Soluciones a los ejercicios y...

5Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 119

e n g u a j e a l g e b r a i c o

1 Llamando x a un número cualquiera, escribe una expresión algebraicapara cada uno de los siguientes enunciados:

a) El triple de x.

b)La mitad de su anterior.

c) El resultado de sumarle tres unidades.

d)La mitad de un número tres unidades mayor que x.

e) El triple del número que resulta de sumar a x cinco unidades.

f ) Un número cinco unidades mayor que el triple de x.

a) 3x b) c) x + 3

d) e) 3 · (x + 5) f ) 3x + 5

2 Escribe la expresión del término enésimo en cada una de estas series:

a) 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - … 8 an = ?

b)3 - 5 - 7 - 9 - 11 - … 8 bn = ?

c) 5 - 10 - 15 - 20 - 25 - … 8 cn = ?

d)4 - 9 - 14 - 19 - 24 - … 8 dn = ?

a) an = 2n b) bn = 2n + 1 c) cn = 5n d) dn = 5n – 1

3 Copia y completa las casillas vacías.

4 El término enésimo de una serie viene dado por la expresión an = 5n – 4.Escribe los cinco primeros términos de dicha serie.

an = 5n – 4 8 a1 = 1; a2 = 6; a3 = 11; a4 = 16; a5 = 21

1 2 3 4 5 … n

1 3 6 10 15 …n(n + 1)—

2

1 2 3 4 5 … n

2 –7 –22 –43 –70 … 5 – 3n2

1 2 3 4 5 … n

10 …n(n + 1)—

2

1 2 3 4 5 … n

–22 … 5 – 3n2

x + 32

x – 12

L

Pág. 1

Unidad 5. Álgebra


5 El término enésimo de una serie viene dado por esta expresión:

an =

Calcula los términos a5, a9 y a15.

an = 8 a5 = 7; a9 = 13; a15 = 22

6 Sabiendo que los valores a, b y c se relacionan mediante la fórmula

a =

completa la tabla.

7 Llamando x al sueldo mensual de un trabajador, expresa algebraica-mente:

a) El valor de una paga extraordinaria, sabiendo que equivale al 80% del sueldo.

b) Su nómina de diciembre, mes en el que percibe una paga extraordinaria.

c) Sus ingresos anuales, sabiendo que cobra dos pagas extras: en verano y enNavidad.

a) 0,8x

b) x + 0,8x 8 1,8x

c) 12x + 2 · 0,8x 8 13,6x

8 Traduce a una igualdad algebraica cada uno de estos enunciados:

a) Si aumentas un número, x, en 15 unidades y divides entre dos el resultado,obtienes el triple de dicho número.

b)Si triplicas la edad de Jorge, x, y al resultado le sumas 5 años, obtienes laedad de su padre, que tenía 33 años cuando nació Jorge.

Edad de Jorge ÄÄ8 x

Edad del padre ÄÄ8 x + 33

a) = 3x

b) 3x + 5 = x + 33

x + 152

b 0 0 2 3 4

c 0 5 7 3 9

a 0 2 4 3 6

b 0 0 2 3 4

c 0 5 7 3 9

a

3b + 2c5

3n – 12

3n – 12

Pág. 2

Unidad 5. Álgebra


o n o m i o s

9 Copia y completa.

10 Opera.

a) 2x + 8x b)7a – 5ac) 6a + 6a d)15x – 9xe) 3x + x f ) 10a – ag) a + 7a h)2x – 5xi) 9x + 2x j) 9a – 9a

a) 2x + 8x = 10x b) 7a – 5a = 2a

c) 6a + 6a = 12a d) 15x – 9x = 6x

e) 3x + x = 4x f ) 10a – a = 9a

g) a + 7a = 8a h) 2x – 5x = –3x

i) 9x + 2x = 11x j) 9a – 9a = 0

11 Reduce.

a) 3x + y + 5x b)2a + 4 – 5ac) 7 – a – 5 d)3 + 2x – 7

e) 2x + 3 – 9x + 1 f ) a – 6 – 2a + 7

g) 8a – 6 – 3a – 1 h)5x – 2 – 6x – 1

a) 3x + y + 5x = 8x + y b) 2a + 4 – 5a = –3a + 4

c) 7 – a – 5 = –a + 2 d) 3 + 2x – 7 = 2x – 4

e) 2x + 3 – 9x + 1 = –7x + 4 f ) a – 6 – 2a + 7 = –a + 1

g) 8a – 6 – 3a – 1 = 5a – 7 h) 5x – 2 – 6x – 1 = –x – 3

M O N O M I O 8a2—xy3 a3b

C O E F I C I E N T E 82—3

1

PA RT E L I T E R A L a xy a3b

G R A D O 1 2 4

M O N O M I O 8a2—xy3

C O E F I C I E N T E 1

PA RT E L I T E R A L a3b

G R A D O

MPág. 3

Unidad 5. Álgebra


PÁGINA 120

12 Quita paréntesis y reduce.

a) x – (x – 2) b)3x + (2x + 3)

c) (5x – 1) – (2x + 1) d)(7x – 4) + (1 – 6x)

e) (1 – 3x) – (1 – 5x) f ) 2x – (x – 3) – (2x – 1)

g) 4x – (2x – 1) + 5x – (4x – 2) h)(x – 2) + (2x – 3) – (5x – 7)

a) x – (x – 2) = 2

b) 3x + (2x + 3) = 5x + 3

c) (5x – 1) – (2x + 1) = 3x – 2

d) (7x – 4) + (1 – 6x) = x – 3

e) (1 – 3x) – (1 – 5x) = 2x

f ) 2x – (x – 3) – (2x – 1) = –x + 4

g) 4x – (2x – 1) + 5x – (4x – 2) = 3x + 3

h) (x – 2) + (2x – 3) – (5x – 7) = –2x + 2

13 Opera y reduce.

a) 5x · 2 b)6x : 2

c) 3x · 4x d)12x : 3x

e) x · 6x f ) x2 : x

g) x2 · x3 h)x5 : x2

i) 3x · 5x3 j) 15x6 : 5x4

k) (–2x2) · (–3x4) l) (–20x8) : 5x7

m) x3 · (–3x3) n) x2 : (–2x3)

ñ) x · x2 o) x : x3

a) 5x · 2 = 10x b) 6x : 2 = 3x

c) 3x · 4x = 12x2 d) 12x : 3x = 4

e) x · 6x = 4x2 f ) x2 : x = 3x

g) x2 · x3 = x5 h) x5 : x2 = x3

i) 3x · 5x3 = 15x4 j) 15x6 : 5x4 = 3x2

k) (–2x2) · (–3x4) = 6x6 l) (–20x8) : 5x7 = –4x

m) x3 · (–3x3) = –4x6 n) x2 : (–2x3) = –

ñ) x · x2 = o) x : x3 = 9x2

16

32

x3

323

12

15x

25

43

14

34

23

16

32

23

12

25

43

14

34

23

Pág. 4

Unidad 5. Álgebra


o l i n o m i o s

14 Indica el grado de cada uno de los siguientes polinomios:

a) x3 + 3x2 + 2x – 6 b)4 – 3x2

c) 2x5 – 4x2 + 1 d)7x4 – x3 + x2 + 1

a) Grado 3. b) Grado 2.

c) Grado 5. d) Grado 4.

15 Reduce.

a) x2 – 6x + 1 + x2 + 3x – 5 b)3x – x2 + 5x + 2x2 – x – 1

c) 2x2 + 4 + x3 – 6x + 2x2 – 4 d)5x3 – 1 – x + x3 – 6x2 – x2 + 4

a) x2 – 6x + 1 + x2 + 3x – 5 = 2x2 – 3x – 4

b) 3x – x2 + 5x + 2x2 – x – 1 = x2 + 7x – 1

c) 2x2 + 4 + x3 – 6x + 2x2 – 4 = x3 + 4x2 – 6x

d) 5x3 – 1 – x + x3 – 6x2 – x2 + 4 = 6x3 – 7x2 – x + 3


a) (3x2 – 5x + 6) + (2x – 8) b) (6 – 3x + 5x2) – (x2 – x + 3)

c) (9x2 – 5x + 2) – (7x2 – 3x – 7) d)(3x2 – 1) – (5x + 2) + (x2 – 3x)

a) (3x2 – 5x + 6) + (2x – 8) = 3x2 – 3x – 2

b) (6 – 3x + 5x2) – (x2 – x + 3) = 4x2 – 2x + 3

c) (9x2 – 5x + 2) – (7x2 – 3x – 7) = 2x2 – 2x + 9

d) (3x2 – 1) – (5x + 2) + (x2 – 3x) = 4x2 – 8x – 3

17 Copia y completa.

18 Considera los polinomios siguientes:

A = 3x3 – 6x2 + 4x – 2 B = x3 – 3x + 1 C = 2x2 + 4x – 5

Calcula.

a) A + B b)A + B + C c) A – Bd)B – C e) A + B – C f ) A – B – C

a) A + B = 4x3 – 6x2 + x – 1 b) A + B + C = 4x3 – 4x2 + 5x – 6

c) A – B = 2x3 – 6x2 + 7x – 3 d) B – C = x3 – 2x2 – 7x + 6

e) A + B – C = 4x3 – 8x2 – 3x + 4 f ) A – B – C = 2x3 – 8x2 + 3x + 2

2x3 – 3x2 + 4x – 8+ 4x3 + 5x2 – 5x – 2

6x3 + 2x2 – x – 10

3x2 – 5x – 5+ 2x2 + 4x – 1

5x2 – x – 6

■■x3 – 3x2 + ■■x – 8+ 4x3 + ■■x2 – 5x – ■■

6x3 + 2x2 – x – 10

3x2 – 5x – 5+ ■■x2 + ■■x – ■■

5x2 – x – 6

PPág. 5

Unidad 5. Álgebra


19 Opera en cada caso igual que se ha hecho en el ejemplo:

• (–x2) · (4x3 – 7x2 – x + 9) =

= 4x3 · (–x2) – 7x2 · (–x2) – x · (–x2) + 9 · (–x2) =

= –4x5 + 7x4 + x3 – 9x2

a) 2 · (x3 – 3x2 + 2x + 2)

b) (–4) · (2x2 – 5x – 1)

c) x · (3x3 – 4x2 – 6x – 1)

d)x2 · (5x2 + 3x + 4)

e) (–2x) · (x3 – 2x2 + 3x + 2)

a) 2 · (x3 – 3x2 + 2x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x + 4

b) (–4) · (2x2 – 5x – 1) = –8x2 + 20x + 4

c) x · (3x3 – 4x2 – 6x – 1) = 3x4 – 4x3 – 6x2 – x

d) x2 · (5x2 + 3x + 4) = 5x4 + 3x3 + 4x2

e) (–2x) · (x3 – 2x2 + 3x + 2) = –2x4 + 4x3 – 6x2 – 4x

20 Reduce.

a) 2(3x – 1) + 3(x + 2)

b)5(x – 2) – 2(2x + 1)

c) 3(x2 – 2x – 1) – 2(x + 5)

d)4(2x2 – 5x + 3) – 3(x2 + x + 1)

e) 6(3x2 – 4x + 4) – 5(3x2 – 2x + 3)

a) 2(3x – 1) + 3(x + 2) = 9x + 4

b) 5(x – 2) – 2(2x + 1) = x – 12

c) 3(x2 – 2x – 1) – 2(x + 5) = 3x2 – 8x – 13

d) 4(2x2 – 5x + 3) – 3(x2 + x + 1) = 5x2 – 23x + 9

e) 6(3x2 – 4x + 4) – 5(3x2 – 2x + 3) = 3x2 – 14x + 9

21 Multiplica.

a) (x – 1) · (2x – 3) b) (3x – 2) · (x – 5)

c) (2x + 3) · (3x – 4) d)(x + 1) · (x2 + x + 1)

e) (2x – 1) · (2x2 – 3x + 2) f ) (3x + 2) · (x3 – 2x2 + 5x + 1)

g) (x2 – 2x – 3) · (2x3 – 5x2 – 4x + 3)

a) (x – 1) · (2x – 3) = 2x2 – 5x + 3

b) (3x – 2) · (x – 5) = 3x2 – 17x + 10

c) (2x + 3) · (3x – 4) = 6x2 + x – 12

d) (x + 1) · (x2 + x + 1) = x3 + 2x2 + 2x + 1

e) (2x – 1) · (2x2 – 3x + 2) = 4x3 – 8x2 + 7x – 2

f ) (3x + 2) · (x3 – 2x2 + 5x + 1) = 3x4 – 4x3 + 11x2 + 13x + 2

g) (x2 – 2x – 3) · (2x3 – 5x2 – 4x + 3) = 2x5 – 9x4 + 26x2 + 6x – 9

Pág. 6

Unidad 5. Álgebra


PÁGINA 121

22 Resuelto en el libro de texto.

23 Calcula.

a) (x2 + 1) · (x – 2) b) (2x2 – 1) · (x2 + 3)

c) (2x – 3) · (3x3 – 2x + 2) d)(x2 + 2) · (x3 – 3x + 1)

a) (x2 + 1) · (x – 2) = x3 – 2x2 + x – 2

b) (2x2 – 1) · (x2 + 3) = 2x4 + 5x2 – 3

c) (2x – 3) · (3x3 – 2x + 2) = 6x4 – 9x3 – 4x2 + 10x – 6

d) (x2 + 2) · (x3 – 3x + 1) = x5 – x3 + x2 – 6x + 2

24 Opera como en el ejemplo.

• (x2 + 3) · (x2 – 1) = x2 · (x – 1) + 3 · (x2 – 1) =

= x3 – x2 + 3x2 – 3 = x3 + 2x2 – 3

a) (x + 1) · (x2 + 4) b) (x3 + 1) · (x2 + 5)

c) (x2 – 2) · (x + 7) d)(x3 – 3x + 5) · (2x – 1)

a) (x + 1) · (x2 + 4) = x3 + x2 + 4x + 4

b) (x3 + 1) · (x2 + 5) = x5 + 5x3 + x2 + 5

c) (x2 – 2) · (x + 7) = x3 + 7x2 – 2x – 14

d) (x3 – 3x + 5) · (2x – 1) = 2x4 – x3 – 6x2 + 13x – 5

25 Reduce.

a) (x + 1) · (2x + 3) – 2 · (x2 + 1)

b) (2x – 5) · (x + 2) + 3x · (x + 2)

c) (x2 – 3) · (x + 1) – (x2 + 5) · (x – 2)

d)(4x + 3) · (2x – 5) – (6x2 – 10x – 12)

a) (x + 1) · (2x + 3) – 2 · (x2 + 1) = 5x + 1

b) (2x – 5) · (x + 2) + 3x · (x + 2) = 5x2 + 5x – 10

c) (x2 – 3) · (x + 1) – (x2 + 5) · (x – 2) = 3x2 – 8x + 7

d) (4x + 3) · (2x – 5) – (6x2 – 10x – 12) = 2x2 – 4x – 3


27 Realiza las divisiones siguientes:

a) (8x – 6) : 2 b) (20x – 5) : 5 c) (3x2 – x) : xd)(4x3 – 8x2) : 2x e) (4x3 – 2x2 + 6x) : 2x f ) (12x3 + 9x2) : 3x2

a) (8x – 6) : 2 = 4x – 3 b) (20x – 5) : 5 = 4x – 1

c) (3x2 – x) : x = 3x – 1 d) (4x3 – 8x2) : 2x = 2x2 – 4x

e) (4x3 – 2x2 + 6x) : 2x = 2x2 – x + 3 f ) (12x3 + 9x2) : 3x2 = 4x + 3

Pág. 7

Unidad 5. Álgebra


r o d u c t o s n o t a b l e s y e x t r a c c i ó n d e f a c t o r c o m ú n

28 Extrae factor común en cada uno de los siguientes polinomios:

a) 3x + 3y + 3z b)2x – 5xy + 3xzc) a2 + 3a d)3a – 6be) 2x + 4y + 6z f ) 4x – 8x2 + 12x3

g) 9a + 6a2 + 3a3 h)2a2 – 5a3 + a4

a) 3x + 3y + 3z = 3(x + y + z )

b) 2x – 5xy + 3xz = x (2 – 5y + 3z )

c) a2 + 3a = a (a + 3)

d) 3a – 6b = 3(a – 2b )

e) 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z )

f ) 4x – 8x2 + 12x3 = 4x (1 – 2x + 3x2)

g) 9a + 6a2 + 3a3 = 3a (3 + 2a + a2)

h) 2a2 – 5a3 + a4 = a2(2 – 5a + a2)

29 Calcula sin hacer la multiplicación, utilizando las fórmulas de los pro-ductos notables.

a) (x + 3)2 b) (3 + a)2

c) (2 – x)2 d)(a – 6)2

e) (2x + 1)2 f ) (5 – 3a)2

g) (x – 5) · (x + 5) h)(3x – 5) · (3x + 5)

a) (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 b) (3 + a)2 = 9 + 6a + a2

c) (2 – x)2 = 4 – 4x + x2 d) (a – 6)2 = a2 – 12a + 36

e) (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 f ) (5 – 3a)2 = 25 – 30a + 9a2

g) (x – 5) · (x + 5) = x2 – 25 h) (3x – 5) · (3x + 5) = 9x2 – 25


31 Descompón en factores.

a) x2 – 6x + 9 b)x3 – 9xc) 3x2 + 6x + 3 d)2x3 – 12x2 + 18xe) x4 – x2 f ) 4x2 + 4x + 1

a) x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 = (x – 3) · (x – 3)

b) x3 – 9x = x (x2 – 9) = x · (x + 3) · (x – 3)

c) 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3 · (x + 1)2 = 3 · (x + 1) · (x + 1)

d) 2x3 – 12x2 + 18x = 2x · (x2 – 6x + 9) = 2x · (x – 3)2 = 2x · (x – 3) · (x – 3)

e) x4 – x2 = x2 · (x2 – 1) = x2 · (x + 1) · (x – 1)

f ) 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 = (2x + 1) · (2x + 1)

PPág. 8

Unidad 5. Álgebra


32 Saca factor común en el numerador y en el denominador y, después, sim-plifica.

a) b) c) d)

a) = =

b) = =

c) = =

d) = =

33 Descompón en factores el numerador y el denominador y, después, sim-plifica.

a) b)

c) d)

e) f )

a) = =

b) = =

c) = =

d) = =

e) = =

f ) = = 3(x + 1)5x

3(x + 1)2

5x (x + 1)3x2 + 6x + 3

5x2 + 5x

1x – 3

2x (x – 3)2x (x – 3)2

2x2 – 6x2x3 – 12x2 + 18x

x + 15x

(x + 1)2

5x (x + 1)x2 + 2x + 15x2 + 5x

1x – 1

3(x + 1)3(x + 1)(x – 1)

3x + 33x2 – 3

5x + 3

5(x + 3)(x + 3)2

5x + 15x2 + 6x + 9

x + 3x – 3

(x + 3)(x – 3)(x – 3)2

x2 – 9x2 – 6x + 9

3x2 + 6x + 35x2 + 5x

2x2 – 6x2x3 – 12x2 + 18x

x2 + 2x + 15x2 + 5x

3x + 33x2 – 3

5x + 15x2 + 6x + 9

x2 – 9x2 – 6x + 9

x – 1x2

2x (x – 1)2x3

2x2 – 2x2x3

23x

2x (x + 5)3x2(x + 5)

2x2 + 10x3x3 + 15x2

1x + 2

xx (x + 2)

xx2 + 2x

23

2(x + 1)3(x + 1)

2x + 23x + 3

2x2 – 2x2x3

2x2 + 10x3x3 + 15x2

xx2 + 2x

2x + 23x + 3

Pág. 9

Unidad 5. Álgebra

5Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 106

Ya has visto algunas expresiones matemáticas en las que intervienenlas letras.Ahora, vas a aprender a manejar estas expresiones iniciando el estudiodel álgebra.

1 Calcula el I.M.C. de estos modelos:BERTA. Pesa 59 kg y mide 1,80 m.IRINA. Pesa 54 kg y mide 1,79 m.RAÚL. Pesa 67 kg y mide 1,82 m.¿Les contratará la pasarela de la moda?

SÍ NO——— ———

Berta 8 I.M.C. = = 19,21 8 Contratada Ò

Irina 8 I.M.C. = = 16,85 8 Contratada Ò

Raúl 8 I.M.C. = = 20,23 8 Contratado Ò

2 Pésate, mídete y calcula tu I.M.C.Consulta: ¿Cuál es el adecuado para tu edad? (Ver CD-ROM).

Pregunta abierta.

67(1,82)2

54(1,79)2

59(1,8)2

Pág. 1

Unidad 5. Álgebra

EL MUNDO DE LA MODAPLANTA CARA A LA ANOREXIA

La pasarela Ibermoda XXI nocontratará en la presente ediciónmodelos con un Índice de MasaCorporal inferior a 18. Dicho ín-dice se calcula con la fórmula:

I.M.C. =

siendo P el peso (en kilos) y ala altura (en metros).La medida supone una llamadade atención a la sociedad

Pa2

PASARELA IBERMODA XXITARIFAS DE RETRIBUCIÓN DE LOS MODELOS

S = n · S 8 Sueldo (€)n 8 n.º de días de contrato

°¢£

30 000n + 10


3 Calcula la retribución de un modelo según trabaje 1, 2, 3, 5 ó 10 días.

PÁGINA 107

ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1 Calcula el área de este trapecio teniendo en cuenta la fórmula:

ATRAPECIO

= · a

ATRAPECIO

= · 10 = 130 m2

2 Completa.

a) 5 · (6 + 8) = 5 · + 5 ·

b)30 + 24 = 6 · + 6 · = 6 · ( + ) = 6 ·

a) 5 · (6 + 8) = 5 · + 5 ·

b) 30 + 24 = 6 · + 6 · = 6 · ( + ) = 6 ·

3 Calcula de dos formas (quitando y sin quitar paréntesis).

a) 8 – (9 – 5 + 2) b)3 – (2 + 3 – 11)

a) 8 – (9 – 5 + 2) = 8 – 9 + 5 – 2 = 2

8 – (9 – 5 + 2) = 8 – (6) = 2

b) 3 – (2 + 3 – 11) = 3 – 2 – 3 + 11 = 9

3 – (2 + 3 – 11) = 3 – (–6) = 3 + 6 = 9

94545

86

8 + 192

b2 = 18 m

b1 = 8 m

a = 10 mb1 + b2

2

D Í A S T R A B A J A D O S (n )30 000

C Á L C U L O : n · —n + 10

R E T R I B U C I Ó N

130 000

1 · —1 + 10 2 727,27 €

230 000

2 · —2 + 10 5 000 €

330 000

3 · —3 + 10 6 923,08 €

530 000

5 · —5 + 10 10 000 €

1030 000

10 · —10 + 10 15 000 €

Pág. 2

Unidad 5. Álgebra


4 Simplifica:

a) a – (a – b) – b b) a + (a – b) – b

a) a – (a – b ) – b = a – a + b – b = 0

b) a + (a – b ) – b = a + a – b – b = 2a – 2b

5 Simplifica:

a) b) c) d)

a) = = b) = =

c) = = d) =

6 Simplifica:

a) m2 · m b)a2 · a4 c) d)

a) m2 · m = m3 b) a2 · a4 = a6 c) = x d) =

PÁGINA 109

1 ¿Cuál de las identidades de la derecha corresponde al enunciado de la izquierda?

Propiedad asociativa de la multiplicación

(a · b ) · c = a · (b · c )

2 Copia y completa las casillas vacías.

1 2 3 4 5 … n

3 8 15 24 35 … n2 + 2n

1 2 3 4 5 … n

1 4 7 10 13 … 3n – 2

1 2 3 4 5 … n

15 … n2 + 2n

1 2 3 4 5 … n

10 … 3n – 2

a · b · c = c · a · b

(a · b) · c = a · (b · c)

a · (c + 1) = a · c + a

°§§¢§§£

Si al multiplicar tres omás números se agrupande diferentes formas, elresultado no varía.

1a2

a · a2

a2 · a3x5

x4

a · a2

a2 · a3x5

x4

ab

a2

ab12

88 · 2

816

56

9 · 59 · 6

4554

34

3 · 154 · 15

4560

a2

ab816

4554

4560

Pág. 3

Unidad 5. Álgebra


3 Escribe los cinco primeros elementos de la serie cuyo término general es:

an =

4 Completa la tabla siguiente:

5 Escribe el término general de estas series:

a) 1 - 4 - 9 - 16 - 25 - … 8 an = ? b)0 - 3 - 8 - 15 - 24 - … 8 bn = ?

a) 1 - 4 - 9 - 16 - 25 - … 8 an = n2 b) 0 - 3 - 8 - 15 - 24 - … 8 bn = n2 – 1

6 La suma de los n primeros números naturales es:

1 + 2 + 3 + 4 + … + n =

Calcula la suma 1 + 2 + 3 + … + 50.

1 + 2 + 3 + … + 50 = = 1 275

7 El sueldo mensual bruto, el IRPF y el sueldo neto de los empleados de una em-presa se calculan con las siguientes fórmulas:

¿Cuánto cobrará este mes un trabajador con 8 años de antigüedad y que tieneacumuladas 21 horas extra?

Cobrará 963,90 €.

SB

= 900 + 3 · 8 + 10 · 21 = 1 134 € SN

= 0,85 · SB

= 0,85 · 1 134 = 963,90 €

a = Antigüedad (años)

b = Horas extraordinarias

SB = 900 + 3a + 10b

IRPF = 0,15 · SB

SN = 0,85 · SB

502 + 502

n2 + n2

1 2 3 4 5 … n

3 6 9 12 15 … 3n

2 5 8 11 14 … 3n – 1

15—2

411—2

7 …3n – 1—

2

1 2 3 4 5 … n

3 6 9 12 15 …

2 5 8 11 14 …

15—2

411—2

7 …

n 1 2 3 4 5

3n + 1—

22

7—2

513—2

8

3n + 12

Pág. 4

Unidad 5. Álgebra


8 Traduce a lenguaje algebraico las edades de los miembros de esta familia:

9 Teniendo en cuenta a la familia del ejercicio anterior, escribe una igualdad querefleje este nuevo dato:

— El padre de Sara tiene 5 años más que la madre.

Calcula por tanteo la edad de Sara.

= + 5

= + 5

4x = x + 30 8 4x – x = 30 8 3x = 30 8 x = 30 : 3 = 10

La edad de Sara es 10 años.

PÁGINA 1111 Copia y completa.

M O N O M I O 8a –3x a2b2—xy43

C O E F I C I E N T E1—4

PA RT E L I T E R A L ab

G R A D O

x + 254x

EDAD MADREEDAD PADRE

Pág. 5

Unidad 5. Álgebra

E D A D

SARA

Tiene x años. x

ROSA (hermana mayor)Le saca 2 años a Sara.

ANA (madre)Tenía 25 años cuando Sara nació.

JOAQUÍN (padre)Cuadruplica la edad de Sara.

E D A D

SARA

Tiene x años. x

ROSA (hermana mayor)Le saca 2 años a Sara. x + 2

ANA (madre)Tenía 25 años cuando Sara nació. x + 25

JOAQUÍN (padre)Cuadruplica la edad de Sara. 4x


3 Suma los monomios siguientes:

a) a + a b)m + m + m c) x + x + xd)n + n + n + n e) x2 + x2 f ) a3 + a3 + a3 + a3

a) a + a = 2a b) m + m + m = 3m c) x + x + x = 3x

d) n + n + n + n = 4n e) x2 + x2 = 2x2 f ) a3 + a3 + a3 + a3 = 4a3

5 Suma las siguientes expresiones:

a) 4a + a b)x + 5x c) 5m + 3md)4n + 4n e) 3x2 + 6x2 f ) 5a2 + a2 + 2a2

g) m3 + 2m3 + 4m3 h)3x4 + 6x4 + 2x4

a) 4a + a = 5a b) x + 5x = 6x

c) 5m + 3m = 8m d) 4n + 4n = 8n

e) 3x2 + 6x2 = 9x2 f ) 5a2 + a2 + 2a2 = 8a2

g) m3 + 2m3 + 4m3 = 7m3 h) 3x4 + 6x4 + 2x4 = 11x4

7 Resta estos monomios:

a) 8x – 3x b)4a – 7a c) 7m – md)8n – 7n e) 11x2 – 6x2 f ) 5a2 – 9a2

g) 7m3 – 4m3 h)4n4 – n4

a) 8x – 3x = 5x b) 4a – 7a = –3a c) 7m – m = 6m

d) 8n – 7n = n e) 11x2 – 6x2 = 5x2 f ) 5a2 – 9a2 = –4a2

g) 7m3 – 4m3 = 3m3 h) 4n4 – n4 = 3n4

9 Reduce todo lo posible.

a) 3x + x + 2 + 6 b)4a + 2a – 7 + 5

c) 3a + 3 – 2a + 1 d)5 – 3x + 4x – 4

e) 5x + 2 – 3x + x f ) 2a – 3 – 2 + 3ag) 7 – 4a – 7 + 5a h)4x – 3 – 4x + 2

a) 3x + x + 2 + 6 = 4x + 8 b) 4a + 2a – 7 + 5 = 6a – 2

c) 3a + 3 – 2a + 1 = a + 4 d) 5 – 3x + 4x – 4 = x + 1

e) 5x + 2 – 3x + x = 3x + 2 f ) 2a – 3 – 2 + 3a = 5a – 5

g) 7 – 4a – 7 + 5a = a h) 4x – 3 – 4x + 2 = –1

M O N O M I O 8a –3x a2b2—xy43

1— ab4

C O E F I C I E N T E 8 –3 12—3

1—4

PA RT E L I T E R A L a x a2b xy4 ab

G R A D O 1 1 3 5 2

Pág. 6

Unidad 5. Álgebra


10 Reduce.

a) x2 + 4 + x2 + 1 b)5x2 – 3 – 4x2 + 1

c) x2 – 6x + 2x + x2 d)3x + 4x2 – x2 + xe) x2 + 4x + 1 + 2x + 3 f ) 5x2 + 3x – 4x2 – 2x + 1

g) 3x2 + 4 – x2 + 2x – 5 h)10 – 3x + x2 – 7 – 4x

a) x2 + 4 + x2 + 1 = 2x2 + 5 b) 5x2 – 3 – 4x2 + 1 = x2 – 2

c) x2 – 6x + 2x + x2 = 2x2 – 4x d) 3x + 4x2 – x2 + x = 3x2 + 4x

e) x2 + 4x + 1 + 2x + 3 = x2 + 6x + 4 f ) 5x2 + 3x – 4x2 – 2x + 1 = x2 + x + 1

g) 3x2 + 4 – x2 + 2x – 5 = 2x2 + 2x – 1 h) 10 – 3x + x2 – 7 – 4x = x2 – 7x + 3


a) 3x + (2x – 1) b)7x – (5x – 4)

c) 6x – (4x + 2) d)3x – (x + 5)

e) (x – 5) + (x – 3) f ) (4x + 2) – (3x + 2)

a) 3x + (2x – 1) = 3x + 2x – 1 = 5x – 1

b) 7x – (5x – 4) = 7x – 5x + 4 = 2x + 4

c) 6x – (4x + 2) = 6x – 4x – 2 = 2x – 2

d) 3x – (x + 5) = 3x – x – 5 = 2x – 5

e) (x – 5) + (x – 3) = x – 5 + x – 3 = 2x – 8

f ) (4x + 2) – (3x + 2) = 4x + 2 – 3x – 2 = x


a) (3x2 – 5x + 2) + (x2 – 2x + 1)

b) (5x2 – 2x – 3) – (4x2 + 3x – 1)

c) (x – 3) + (x2 + 2x + 1)

d)(6x2 – x) – (3x2 – 5x + 6)

a) (3x2 – 5x + 2) + (x2 – 2x + 1) = 3x2 – 5x + 2 + x2 – 2x + 1 = 4x2 – 7x + 3

b) (5x2 – 2x – 3) – (4x2 + 3x – 1) = 5x2 – 2x – 3 – 4x2 – 3x + 1 = x2 – 5x – 2

c) (x – 3) + (x2 + 2x + 1) = x – 3 + x2 + 2x + 1 = x2 + 3x – 2

d) (6x2 – x) – (3x2 – 5x + 6) = 6x2 – x – 3x2 + 5x – 6 = 3x2 + 4x – 6

14 Calcula:

a) El valor numérico de 5x2 para x = 1.

b)El valor numérico de –4x2 para x = –3.

c) El valor numérico de –2xy para x = 3 e y = –5.

a) 5x2 para x = 1 8 5 · 12 = 5

b) –4x2 para x = –3 8 –4 · (–3)2 = -4 · 9 = –36

c) –2xy para x = 3, y = –5 8 –2 · 3 · (–5) = 30

Pág. 7

Unidad 5. Álgebra


PÁGINA 112

15 Haz las multiplicaciones siguientes:

a) (3x) · (5x) b) (–a) · (4a) c) (4a) · (–5a2)

d) · (6x) e) · f ) (5a) · – a2

a) (3x) · (5x) = 3 · 5 · x · x = 15x2

b) (–a) · (4a) = –1 · 4 · a · a = –4a2

c) (4a) · (–5a2) = 4 · (–5) · a · a2 = –20a3

d) · (6x) = · 6 · x2 · x = 3x3

e) · = · · x2 · x2 = x4

f ) (5a) · – a2 = 5 · – a · a2 = –a3

17 Multiplica estos monomios:

a) (3x) · (5xy) b) (–2ab) · (4b)

c) (4x3y) · (xy) d) – ab · – ab

a) (3x) · (5xy) = 3 · 5 · x · x · y = 15x2y

b) (–2ab) · (4b) = –2 · 4 · a · b · b = –8ab2

c) (4x3y) · (xy) = 4 · x3 · x · y · y = 4x4y2

d) – ab · – ab = – · – a · a · b · b = a2b2

18 Simplifica como en los ejemplos.

• = = = 5x • = =

a) b) c)

d) e) f )

a) = = 2x b) =

c) = = d) = = 3a

e) = = f ) = = 1a

8 · a2

8 · a2 · a8a2

8a35x

3 · 5 · x3 · x · x

15x3x2

4 · 3 · a · a4 · a

12a2

4a12

5 · x2 · 5 · x

5x10x

1a

33a

2 · 2 · x2

4x2

8a2

8a315x3x2

12a2

4a

5x10x

33a

4x2

15a

3 · a3 · 5 · a · a

3a15a2

5x1

5 · 4 · x2 · x4 · x2

20x3

4x2

)32(2

3)32()2

3(

)32()2

3(

)15()1

5(16

12

13)x2

2()x2

3(12)x2

2(

)15()x2

2()x2

3()x2

2(

Pág. 8

Unidad 5. Álgebra


19 Divide.

a) (10x) : (2x) b) (5a2) : (15a2)

c) (14a2) : (–7a) d)(6x3) : (9x2)

e) (10x2) : (5x3) f ) (–5a) : (–5a3)

a) (10x) : (2x) = = 5

b) (5a2) : (15a2) = =

c) (14a2) : (–7a) = = –2a

d) (6x3) : (9x2) = = x

e) (10x2) : (5x3) = =

f ) (–5a) : (–5a3) = =

PÁGINA 113

1 Indica el grado de cada polinomio:

a) x2 – 3x + 7 b)x4 – 2 c) 5x3 – 3x2

a) Grado 2. b) Grado 4. c) Grado 3.

2 Calcula el valor numérico de x3 – 5x2 – 11.

a) Para x = 1.

b)Para x = –1.

a) Para x = 1 8 x3 – 5x2 – 11 = 13 – 5 · 12 – 11 = 1 – 5 – 11 = –15

b) Para x = –1 8 x3 – 5x2 – 11 = (–1)3 – 5 · (–1)2 – 11 = –1 – 5 – 11 = –17

3 Calcula el valor numérico de 3ab2 – 5a + 3b para a = 2 y b = –1.

Para a = 2 y b = –1:

3ab2 – 5a + 3b = 3 · 2 · (–1)2 – 5 · 2 + 3 · (–1) = 6 – 10 – 3 = –7

4 Calcula, por tanteo, los valores de x que anulan cada polinomio:

a) x2 – 2x + 1 b)x3 – 8 c) x4 – x3

a) x2 – 2x + 1 = 0 para x = 1

b) x3 – 8 = 0 para x = 2

c) x4 – x3 = 0 para x = 1 y para x = 0

1a2

–5 · a–5 · a · a2

2x

5 · 2 · x2

5 · x2 · x

23

3 · 2 · x2 · x3 · 3 · x2

7 · 2 · a · a–7 · a

13

5 · a2

3 · 5 · a2

5 · 2x2x

Pág. 9

Unidad 5. Álgebra


PÁGINA 114

5 Copia y completa.

6 Dados los polinomios A = 3x3 – 5x2 – 4x + 4 y B = 2x3 – x2 – 7x – 1, calcula.

a) A + B b)A – B

a) b)

7 Dados los polinomios M = 7x3 – 6x2 + 2 y N = 5x2 – 3x – 5, calcula.

a) M + N b)M – N c) N – M

a) b)

c)

PÁGINA 115

8 Calcula.

a) 3 · (2x + 5) b)5 · (x2 – x)

c) 7 · (x3 – 1) d)(–2) · (5x – 3)

e) x · (x + 1) f ) 2x · (3x – 5)

g) x2 · (5x – 2) h)3x2 · (x + 2)

i) 3x · (x2 – 2) j) 5x · (x2 + x + 1)

a) 3 · (2x + 5) = 6x + 15 b) 5 · (x2 – x) = 5x2 – 5x

c) 7 · (x3 – 1) = 7x3 – 7 d) (–2) · (5x – 3) = –10x + 6

e) x · (x + 1) = x2 + x f ) 2x · (3x – 5) = 6x2 – 10x

g) x2 · (5x – 2) = 5x3 – 2x2 h) 3x2 · (x + 2) = 3x3 + 6x2

i) 3x · (x2 – 2) = 3x3 – 3x2 j) 5x · (x2 + x + 1) = 5x3 + 5x2 + 5x

N 8 5x2 – 3x – 5– M 8 –7x3 + 6x2 + 0x – 2

M + N 8 –7x3 + 11x2 – 3x – 7

M 8 7x3 – 6x2 + 0x + 2– N 8 – 5x2 + 3x + 5

M – N 8 7x3 – 11x2 + 3x + 7

M 8 7x3 – 6x2 + 0x + 2N 8 5x2 – 3x – 5

M + N 8 7x3 – x2 – 3x – 3

A 8 3x3 – 5x2 – 4x + 4– B 8 –2x3 – x2 – 7x – 1

A – B 8 x3 – 4x2 + 3x + 5

A 8 3x3 – 5x2 – 4x + 4B 8 2x3 – x2 – 7x – 1

A + B 8 5x3 – 6x2 – 11x + 3

x3 – 4x2 + 4x – 1+ 2x3 – 2x2 + x + 4

3x3 – 6x2 + 5x + 3

3x3 – 6x2 + 8x + 2+ 2x3 + 2x2 – 6x – 9

5x3 – 4x2 + 2x – 7

x2 + 5x – 7+ x2 – 8x + 52x2 – 3x – 2

x3 – 4x2 + ■■ – 1+ ■■ – ■■ + x + ■■

3x3 – 6x2 + 5x + 3

3x3 – 6x2 + 8x + 2+ 2x3 + 2x2 – 6x – 9■■ – ■■ + ■■ – ■■

x2 + 5x – 7+ x2 – 8x + 5■■ – ■■ – ■■

Pág. 10

Unidad 5. Álgebra


9 Multiplica.

a) (x + 1) · (x – 2) b) (2x – 1) · (x – 1)

c) (2x – 3) · (3x – 2) d)(4 + x) · (2x + 1)

a) (x + 1) · (x – 2) = x · (x – 2) + (x – 2) = x2 – 2x + x – 2 = x2 – x – 2

b) (2x – 1) · (x – 1) = 2x · (x – 1) – 1 · (x – 1) = 2x2 – 2x – x + 1 = 2x2 – 3x + 1

c) (2x – 3) · (3x – 2) = 2x · (3x – 2) – 3 · (3x – 2) = 6x2 – 4x – 9x + 6 =

= 6x2 – 13x + 6

d) (4 + x) · (2x + 1) = 4 · (2x + 1) + x · (2x + 1) = 8x + 4 + 2x2 + x = 2x2 + 9x + 4

10 Realiza los siguientes productos:

a) (2x + 1) · (x2 – x – 1)

b) (3x – 2) · (2x2 + 4x – 3)

c) (x2 + 2x – 3) · (3x2 + 5x – 4)

a) (2x + 1) · (x2 – x – 1) = 2x · (x2 – x – 1) + 1 · (x2 – x – 1) =

= 2x3 – 2x2 – 2x + x2 – x – 1 = 2x3 – x2 – 3x – 1

b) (3x – 2) · (2x2 + 4x – 3) = 3x · (2x2 + 4x – 3) – 2 · (2x2 + 4x – 3) =

= 6x3 + 12x2 – 9x – 4x2 – 8x + 6 = 6x3 + 8x2 – 17x + 6

c) x2 + 2x – 3

Ò 3x2 + 5x – 4

–4x2 – 8x + 12

5x3 + 10x2 – 15x

3x4 + 6x3 – 9x2

3x4 + 11x3 – 3x2 – 23x + 12

PÁGINA 117

1 Copia y completa.

a) (x + 1)2 = x2 + 2 · · + 2 = x2 + 2 +

b) (a + 3)2 = 2 + · a · 3 + 2 = a2 + a +

c) (x – 5)2 = x2 – 2 · · + 52 = x2 – x +

d)(a – 2)2 = 2 – 2 · · + 2 = a2 – a +

e) (x + 5) · (x – 5) = 2 – 52 = x2 –

f ) (a – 1) · (a + 1) = 2 – 2 = a2 –

Comprueba los resultados efectuando cada producto.

a) (x + 1)2 = x2 + 2 · · + 2 = x2 + 2 +

b) (a + 3)2 = 2 + · a · 3 + 2 = a2 + a +

c) (x – 5)2 = x2 – 2 · · + 52 = x2 – x + 25105x

9632a

1x11x

Pág. 11

Unidad 5. Álgebra


d) (a – 2)2 = 2 – 2 · · + 2 = a2 – a +

e) (x + 5) · (x – 5) = 2 – 52 = x2 –

f ) (a – 1) · (a + 1) = 2 – 2 = a2 –

2 Calcula.

a) (x + 4)2 b) (x – 1)2 c) (x – 6) · (x + 6)

d)(a + 2)2 e) (a – 1)2 f ) (a + 4) · (a + 4)

a) (x + 4)2 = x2 + 8x + 16 b) (x – 1)2 = x2 – 2x + 1

c) (x – 6) · (x + 6) = x2 – 36 d) (a + 2)2 = a2 + 4a + 4

e) (a – 1)2 = a2 – 2a + 1 f ) (a + 4) · (a + 4) = (a + 4)2 = a2 + 8a + 16

4 Opera.

a) (2x – y)2 b) (5 – 3x)2 c) (1 + 2a)2

d)(3a + 2b)2 e) (2x + 1) · (2x – 1) f ) (3a – 2b) · (3a + 2b)

a) (2x – y)2 = 4x2 – 4xy + y2 b) (5 – 3x)2 = 25 – 30x + 9x2

c) (1 + 2a)2 = 1 + 4a + 4a2 d) (3a + 2b)2 = 9a2 + 12ab + 4b2

e) (2x + 1) · (2x – 1) = 4x2 – 1 f ) (3a – 2b) · (3a + 2b) = 9a2 – 4b2

5 Copia y completa.

a) x2 + 2xy + y2 = ( + )2 b)a2 – 2a + 1 = ( – )2

c) 4x2 + 4x + 1 = ( + )2 d)a2 – 16 = (a + 4) · ( – )a) x2 + 2xy + y2 = ( + )2 b) a2 – 2a + 1 = ( – )2

c) 4x2 + 4x + 1 = ( + )2 d) a2 – 16 = (a + 4) · ( – )

6 Simplifica las fracciones siguientes:

a) b)

c) d)

e) f )

g) h)

a) = =

b) = = a + 3a – 3

(a + 3)(a – 3)(a – 3)2

a2 – 9a2 – 6a + 9

x + yx – y

(x + y)2

(x + y)(x – y)x2 + 2xy + y2

x2 – y2

a2 – 16a + 4

9x2 + 6x + 13x + 1

2a + 34a2 – 9

a2 + 8a + 16a2 – 16

x – 4x2 – 8x + 16

a2 – 1a2 – 2a + 1

a2 – 9a2 – 6a + 9

x2 + 2xy + y2

x2 – y2

4a12x

1ayx

11a

25x

4422aaPág. 12

Unidad 5. Álgebra


c) = =

d) = =

e) = =

f ) = =

g) = = 3x + 1

h) = = a – 4

PÁGINA 118

7 Copia y completa.

a) 7x + 7y = 7 · ( + ) b)6a – 9b = 3 · ( – )c) 2x + xy = x · ( + ) d)x + x2 – x3 = x · ( + – )e) 5x2 + 10xy + 15x = 5x · ( + + )a) 7x + 7y = 7 · ( + ) b) 6a – 9b = 3 · ( – )c) 2x + xy = x · ( + ) d) x + x2 – x3 = x · ( + – )e) 5x2 + 10xy + 15x = 5x · ( + + )

8 Extrae factor común.

a) 8x + 8y b)3a + 3b c) 5x + 10

d)8 + 4a e) x2 + xy f ) 2a2 + 6a

a) 8x + 8y = 8 · (x + y) b) 3a + 3b = 3 · (a + b )

c) 5x + 10 = 5 · (x + 2) d) 8 + 4a = 4 · (2 + a)

e) x2 + xy = x · (x + y) f ) 2a2 + 6a = 2a · (a + 3)

9 Simplifica.

a) b) c)

a) = = b) = =

c) = = 11 + x

x2

x2 · (1 + x )x2

x2 + x3

aa + 2b

4a4 · (a + 2b )

4a4a + 8b

3x2 + y

3xx · (2 + y )

3x2x + xy

x2

x2 + x34a

4a + 8b3x

2x + xy

32yx

x2x1y2

3b2ayx

(a + 4)(a – 4)a + 4

a2 – 16a + 4

(3x + 1)2

3x + 19x2 + 6x + 1

3x + 1

12a – 3

2a + 3(2a + 3)(2a – 3)

2a + 34a2 – 9

a + 4a – 4

(a + 4)2

(a + 4)(a – 4)a2 + 8a + 16

a2 – 16

1x – 4

x – 4(x – 4)2

x – 4x2 – 8x + 16

a + 1a – 1

(a + 1)(a – 1)(a – 1)2

a2 – 1a2 – 2a + 1

Pág. 13

Unidad 5. Álgebra

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