesar de los orgenes aparentemente msticos de Phi, prosiguiLangdon,elaspectoverdaderamentepasmosodeesenmeroerasupapelbsicoentantoquemoldeconstructivodelanaturaleza.Lasplantas, los animales e incluso los seres humanos posean caractersti-cas dimensionales que se ajustaban con misteriosa exactitud a la raznde Phi a 1.La ubicuidad de Phi en la naturaleza aadi Langdon apagando lasluces [para proyectar en la pantalla imgenes de nautilos, pias, gira-soles]trasciendesindudalacasualidad,porloquelosantiguoscrean que ese nmero haba sido predeterminado por el Creador delUniverso. Los primeros cientficos bautizaron el uno coma seiscientosdieciocho como La Divina Proporcin.DAN BROWN1,618En realidad, el valor del nmero Phi es = . Los nmeros 1,618 y son dos nmeros reales, pero uno es racional y el otro es irracional. Por qu? Qu error se comete al tomar 1,618 como valor de Phi?1,618 es un nmero racional, pues es un decimal exacto.Phi es un nmero irracional, ya quelo es y, al sumar o dividir un nmero irracional y un entero, el resultado es un nmero irracional.Como; el error cometido es menor que una diezmilsima.1 521 61803+= , 51 52+ 1 52+Nmeros reales15ANTES DE COMENZAR RECUERDAClasifica estos nmeros segn el tipo al que pertenecen.0,7

16 685,0091

0,0201 67 456,890,7es un nmero decimal peridico puro.16 es un nmero entero.685,0091es nmero decimal peridico mixto.0,0201 y 456,89 son nmeros decimales exactos.67 es un nmero natural.son nmeros racionales.Expresa en forma de fraccin. 0,22 34,03

25,012

0,1043

2,302

0,22 = 25,012 = 2,302=34,03= 0,1043 =Obtn el valor absoluto de los nmeros. 7 0 1 62(6)27 =71 =1(6)2 =360 =062 =36Calcula las siguientes potencias.a) 34e)b) f ) (5)7c) (2)6g)d) h) 25a) 34=81 e)b) f ) (5)7= 78.125c) (2)6=64 g)d) h) 25=325725492== 49647293523125325= .= 352712535724935253530040035214995 .112333.2300999. 22511900. 11500022744348y34827440011 SOLUCIONARIO6Nmeros realesSimplifica y expresa el resultado como potencia.a) b)a)b)ACTIVIDADESCalcula el representante cannico de estos nmeros.a) b) c)a) b) c)Escribe dos representantes de los nmeros racionales.a) b) c)Respuesta abierta.a)b)c)Halla cuntos nmeros racionales distintos hay en esta secuencia.1,6

Hay dos nmeros racionales distintos, que son: 1,6Una fraccin que tenga un trmino negativo y otra que tenga sus dos trminospositivos, pueden ser representantes del mismo nmero racional?No pueden representar el mismo nmero racional, puesto que si una fraccintiene un trmino negativo, el cociente es negativo; y si sus dos trminos son positivos, el cociente es positivo.004 ==53535353106= =5353535310600382516502475= , , ,92184276= , , ,71214242136= , , ,82592712002=2460251839613== 16242324601839162400123423382 32 332322311 2 10 ==5 3 66 3 56 5 5 3 3657 3 42 3 142 14 7 3 3421 = = = 365 326221 422342338322 5 3 66 3 57 3 42 3 14 00571 SOLUCIONARIOEscribe 4 nmeros irracionales, especificando su regla de formacin.Respuesta abierta.Tras la coma, se sitan todos los mltiplos de 3: 0,3691215Tras la coma se sitan todos los mltiplos de 4: 0,481216Al nmero irracionalse le suma el nmero 1: +1Al nmero irracionalse le suma el nmero 2: +2Decide si los siguientes nmeros son irracionales.a) 0,51015202530 c) 2 b) d)a) Es un nmero irracional, ya que tiene infinitas cifras decimales que no se repiten de forma peridica.b) Es un nmero decimal exacto, luego no es un nmero irracional.c) Es un nmero irracional, porque si a un nmero irracional se le resta un nmeroentero, el resultado es un nmero irracional.d) No es un nmero irracional, puesto que es una fraccin.Encuentra, sin hacer operaciones con decimales, un nmero irracional comprendido entre.Respuesta abierta.Razona si son ciertas o no las siguientes afirmaciones.a) La raz de un nmero irracional es irracional.b) Un nmero irracional al cuadrado no es racional.a) Cierta, ya que sigue teniendo infinitas cifras decimales no peridicas.b) Falsa, por ejemplo: Indica el conjunto numrico mnimo al que pertenece cada nmero.a) 8,0999 c) e) 2,5b) 1,223334444 d) 6,126

f ) 11a) Q d) Qb) I e) Qc) I f ) Z150092 22( )=0082 1 2 2 y0071017340062 22 20058Nmeros realesRepresenta las races.a) b) c) d)a) c)b) d)Coloca, en la recta real, el nmero: Representa, en la siguiente recta real, los nmeros 1 y 2.Aplica la propiedad distributiva y opera.a) b)a)b)3427252732727342532767 + = += 2206770=3427253427342530 421401 = == 22140335= 34272527327 + 342725 01301 2030120 111 52+51 5 +,,=+ 1 520110 1360 110 1010 1 50 1 1136 5 101 1101091 SOLUCIONARIOOrdena, de menor a mayor, los siguientes nmeros racionales e irracionales.Con ayuda de la propiedad distributiva, calcula 992y 9992sin realizar las operaciones.992=99 99 =99(100 1) =9.900 99 =9.8019992=999 999 =999(1.000 1) =999.000 999 =998.001Representa los siguientes conjuntos numricos de todas las formas que conozcas.a) Nmeros menores que .b) Nmeros mayores quey menores o iguales que 7.c) Nmeros menores o iguales que 2 y mayores que 2.d) Nmeros comprendidos entre los dos primeros nmeros pares, ambos incluidos.a) (, ) ={x: x < }b) =c) (2, 2] ={x: 2 < x 2}d) [2, 4] ={x : 2 x 4}Escribe, de todas las maneras que conozcas, estos intervalos de la recta real.a) c)b) d)a) (, 3) ={x: x < 3} c) (3, +) ={x: x >3}b) [3, 2) ={x: 3 x 251302 363 3202 < >1 06 7 0 x xx>3471234712,b) 4 2 5 2 8 2 7 03 1 2 3 2 1 1 0( ) ( )( ) ( )x xx x + + ++ > + 4 3 012 7 0xx xx232322 ,a) 2 5 3 2 2 03 2 38 162( ) ( )( )x xx xx 3d) 3( )52 + +>+ 0b) x22x +8 < 0 d) x2+3x 4 < 0 f ) 6x2+31x +18 0a) Resolvemos la ecuacin: Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = 10 x =0 x =10Si x = 10 (10)2+10 6 >0 (, 2) no es solucin de la inecuacin.Si x =0 020 6 0 (3, +) no es solucin de la inecuacin.Las soluciones de la ecuacin no lo son de la inecuacin.Por tanto, la solucin es (2, 3).b) Resolvemos la ecuacin:Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = 10 x =0 x =10Si x = 10 (10)2 2 (10) +8 0 (4, 2) no es solucin de la inecuacin.Si x =10 102 2 10 +8 0 (, 3) es solucin de la inecuacin.Si x =0 2 02+5 0 3 0 es solucin de la inecuacin.Las soluciones de la ecuacin no lo son de la inecuacin.Por tanto, la solucin es ( , ) , + 312.12,+312,2 5 3 0312212x xxx+ == = + == =x xxx2 122 8 042x xxx2 126 023 == =087Ecuaciones, inecuaciones y sistemas87f ) Resolvemos la ecuacin: Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = 10 x = 1 x =0Si x = 10 6(10)2+31 (10) +18 >0 no es solucin de la inecuacin.Si x = 1 6 (1)2+31 (1) +18 0 no es solucin de la inecuacin.Las soluciones de la ecuacin lo son de la inecuacin.Por tanto, la solucin es Resuelve estas inecuaciones que contienen fracciones algebraicas.(3, 5) 521 ,d)22 51 03 32 50152+> +>xxxxxx + , ( , )231c)+>+< >> + + > + + >23150 5 10 3 3 0 3 2 10 02 2( ) e)12 2 x x x xx+14 3132 2d)2 16332 302++x x xc)2 2xx x+131452b)3x x x + 23150)089Ecuaciones, inecuaciones y sistemas89Resolvemos la ecuacin:Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = 10 x = 5 x =0Si x = 10 2 (10)2+26 (10) +27 >0 es solucin de la inecuacin.Si x = 5 2 (5)2+26 (5) +27 0 es solucin de la inecuacin.Las soluciones de la ecuacin lo son de la inecuacin.Por tanto, la solucin es.Resolvemos la ecuacin: Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = 10 x = 5 x =0Si x = 10 4 (10)2+33 (10) +7 >0 es solucin de la inecuacin.Si x = 5 4 (5)2+33 (5) +7 0 es solucin de la inecuacin.Las soluciones de la ecuacin lo son de la inecuacin.Por tanto, la solucin es. ++ , ,33 977833 9778 ++33 9778, +33 977833 9778, ,33 97784 33 7 033 977833 9778212x xxx+ + == = +e)x x x xx x x+ + + 141232 134 33 7 02 22 ++ , ,13 115213 1152 ++13 1152, +13 115213 1152, ,13 11522 26 27 013 115213 1152212x xxx+ + == = +d) 32 321630 18 6 9 32 2 02 2222++ + + + +x x xx x xx 66 27 0 x + 2 SOLUCIONARIO90Obtn las soluciones de estos sistemas.Resolvemos cada una de las inecuaciones:Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = 10 x =0 x =10Si x = 10 (10)23 (10) 4 >0 (, 1) es solucin de la inecuacin.Si x =0 023 0 4 0 (4, +) es solucin de la inecuacin.Las soluciones de la ecuacin no lo son de la inecuacin.Por tanto, la solucin es (, 1) (4, +).Por tanto, la solucin es.La solucin del sistema es la interseccin de las soluciones de cada una de las inecuaciones: (, 1).b) Repitiendo el proceso del apartado anterior, la solucin es.c) Repitiendo el proceso del apartado anterior, la solucin es (4, +).d) Repitiendo el proceso del apartado anterior, la solucin es.Resuelve estos sistemas de inecuaciones.a) Resolvemos cada una de las inecuaciones.Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = 10 x =0 x =10Si x = 10 (10)23 (10) +10 0 (5, 2) no es solucin.Si x =10 1023 10 +10 b) 3210 03 132 < >x xxc) 43x xx25 02 10+ > >b) 32x xx24 03 0 7Por tanto, la solucin es (7, +).La solucin del sistema es la interseccin de las soluciones de cada una de las inecuaciones: (7, 5) (2, +).b) La inecuacin de segundo grado es la misma que en el apartado anterior.Por tanto, la solucin es (, 5) (2, +):2x 3 >13 x >8Por tanto, la solucin es (8, +)La solucin del sistema es la interseccin de las soluciones de cada una de las inecuaciones: (8, +).c) Resolvemos cada una de las inecuaciones:Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = 10 x =0 x =10Si x = 10 (10)2+4 (10) 5 >0 (, 5) es solucin de la inecuacin.Si x =0 02+4 0 5 0 (1, +) es solucin de la inecuacin.Las soluciones de la ecuacin no lo son de la inecuacin.Por tanto, la solucin es (, 5) (1, +).3x 2 6 011a) 2 32x yx y + 6 011092x xxx2 124 5 051+ == =2 SOLUCIONARIO92Ecuaciones, inecuaciones y sistemasCalcula las soluciones de estos sistemas.a) No tiene solucin. c) La solucin es la regin ms oscura.b) La solucin es la regin ms oscura. d) La solucin es la regin ms oscura.Resuelve los sistemas.a) La solucin es la regin ms oscura. c) La solucin es la regin ms oscura.b) La solucin es la regin ms oscura.Y11 XY22 XY22 Xb)22 2 3123312143 20 + + ++x y x yx y x yc)62 3x x y yx x y x+++b b acab b aca2 2420420 y Tiene cuatro sol uuciones.cbax xba=> = = 0 0 0 y Tiene tres soluciones: , .cbax =< = 0 0 0 y Tiene una solucin: . < b ac24 0 oos soluciones. Si Tiene dos soluciones opuestas.>ba 20 Si Tiene una solucin:= = = =bab c x20 0 0 0 ( , ) .Si Si No tiene soluci = = = < b ac zbaba24 02 20 nn.Si No tiene solucin. = < b ac24 0 0960952 SOLUCIONARIO94Utiliza el mtodo de sustitucin para resolver estos sistemas de ecuacionesno lineales.a) Resolvemos el sistema por sustitucin:x2 + x 2 =0Las soluciones son: x1 = 2 x2 =1Si x1 = 2 y1 =4Si x2 =1 y2 =1b) Resolvemos el sistema por sustitucin:x2 + x +2 =0Las soluciones son: x1 =2 x2 = 1Si x1 =2 y1 =6 2 1 =11Si x2 = 1 y2 =6 (1) 1 = 7c) Resolvemos el sistema por sustitucin:x2 3x 10 =0Las soluciones son: x1 = 2 x2 =5Si x1 = 2 y1 = = 5Si x2 =5 y2 = =2d) Resolvemos el sistema por sustitucin:x2 4x +15 =0Esta ecuacin no tiene solucin real, por lo que el sistema no tiene solucin.y x xx y+ + = + =25 6 09 0105102 xxx= = = =( ) ( ) ( ) 3 3 4 1 102 13 7225212 102 5=+ = +xyx yxxx= === 1 1 4 1 22 11 3221212( )( )y x xy x + == 25 3 06 1xxx= = = =1 1 4 1 22 11 3221212( )y xx y=+ =22 0d) 5 y x xx y+ + = + =26 09 0b) 56y x xy x + == 23 01c) 102 5=+ = +xyx ya) y xx y=+ =22 0097Ecuaciones, inecuaciones y sistemas95Resuelve la ecuacin.Trata de hacerlo sustituyendo en la expresiny obtendrs una ecuacinde segundo grado. Calcula las soluciones para la incgnita t y luego sustituyepara hallar el valor de x.Sustituimos: Resolvemos la ecuacin: 2t2 3t = 0t1 = t2 =0Sustituimos para calcular x:x3 = 1 x4 =1Determina la solucin de estas ecuaciones realizando las sustituciones de variablenecesarias.a) Sustituimos: Resolvemos la ecuacin: 2t2 9t +10 =0Sustituimos para calcular x:x3 =1xx+ =12x x1 2122 = =xx+ =1 52t t1 2522 = =t xx= =10b)66 xx xxx229 38 0 ++ =a) 219110 02xxxx+ ++ =099x x1= =1222xx =1 3232xxt =1213102xxxx =xxt =1213102xxxx =0982 SOLUCIONARIO96b) Factorizamos el denominador de segundo grado:Lo expresamos como una identidad notable:Sustituimos: Resolvemos la ecuacin: t2 1 =0t1 = 1 t2 =1Sustituimos para calcular x:Si Max sube de tres en tres los escalones de una torre, tiene que dar 30 pasos menosque si los sube de dos en dos. Cuntos escalones tiene la torre?Llamamos x al nmero de escalones:La torre tiene 180 escalones.El jeque Omar tiene dispuesto en su testamento que la tercera parte de sus camellosse entregue a su primognito, Al; la tercera parte del rebao sea para su segundohijo, Casim, y el resto vaya a parar a su esposa Ftima. A la muerte de Omar y, una vezhecho el reparto, a Ftima le corresponden 140 camellos. Cuntos componan el rebao del jeque?Llamamos x al nmero de camellos del jeque:El rebao del jeque estaba compuesto por 420 camellos.En una bodega venden dos tipos de vino: crianza y reserva. Averigua cul es su precio si sabemos que Juan compr 3 botellas de reserva y 12 botellas de crianza y pag 69 , mientras que Beln compr 6 botellas de crianza y 8 botellas de reserva, pag 80 .Llamamos x al precio de la botella de crianza e y al precio de la botella de reserva:6x +8 7 =80 x =4El precio de la botella de crianza es de 4 y el precio de la botella de reserva es de 7 .12 3 696 8 8012 3 62x yx yx y + =+ =+ = ( )9912 16 16013 91 7 = = =x yy y 102xx xx x x = = =3 3140 3 2 420 420 101x xx x x33022 180 3 180 + = + = = 100= = 133 62xxx 133 41= =xxx txx=33xx =33 1 02xxxx223638 0( ) + =Ecuaciones, inecuaciones y sistemas97Un comerciante compra melones a 40 cntimos/kg y los vende a 60 cntimos. Hallacuntos kilogramos de melones compr si se le estropearon 10 kg y obtuvo 42 .Llamamos x al nmero de kilogramos de melones que compr:0,20(x 10) =42x =220El comerciante compr 220 kg de melones.Carmen se dispone a invertir 100.000 . En el banco le ofrecen dos productos: Fondo Tipo A, al 4% de inters anual, y Fondo Riesgo B, al 6%de inters anual. Invierte una parte en cada tipode fondo y al cabo del ao obtiene 4.500 deintereses. Cunto adquiri de cada producto?Llamamos x al dinero invertido en el Fondo Tipo A e y al dinero invertido en el Fondo B:x =100.000 25.000 =75.000Adquiri 75.000 del Fondo Tipo A, y 25.000 del Fondo Riesgo B.Un ciclista y un coche parten uno al encuentro del otro desde dos ciudades separadaspor 180 km. Sabiendo que el ciclista avanza cuatro veces ms despacio que el cochey que tardan 1 h 48 min en encontrarse, cul es la velocidad de cada uno?Planteamos un sistema de ecuaciones, teniendo en cuenta que e = v t.Llamamos x a la distancia recorrida por el ciclista e y a la velocidad del mismo:1 h 48 min =1,8 hx =1,8 20 =36La velocidad del ciclista es 20 km/h, y la velocidad del coche es 80 km/h.Un camin sale de una ciudad a 80 km/h y dos horas despus parte en la mismadireccin un coche a 100 km/h. Cunto tardar en alcanzarlo y cunta distanciahabrn recorrido habr recorrido hasta ese momento?Planteamos un sistema de ecuaciones, teniendo en cuenta que e = v t.Llamamos x a la distancia recorrida por el camin e y al tiempo que tarda en alcanzarlo:x = 80 8 =640Tardar 8 horas en alcanzarlo y habr recorrido 800 kilmetros.x yx yy y y=+ =+ = =80160 10080 160 100 8 106x yx yy y y= = = =1 8180 7 2180 1 8 7 2 20,,, , 105x yx y+ =+ =1000000 4 45004000 0...,0 0,06 ,,0 ,00,04 0 6 45002 500 25000y yy y+ == =.. 1041032 SOLUCIONARIO98Los lados de un rectngulo se diferencian en 2 m. Si aumentramos 2 m cada lado,el rea se incrementara en 40 m2. Halla las dimensiones del polgono.Llamamos x al lado menor del polgono e y a su rea:y =8(8 +2) =80Los lados del polgono original miden 8 y 10 m, respectivamente.Calcula un nmero, sabiendo que la suma de sus cifras es 14, y que si se invierteel orden en que estn colocadas, el nmero disminuye en 18 unidades.Llamamos x a la cifra de las decenas e y a la de las unidades:y =14 8 =6El nmero es 86.El alquiler de una tienda de campaa cuesta 80 al da. Ins est preparando unaexcursin con sus amigos y hace la siguiente reflexin: Si furamos tres amigos ms,tendramos que pagar 6 menos cada uno. Cuntos amigos van de excursin?Llamamos x al nmero de amigos de Ins, e y al dinero que tiene que pagar cada uno:Van de excursin 5 amigos.Jacinto est cercando un terreno de forma rectangular. Cuando lleva puesto alambrea dos lados consecutivos de la tierra, se da cuenta que ha gastado 170 m de alambre.Si sabe que la diagonal del rectngulo mide 130 m, cules son las dimensiones y el rea del terreno?Llamamos x e y a las dimensiones del terreno:Si y1 =120 x1 =170 120 =50Si y2 =50 x2 =170 50 =120Las dimensiones del terreno son 120 y 50 m, respectivamente.El rea del terreno mide 6.000 m2.yy= = = ( ) ( ) . 170 170 4 1 60002 1170 702121220502y =x yx yy y+ =+ = + =170130170 6000 02 2 22 .110Si y x2 21680165 = = = yy= = = ( ) ( ) ( ) 6 6 4 1 1602 16 2621021Sollucin no vliday216 =xyx yy=+ =+803 6 80803( )( ) (( ) yyyy y = + = =6 80 804803 18 806 160 02109x yy x x yy xy x+ =+ + = += + =1410 18 10149 9 1800126 9 9 18 0 18 144 8 + = = = x x x x108x x yx x yx x x( )( )( )+ =+ + = ++ + = +22 4 406 8 22 2 xx x x + = = 40 4 32 8 107Ecuaciones, inecuaciones y sistemas99La apotema de un hexgono regular mide 8 cm. Determina la medida de su lado y de su rea.Llamamos x al lado del hexgono, y aplicamos el teorema de Pitgoras al tringulorectngulo que tiene por catetos de la apotema y la mitad del lado, y porhipotenusa, la longitud del lado:La longitud del lado escm.El rea de un polgono regular es: Por tanto, el rea mide: Averigua las dimensiones que tiene un pliego rectangular de papel, sabiendo que si dejamos los mrgenes laterales de 1 cm y los verticales de 2,5 cm, el rea es 360 cm2, y que si los mrgenes laterales son de 2 cm y los verticales son de 1,25 cm, el rea es la misma.Llamamos x e y a las dimensiones del pliego:Las dimensiones del pliego son 20 y 25 cm, respectivamente.Calcula un nmero entero, sabiendo que si al cuadrado del siguiente nmerole restamos ocho veces su inverso obtenemos 23.Llamamos x al nmero:(x +1)2 =23 x3+2x2+ x 8 =23x x3+2x222x 8 =0El nmero entero es 4.x x x1 2 33 7 3 7 4 = = + =x x xxx22126 2 06 6 4 1 22 16 2 723 7+ + = = = = == +3 71 2 224 4 241 6 2880 8x113Si Si y x y x1 1 2 2352350 2352352514 25 = =+= = = 3350 2 2525 520+ =yy= = = ( ) ( ) ( ) 15 15 4 2 8752 215 854352122252y =( )( )( )( , )x yx yx = ==2 5 3604 2 5 360350++=+ 25350 42 52 15 82yyxyyy y, 775 0 =112A =128 32cmAP ap=216 33xxx x x x2 222 21824 2562563= += + = = 116 3316 332x =1112 SOLUCIONARIO100Si aumentramos en 4 cm la arista de un cubo, su volumen se multiplicara por 8.Halla la medida de la arista.Llamamos x a la arista del cubo:(x +4)3=8x37x3+12x2+48x +64 =0x =47x216x 16 =0 7x2+16x +16 =0La longitud de la arista es de 4 cm.Dos vacas y tres terneros valen lo mismo que diecisis ovejas. Una vaca y cuatroovejas valen igual que tres terneros. Tres terneros y ocho ovejas cuestan lo mismoque cuatro vacas. Averigua el precio de cada animal.Llamamos x al precio de las vacas, y al precio de los terneros y z al precio de las ovejas:Una vaca vale lo mismo que cuatro ovejas, y un ternero cuesta igual que ochoterceras partes del precio de una oveja.Un nmero que tiene tres cifras lo representamos en la forma abc. Determnalo,sabiendo que si escribes cab, el nmero disminuye 459 unidades; si escribes bac,el nmero disminuye 360 unidades, y que bca es 45 unidades menor que bac.A la cifra de las centenas la llamamos a, a la de las decenas b y a la de las unidades c:a = c +5 y b = c +1Para determinar la solucin sabemos que los tres nmeros son enteros y, por tanto, c es un nmero de 0 a 9. Como a = c +5, c solo puede valer 0, 1, 2, 3 y 4.Para cada uno de estos valores de c resultan a y b.Si c =0, entonces: a =5 y b =1. El nmero es 510.Si c =1, entonces: a =6 y b =2. El nmero es 621.Si c =2, entonces: a =7 y b =3. El nmero es 732.Si c =3, entonces: a =8 y b =4. El nmero es 843.Si c =4, entonces: a =9 y b =5. El nmero es 954.100 10 100 10 459100 10 100 10a b c c a ba b c b+ + = + + ++ + = + aa cb c a b a c+ ++ + = + + 360100 10 100 10 45900 9 99 45990 90 3609 9 45a b ca ba c+ = = + = + = =+ = 10 11 5110 10 405a b ca ba ca c b cb c= + = + = 5 110 10 101162 3 164 33 8 4483x y zx z yy z xx zy z+ =+ =+ ===115x = = 16 16 4 7 162 716 192142No tiene soluciin. 7 12 484 28 647 16 1664640114Ecuaciones, inecuaciones y sistemas101El triple de un nmero menos su mitad es siempre mayor que 3. Qu nmeros cumplen esta propiedad?Llamamos x al nmero:Los nmeros que cumplen esta propiedad son los nmeros mayores que.De un nmero se sabe que si a su cuadrado le restamos su mitad, se obtiene un nmero menor que 1. Qu nmero puede ser?Llamamos x al nmero: Resolvemos la ecuacin: Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = 10 x =0 x =10Si x = 10 2 (10)2 (10) 1 >0 no es solucin de la inecuacin.Si x =0 2 020 1 0 no es solucin de la inecuacin.Las soluciones de la ecuacin no lo son de la inecuacin.Por tanto, la solucin es.Los nmeros pedidos son los nmeros mayores quey menores que.Es cierto que la suma de un nmero y de su cuadrado es siempre positiva? Qu nmeros cumplen esa condicin?Llamamos x al nmero:Vemos que no se verifica que: x + x2>0Resolvemos la ecuacin: Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = 10 x = 0,5 x =10Si x = 10 (10)2 10 >0 (, 0) es solucin de la inecuacin.Si x = 0,5 (0,5)20,5 0 (0, +) es solucin de la inecuacin.Las soluciones de la ecuacin no lo son de la inecuacin.Por tanto, la solucin es (, 1) (0, +).x xxx2 12010+ == = += 12121421191 174+ 1 1741 1741 174 +,1 174++,1 1741 174 +,,1 1742 2 01 1741 174212x xxx ===+xxx x2 221 2 2 0 < < 11865323 6 66565xxx x x > > > + ,1172 SOLUCIONARIO102Encuentra todos los nmeros enteros que multiplicados por el siguiente nmero den un resultado menor que 24.Llamamos x al nmero:x(x +1) = Enf x senxcos xsenxcos xsenxxx' ( ) =====22 000===cos xxx0232= f x cos x sen x "( ) ( ) 22 2026Derivada de una funcinb) Dom f = {0, 1}x =0 es una asntota vertical.x =1 es una asntota vertical.y =1 es una asntota horizontal.No hay puntos de corte con los ejes.f (x) es decreciente en (; 2,41) (0,41; 1) (1, +) y es creciente en (2,41; 0) (0; 0,41)Mnimo: (2,41; 0,82)Mximo: (0,41; 4,82)c) Dom f =y =0 es una asntota horizontal.Punto de corte: (0, 0)f (x) es decreciente en (, 1) (1, +) y es creciente en (1, 1).Mnimo: (1, 1)Mximo: (1; 0,33)11 f (x)YXf ' (2) 03 3 6 0 3 2 002 023 2 22x x x xx xxx xxx = == === ( )1f xex( ) =11f x x x x ( ) = +343 64 3 2028YXf (x)11+= =430 02 2xxx( )f xxx' ( )( )= +432 2limxx++=2302443b) Dom f = {0}x =0 es una asntota vertical.y =0 es una asntota horizontal.y = 1 es una asntota horizontal.No hay puntos de corte con los ejes.f ' (x) 0 La funcin es creciente en x =0.f' (1) =0 No se puede decir si la funcin tiene un mnimo o un mximo en x =1.f ' (3) =8 >0 La funcin es creciente en x =3.La funcin derivada de y =ln x es. Utiliza el resultado para determinar la ecuacin de la recta tangente a esa curva en el punto de abscisa 1.La ecuacin de la recta tangente es: y 0 =1(x 1) y = x 1Obtn las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en el punto de abscisa 4.La ecuacin de la recta tangente es:La ecuacin de la recta normal es: y x y x = = + 645445465( ) y x y x = = + 6544541 ( ) yx' = + 112y x x = +055yx' =1054f x limf x h f xhlimx h x hh h' ( )( ) ( ) ( ) (=+ =+ + + 0 022 )) ( ) + + +==+ + + + + 2 2 22 2 2 2202 2 2x xhlimx hx h x h xh = + + = +2 22 2 2 20xhlim x h xh( )053f x limf x h f xhlimx h x hh h' ( )( ) ( ) ( ) (=+ =+ + 0 022 )) ( ) + +==+ + + 4 2 42 2 2 4202 2 2x xhlimx hx h x h xh++ = + = 2 42 2 2 20xhlim x h xh( )052f ) f x limf x h f xhlimx hh h' ( )( ) ( ) ( ( )=+ =+ + 0 023 2)) ( )( ) ( )2 2 204 2 43 29 12 4 9 +==+ + + + xhlimx h x h xh ==+ + + +12 49 36 54 36 9204 3 2 2 3 4xhlimx hx hx hx hh++ + + == +12 24 12 9 1236 542 2 4 203x hx h x xhlim x hh( xx hx h x h x x2 2 3 336 9 24 12 36 24 + + + + = + )452Es horizontal la recta tangente a la funcin y = x3+ x2en el origen de coordenadas?Si es cierto, cul ser la ecuacin de la recta normal?y' =3x2+2xLa ecuacin de la recta tangente es: y 0 =0(x 0) y =0Esta recta es horizontal; por tanto, la recta normal es: x =0Es cierto que la curvatiene una tangente horizontal en el punto (1, 0)?La ecuacin de la recta tangente es: y 0 =0(x 1) y =0Es una recta horizontal.Se verifica que la recta tangente a la curva y =(x2x)(2x + 1), en el punto de abscisa 1, es paralela a la recta 14x 2y 3 = 0?La ecuacin de la recta tangente es: y 0 =7(x +1) y =7x +7Como las pendientes de las rectas son iguales, se verifica que son paralelas.Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la funcin y = cos xen el punto de abscisa .y' = sen xLa ecuacin de la recta tangente es: y +1 =0(x ) y = 1Esta recta es horizontal; por tanto, la recta normal es: x = Cunto tiene que valer a para que la funcin f (x) = x ln x ax tenga, en el punto de abscisa e, una recta tangente paralela a la bisectriz del primer cuadrante?La bisectriz del primer cuadrante es: y = xEsta recta y la recta tangente son paralelas si sus pendientes son iguales.La pendiente de la recta tangente a la funcin, en x = e, es:Entonces, tenemos que: 2 a =1 a =1Halla la recta tangente y la recta normal a las funciones en los puntos indicados.a) y =23x8en x =3 b) y = x2ln (x + 3) en x = 2 c) y =(3x 5)6en x =2a) y' =23x8 3La ecuacin de la recta tangente es: y 2 =6(x 3) y =6x 16La ecuacin de la recta normal es:y x y x = = + 21631652( ) 061f x x xxa x a f e a ' ' ( ) ln ln ( ) = + = + = 11 2 06005914 2 3 0 732x y y x = = y x x x x x x ' = + + = ( )( ) ( ) 2 1 2 1 2 6 2 12 2058y xxx x x ' = + = 2312132 2y xx= 2312057056Derivada de una funcin453La ecuacin de la recta tangente es: y 0 =4(x +2) y =4x +8La ecuacin de la recta normal es: c) y' =6(3x 5)5 3 =18(3x 5)5La ecuacin de la recta tangente es: y 1 =18(x 2) y =18x 35La ecuacin de la recta normal es: Determina la recta tangente y la recta normal a las funciones en los puntosindicados.a) enx =5b) y = sen (2x + ) enx =0c) enx = La ecuacin de la recta tangente es: La ecuacin de la recta normal es: y 4 = 4(x 5) y = 4x +16La ecuacin de la recta tangente es: y 0 = 2(x 0) y = 2xLa ecuacin de la recta normal es: La ecuacin de la recta tangente es: La ecuacin de la recta normal es: y 0 =2(x ) y =2x 2Obtn las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = x3+ 3x2+ 3x + 4, que son paralelas a la recta de ecuacin 6x 2y + 1 = 0.Esta recta y las rectas tangentes son paralelas si sus pendientes son iguales.y' =3x2+6x +3Si x =0, la ecuacin de la recta tangente es: y 4 =3(x 0) y =3x +4Si x = 2, la ecuacin de la recta tangente es: y 2 =3(x +2) y =3x +83 6 3 3 2 0022 2x x x xxx+ + = + === 6 2 1 0 312x y y x + = = + 063y x y x = = + 01212 2( ) c) y tgx' = + 12122y x y x = = 012012( ) b) y cos x ' = + ( ) 2 2 y x y x = = + 414514114( ) a) y xx' = + =+122 6 212 612( )y tgx= 2y x = + 2 6062y x y x = = + 11182118109( ) y x y x = + = 01421412( ) b) y x x xx' = + + +2 3132ln ( )10 SOLUCIONARIO454Derivada de una funcinHalla los puntos en los que la funcin y =x3+ 4x2+ 2x + 1 tiene rectas tangentesde pendiente 2. Determina tambin la ecuacin de dichas rectas tangentes.y' =3x2+8x +2Si, la ecuacin de la recta tangente es: Si x = 2, la ecuacin de la recta tangente es: y 5 = 2(x +2) y = 2x +1Aplica las reglas de derivacin a la funcin y = x33x2+ 2x 5 para calcular:a) La funcin derivada.b) La derivada en los puntos de abscisa 1, 0 y 3.c) La ecuacin de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa 3.a)f ' (x) =3x26x +2b) f ' (1) = 11f ' (0) = 2f ' (3) = 11c) y 1 =11(x 3) y =11x 32Emplea las reglas de derivacin para calcular la funcin derivada de: f (x) = (2x + 3)(x 2)A partir del resultado obtenido, determina:a) f' (2)f' (2)b) La ecuacin de la recta tangente en el punto x = 2.c) La ecuacin de la recta tangente en el punto x =2.b) y 4 = 9(x +2) y = 9x 26c) y 0 =1(x 2) y = x 2a) ffff''''( )( )2 73272 913== = =13f x x x x ' ( ) ( ) ( ) = + + = 2 2 2 3 1 4 1f'13f' 32066065y x y x = += 31272232527x = 233 8 2 2 3 8 4 02322 2x x x xxx+ + = + + == = 064455Aplica las reglas de derivacin para calcular la funcin derivada de las siguientesfunciones.a) y = x32x2+ 5x 6 c) y =2xb) y =log3 x d)Utiliza las reglas de derivacin para hallar la funcin derivada de estas funciones.a) c) e)b) y =42xd) f ) y =(6x)4Halla la derivada de estas operaciones de funciones.a) y =(x 2)(x2+ 3x) e) y =ln x + exb) f )c) y = x2log x 1 g) y = x2 2xd) h)h) yx xx x' = + = 3 2 1 3 4 22 1112 12 2( ) ( )( ) ( )g) y x xx x' = + 2 2 2 22lnf) y x x x x ' = + 131223312= + =+=xxxxx xx x 3 22 36562 337 6 6e) yxex' = +1d) yx x' == 8 22 1162 12 2( ) ( )c) y x x xxx xx' = + = + 21102102loglnloglnb) y x xx x' = = 1213121312232 3a) y x x x x x x ' = + + + = + 1 3 2 2 3 3 2 62 2( ) ( )( )yxx=+3 42 1yx=82 1y x x =3y x x = 3069f ) y x x ' = = 4 6 6 24 63 3( ) ( ) c) yx' = 2 32e) y' =27b) yx' = 4 4 22lnd) yxx x' == 4 434 2 5( )a) y xx' = =1515454 5yx=14yx=+ 2 57yx x= +23 82y x =5068d) y x xxxxx' = = =126 301561565124452( )b) yx' =13 lnc) yx' = 2 2 ln a) y x x ' = + 3 4 52y x = 6506710 SOLUCIONARIO456Calcula la derivada de las siguientes operaciones de funciones.a) d)b) e) y =5ex3xc) y =(x2+ 2) log2 x f )Deriva las siguientes funciones trigonomtricas.a) y = sen x cos xd) y = x tg xb) e) y = x arc cos xc) y = sec x cosec x f )f ) ytg xtg x' = + 122e) y arccos x xxarccos x ' = + = 1112xxx 12d) y tgx x tg x x tgx xtg x ' = + + = + + 1 12 2( )c) ysenxcos xcosecx secxcos xsen x' = + 2 2= 1 12 2cos x sen xb) ysenx x cos x xxxsenx cos xx' = = 24 32 2a) y cos x sen x ' = 2 2ytgx=1ycosxx=2071f) yx x xxx xx' = =4 1 113 413 424 32( )( ) ( )e) y ex x' = 5 3 3 lnd) yxe x eex xxex xx x' = =112ln( )lnc) y x x xxx xxx' = + + = ++2 2122222222log ( )lnloglnb) yx x xxxxxxxx x' = ==+1 8128282122( )( )a) yxe x eex xxex xx x' = += +141 42(ln )( )(ln )yxx=41yxx=8yxex= +ln4 yxex=+ ln 4070Derivada de una funcin457Calcula la derivada de las siguientes operaciones donde intervienen funcionestrigonomtricas.a) y =2x + arc sen x + arc cos xb) y =(1 + x2) arc tg xc) y =ln x tg xd) y = exsen x e)Determina las derivadas que se indican.a) f (x) = ln x f'' (x) y f''' (x)b) f (x) = x5f' (x) y f'' (x)c) f (x) = x53x4f''' (x) y fIV(x)Calcula las seis primeras derivadas de las funciones y = sen x e y = cos x. Halla el valor de k para que la funcincumpla que f' (1) =19.f xk x kxxkx' ( )( ) ( )( ) ( )= + +=++2 3 5 22 33 102 32 2ff k k ' ( ) = + = = 1 3 10 19 3 f xkxx( ) =+52 3075y cos x y senx y cos x y senx y cos x = = = = = ' " '"IVyy senx y cos xV VI= = y senx y cos x y senx y cos x y senx = = = = = ' " '"IVyy cos x y senxV VI= = 074c) f x x x f x x x f x x ' " '" ( ) ( ) ( ) = = = 5 12 20 36 604 3 3 2 2272120 72= xf x x IV( )b) f x x f x x ' " ( ) ( ) = = 5 204 3a) f xxf xxf xx' " '" ( ) ( ) ( ) = = =1 1 22 3 073e) ysenx x cos xxx senx c' = = + ( ) ( )( )( ) 2 1222oos xx ( ) 22d) y e senx e cos x e senx cos xx x x' = + = + ( )c) yxtgx x tg x ' = + +112ln ( )b) y x arctgx xxxarctgx ' = + + += + 2 1111 222( )a) yx x' = += 2111122 2ycosxx= 207210 SOLUCIONARIO458Escribe las funciones que componen las siguientes funciones y halla la derivadaen cada caso.a) y =log3(2x + 1)e) y =23x4b) y =(3x23x + 1)4f )c) g) y = cos ln xd) y = arc tg exh) y =3cos xCalcula la funcin derivada de estas funciones, aplicando la regla de la cadena.a) y =ln (x25x)c)b) y =23x5d)d) y xxxx' = = 121312133123(log )lnloglnc) y x x xxx x' = + + =++122 12 122122( ) ( )b) yx' = 2 2 33 5lna) yx xxxx x' = =152 52 552 2( )y x = log3y x x = +2077h) y f x gx cos xy senxxcos x( ) ( )ln ( )= == 33 3 'g) y f x cos x gx xy sen xxsen xx( ) ( ) lnlnln= == = '1f ) y f x x gx xy x xxx( ) ( )( )(= = = =4 223421141 22'1134)e) y f x gx xyxx( ) ( )ln= = = 2 3 42 2 33 4'd) y f x arctgx gx eyeeeexxxxx( ) ( )( )= ==+ =+'11 12 2c) y f x senx gx xy cos x xcos xx( ) ( ) = == ='12212b) y f x x gx x xy x x x( ) ( )( ) (= = += + 4 22 33 3 14 3 3 1 6 3 ' ))a) y f x x gx xyx x( ) log ( )( ) ln (= = +=+ =+32 112 1 3222'11 3 ) lny sen x =y x = 2 41076Derivada de una funcin45910 SOLUCIONARIOAplica la regla de la cadena para determinar la funcin derivada de estas funciones.a) y =ln tg x f ) y = tg ln xb) g)c) y =log2 x2h) y =log22xd) y = sen (cos x) i) y = cos (sen x)e) y = arc tg x2j) y = arc tg2xHalla los coeficientes y exponentes desconocidos para que se verifique que las funciones y sus derivadas se corresponden.a) f (x) = x3+ ax2+ bx + 6 f' (x) = 3x2+ 4x 3b) g(x) = a ln x + bxc)d)a) a =2, b = 3b) a =3, b = 5c) a =2, b =1d) b =3i xxb'( ) =23ixxxb( ) =h x ax xx'( ) = ln 2 12h xaxxb( ) =g xx'( ) = 35079j) y arctgxx' = +2112i) y sen senx cos x ' = ( )h) y xx' = 2122loglng) y sen x xsen xx' = ( ) = 12212f) y tg xx' = + ( ln ) 112e) yxxxx' =+ =+112212 2 4( )d) y cos cos x senx ' = ( ) ( )c) yxxx' = =122222ln lnb) y cos x senxsenxcos x' = = 12212( ) ( )a) ytgxtg x ' = +112( )y cos x = y cos x =078460Derivada de una funcinDeriva las siguientes funciones.a) y = x2 2x2d)b) y =5x ln xe) y =ln (xex)c) f ) y =ln x exHalla la derivada de estas funciones.a) y =(2x + 1)3 3xd)b) e)c) f )f) y xx xxxxx xx ' = + = + = +23123292293122323 3( )222x xe) yx x x x xxx x'( )(= = 123 2 3 332123 2 262 23332 934 224 2)x xxx x = +d) ye x eexex xx x' = = 2 2 3 5 22( )c) yx x x x xxx xx' = =2 31234 33 2 312233( ) ( )(222 3223292=+ )x xxx xb) yxxx x x' = 123 2 323123 2( ) 33 92 3262432xxxxxx= +a) y x x xx x' = + + + = + + 3 2 1 2 3 2 1 3 3 6 2 12 3( ) ( ) ln [ ( ) lln ] ( ) 3 2 1 32 + xxy xx= 233yxx=233yxx=233yxx=233yxex= 2 3081f) yxe x ex x' = + 1lne) yxee xexxxx x' = + =+ 1 1( )d) yexx exx x' = =ln ln1102c) y exx xxexxxxxx' = = ln lnlnln1112 2b) y x xxx x x x' = + = 5 515ln lnln ln ln 55 1 + (ln ) xa) y x x x x xx x x' = + = ++2 2 2 2 2 2 22 2 22 1 3ln ( ln )y exx=lnyexx=ln08046110 SOLUCIONARIOCalcula la derivada de estas funciones trigonomtricas.a) e)b) f )c) g)d) h)Decide si la siguiente funcin es continua y derivable en todo su dominio. Si en algn punto no es continua o derivable, raznalo.La funcin es continua en y es derivable en {3, 2}, porque en los puntos x = 3 y x =2 la grfica presenta picos, es decir, en estos puntos no puededeterminarse una tangente a la funcin, ya que las pendientes en los puntos que estn a su izquierda y a su derecha tienen distinto signo.YX11083h) y arctg x xxx arctg xx' = + +( ) = ++111122 1212( xx x )g) ysen cos x xcos cos x senxsen cos x' = 12( ) ( ) ( )( ))( ) ( )( )=+ sen cos x xcos cos x senxsen cos x2f) ycos x cos x senx senxcos xcos x sen x' = =+ ( )22 2ccos x cos x2 21=e) y cosxcos xcos x xsenxcos x' = +2d) y senx xx c ' = +1 12oosxsenx xcosx111 1 1 = +c) ysenxcos xsenxcos x' = =2 2b) ysenx x cos xxxsenx cos xx' = = 12 2a) y senx xsenx x' = = 1 1 1 12 2y xarctg x = y cosxx = 1yxsencos x= ycos x=1ysen xcos x=ycos xx=y senxcos x=y cosx=1082462Dibuja una funcin continua que no sea derivable en el punto de abscisa x =4, que en el resto del dominio sea derivable y que su derivada se anule si x es mayor o igual que 4.Respuesta abierta.Estudia si las siguientes funciones son continuas y derivables en los puntos en los que la funcin cambia su expresin algebraica.a) b)a) f (2) =13es continua en x =2.La funcin no es derivable en x =2, porque los valores no coinciden.b) g(1) = 5es continua en x = 1.La funcin es derivable en x = 1.gg''( )( ) = =+1 41 4g xx xx x'( ) =+ 2 6 14 8 1sisig limgx gxx( ) ( ) ( ) =11 lim gx lim x xlim gxx xx += + = 1 1216 5 ( ) ( )( ) == + + = +lim x xlimgxx1212 8 1 5 ( )(xx) = 5ff''( )( )2 42292+==f xxx x' ( ) =< >4 28322sisif limf x f xx( ) ( ) ( ) 22=limf x lim xlimf x limx xx 2 224 5 13 += + ==( ) ( )( )xxxx xlim2243213+=213 f x ( ) =g xx x xx x x( ) =+ 2 2 34 4 3 52 2 510sisisih limhx hxx( ) ( ) ( ) 55=limhx lim x xlimhx lx xx 5 5252 4 30 += ==( ) ( )( ) iimlimhxxxx+ = =51052 2 3030( )( ) h limhx hxx( ) ( ) ( ) 33=limhx lim x xlimhxx xx 3 3232 9 6 += + ==( ) ( )( ) liimxxx xlimhx3232 4 66+ = =( )( )ff''( )( ) = = +2 92 14f xx xx x'( ) = 2 5 26 2 2sisif limf x f xx( ) ( ) ( ) =22 lim f x lim x xlim f xx xx += =2 2225 14 ( ) ( )( ) == =+lim x xlimfxx2223 2 2 14 ( )(xx) =14h xx x xx x xxx( ) =+ < < 22102 9 32 4 3 52 2 5sisisif xx x xx x x( ) = = Enb) f xx x xxx xxx' ( )( ) ( )( ) ( )= =2 2 124242222xxxx xxxf x22220 4 04082( )( )(= ==== "xx)3f x "( ) 0 2 0 0 = < = Enf x "( ) 2 2 0 2 = > = Ena) f xx x x xxx xx' ( )( )( ) ( )( ) (= += 2 3 1 3 312222= ===1210 2 0022222)( )(x xxx xxxf "xxx)( )=213yxx=+324yxx=+29yxx=22yx xx= +23 31090e) yx xx xx' = +== =2 2242420 42 22( )( ) ( )( ) 00d) yx x x xxx xx' =+ + + ++=++( )( ) ( )( ) ( )2 2 1 2 212122222222210 2 002x xxx xxx++= + === ( ) c) y x xx x x x' = + ++ + = + + =6 6 66 6 6 0 1 022 2Derivada de una funcin467tiene un mximo.tiene un mnimo.no tiene un mximo ni un mnimo.Sea la funcin f (x) = 4x3+ 15x218x + 10.a) Determina los mximos y mnimos de la funcin.b) Calcula.c) Haz un esbozo de la grfica de la funcin.tiene un mnimo.tiene un mximo.YX 120f (x)c)b) limf xlimf xxx+= = +( )( )f x "( ) = < = 3 42 0 3 Enf x "1242 012= > = Ena) f x x xx x x x'( ) = + + = + =12 30 1812 30 18 0 2 5 322 2 2 0012324 30xxf x x== = + "( )limf x limf xx x + ( ) ( ) y091f x "( ) 0 0 0 = = End) f xx x x xxx xx' ( )( )( ) (= + +=++3 4 24122 2 32 24 22441240 12 0 0424 22 24 2)( )( )(x xxx x xf xx++= + = == "33 2 2 4 2 22 424 4 12 2 4 24+ + + + +=x x x x x xx)( ) ( ) ( )( )996 8432 3x xx+ ( )f x "( ) 3230 3 = > = Enf x "( ) = < = 3230 3 Enc) f xx x xxxxxxx'( )( )= +== =2 9 990 9 02222222 xf xx x x xx x= = =32 9 2 182 24 3"( )( )10 SOLUCIONARIO468Derivada de una funcinSea la funcin.a) Encuentra los mximos y mnimos de la funcin.b) Determina las ecuaciones de sus asntotas y la posicin de la curva respecto de ellas.c) Construye un esbozo de la grfica de la funcin.tiene un mnimo.no tiene un mximo ni un mnimo.tiene un mximo.b) Dom f = {1, 1}es una asntota vertical.es una asntota vertical.No hay asntota horizontal.Asntota oblicua: y = xSiCuando x tiende a +, la funcin est por debajo de la asntota.SiCuando x tiende a , la funcin est por encima de la asntota.YX 21f (x)c)x f x x = > 1000 0 . ( ) ( ) x f x x = < 1000 0 . ( ) ( ) m limf xxlimxx xn lim fx xx= == =+ ++ ( )[ (331xx mx limxxx limx x) ] =+=+ + 321xx x xx3 3210+ =lim f xx+= ( )limf xlimf xxxx111+= += =( )( )lim f xlim f xxxx+= += = 11( )( )11f x ''( ) 33 320 3 = < = Enf x "( ) 0 0 0 = = Enf x " ( ) = > = 33 320 3 Ena) f xx x x xxx x' ( )( ) ( )( ) (= =3 1 21312 2 32 22 4xxx xxx xxx2 22 42 22 4310 3 003)( )= === = f xx x x x x x"( )( )( ) ( ) ( )( 6 4 1 3 2 1 23 2 2 2 4 2xxxx xx)( ) ( ) 16 212 432 3=+f xxx( ) =32109246910 SOLUCIONARIOHalla los mximos y mnimos de la funcin: Determina las ecuaciones de sus asntotas y la posicin de la curva respecto de ellas.Haz tambin un esbozo de la grfica de la funcin.No hay mximos ni mnimos, f ' (x) 1 Cuando x tiende a +, la funcin est por encima de la asntota.Si x = 1.000 f (x) 07 6 2 3 0f ' (0) 0 si x >2 f (x) es cncava en (2, +).f "(x) 0 f ' (3) >0 f ' (5) >01 01 2 3 4 5f ' (1) 0 f ' (1) >0 f ' (0) 0 si x < 1 f (x) es creciente en (, 1).f ' (x) 1 f (x) es decreciente en (1, +).La funcin no tiene mximos ni mnimos.YX 11f (x)f xx x x x x xx x' ( )( )( ) ( )( )(=+ + + + + ++2 2 2 1 2 3 2 222 22++= + + = = 14 42 14 4 0 12 2 2) ( )xx xx x f Domlimx xx xyx++ ++ += =222 32 11 1limx xx xlimx xxxx++ ++ += ++ ++1221222 32 12 322 11xx+= += YX 22f (x)f xx x x xx xxx x' ( )( )( ) (= = 22 2223 4 2 33 443 42)10 SOLUCIONARIO478c) Dom f = {1, 4}es una asntota vertical.es una asntota vertical.es una asntota horizontal.Al tener asntota horizontal, la funcin no tiene asntota oblicua.Punto de corte con el eje X: (5, 0)Punto de corte con el eje Y: f (x) es creciente en (11, 1) (1, 1) y es decreciente en (, 11) (1, 4) (4, +).Mnimo:Mximo: (1, 1)d) Dom f = {0}es una asntota vertical.es una asntota horizontal.Al tener asntota horizontal, la funcin no tiene asntota oblicua.limx xxyx++ += =224 21 1limx xxlimx xxxx0220224 24 2++ += ++ += += x 0YX 62f (x) 11125,f ' (2) >0 f ' (0) >0f ' (3) 05 6 0 12 20b) .02 3.600 N t tt tt' = + + =60 1 060 1020 3600 022. . ===512 t110Derivada de una funcin485Representa la funcin a) Considera un punto cualquiera de la funcin que est en el primer cuadrante.Comprueba que la recta tangente a la funcin en ese punto forma un tringulocon los semiejes positivos. b) Demuestra que, independientemente del punto que se escoja, el rea de ese tringulo es siempre la misma.b) Si a > 0, entonceses un punto de la funcin en el primer cuadrante.Comola ecuacin de la recta tangente en x = a es:Las coordenadas de los puntos de corte de la tangente con los ejes determinanla base y la altura del tringulo.As, el rea del tringulo es:u2, independientemente del valor de a.La recta tangente a una funcin f (x) en el punto de abscisa x =2 es y =5x 7. Halla el valor de la funcin y de su derivada en el punto de abscisa 2.y =5x 7 y 3 =5(x 2) Explica cunto valen f' (0) y g' (0) en las funciones f (x) =ln x y.(Puedes hacer la grfica de las funciones, si es necesario).Dom f =(0, +) f ' (0) no existe porque la funcin no est definida en x =0.Dom g =[0, +) g' (0) no existe porque la funcin no est definida para valoresmenores que 0 y no existe g' (0).g x x ( ) = 115ff( )( )2 32 5== '114Aaa==2222Si ya axa axax a = = + = = 0 01 1 1 1 222 2 Si x ya aya= = = 01 1 2 ya ax a = 1 12( )yx' = 12,aa,1YX 11f (x)a)YX 11 f (x)yx=1. 11310 SOLUCIONARIO486La funcin derivada de una parbola es una recta que pasa por los puntosy . Halla la abscisa del vrtice de esa parbola.Como la ecuacin de una parbola es y =ax2+bx +c, su derivada es y' =2ax +b.La ecuacin de la recta que pasa por los puntos es:Igualando coeficientes, resulta:La abscisa del vrtice es: Si trazamos la recta tangente y la recta normal a la funcin y = x312x2+ 42x 40,en el punto (3, 5) se forma, con los semiejes positivos de coordenadas,un cuadriltero. Determina su rea.La ecuacin de la recta tangente en (3, 5) es:Y la ecuacin de la recta normal es:El cuadriltero tiene como vrtices: (0, 0), (0, 4), (3, 5) y.Para calcular su rea se descompone en tres figuras: El rectngulo de vrtices (0, 0), (4, 0), (3, 4) y (3, 0) mide 12 u2. El tringulo de vrtices (4, 0), (3, 4) y (3, 5) mide u2. El tringulo de vrtices (3, 5), (3, 0) ymideu2.Luego el rea del cuadriltero es:u2Sea una funcin que no es continua en x =3.Demuestra que la funcin no puede ser derivable en ese punto estudiando el lmite.limf h fhh03 3 ( ) ( ) + limf x fx33 ( ) ( ) 1181232256533+ + =2561430 ,321430 ,y x y x = = + 5133134 ( ) y x y x = = + 5 3 3 3 14 ( ) YX 11f x x xf''( )( )= += 3 24 423 32117xba= = =252232562 33252ax x ab= == xyy x== 12126352 1112,112,116Derivada de una funcin487Si la funcin es derivable en x =3 entonces existe el lmite: Esto no es cierto, porque la funcin no es continua en x =3, y la funcin no puedeser derivable en este punto.Considera una parbola general expresada de la forma: y = ax2+ bx + ca) Como en el vrtice la tangente ser horizontal, la derivada se anula en ese punto.Comprubalo y despeja el valor de x. b) Encuentra tambin el valor de y, aplicndolo a la parbola y = 2x2+ 8x + 4.PARA FINALIZARSea. Estudia si f (x) y f' (x) son constantes.Al ser f ' (x) constante y no nula, la funcin f (x) no es constante.f xsenxcos xcos x co' ( )(=+++ 11112ss x senxcos xcos xx sen x)( ) ( )++=++ +==22 2 2111 cosccos xcos x cos x sen xcos xcos x++ + +=++=11 212 2122 2f x arctgsenxcosx( ) =+ 1120b) xbay ababba= = + 2 2 22+ = + = +cbabacb aca2 2 24 244a) y ax bax b xba' = ++ = = 22 02119limf h fhl limf h f l lh h 0 03 33 3( ) ( )( ( ) ( ))+ = + =iimhlimf h f limf hhh h 00 03 3 0 3 ( ( ) ( )) ( ) + = + =llimfh03 ( )10 SOLUCIONARIO488Dada la grfica de una funcin f (x), representala funcin f' (x) de forma aproximada.Si la grfica de una funcin f' (x) es la siguiente, representa de formaaproximada la funcin f (x).Si f (x) y g(x) son funciones inversas, es decir, (gf )(x) = x, se verifica que (g'f' )(x) = x?No se verifica. Si se consideran las funciones f(x) = x3y g(x) = , se tiene que son inversas ya que cumplen que: (g o f )(x) = xSin embargo, resulta que:Luego f (x) y g(x) no son funciones inversas.Se define el ngulo de dos curvas en un punto comn como el ngulo formado por sus rectas tangentes en ese punto.Aplcalo a las curvas y = x2y x = y2.es el punto de interseccin de las curvas.La recta tangente en este punto a la primera curva es: y =0La recta tangente en el mismo punto a la segunda curva es: x =0Como las rectas son perpendiculares, el ngulo que forman las dos curvas mide 90.Verifica que si un polinomio tiene una raz doble, tambin lo es de su derivada.Resuelve la ecuacin 12x316x2+7x 1 =0, sabiendo que una de sus races es doble.Si un polinomio tiene una raz doble a, entonces: f(x) =(x a)2 p(x)Por tanto, a es tambin una raz de la derivada.f x x a p x x a p x x a p x ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) = + = + 2 22(( ) ( )] x a p x '125y xx y==220 0 ( , )124( )( ) ( ( )) ( )( )g f x g f x g xx x' ' ' ' '= = = = 313 313 922 2 3xxx3

x3123YX11f(x)122YX 11f (x)121Derivada de una funcinYX11YX 11f (x)f(x)489Sea.Como, resulta que:Y como una de las races es doble coincide con una de las anteriores:Las soluciones de la ecuacin son:(doble) yCmo debe descomponerse un nmero positivo a en la suma de dos nmeros no negativos para que la suma de los cuadrados de los dos sumandos sea mnima? Y para que sea mxima?Sea x tal quede modo que a = x +(a x).Luego si el nmero a se descompone en + , la suma de los cuadrados es mnima. Al seruna parbola abierta haciaarriba, como, la suma de los cuadrados es mxima si x =0 o si x = a, es decir, si el nmero se descompone en a +0.Demuestra que la tangente a una circunferencia en un punto es perpendicular alradio en ese punto.Sea una circunferencia centrada en el origen de coordenadas de radio r: Entonces la ecuacin de la recta tangente en un punto (a, b) es: La recta determinada por el radio de la circunferencia que pasa por este punto es:Las rectas son perpendiculares ya que: baab= 1xaybybax = = y babx a = ( )Si y r x yxr xxr x= == 2 22 2 2 222'x y r2 2 2+ =1270 x af x x a x x ax a ( ) ( ) = + = +2 2 2 22 2a2a2fx x a xf x x a x x a x( ) ( )( ) ( ) ( )= + = + = 2 22 2 1 4 2 4 ' 22 02424 02a xaf x faxa= === > = '' " ( ) ess un mnimo.0 x a,126131212 10 2 012132x xxx + ===f x x x x120 12 16 7 1123 2= + = + ( ) 12 10 22x x36 32 7 0127182x xxx + === f x x x '( ) = + 36 32 72f x x x x ( ) = + 12 16 7 13 210 SOLUCIONARIO490Un arquitecto quiere disear un jardn en un terreno cuadrado de 70 m de lado. En l pondruna zona de arena con forma de tringulo equiltero, y alrededor estar la zona de csped. Si desea que las dos zonas tengan la misma superficie, qu altura debe tener el tringulo?Si el terreno tiene 70 m de lado, el rea mide 4.900 m2.El rea de la zona de arena es igual al rea de la zona de csped si mide 2.450 m2.Integrales11LI TERATURAYMATEMTI CASLos pilares de la TierraRaschid era uno de sus mecenas. [...] A pesar de ser un comerciante,tena un poderoso intelecto y una curiosidad abierta a todos los cam-pos. [...] Haba simpatizado de inmediato con Jack, que cenaba en sucasa varias veces por semana. Qu nos han enseado esta semana los filsofos? le pregunt Ras-chid tan pronto como empezaron a comer. He estado leyendo a Euclides. Los Elementos de Geometra de Eucli-des era uno de los primeros libros traducidos. EuclidesesunextraonombreparaunrabeapuntIsmail,her-mano de Raschid. EragriegoleexplicJack.ViviantesdelnacimientodeCristo.Los romanos perdieron sus escritos, pero los egipcios los conservaron,de manera que han llegado hasta nosotros en rabe. Yahoralosinglesesestntraducindolosallatn!exclamRas-chid. Resulta divertido. Peroquhasaprendido?lepreguntelprometidodeunadelashijas de Raschid.Jack vacil por un instante. Resultaba difcil de explicar. Intent expo-nerlo de manera prctica. Mipadrastro,elmaestroconstructor,meensediversasoperacio-nes geomtricas; por ejemplo, a dibujar un cuadrado dentro de otro,de manera que el ms pequeo sea la mitad del rea del grande.Cul es el objetivo de esas habilidades? Esasoperacionessonesencialesparaproyectarconstrucciones.Echad un vistazo a este patio. El rea de las arcadas cubiertas que lorodean es exactamente igual al rea abierta en el centro. La mayor par-te de los patios pequeos estn construidos de igual manera, incluidoslos claustros de los monasterios. Ello se debe a que esas proporcionesson las ms placenteras. Si el centro fuera mayor, parecera una plazade mercado, y si fuese ms pequeo, dara la impresin de un agujeroen el tejado. [...]Nuncapensenello!exclamRaschid,aquiennadalegustabams que aprender algo nuevo.KEN FOLLETTa hah a a h2 222 243423= + = = 2450232245032450 3 65142. . . , == = =h hhh mhaANTES DE COMENZAR RECUERDADeriva las siguientes funciones. a) f(x) =5x26 c)b) d)Identifica la ecuacin de estas parbolas.a) f(x) = x21 b) f(x) = x2+1a) Como a =1 >0, la parbola est abierta hacia arriba y tiene un mnimo en el punto (0, 1).b) Como a = 1 1 P(A B) 0 A y B son sucesos compatibles.b) P(A) + P(B) =1 P(A) =1 P(B) A y B son sucesos contrarios.En una oficina hay 8 chicos y 9 chicas. De ellos, 4 chicos y 6 chicas llevan gafas. Si escogemos una persona al azar, calcula la probabilidad de que:a) Sea chica, sabiendo que lleva gafas. b) Lleve gafas, sabiendo que es chico.A =Ser chica B =Ser chico G =Llevar gafasEn un panel electrnico hay 4 interruptores, de los que solo uno de ellos enciendeuna luz. Halla la probabilidad de acertar con el interruptor correcto:a) En el primer intento. c) En el tercer intento.b) En el segundo intento. d) En el cuarto intento.d) / P A A A A ( )4 1 2 31 = b) / P A A ( )2 113=c) / P A A A ( )3 1 212 = a) P A ( )114=018b) / P GB ( ) = =4812a) / P AG ( ) = =61035017016d) P B A P B A PA B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) , , = = = = = 1 1 0 8 0 2c) P A B P A B P A P A B ( ) ( ) ( ) ( ) , , , = = = = 0 2 0 1 0 1b) PA B PA B P A B ( ) ( ) ( ) , , = = = = 1 1 0 1 0 9a) P A B PA P B PA B ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , = + = + = 0 2 0 7 0 1 0 80151 2 3 4 5 6fi51 48 52 50 49 10201413 SOLUCIONARIOResultados fihi1 51 0,142 48 0,143 52 0,154 50 0,145 49 0,146 102 0,29N =352572En una oficina hay 8 chicos y 9 chicas. De ellos, 4 chicos y 6 chicas llevan gafas. Si escogemos un trabajador al azar, calcula las siguientes probabilidades.a) Sea chica y no lleve gafas.b) No lleve gafas y sea chico.A =Ser chica B =Ser chico G =Llevar gafasEn un panel electrnico hay 4 interruptores, de los que solo uno de ellos enciendeuna luz. Consideramos el experimento aleatorio que consiste en anotar el nmero de interruptores que necesito pulsar para encender la luz. Describe el espaciomuestral y calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales.E ={un conmutador, dos conmutadores, tres conmutadores, cuatro conmutadores}Completa la siguiente tabla de contingencia,explicando cmo obtienes los datos que faltan.60 +45 =105 fumadores60 +50 =110 hombres200 110 =90 mujeres90 45 =45 mujeres que no fuman50 +45 =95 no fumadoresUtilizando la tabla de la actividad anterior, calcula las siguientes probabilidades.a) Al elegir una persona, qu probabilidad hay de que sea fumadora?b) Cul es la probabilidad de que una persona escogida al azar no fume y sea mujer?c) Si la persona fuma, qu probabilidad hay de que sea un hombre?A =Ser hombre B =Ser mujer F =Ser fumadorc) / P AF ( ) = =6010547b) P F B ( ) = =45200940a) P F ( ) = =105200214002211090200Fuma No fuma60 5045 45105 95HombreMujer021P PA A A A A A A ( ) ( cuatro conmutadores / / = 1 2 1 3 1 2 44 1 2 3342312114/A A A == =) P PA A A A A A ( ) ( ) tres conmutadores / / = =1 2 1 3 1 234 231214=P PA A A ( ) ( ) dos conmutadores / = = =1 2 1341314P P A ( ) ( ) un conmutador = =114020b) / P G B P G P BG ( ) ( ) ( ) = = =71747417a) / P A G P A P GA ( ) ( ) ( ) = = =91739317019Probabilidad573El porcentaje de tornillos defectuosos y del totalde produccin, que fabrican tres mquinas, viene recogido en la siguiente tabla.Halla la probabilidad de que un tornillo seadefectuoso.P(D) =P(M1)P(D/M1) + P(M2)P(D/M2) + P(M3)P(D/M3) ==0,4 0,02 +0,25 0,05 +0,35 0,03 =0,031Disponemos de dos urnas, que contienen bolas de colores. La primera urna, U1,contiene 2 bolas blancas y 12 negras, y la segunda urna, U2, tiene 3 bolas blancas y 10 negras. Si escogemos una urna al azar y sacamos una bola:a) Cul es la probabilidad de que resulte de color negro?b) Y de que resulte de color blanco?El porcentaje de tornillos defectuosos y del total de produccin, que fabrican tres mquinas, es:Si el tornillo es defectuoso, cul es la probabilidad de que sea de la mquina 1?Disponemos de dos urnas, que contienen bolas de colores. La primera urna, U1,contiene 2 bolas blancas y 12 negras, y la segunda urna, U2, tiene 3 bolas blancas y 10 negras. Si la bola extrada es de color negro, calcula la probabilidad de que:a) Sea de la primera urna.b) Sea de la segunda urna.b) ///P U NP UP NUP U P NU P UP( )( ) ( )( ) ( ) ( ) (22 211 1 2=+ NNU /21210137491455962 )==a) ///P U NP U P NUP U P NU P UP N( )( ) ( )( ) ( ) ( ) (11 11 1 2=+ //U21212147491273518 )==026P M DP MP DMP MP DM P MP DM( )( ) ( )( ) ( ) ( ) (11 11 1 2/// /=+22 3 30 4 0 020 0310 258) ( ) ( ), ,,,+==P MP DM /025b) / / P B P U P BU P UP BU ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = +1 1 2 2122141233131791=a) / / P N P U P NU P UP NU ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = +1 1 2 21212141210137491=02402313 SOLUCIONARIOM1M2M3Produccin 40% 25% 35%Defectuosos 2% 5% 3%M1M2M3Produccin 40% 25% 35%Defectuosos 2% 5% 3%574Describe tres experimentos aleatorios, y determina sus sucesos elementales y el espacio muestral de cada uno.Respuesta abierta.Si se tienen cinco tarjetas con las vocales en una bolsa y se extrae una de ellas; los sucesos elementales son: {a}, {e}, {i}, {o} y {u}, y el espacio muestral es: E ={a, e, i, o, u}Se lanza un dado con las caras de distintos colores y se anota el color de la carasuperior; los sucesos elementales son: {blanco}, {azul}, {verde}, {amarillo}, {rojo} y {negro}, y el espacio muestral es: E ={blanco, azul, verde, amarillo, rojo, negro}En una caja se tienen las fichas de un damero y se extrae una de ellas; los sucesoselementales son: {blanca} y {negra}, y el espacio muestral es: E ={blanca, negra}Indica experimentos aleatorios que tengan:a) Tres sucesos elementales. b) Doce sucesos elementales.Respuesta abierta.a) Se extrae una bola de una urna en la que hay bolas azules, rojas y amarillas.b) Se extrae una tarjeta de una caja en la que hay tarjetas numeradas del 1 al 12.Si un experimento aleatorio tiene dos sucesos elementales, A y B:a) Cuntos sucesos tiene el experimento?b) Describe la unin, la interseccin y los contrarios de los sucesos A y B.a) El experimento tiene tres sucesos: A, B y el suceso seguro E.A partir del grfico, comprueba las siguientes igualdades de sucesos.a) c)b) d)A B A B b)A BA B a)A A = A B A B = A B A B = A B A B = EAB030b) A B E A B A B B A = = = =029028027Probabilidad575En el experimento que consiste en lanzar 3 veces una moneda, consideramos los siguientes sucesos.A =Salir dos cruces C =La ltima es una cruzB =Salir alguna cara D =La primera es una caraDescribe los casos elementales que componen los sucesos.a) A C c) A C e) C Db) A B d) f )Se lanzan tres monedas y se consideran los sucesos:A =Salir dos caras B =Salir tres cruces C =Salir una caraDefine verbalmente estos sucesos.a) b) c)a) Salir dos caras, tres o ningunac) Salir una carab) Salir una cara, tres o ningunaLanzamos tres veces un dado de cuatro caras, anotando el resultado de la cara oculta, y consideramos los sucesos.A =Salir, al menos, un 1B =No salir un 2C =Los tres nmeros sumen menos que 8D =Salir ms de un 3E =Salir menos de dos nmeros 4Describe los sucesos contrarios de cada uno de los sucesos anteriores.=No salir ningn nmero 1 =Salir uno o ningn nmero 3=Salir uno, dos o tres nmeros 2 =Salir dos, tres o cuatro nmeros 4=Los tres nmeros sumen 8 o ms CE BD A033C B A B C032f) C D E = c) A C CXX XCX XXCCCX XXX = { , , , , }e) C D CCXCXX = { , } b) A B = d) B D XCCXCX XXC = { , , } a) A C CXX XCX = { , }C D B D 031AA A =d)A B A B c)13 SOLUCIONARIO576En una caja tenemos carteles con las siguientes letras.a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, o, ua) En el experimento aleatorio consistente en extraer uno de los carteles, describe los sucesos indicando los sucesos elementales que los componen.V =VocalC =ConsonanteA =Letra alta como b o fB =Letra baja como gM =Letra mediana como a o cb) Enumera los sucesos elementales que tiene cada uno de estos sucesos.A B M AM VM VC Ac) Comprueba las propiedades.a) V ={a, e, i, o, u}C ={b, c, d, f, g, h, j }A ={b, d, f, h}B ={g, j }M ={a, c, e, i, o, u}C M ab c d e f g hi j ou C MC a e i = = ={ , , , , , , , , , , , }{ , ,,, , }{ , , , , , }ouM b df g h jC M= = c) C M C C M ab d e f g hi j ouC a e = =={ } { , , , , , , , , , , }{ ,,, , , }{ , , , , , }{ , , ,i ouM b df g h jC M ab d e= = ,, , , , , , , } f g hi j ouC A c g j = { , , }A C a c e gi j ou = { , , , , , , , }M V a e i ou = { , , , , }C A B ab d e f g hi j ou = { , , , , , , , , , , }A a c e gi j ou = { , , , , , , , }M V a c e i ou = { , , , , , }M A = b) { } A B b df g h j = , , , , ,C M C M = C M C M = A C C A B A034Probabilidad577Un experimento consiste en sacar una bola de una urna con 4 bolas rojas,numeradas del 1 al 4; 5 azules, numeradas del 1 al 5, y 3 negras, numeradas del 1 al 3.R =Salir bola roja A =Salir bola azulN =Salir bola negraI =Salir nmero imparP =Salir nmero parDescribe los sucesos.a) R P c) e)b) I P d) R I f )En una caja hay 5 botones rojos, 3 azules y 7 verdes. Si sacamos un botn al azar,calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.A =Salir botn rojoB =Salir botn verde o azulC =No salir botn azulUna baraja espaola se compone de 40 cartas. Llamamos figuras a las sotas, los caballos y los reyes. En el experimento consistente en sacar una carta de la baraja,consideramos A =Salir un as, C =Salir copas y F =Salir una figura.Determina las siguientes probabilidades.P( A) P( C) P( F)P( A F) P( A C) P( C F)P( A F) P( A C) P( A C)P A C ( ) =3140PA C ( ) =940PA F ( ) =310P C F ( ) =340P A C ( ) =1340P A F ( ) = 0P F ( ) =310P C ( ) =14P A ( ) =110037P C ( ) =45P B ( ) =23P A ( ) =13036f ) R A N N N = { , , } 1 2 3e) N R R R R A A A A A = { , , , , , , , , } 1 2 3 4 1 2 3 4 5d) R I R R = { , } 1 3c) P N N N = { , } 1 3b) I P R R R R A A A A A N N N = { , , , , , , , , , , , } 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3a) R P R R R R A A N = { , , , , , , } 1 2 3 4 2 4 2R A NP N 03513 SOLUCIONARIO578En una empresa disponen de los tipos y las marcas de vehculos reflejados en la tabla.Si las llaves estn en una caja y elegimos una llave al azar, determina cul ser la probabilidad de que:a) Las llaves sean de un vehculo de la marca Seat.b) Las llaves sean de una furgoneta de la marca Renault.c) Las llaves pertenezcan a un turismo que no sea Opel.d) Las llaves no sean de una furgoneta, ni de un vehculo de la marca Seat. El 35% de los vecinos de un barrio practica algn deporte (D). El 60% est casado (C) y el 25% no est casado, ni hace deporte. Describe, en funcin de D y C, los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades.a) Est casado y practica deporte.b) Practica deporte, pero no est casado.c) Est casado, pero no practica deporte.d) No est casado.e) No est casado, ni practica deporte.a)b)c)d)e)P C D ( ) , = 0 25C D P C P C ( ) ( ) , , = = = 1 1 0 6 0 4CP C D P C P C D ( ) ( ) ( ) , , , = = = 0 6 0 2 0 4C D P D C P D P D C ( ) ( ) ( ) , , , = = = 0 35 0 2 0 15D C P C D P C DP C D P C P D P( ) , ( ) ,( ) ( ) ( ) ( = = = + 0 25 0 75 CC D = + = ) , , , , 0 6 0 35 0 75 0 2C D 039d) P F S ( ) =925b) P F R ( ) =225c) P T O ( ) =1125a) P S ( ) =1325Opel Renault SeatTurismo 3 6 5Furgoneta 1 2 8038Probabilidad579Un vidente predice que, en el prximo sorteo de lotera, el primer premio va a ser un nmero con tres cifras distintas de 0 y, adems, todas sern diferentes.Juan ha comprado el nmero 00175, Beln ha comprado 13340 y Andrs ha comprado 00643.En el caso de que el vidente est en lo cierto, di cul es la probabilidad de lossiguientes sucesos.a) Juan resulte afortunado.b) Beln acierte la terminacin.c) Andrs acierte las tres primeras cifras (006).c) Podemos hacer: 9 8 7 =504 nmeros de tres cifras distintas de cero.Hayformas distintas de colocar 2 ceros en un nmero de 5 cifras.Si el vidente tiene razn, el nmero de posibilidades es: 10 504 =5.040posibilidades, y de ellas 56 posibilidades comienzan por 006, luego la probabilidad es: El espacio muestral de un experimento aleatorio se compone de los sucesoselementales a, b, c y d. Sabiendo que estos sucesos son equiprobables y que:M ={a} N ={b} P ={c, d} Q ={b, c, d}Calcula las probabilidades de los sucesos:a) M b) M Q c) P d) P N e) M Q f ) Q Pa) c) e)b) d) f )Se lanzan dos dados y se calcula la diferencia entre los resultados mayor y menor.Halla las siguientes probabilidades.a) La diferencia sea 0.b) La diferencia sea 1.c) La diferencia sea 2.d) Cul es la probabilidad de que la diferencia sea 3 o ms?e) Y de que la diferencia se encuentre entre 2 y 4, ambos nmeros incluidos?a) c) e)b) d)123613=1036518=183612=83629=63616=042P Q P ( ) =34P P N ( ) =12P M Q ( ) =1P M Q ( ) = 0P P ( ) =12P M ( ) =14041565040190 .=5210=b)9 8 7 6 19 8 7 7 617 =a)19 8 7 7 6121168 .=04013 SOLUCIONARIO580Los mdicos de un hospital hacen guardias tres das a la semana.a) Calcula la probabilidad de que un mdico haga guardia el lunes, el martes y el mircoles.b) Cul es la probabilidad de que libre el fin de semana (sbado y domingo)?c) Y de que est de guardia tres das alternos, es decir, con un da de descansoentre la primera y la segunda guardias, y otro da de descanso entre la segunda y la tercera?a) P(Hacer guardia lunes, martes y mircoles) =b) P(No hacer guardia sbado y domingo) =1 P(Hacer guardia sbado,domingo y otro da de la semana) =c) P(Hacer guardia lunes, mircoles y viernes) ++ P(Hacer guardia lunes, mircoles y sbado) ++ P(Hacer guardia lunes, jueves y sbado) ++ P(Hacer guardia lunes, viernes y domingo) ++ P(Hacer guardia martes, jueves y sbado) ++ P(Hacer guardia martes, jueves y domingo) ++ P(Hacer guardia martes, viernes y domingo) ++ P(Hacer guardia mircoles, viernes y domingo) = Sacamos una ficha del domin. Determina las probabilidades de los siguientessucesos.a) Que la ficha obtenida tenga un 1.b) Que la suma de sus puntos sea mayor que 4.c) Que la ficha se pueda encadenar a la ficha 3:5.Imagina que hemos sacado una ficha y ha resultado ser la ficha 2:6. Cul es la probabilidad de sacar otra ficha y de que no se pueda encadenar a esta?a) b) c)La probabilidad pedida es: Elegimos al azar una ficha de domin. Sea: A =La ficha contiene, al menos, un nmero impar B =La ficha tiene los dos nmeros igualesDescribe los siguientes sucesos, escribiendo sus sucesos elementales.A A BB A BHalla sus probabilidades y comprueba que se verifica la propiedad.P( A B) = P( A) + P( B) P( A B)0451528122837=172872814=044835153567 =1 1357 3C,=043Probabilidad581A ={0:1, 0:3, 0:5, 1:1, 1:2, 1:3, 1:4, 1:5, 1:6, 2:3, 2:5, 3:3, 3:4, 3:5, 3:6, 4:5, 5:5, 5:6}B ={0:0, 1:1, 2:2, 3:3, 4:4, 5:5, 6:6}A B ={1:1, 3:3, 5:5}A B ={0:0, 0:1, 0:3, 0:5, 1:1, 1:2, 1:3, 1:4, 1:5, 1:6, 2:2, 2:3, 2:5, 3:3, 3:4, 3:5, 3:6, 4:4, 4:5,5:5, 5:6, 6:6}En un experimento aleatorio sabemos que: P( A) =0,6 P( B) =0,5 P( A B) =0,2Calcula. a) P( A) d) P( A B)b) P( A B) e) P( B A)c) P( A B)a)b)c)d)e)Si A y B son incompatibles y P( A) =0,6 y P( A B) =0,9; halla:P( B) P( A B) P( A B)Determina P( A B), P( A B) y P( A B), si:P( A) =0,6 P( B) =0,5 P( A B) =0,3PA B PA B P A B ( ) ( ) ( ) , = = = 1 0 2PA B PA B P A B ( ) ( ) ( ) , = = = 1 0 7P A B P A P B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) , = + = 0 8048PA B P B P A B ( ) ( ) ( ) , = = 0 3P A B P A P A B ( ) ( ) ( ) , = = 0 6P B P A B P A ( ) ( ) ( ) , = = 0 3047P B A P B P B A P B P A P A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = 1 1 = P A B ( ) , 0 1P A B P A P A B ( ) ( ) ( ) , = = 0 4PA B PA B P A B ( ) ( ) ( ) , = = = 1 0 8P A B P A P B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) , = + = 0 9PA P A ( ) ( ) , = = 1 0 4046P A B P A P B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + = =91414328222811144P A B ( ) =1114P A B ( ) =328P B ( ) =14P A ( ) =91413 SOLUCIONARIO582Halla P( A), P( B) y P( A B), si:P( A B) =0,8 P( B) =0,6 P( A B) =0,3Es posible que haya dos sucesos tales que P( A) =0,6; P( B) =0,8 y P( A B) =0,7?No es posible.Es posible que haya dos sucesos tales que P( A) =0,3; P( B) =0,6 y P( A B) =0,3?Cmo son esos sucesos?S, es posible, pues:El suceso A est contenido en el suceso B.Es posible encontrar dos sucesos tales que P( A) =0,5; P( B) =0,2 y P( A B) =0,6?S, es posible.Si P( A) =0,7 y P( B) =0,4; pueden ser incompatibles?No, porque siSi P( A) =0,6 y P( B) =0,3; pueden ser incompatibles? En caso afirmativo, cuntotiene que valer P( A B)?S, pueden ser incompatibles:Entonces, resulta que:Sabemos que P( A B) = P( A) P( A B).a) Decide cmo son los sucesos A y B.b) Calcula P( A B) y P( A B).El enunciado indica que , y por otra parte, sabemos que.De ambas igualdades obtenemos que P(B) =0 y P(A B) =0. a) Los sucesos A y B son disjuntos, pues la probabilidad de su interseccin es cero.b) P(A B) = P(A) P(A B) =0P A B P A P B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) = + P A B P A P A B ( ) ( ) ( ) = 055P A B P A P B ( ) ( ) ( ) , = + = 0 9P A P B ( ) ( ) , , + = + < 0 6 0 3 1054P A B P A B P A P B ( ) ( ) ( ) ( ) . = = + > 0 1 053P A B P A P B P A B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , = + = = 0 4 0 3 PA B PA B P A B P A B ( ) ( ) ( ) , ( ) , = = = = 1 0 6 0 4 052P A B P A P B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , . = + = + = 0 3 0 6 0 3 0 6051P A B P A P B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , = + = + = > 0 6 0 8 0 3 1 1 1PA B PA B P A B P A B ( ) ( ) , ( ) , ( ) , = = = = 0 7 1 0 7 0 3 050PA B P B P A B ( ) ( ) ( ) , = = 0 1P A P A B P B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) , = + = 0 7P B P B ( ) ( ) , = = 1 0 4049Probabilidad583Si E ={S1, S2, S3, S4} es el espacio muestral de un experimento aleatorio: a) Puede suceder que P( S1) = , P( S2) = , P( S3) = y P( S4) = ?b) Y que P( S1) = , P( S2) = , P( S3) = y P( S4) = ?Justifica tus respuestas.a)No puede suceder, porque la probabilidad no puede valer ms de 1.b)No puede suceder, porque la probabilidad del espacio muestral es igual a 1.Discute si ests de acuerdo con el razonamiento.Cuando lanzo dos dados y sumo los resultados, para obtener 11 necesito un 5 y un 6. Si deseo conseguir 12 es preciso que aparezcan dos 6. Es decir, hay un casofavorable para cada uno de los sucesos, luego la probabilidad es la misma.Comprueba el resultado anterior, calculando su probabilidad de maneraexperimental: lanza un dado 200 veces (o cinco dados 40 veces) y estudia cul de los dos sucesos sale ms veces.El razonamiento no es correcto, porque hay dos formas de obtener un 5 y un 6;por tanto, la probabilidad de obtener 11 es el doble que la de obtener 12.P(Obtener 11) = P(Obtener 12) =Un jugador de parchs fabrica un dado trucado, donde todos los nmeros tengan la misma probabilidad de salir, salvo el 5, que quiere que salga dos veces ms que el 1, el 2, el 3 y el 4, y el 6, que quiere que salga el doble de veces que el 5. Cul es la probabilidad de cada nmero?P(Salir 1) = x P(Salir 3) = x P(Salir 5) =2xP(Salir 2) = x P(Salir 4) = x P(Salir 6) =4xEntonces:P(Salir 1) = P(Salir 2) =P(Salir 3) = P(Salir 4) =P(Salir 5) = P(Salir 6) =2515110110110110P E x x x x x x x x ( ) = + + + + + = = = 1 2 4 1 10 1110 058136236118=0571523141657601 + + + = a b a b2 24 0 4 11XY092 = < < = a b a b P2 24 0 41736 ( ) No solucin091Probabilidad599El mnimo nmero de personas es 23.Tenemos dos urnas iguales, una con 25 bolas rojas y otra con 25 bolas negras.Cambiamos el nmero de bolas que queramos de una urna a otra. Si despus se elige una urna al azar y se saca una bola:Cmo distribuiras las bolas para que la probabilidad de sacar una bola roja sea la mayor posible? Cul es esa probabilidad?Observamos que, al cambiar las bolas negras de urna, la probabilidad de extraer una bola roja es menor que al cambiar las bolas rojas. Por tanto, esta probabilidad es mxima al pasar 24 bolas rojas a la segunda urna, junto con las 25 bolas negras, y su valor es 0,74.U1U2Probabilidad25 rojas 25 negras121120120 5 , + = =25 rojas y 5 negras 20 negras125612012565120 41 , + = = =25 rojas y 20 negras 5 negras124912012494180 22 , + = = =20 rojas y 5 negras 20 negras y 5 rojas12451215121120 5 , + = = =15 rojas y 5 negras 20 negras y 10 rojas1234121312131213240 54 , + = = =20 rojas 25 negras y 5 rojas121121612767120 58 , + = = =15 rojas 20 negras y 10 rojas121122712979140 64 , + = = =10 rojas 25 negras y 15 rojas12112381211811160 69 , + = = =5 rojas 25 negras y 20 rojas12112491213913180 72 , + = = =1 roja 25 negras y 24 rojas12112244912734973980 74 , + = = =094n Probabilidad20 0,4121 0,4422 0,4723 0,51n Probabilidad5 0,02710 0,1215 0,2520 0,4125 0,5713 SOLUCIONARIO600LI TERATURAYMATEMTI CASEl teoremaComo la mayora de los que estamos presentes en esta aula, Laplacefue incomprendido por sus padres dijo Caine mientras caminaba pordelantedelapizarra.Aunquesupadrequeraquefuerasoldadoosacerdote,Laplacesedecidiporlavidaacadmica.Porlotanto,cuando cumpli los dieciocho aos march al epicentro acadmico deFrancia: Pars. All consigui un trabajo como profesor de geometrade los cadetes de una academia militar. Entre ellos haba un chico ba-jito llamado Napolen Bonaparte que, segn me han dicho, hizo des-pus algunas cosas extraordinarias.Los doce estudiantes reunidos alrededor de la mesa se rieron corts-mente.En 1770, Laplace present su primer trabajo en la prestigiosa Acad-mie des Sciences. Despus de aquello, qued claro para todos que eraun genio matemtico. As que dedic el resto de su vida a dos campos:la probabilidad y la astronoma. Casi treinta aos ms tarde, en 1799,uni los dos campos cuando public el libro de astronoma ms im-portantedelapoca:Tratadodelamecnicaceleste.Ellibronoslocontena una exposicin analtica del sistema solar, sino que tambininclua nuevos mtodos para calcular las rbitas planetarias.Sin embargo, la razn por la que el Tratado de la mecnica celeste si-gue considerndose hoy muy importante no es por sus hallazgos as-tronmicos, sino porque fue la primera persona que aplic la teora delas probabilidades a la astronoma. Laplace demostr que las mltiplesobservaciones de la posicin de una estrella tendan a formar una cur-va con forma de campana. []A qu se refiere con mltiples observaciones de la posicin de unaestrella?, pregunt un estudiante paliducho y con pelo lacio y oscuro.Ah, buena pregunta. Caine se acerc a la pizarra. En aquel enton-ces, uno de los grandes problemas de la astronoma era que todos to-maban sus mediciones un poco a ojo de buen cubero y, como las per-sonascometenerrores,losdatosnoeranclaros.Veinteastrnomosdiferentes medan la posicin de una estrella y obtenan veinte lectu-ras diferentes. Lo que hizo Laplace fue tomar aquellas veinte observa-cionesdiferentesyelaborarungrfico.Cuandolohizo,vioquelasposicionesformabanunacurvaconformadecampanacomosta.Cainesealunagrficadedistribucinnormalenlapared.Encuanto vio esto, exclam: Aj, si las observaciones estn en una dis-tribucin normal, entonces la punta nos indica la posicin ms proba-ble de la estrella.ADAM FAWERMide las dimensiones, en mm, de tu mesa y calcula su superficie.Con los datos de tus compaeros elabora un polgono de frecuencias y, a partir de l, calcula la superficie ms probable de la mesa.Respuesta abierta.Distribuciones binomial y normal14ANTES DE COMENZAR RECUERDAIndica el tipo de variable estadstica.a) Talla de una persona. c) Sexo de una persona.b) Temperatura. d) Dinero gastado a la semana.a) Cuantitativa continuab) Cuantitativa continuac) Cualitativad) Cuantitativa discretaOrganiza en una tabla de frecuencias estos datos relativos al peso, en kg, de 20 personas.42 51 56 66 75 47 51 45 63 7969 59 50 70 59 62 54 60 63 58Respuesta abierta. Lidia ha obtenido las siguientes notas en Matemticas: 7, 5, 6, 10, 9, 7 y 6.Calcula la media, la varianza y la desviacin tpica. =1,65Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos. Halla la probabilidad de que la suma:a) Sea 3.c) Sea inferior a 11.b) No sea 7. d) Sea 4 o 5.d)336436736+ = b) 163656 =c) 13361112 = a)236118=0042 23767= = 7,14 2,73x = =5077,14003FiHi3 0,1511 0,5517 0,8520 1fihi3 0,158 0,46 0,33 0,15N =20 hi= 1Peso[40, 50)[50, 60)[60, 70)[70, 80)00200114 SOLUCIONARIO601602ACTIVIDADESLanzamos dos dados de 6 caras.a) Comprueba que la funcin que asigna a cada suceso elemental la suma de las puntuaciones es una variable aleatoria.b) Elabora su tabla de valores y represntala grficamente.a) El espacio muestral es: E ={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3),(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5),(4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}La funcin X que asigna a cada suceso la suma de las puntuaciones es una variable aleatoria.b)Consideramos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado y una moneda.a) Calcula el espacio muestral y la probabilidad de cada suceso elemental.b) Define sobre este experimento dos variables aleatorias y represntalas.a) El espacio muestral es:E ={(1, C), (2, C), (3, C), (4, C), (5, C), (6, C), (1, X), (2, X), (3, X), (4, X), (5, X), (6, X)}La probabilidad de cada suceso elemental es.1120020,180,160,140,120,10,080,060,040,022 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12X P(X =xi) P(X xi)213613631181124112165195186536512716712853613189195610112111211118112121361X(1, 1) =2 X(1, 2) =3 X(1, 3) =4 X(1, 4) =5 X(1, 5) =6 X(1, 6) =7X(2, 1) =3 X(2, 2) =4 X(2, 3) =5 X(2, 4) =6 X(2, 5) =7 X(2, 6) =8X(3, 1) =4 X(3, 2) =5 X(3, 3) =6 X(3, 4) =7 X(3, 5) =8 X(3, 6) =9X(4, 1) =5 X(4, 2) =6 X(4, 3) =7 X(4, 4) =8 X(4, 5) =9 X(4, 6) =10X(5, 1) =6 X(5, 2) =7 X(5, 3) =8 X(5, 4) =9 X(5, 5) =10 X(5, 6) =11X(6, 1) =7 X(6, 2) =8 X(6, 3) =9 X(6, 4) =10 X(6, 5) =11 X(6, 6) =12001Distribuciones binomial y normal603b) Respuesta abierta.La funcin X asigna a cada suceso el nmero obtenido en el dado. La funcin Y asigna a cada suceso el nmero elemental 1 si sale cara en la moneda y 2 si sale cruz.Consideramos la variable aleatoria que cuenta la suma de las puntuaciones al lanzardos dados de 6 caras. Calcula los parmetros de esta variable aleatoria.Media: =7Desviacin tpica: Puedes encontrar una variable aleatoria discreta que proceda de una variableestadstica continua? Y lo contrario?Consideramos la variable estadstica cuantitativa continua altura de las personasde un pas, medida en metros. Definimos sobre esta variable estadstica la variable aleatoria:Para cada altura Esta variable est definida para cualquier suceso elemental de la variable estadstica,es decir, cada una de las alturas; adems, es discreta, pues solo toma dos valores.Por tanto, de una variable estadstica continua se puede obtener una variablealeatoria discreta, pero no a la inversa, pues un nmero finito de valores no puedetener un nmero infinito de imgenes.h Xhhh ( ) =>0 11 1sisi004 = = 5,852 2,4190030,50,12 1Y P(Y =yi) P(Y yi)112122121Y(1, C) =1 Y(2, C) =1 Y(3, C) =1 Y(4, C) =1 Y(5, C) =1 Y(6, C) =1Y(1, X) =2 Y(2, X) =2 Y(3, X) =2 Y(4, X) =2 Y(5, X) =2 Y(6, X) =20,160,140,120,10,080,060,040,022 3 4 5 6 10,18X P(X =xi) P(X xi)11616216133161241623516566161X(1, C) =1 X(2, C) =2 X(3, C) =3 X(4, C) =4 X(5, C) =5 X(6, C) =6X(1, X) =1 X(2, X) =2 X(3, X) =3 X(4, X) =4 X(5, X) =5 X(6, X) =614 SOLUCIONARIO604En el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados de 6 caras,consideramos la variable aleatoria X, que asocia a cada suceso elemental el productode las puntuaciones que se ven. Halla y representa las funciones de probabilidad y de distribucin.La funcin de probabilidad es:f xxx( ), , , ,, , , , ,===1361 9 16 25 361182 3 5 8 10 1sisi 55 18 20 24 301124196 120, , , ,,sisien el restoxx==X P(X =xi) P(X xi)10118193612192336151182536161361318181187920118562411889251361112301183536361361X P(X =xi) P(X xi)113613621181123118536411229511851861971881184991361736X(1, 1) =1 X(1, 2) =2 X(1, 3) =3 X(1, 4) =4 X(1, 5) =5 X(1, 6) =6X(2, 1) =2 X(2, 2) =4 X(2, 3) =6 X(2, 4) =8 X(2, 5) =10 X(2, 6) =12X(3, 1) =3 X(3, 2) =6 X(3, 3) =9 X(3, 4) =12 X(3, 5) =15 X(3, 6) =18X(4, 1) =4 X(4, 2) =8 X(4, 3) =12 X(4, 4) =16 X(4, 5) =20 X(4, 6) =24X(5, 1) =5 X(5, 2) =10 X(5, 3) =15 X(5, 4) =20 X(5, 5) =25 X(5, 6) =30X(6, 1) =6 X(6, 2) =12 X(6, 3) =18 X(6, 4) =24 X(6, 5) =30 X(6, 6) =36005Distribuciones binomial y normal0,25 10 15 20 25 30 35 XY605La funcin de distribucin es:F xxxxx( ) = < < < < 7,522,50,2551 530( )( ; ) (( ) 7,5; 2,37X B ( ; ) 30 0,25033b) 0,34 P X P X P X P X ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( > = = = + = = 1 1 1 1 0 1 1 887 0,3874 0,2639 + = )a) 0,1 0,9 0,3487 P X ( ) = = = 01000 1003261514 SOLUCIONARIODe cada 10 veces que mi hermano juega conmigo al ajedrez, me gana 7 veces.a) Cul es la probabilidad de que me gane 1 vez?b) Y de hacer tablas?c) Cul es la probabilidad de que me gane entre 1 y 3 veces, ambos nmeros incluidos?d) Si apostamos que, en 10 partidas, yo le ganaral menos 4 veces, cul es la probabilidad de ganar la apuesta?En un laboratorio de anlisis clnicos saben que el 98% de las pruebas de diabetesque realizan resulta negativo. Si han recibido 10 muestras para analizar:a) Determina la probabilidad de que haya 2 personas a las que la prueba les d positivo.b) Cul es la probabilidad de que la prueba resulte positiva a ms de 1 persona?b) P X P X P X P X ( ) ( ) ( ( ) ( )) > = = = + = ==1 1 1 1 0 11100 0,02 0,98 0,020 10 1101 = = 0,98 0,8171 0,1667 0,016291a) 0,02 0,98 0,01531 P X ( ) = = = 21022 8X B ( ; ) 10 0,02036d) P X P X P X P X P X P X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < = = + = + = + = + = 6 0 1 2 3 4 ++ = == + + +P X ( ) 50,000005904 0,0001378 0,001447 0,0009002 0,03676 0,10290,15025+ + ==c) P X P X P X P X ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 1 2 3101 = = + = + = == + + 0 7 0 31020 7 0 3101 9 2 8, , , ,330 7 0 33 7 == +, ,0,0001378 0,001447 ++ = 0,009002 0,0105868b) 0,3 0,1029 P X ( ) , = = = 51050 75 5a) 0,7 0,3 0,0001378 P X ( ) = = = 11011 9X B ( ; ) 10 0,7035d)16,672,3616,672,36P X PX( ) < =2) =1 P(X 2) =1 (P(X =0) + P(X =1) + P(X =2)) ==1 0,1678 0,3355 0,2936 =0,2031El 2 de las pilas fabricadas llegan descargadas al proceso de envasado. Si escogemos 12 pilas al azar, calcula la probabilidad de que haya ms de 2 pilasdescargadas.Un estudio mdico asegura que 1 de cada 8 nios tiene gingivitis. Escogidos 7 nios al azar:a) Determina la probabilidad de que haya exactamente 2 nios con la enfermedad.b) Los dentistas han decidido que, si en el grupo hay ms de 2 nios enfermos, se iniciara un tratamiento a todo el grupo. Cul es la probabilidad de que estosuceda?c) Cul es la probabilidad de que la padezcan 6 nios o menos? c) P X P X P X ( ) ( ) ( ) = > = = = 6 1 6 1 7 17700,125 0,8750,00000048 0,999999527 01 == =b) P X P X P X P X P X ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) > = = = + = + = = 2 1 2 1 0 1 2== 170710 70,125 0,875 0,125 0,875 0,125 0,871 6 272550,3927 0,3927 0,1683 0,046351== =a) 0,125 0,875 0,1683 P X ( ) = = = 2722 5X B ( ; ) 7 0,125039P X P X P X P X P X ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) > = = = + = + = ==2 1 2 1 0 1 21 1201210 120,002 0,998 0,002 0,998 0,002 01 11 2122,,9980,97626 0,023477 0,00025877 0,00101== = 00004X B ( ; ) 12 0,002038X B ( ; ) 8 0,2037Distribuciones binomial y normal617El 20% de la poblacin de una ciudad es inmigrante de procedencia africana. Se eligen cinco personas al azar. Determina la probabilidad de que:a) Haya un inmigrante africano. d) Haya, al menos, un africano.b) Sean dos o ms inmigrantes africanos. e) Sean cuatro inmigrantes africanos.c) Las cinco sean inmigrantes africanos.Juan suele dar en el blanco con una de cada tres flechas que lanza a la diana. a) Es cierto que si lanza 3 flechas, al menos una de ellas dar en el blanco?b) Qu probabilidad hay de que eso suceda?c) Y silanza 6 flechas, puede estar seguro de quealguna de sus flechas va a dar en el blanco?d) Cuntas flechas debera lanzar para asegurar, con una probabilidad de ms del 95%, que va a conseguirlo?a) No, la probabilidad no puede asegurar el resultado del lanzamiento.c) No, la probabilidad no vara y no puede asegurar el resultado.A partir de 8 flechas, la probabilidad de que al menos una flecha d en el blanco es ms del 95%. 2323 = = =nn 0,050,057,21loglogP X P X P Xn( ) ( ) ( ) = < = = = 1 1 1 1 0 1013 =023123n =n0 95 ,d) X Bn ,13P X P X P X ( ) ( ) ( ) = < = = = 1 1 1 1 0 13013= =0 3231 0,2963 0,70377b) X B 313,041e) 0,2 0,8 0,0064 P X ( ) = = = 4544 1d) P X P X P X ( ) ( ) ( ) = < = = = 1 1 1 1 0 15000,2 0,8 1 0,3277 0,67230 5 = =c) 0,2 0,8 0,00032 P X ( ) = = = 5555 0b) P X P X P X P X ( ) ( ) ( ( ) ( )) = < = = + = ==2 1 2 1 0 1150 0,2 0,8 0,2 0,80 5 15144= = 1 0,3277 0,4096 0,2627a) 0,2 0,8 0,4096 P X ( ) = = = 1511 4X B ( ; ) 5 0,204014 SOLUCIONARIO618Comprueba que esta funcin es de densidad. a) Halla la funcin de distribucin.b) Calcula las siguientes probabilidades.P(X 4) P(2 2)d) P X P X F ( ) ( ) ( ) > = = = = 2 1 2 1 2 11323c) 1,5 2,5 2,5 1,5 2,5 1 P X P X P X F F ( ) ( ) ( ) ( ) ( = = ,,5) = =121613b) P X F ( ) ( ) = = 3 323a) P X P X P X F F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 3 2231313 = = = =Fxxxxx( ) =< >0 1131 41 4sisisi044Fxxx x xx( ) = <