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SOLUCIONARIO Nº1 MATEMÁTICA BÁSICA 2 ELABORADO POR: ING. FLAVIO PARRA T SEMESTRE: MARZO-JULIO 2011

REVISADO POR : ECO. GUAMAN

UNIDAD I

a) En ejercicios 6.1 de páginas 231, 232, resuelva problemas 1, 23, 31

1.- Sean

1 -6 2 1 2 3 1 1

-4 2 1 4 5 6 2 2

3 3

1 0 1 2 3 4

2 3 0 1 6 0 F= 6 2

0 0 2 0

0 0 6 1

5 1 6 2

6 0 0 0 J= 4

1 0 0 0

G= H=

B=A=C=

D=

E=

(a) Establezca el tamaño de cada matriz

(b)¿Cuáles son matrices cuadradas?

(c) ¿Cuáles matrices son matrices son triangulares superiores, inferiores?

(d) ¿Cuáles son vectores renglón?

(e) ¿Cuáles son vectores columna?

23.- Si

2

Verifique la propiedad general de que , encontrar y después .

31.- Encuentre todos los valores de x para los cuales.

b) En ejercicios 6.2 de páginas 237-238, problemas 10, 20, 40

10.- Realice la operación indicada.

20.- Calcule las matrices requeridas.

40.- Resuelva la ecuación matricial.

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c) En ejercicios 6.3 páginas 248-249, problemas 20, 58, 66

20.- Realice las operaciones indicadas.

-1 1 1 -2 2 6

0 4 3 4 2x2 12 16

2 1 3x2 5 0

´=

58.- Calcule la matriz requerida.

0 0 -1 0 0 -1 0 0 1 1 0 0

2 -1 0 • 2 -1 0 -3 2 -1 0 ´+2 0 1 0

0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 1

0 0 -2 0 0 3 2 0 0

´= -2 1 -2 ´- 6 -3 0 ´+ 0 2 0

0 0 4 0 0 6 0 0 2

2 0 -5

´= -8 6 -2

0 0 0

66.- Costos. Suponga que el contratista del ejemplo 9 desea tomar en cuenta el costo de

transportar la materia prima al lugar de la construcción, así como el costo de compra.

Imagine que los costos están dados en la matriz siguiente:

Compra Transporte

3500 50 Acero

1500 50 Madera

1000 100 Vidrio

250 10 Pintura

3500 0 Mano obra

C=

(a) A partir del cálculo de RC, encuentre una matriz cuyas entradas proporcionen los

costos de compra y de transporte de los materiales para cada tipo de casa.

5 20 16 7 17 3500 50

7 18 12 9 21 1500 50

6 25 8 5 13 1000 100

250 10

3500 0

R=C=

4

RC= 124750 2920 139250 2540 113250 2400

(b) Encuentre la matriz QRC cuya primera entrada proporcione el precio de compra

total, y cuya segunda entrada dé el costo total del transporte.

124750 2920

Q= 5 7 12 RC= 139250 2540

113250 2400

QRC= 2957500 61180

(c) Sea , calcule QRCZ, que proporciona el costo total de materiales y

transporte para todas las casas que serán construidas.

QRCZ = 3´018.680

d) En ejercicios 6.4, páginas 257-259, problemas 19, 24, 30, 32

19.- Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de reducción.

1 -3 0

2 2 3

5 -1 1

1 -3 0

´-2R1+R2 0 8 3

´-5R1+R3 0 14 1

´3R2+R1 1 0 1 1/8

´1/8*R2 0 1 3/8

´14R2+R3 0 0 -4 1/4

No tiene solución

24.- Resuelva el sistema de ecuaciones

5

1 0 3 -1 1 0 3 -1

3 2 11 1 ´-3R1+R2 0 2 2 4

1 1 4 1 ´-R1+R2 0 1 1 2

2 -3 3 -8 ´-2R1+R3 0 -3 -3 6

1 0 3 -1

´1/2R2 0 1 1 2

´-R2+R3 0 0 0 0

´3R2+R3 0 0 0 0

“Solución paramétrica”

Si:

30.- Asignación de producción. La compañía Escritorios Nacionales tiene plantas para

la producción en la costa este y en la costa oeste. En la planta de la costa este, los costos

fijos son de $20000 por año y el costo de producción de cada escritorio es de $90. En la

planta de la costa oeste, los costos fijos son de $18000 por año y el costo de producción

es de $95. El año próximo, la compañía quiere producir un total de 800 escritorios.

Determine la orden de producción para cada una de las plantas el siguiente año si el

costo total para cada planta debe ser el mismo.

“Ecuación de cantidad”

“Ecuación de costo”

1 1 800 1 1 800

90 -95 -2000 ´-90R1+R2 0 -185 -74000

´-R2+R1 1 0 400

´-1/185R2 0 1 400

32.- Producción. Una compañía produce tres artículos: A, B y C, que requiere se

procesen en tres máquinas I, II y III. El tiempo en horas requerido para el procesamiento

de cada producto para las tres máquinas está dado en la siguiente tabla:

6

A B C

I 3 1 2

II 1 2 1

III 2 4 1

La máquina I está disponible 490 horas, la II durante 310 horas y la III durante 560

horas. Encuentre cuántas unidades de cada artículo deben producirse para utilizar

todo el tiempo disponible de las máquinas.

A B C Disponibilidad

I 3 1 2 490

II 1 2 1 310

III 2 4 1 560

3 1 2 490 R1↔R2 1 2 1 310

1 2 1 310 3 1 2 490

2 4 1 560 2 4 1 560

1 2 1 310 ´-2R2+R1 1 0 3/5 134

´-3R1+R2 0 -5 -1 -440 ´-1/5R2 0 1 1/5 88

´-2R1+R3 0 0 -1 -60 0 0 -1 -60

´-3/5R3+R1 1 0 0 98

´-1/5R3+R2 0 1 0 76

´-R3 0 0 1 60

e) En ejercicios 6.5 páginas 231-232, problemas 4, 14

4.- Resuelva el sistema de ecuaciones.

1 1 0 5 1

1 0 1 2 1

1 -3 4 -7 1

0 1 -1 3 0

7

1 1 0 5 1

´-R1+R2 0 -1 1 -3 0

´-R1+R3 0 -4 4 -12 0

0 1 -1 3 0

´-R2+R1 1 0 1 2 1

´-R2 0 1 -1 3 0

´4R2+R3 0 0 0 0 0

´-R2+R4 0 0 0 0 0

Solución parametrica con dos variables. Si:

14.- Determine si el sistema tiene un número infinito de soluciones o solo la solución

trivial. No resuelva el sistema.

Número de ecuaciones es igual al número de incognitas, entonces tiene una solución

trivial:

UNIDAD II

a) En ejercicios 7.1 de páginas 284, resuelva problemas 11, 24, 28

11.- Resuelva la desigualdad

8

24.- Resuelva el sistema de desigualdades.

9

28.- Manufactura. La compañía XYZ produce dos modelos de computadoras caseras:

el Alfa y el Beta. Sea x el número de modelos Alfa y y el número de Beta

producidos a la semana en la fábrica de San Antonio. Si esta planta puede producir

semanalmente a lo sumo 650 modelos Alfa y Beta en forma combinada, escriba las

desigualdades que describen esta situación.

0y x,

650yx

b) En ejercicios 7.2 de páginas 291-293, resuelva problemas 4, 12, 17, 20

4. - Programación lineal.

OBJETIVO" FUNCIÓN" y x Z: Minimizar Sujeto a:

DNEGAT IVIDA NO DE SCONDICIONE 0y x,

NESREST RICCIO

8x

9911y9x

123y4x

0y- x

8x

0 11, 9 , 0 x 11

9-9y

0 , 3 ,4 0 x 3

4-4y

2 , 2 0 , 0 x y

10

VERTICES:

0 , 8 E 0 , 3 A

11

27 , 8

11

278

11

9-9y :D

20

99 ,

20

99

20

99y

20

99 x;x x

11

9-9 :C

7

12 ,

7

12

7

12y

7

12 x; xx

3

4-4 :B

Vértice

Z = x + y

Z

A 0 , 3 03 3

B 712 , 712 12/7 7/12 7/24

C 2099 , 2099 99/20 20/99 10/99

D 1127 , 8 11278 11/115

E 0 , 8 08 8

Solución: 0y 3 xcuando ; 3Z

12.- Programación lineal

Minimizar:

Sujeto a:

11

VERTICES:

A:

B:

VERTICE Z= y - x Z

A ( 3 , 3 ) ´3 - 3 0

B ( 3 , 1 ) ´1 - 3 -2

C ( 6 , 0 ) 0 - 6 -6

17.- Extracción de minerales. Una compañía extrae minerales de una mina. El número

de libras de los minerales A y B que pueden extraerse de cada tonelada de la mina I

y II se dan en la tabla siguiente, junto con los costos por tonelada de las minas:

Mina I (x) Mina II (y) Requerimientos

Mineral A 100 lb 200 lb ≥ 3000

Mineral B 200 lb 50 lb ≥ 2500

Costo por tonelada $ 50 $ 60

Si la compañía debe producir al menos 3000 lb de A y 2500 lb de B, ¿cuántas

toneladas de cada mina deben procesarse con el objetivo de minimizar el costo?

¿Cuál es el costo mínimo?

12

0y , x

0 , 12.5 50 , 0 ; 4x -50y ; 250050y200x

0 , 30 15 , 0 ; x 21-15y ; 3000200y100x

a. Sujeto

60y50x Z:Minimizar

VÉRTICES

0 , 30 B ; 15 , 4 A

10 , 10 ; 10y (10) 4-50y

10 x; 35x2

7 ; 4x -50x

2

1-15 :C

Vértice Z = 50x + 60y Z

A ( 0 , 50 ) 50 ( 0 ) + 60 ( 50 ) 3000

B ( 10 , 10 ) 50 ( 10 ) + 60 ( 10 ) 1100

C ( 30 , 0 ) 50 ( 30 ) + 60 ( 0 ) 1500

10y 10 x; 1100Z

20.- Control de contaminación. Debido a las nuevas reglamentaciones federales sobre

la contaminación, una compañía química ha introducido en sus plantas un nuevo y

mas caro proceso que complementa o reemplaza al proceso anterior de fabricación

de un producto químico en particular. El proceso anterior descarga 25 gramos de

dióxido de carbono y 50 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro de

producto químico producido. El nuevo proceso descarga 15 gramos de dióxido de

carbono y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro producido. La

compañía obtiene una utilidad de 40 y 15 centavos por litro en los procesos anterior

13

y nuevo, respectivamente. Si el gobierno no permite a la planta descargar no mas de

12525 gramos de dióxido de carbono ni mas de 20000 gramos de partículas a la

atmósfera por día, ¿cuántos litros de producto químico deben producirse

diariamente, por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál

es la utilidad diaria?

Proceso anterior (x) Proceso nuevo (y) Restricción

Dióxido de Carbono 25 15 ≤12525

Partículas 50 40 ≤20000

Utilidad 0,4 0,15

VÉRTICES:

VERTICE Z = 0.40x + 0,15y Z

A ( 0 , 500 ) 0,40(0)+0,15(500) 75

B ( 400 , 0 ) 0,40(400)+0,15(0) 160

14

UNIDAD III

a) En ejercicios 10.1 de páginas 457-458, resuelva problemas 14, 34, 41

14.- Determine:

34.- Determine:

41.- Para . Determine h

xfhxflím

0h

b) En ejercicios 10.2 de páginas 465-466, resuelva problemas 12, 50, 56

12.- Determine:

99......999.4

15

=0

54.- Determine:

99...999,2

3

001...000,3

56.- Determine el límite de la función definida por partes.

2

x)x(f 2xx42)x(f

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

c) En ejercicios 10.4 de páginas 475, resuelva problemas 15, 22, 30

15.- Resuelva la desigualdad:

5 3 0

16

22.- Resuelva la desigualdad:

5 2 1 1

30.- Participación en talleres. Imperial Education Services (IES) ofrece un curso de

procesamiento de datos al personal clave de la compañía Zeta. El precio por semana es

de $0.50 y la compañía Zeta garantiza que al menos habrá 50 asistentes. Suponga que el

IES ofrece reducir el costo para todos en $0.50 por cada persona que asista después de

las primeras 50. ¿Cuál es el límite del tamaño del grupo que el IES aceptará, de modo

que el ingreso total nunca sea menor que lo recibido por 50 personas?

17

0 50