Soluciones Numéricas y Aproximaciones para la Ecuación de

Richards

Harold L. Marzan

Instituto Tecnológico de Santo Domingo

harold.marzan@intec.edu.do,hmarzan@gmail.com.

Marzo 05, 2013

Resumen

El autor presenta soluciones numéricas para la Ecuación de Richards respecto del Conteni-do de Humedad θ en la superficie del suelo, aplicando varios Métodos de Elementos Finitos. Sehan creado modelos para un problema estacionario, y dos problemas trascientes lineales y nolineales dependientes del tiempo. Se ha elegido como coeficiente de Conductividad HidráulicaRelativa eα θ (Gardner, [15]), donde hemos dado 0 < α ≤ 3,0 , el cual debe ajustarse según eltipo de suelo estudiado. Para el modelo no lineal, se emplean como solución inicial, una solu-ción de la ecuación de difusión, y la solución anaĺıtica de Philip para el problema de Richardsno lineal. Las soluciones computacionales fueron escritas en MATLAB y FEniCS.

Palabras Clave

Ecuación de Richards, Solución Anaĺıtica de Philip, Método de Elementos Finitos, MétodoDiscont́ınuo de Galerkin, Aproximación por Diferencia Finita, Soluciones Numéricas, Con-ductividad Hidráulica relativa.

1. Introducción

La Ecuación de Richards

∂θ

∂t=

∂

∂z

[K(θ)

(∂ψ

∂z+ 1

)](1)

representa el movimiento del agua en suelos no saturados, y fue formulada por Lorenzo A. Ri-chards en 1931. Esta es una Ecuación en Derivadas Parciales No Lineal (NLPDE, sus siglas en inglés),la cual es muchas veces dif́ıcil de aproximar ya que esta no tiene una solución anaĺıtica de formacerrada [1, 2].

Es una Ecuación utilizada en el estudio del Contenido del Agua en el Suelo, aśı como para estu-diar el Flujo del Agua en suelo no saturado. Esta ponencia presenta de forma breve y concisa, losresultados obtenidos en la tésis de t́ıtulo ”Soluciones Numéricas y Aproximaciones para laEcuación de Richards”, INTEC, del mismo autor.

Se ha elegido una solución anaĺıtica conocida, la linealización de Philip, la cual utiliza un métodode sustitución que busca linealizar la Ecuación de Richards. Las soluciones numéricas utilizanestos resultados de Philip, como gúıa para determinar cual de estas soluciones presentadas en losresultados es la que mejor aproxima a los resultados de la solución anaĺıtica.

La Ecuación de Richards se deduce al combinar la Ley de Darcy para el flujo de agua nosaturado en el suelo,

q = −K∇H (2)

1

dondeq = densidad del flujo o descarga por unidad de area (m/d),K = Conductividad Hidráulica (m/d),H = Cabezal Hidráulico,∇ = operador diferencial,

qi = −K(θ)∂H

∂xi= −K(θ) ∂ψ

∂xi(3)

donde qi = qx, qy, y qz para i = 1, 2, 3 respectivamente, y junto a la Ecuación de Conti-nuidad(Ley de Conservación de la Masa),

∂θ

∂t= −∇q (4)

para formar la llamada Ecuación General de Flujo no Saturado

∂θ

∂t=

∂

∂x

(K(θ)

∂H

∂x

)+

∂

∂y

(K(θ)

∂H

∂y

)+

∂

∂z

(K(θ)

∂H

∂z

)(5)

Finalmente, la Ecuación de Richards se forma al sustituir a H = ψ + z en la ecuaciónanterior, obtenemos

∂θ

∂t=

∂

∂x

(K(θ)

∂ψ

∂x

)+

∂

∂y

(K(θ)

∂ψ

∂y

)+

∂

∂z

(K(θ)

∂ψ

∂z+K(θ)

)(6)

Desde que θ está relacionado a ψ via la curva relación agua-suelo, podemos tambien expresarK(θ) como K(ψ) [1], a travéz de la introducción de la Capacidad Espećıfica de Agua C(ψ); laecuación puede ser transformada en una ecuación con una variable dependiente

∂θ

∂t=dθ

dψ· ∂ψ∂t

= C(ψ)∂ψ

∂t(7)

donde C(ψ) = capacidad espećıfica de agua,

igualando a dθdψ (ej., la curva de retención de la pediente agua-suelo )

Reemplazando K(θ) por K(ψ) y sustituyendo la ecuación (7) en la (6), surge

C(ψ)∂ψ

∂t=

∂

∂x

(K(ψ)

∂ψ

∂x

)+

∂

∂y

(K(ψ)

∂ψ

∂y

)+

∂

∂z

(K(ψ)

∂ψ

∂z

)+∂K(ψ)

∂z(8)

La ecuación (8) es conocida como la Ecuación de Richards.

Cuando el flujo es horizontal y lineal, la ecuación (8) se reduce a

∂θ

∂t=

∂

∂x

(K(ψ)

∂ψ

∂x

)(9)

Cuando el flujo es vertical y no lineal, la ecuación (8) se reduce a

∂θ

∂t=

∂

∂z

[K(ψ)

(∂ψ

∂z+ 1

)]. (10)

Esta ecuación está dada en las variables θ y ψ .

2

El término ∂ψ∂z puede escribirse como

∂ψ

∂z=∂ψ

∂θ· ∂θ∂z

(11)

donde ∂ψ∂θ es la pendiente de la curva caracteŕıstica de humedad (contenido del agua o θ)[2].

Sustituyendo la ecuación (11) en la (10)

∂θ

∂t=

∂

∂z

[K(θ)

(∂ψ

∂θ· ∂θ∂z

+ 1

)]

⇒ ∂θ∂t

=∂

∂z

[D(θ)

∂θ

∂z+K(θ)

]∂θ

∂t=

∂

∂z

[D(θ)

∂θ

∂z

]+

∂

∂zK(θ) (12)

donde D(θ) = K(θ)∂ψ∂θ es la difusividad del agua en el suelo.

Vemos que ∂ψ∂θ = C(θ)−1 es el inverso de la capacidad espećıfica del agua en el suelo, y esta

es

C(θ) ≡ ∂θ∂ψ

por tanto, y de manera similar, la difusividad del contenido del agua puede representarse de estaforma

D(θ) =K(θ)

C(θ)(13)

1.1. Métodos para obtener la Conductividad Hidráulica

En la tesis se mencionan dos métodos para obtener la Conductividad Hidráulica:

1. Métodos Directos: Métodos experimentales, usualmente en laboratorios con Pruebas F́ısi-cas de experimientos suelo-agua e instrumentos de medición.

2. Métodos Indirectos: Métodos de regresión, basados en datos medidos de métodos directos.En estos métodos, podemos encontrar un uso para estimar a K(θ).

1.1.1. Predicción de la función K(ψ) a partir de datos de retención del suelo-agua

La Ecuación emṕırica Van Genuchten para la curva de retención suelo-agua encabeza

θ = θr +θs − θr

(1 + |αψ|n)m(14)

donde

θr = contenido residual suelo-agua, cuando el cabezal de presión se hace indefinidamentepequeńo

θs = contenido saturado suelo-agua

α = parámetro de forma

n = parámetro de forma adimensional

m = 1 − 1n

3

Después de combinar la ecuación (10) con el modelo Mualem [1], encontramos la función anaĺıti-ca Van Genuchten-Mualem, la cual describe la conductividad hidráulica insaturada, como unafunción del cabezal de presión suelo-agua

K(ψ) = Ks[1 − |αψ|n−1 (1 + |αψ|n)−m]2

[1 + |αψ|n]mλ(15)

donde

Ks = conductividad hydráulica saturada (m/d)

λ = un parámetro de forma que depende sobre dK/dψ

1.2. Solución anaĺıtica de Philip

Philip considera la Ecuación de Richards de la forma

∂θ

∂t=

∂

∂z

[D∂θ

∂z

]− ∂k∂z

con D y K = ∂k∂θ constantes, y define

θ∗ = [θ(z, t) + C] e(Az+Bt) (16)

de tal forma que se pueda reducir la Ecuación de Richards, mediante una serie de sustituciones,a la Ecuación de Difusión

∂θ∗

∂t= D

∂2θ∗

∂z2(17)

Luego completa el problema definiendo las siguientes Condiciones de Frontera y CondiciónInicial en términos de θ∗,

C.F. =

θ∗(0, t) = (θw − θd)eBt,

θ∗(∞, t) = 0

θ∗(z, 0) = 0

(18)

Finalmente, obtiene la Solución Producto sujeta a las Condiciones de Frontera por el métodode Separación de Variables,

θ∗(z, t) =θw − θd

2eBt

(e−z(

BD )

0,5

erfc

(z

2(D t)0,5− (B t)0,5

)+ ez(

BD )

0,5

erfc

(z

2(D t)0,5+ (B t)0,5

)).

Cuya solución anaĺıtica dada en θ queda reducida a:

θd +(θw − θd)

2

(erfc

[z

2(D t)1/2−(kt1/2

)2 D1/2

]+ e

(kz)D erfc

[z

2(D t)1/2+

(kt1/2

)2 D1/2

]). (19)

Donde erfc(x) es la función de error complementaria:

erfc(x) = 1− erf(x) = 2√π

∫ ∞x

e−t2

dt

y los valores iniciales dados son: θd = 1, θw = 74, D = 8 (la difusividad), k = 4.

4

Las siguientes gráficas, representan la solución anaĺıtica para t=1 y t=4:

Figura 1: Ploteo de la solución anaĺıtica para t=1

Figura 2: Ploteo de la solución anaĺıtica para t=4

2. Método

Para obtener los resultados numéricos hemos empleado algunos Métodos de Elementos Finitos,tales como el Método de Galerkin, Método Discont́ınuo de Galerkin, y una variación del MétodoBackward-Euler, para lograr Aproximación de Diferencia Finita de los términos dependientes deltiempo.

Los resultados fueron obtenidos mediante programas escritos en MATLAB, para los problemaslineales, y utilizamos Python en FEniCS, para los problemas no lineales presentados en la tesis.Las soluciones computadas en MATLAB, están limitados a N = 7, 14, 28, 49 y 100 nodos. Paralas soluciones de los problemas no lineales computadas con FEniCS, utilizamos N = 64 y N = 80nodos.

3. Marco Referencial

Existen algunos trabajos y modelos discretos de la Ecuación de Richards utilizando Métodosde Elementos Finitos[15, 16, 17]. Los papers de los trabajos existentes se mencionan en la Biblio-graf́ıa de esta ponencia.

3.1. Método de Elemento Finito para la Ecuación de Richards

Se definieron las formulaciones variacionales para 3 versiones de la Ecuación de Richards

Problema Estacionario de Richards lineal para el contenido de agua independiente del tiem-po t, donde θ = θ(z)

Problema Transitorio de Richards lineal para el contenido de agua dependiente del tiempot, donde θ = θ(z, t) y K(θ) = C , constante.

Problema Transitorio de Richards no lineal para el contenido de agua dependiente del

5

tiempo t, donde K(θ) = eα θ, 0 < α ≤ 3,0, α ∈ R

3.2. Definición del Dominio

Para la ecuación de Richards, trabajamos en particular con el eje vertical z; es por tanto quenuestro problema está dado en 1D. A continuación, definimos el dominio:

Definimos a Ω = (a, b), Ω ⊂ R , como un conjunto abierto; en nuestro caso, este es unintervalo abierto.

Sea Γ = ∂Ω = la frontera de Ω , esto es, Γ = {a, b} ;

Γ = ΓD ∪ ΓN , donde ΓD = {a} y ΓN = {b} son conjuntos disjuntos tal que ΓD ∩ ΓN = φ;estos conjuntos están relacionados con las condiciones de frontera de Diritchlet y Neumannrespectivamente [3, 8].

3.3. Formulación Variacional para Richards lineal con θ = θ(z)

3.3.1. Formulación Variacional Fuerte

Sea Ω = (0, 1) , y sea Γ = ∂Ω = {0, 1} = Γ1 ∪ Γ2. Dada una función f ∈ H0(Ω), y dadasα, β ∈ R, podemos definir nuestra Formulación Variacional como sigue:

Encuentre un θ �H1D(Ω) tal que

a(θ, v) = L(v) ∀ v ∈ H1D(Ω),

donde a(·, ·) y L(·) son funcionales bilineal y lineal respectivamente, y los espacios estándefinidos aśı

H0(Ω) = L2Ω = {v(z) :∫ 1

0

v2 dz

para ξj , ηi ∈ R , z ∈ Ω.

Sea α = 0 para H1D(Ω). ShD es el subespacio con las condiciones de frontera

ShD = {vh(z) ∈ Sh : v(0) = 0} ⊂ H1D(Ω). (23)Nuestro sistema de ecuaciones algebráicas, queda aśı

N∑i=2

N∑j=2

ξja (φj , φi) =

N∑i=2

L (φi) . (24)

Finalmente, nuestro sistema Aξ = b, podemos presentarlo en la forma matricial

a (φ1, φ1) a (φ2, φ1) · · · a (φN , φ1)a (φ1, φ2) a (φ2, φ2) · · · a (φN , φ2)

......

. . ....

a (φ1, φi) a (φ2, φi) · · · a (φN , φi)...

.... . .

...a (φ1, φN ) a (φ2, φN ) · · · a (φN , φN )

ξ1ξ2...ξi...ξN

=

b1b2...bi...bN

(25)

donde bi = Li = L(φi) , âij = a(φj , φi) = a(φi, φj) = âji ; esto implica que la matriz A = (âij) essimétrica.

Nuestro problema ha sido reducido al sistema Aξ = b, donde ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξN ) son las des-conocidas del sistema, con los cuales obtendremos la solución aproximada del problema.

La matriz A es llamada la matriz de coeficientes o de stiffness, y b es llamado el vec-tor de carga[3].

Otra forma de representar el problema aproximado, es representar el sistema como[8]

N∑i=1

N∑j=1

[Aijξj − Li

]ηi = 0 ∀ηi (26)

Ahora podemos ver que los funcionales para este problema θ = θ(z), quedan reducidos a

a(φj , φi) =

∫Ω

∇φj · ∇φi dz = (φj ′, φi′) (27)

bi = L(φi) = τ

∫Ω

f(z) · φi dz ≈ τf(zi)∫ zi+1zi−1

φi(z) dz = τhf(zi) (28)

Usando el método del trapecio, y donde h es el tamaño del elemento donde φi está definido. VerApéndice A para otras formas de integración de la carga.

Es bueno aprovechar resultados conocidos para el funcional bilineal[3, 5]:

(φj′, φj

′) =

∫ zjzj−1

1

h2jdz +

∫ zj+1zj

1

h2j+1dz =

1

hj+

1

hj+1(29)

y para j = 2, · · · , N,

(φj′, φj−1

′) = (φj−1′, φj

′) = −∫ zjzj−1

1

h2jdz = − 1

hj. (30)

las particiones utilizadas son uniformes, h = hj = hj+1, tal que(φj′, φj

′) = 2h

(φj′, φj−1

′) = (φj−1′, φj

′) = − 1hj = −1h

7

El sistema está completo, y su solución puede ser hallada por

ξ = A−1 · b (31)

3.4. Formulación Variacional para Richards lineal dependiente del tiem-po t

Definimos el modelo lineal de Richardsθ̇ −∇[D(θ)∇θ] = f en Ω× I,

θ = θ(z, t) = 0 sobre Γ× I,

θ(z, 0) = θ0 ∀z ∈ Ω

(32)

Recordando que en nuestro problema,

D(θ)∇2θ = D(θ)∂2θ

∂z2

Es claro que en este modelo lineal, D(θ) = K(θ)/C(θ) = constante ⇒ ∂∂zK(θ) = 0 .

3.4.1. Formulación Variacional Fuerte

Sea V = H10(Ω) , multiplicamos la ecuación para un t ∈ I por un v ∈ V , e integramos sobreΩ , asumiendo por ahora que µ = 1:

⇒ θ̇(t) v − µ∇2θ(t) v = f(t) v

⇒∫

Ω

θ̇(t) v dz − µ∫

Ω

∇2θ(t) v dz =∫

Ω

f(t) v dz (33)

y usando la fórmula de Green sobre el segundo término del lado izquierdo:

∫Ω

∇θ · ∇v dz =∫

Γ

v∂θ

∂ηds−

∫Ω

v∇2θ dz

para obtener la siguiente notación:

∫Ω

θ̇(t) v dz +

∫Ω

∇θ · ∇v dz −∫

Γ

v∂θ

∂ηds =

∫Ω

f(t) v dz (34)

⇒ (θ̇(t), v) + a(θ(t), v) = (f(t), v) (35)

Luego de haber definido los operadores y/o funcionales, podemos proceder con la formulaciónvariacional del problema (27):

Encuentre un θ(t) ∈ V , t ∈ I , tal que

(θ̇(t), v) + a(θ(t), v) = (f(t), v) ∀v ∈ V, t ∈ I,θ(0) = θ0

(36)

8

3.4.2. Formulación Variacional para un Subespacio Finito Sh

Ahora, sea Sh un subespacio dimensional finito de V, formado por la base {φ1, φ2, · · · , φm}.Ω es un dominio convexo y Sh consiste de funciones lineales por piezas de Ω , con elementos detamaño h. Reemplazando a V por Sh nos permite presentar la formulación variacional para elmodelo semi-discreto a desarrollar:

Encuentre un uh(t) ∈ Sh , t ∈ I , tal que

(u̇h(t), v) + a(uh(t), v) = (f(t), v) ∀v ∈ Sh, t ∈ I,

(uh(0), v) = (θ0, v)

(37)

Ahora podemos escribir a (31) utilizando la fórmula de solución aproximada de Kantorovichpara modelos semi-discretos[10]:

uh(t, z) =

M∑i=1

ξi(t)φi(z) t ∈ I, (38)

con coeficientes dependientes del tiempo t ξi(t) ∈ R.

Este es nuestro problema de valor inicial, también llamado Problema de Valor InicialStiff [3]. En su forma matricial:

B ξ̇(t) +Aξ(t) = F (t), t ∈ IBξ(0) = Θ0,

(39)

Donde B = (bij), A = (aij), F = (Fi), ξ = (ξi), Θ0 = (Θ0i) . Cada uno de los elementos de

estas matrices y vectores respectivamente, vienen a continuación:

bij = (φi, φj) =

∫Ω

φi φj dz,

aij = a(φi, φj) =

∫Ω

∇φi · ∇φj dz,

Fi(t) = (f(t), φi), Θ0i = (θ

0, φi).

La matriz B es nueva en esta formulación y es llamada la matriz de masa, y similar a la yaconocida matriz A, B es también positiva definida.

3.4.3. Método discont́ınuo de Galerkin

Se obtiene una solución mediante una formulación de elementos finitos para discretizar en lavariable del tiempo t. Para formular este método, primero debemos introducir un nuevo espacio[3]:

Dado un entero no negativo q, definimos

Υh ={v : I −→ Sh : v|In ∈ Pq(In), n = 1, · · · , N

}, (40)

donde

Pq(In) =

{v : In −→ Sh : v(t) =

q∑i=0

vi ti ,∀vi ∈ Sh

}(41)

9

Υh es el espacio de funciones sobre el intervalo I con valores que para cada intervalo de tiempoIn , vaŕıa como polinomios de grado máximo q.

Las funciones v en Υh pueden ser discont́ınuas a niveles discretos de tiempo tn . Con el obje-tivo de verificar esto, introducimos una notación:

v+n = ĺım

s→0+v(tn + s), v−

n = ĺıms→0−

v(tn + s),

Estas son llamadas condiciones de continuidad[10]. Las funciones respecto al tiempo, estándadas de esta forma

[vn] = v+n − v−n (42)

donde [vn] es el salto de v en el tiempo tn.

El método discont́ınuo de Galerkin para el problema semi-discreto (31) puede ahora ser for-mulado como sigue:

Encuentre un U ∈ Υh tal que

Λ(U, v) = L(v) ∀v ∈ Υh (43)

donde para una solución U = θ(z, t)

Λ(θ, v) =

N∑n=1

∫In

[(θ̇, v) + a(θ, v)] dt+

N∑n=2

([θn−1], v+n−1) + (θ+

0, v+0) (44)

L(v) =

∫I

(f, v) + (θ0, v+0) (45)

Podemos reformular estos operadores utilizando las funciones base φi ∈ Sh con v = φi , ysabiendo que para la ecuación de Richards, f(t) = 0 :

Λ(φj , φi) =

N∑n=1

∫In

[(φ̇j , φi) + a(φj , φi)] dt+

N∑n=2

([φjn−1], φi+

n−1) + (θ+0, v+

0) (46)

L(v) = (θ0, v+0) = θ0v+

0

∫Ω

dz (47)

El sistema de ecuaciones es resuelto usando

ξ(t) = Λ−1 · b (48)

3.5. Modelo de la Ecuación de Richards No Lineal

Para construir nuestro problema de estudio, partimos de la fórmula de la Ecuación de RichardsNo Lineal,

∂θ

∂t=

∂

∂z

[D(θ)

∂θ

∂z+K(θ)

](49)

y definimos el problema aśı,∂θ∂t = ∇[D(θ)∇θ] +∇K(θ) en Ω× I,

θ = 0 en Γ× I,

θ(., 0) = θ0

(50)

De la formulación anterior, podemos notar el término especial ∇K(θ) que aparece en la versiónno lineal de Richards. Este término, como veremos en secciones posteriores de este trabajo de

10

investigación, le da la caracteŕıstica distintiva adicional a la no linealidad de esta ecuación, y ladistingue de la ecuación no lineal de difusión.

3.5.1. Formulación Variacional para Richards No Lineal

Similar a como hemos procedido en el caṕıtulo anterior, definimos una formulación variacionalmuy similar, pero esta vez considerando el término especial que aparece en la versión no lineal,∇K(θ):

Encuentre un θ(t) ∈ V = H10 (Ω), t ∈ I , tal que(θ̇(t), v) + a(θ(t); θ(t), v) = (∇K(θ), v) en Ω× I,

θ = 0 en Γ× I,

θ(., 0) = θ0

(51)

donde

a(θ; θ, v) =

∫Ω

D(θ)∇θ · ∇v dz ∀v ∈ V

(θ, v) =

∫Ω

θ v dz,

(∇K(θ), v) =∫

Ω

∇K(θ) · v dz

L(v) = (f, v) + (∇K(θ), v) =∫

Ω

f v dz +

∫Ω

∇K(θ) · v dz (52)

Como mostraremos más adelante, el término f es cero, lo cual simplifica el funcional lineal L.

4. Discretización en el Tiempo para el Modelo No Linealde Richards: Aproximación por Diferencia Finita

Para obtener una solución mediante este método, y construir una Formulación Variacionalsimilar a las secciones anteriores, debemos realizar el siguiente procedimiento [4]:

1 Discretizar la derivada del tiempo por Aproximación de Diferencia Finita, el cual lanza unconjunto recursivo de problemas estacionarios

2 Transformar cada problema estacionario en una Formulación Variacional.

Sea k un ı́ndice que denota una cantidad en el tiempo tk, k ∈ N para cada nivel de tiempo.Reformulamos la ecuación (49) en términos de k, donde θk representa un valor de θ en el nivelde tiempo tk :

∂θk

∂t=

∂

∂z

[D(θk)

∂θk

∂z+K(θk)

]+ fk (53)

Luego aplicamos la aproximación por diferencia finita a la derivada con respecto al tiempo

∂θk

∂t≈ θ

k − θk−1

∆t(54)

De ahora en adelante, podemos referir a ∆t usando τ ∈ R, y estos representan el mismo número.

Luego,

θk − θk−1

τ= ∇[D(θk)∇θk] +∇K(θk) + fk (55)

θk − τ ∇[D(θk)∇θk] = θk−1 + τ ∇K(θk) + τ fk (56)

11

4.1. Formulación Variacional para θk

Para expresar el problema en la Formulación Variacional, multiplicamos ambos lados de laecuación (5.14) por una función del espacio dimensional finito Sh e integramos, y debilitamos laecuación, integrando por partes el término con la derivada de segundo orden (Fórmula de Green),∫

Ω

θk v dz + τ

∫Ω

D(θk)∇θk · ∇v dz =∫

Ω

θk−1 v dz + τ

∫Ω

∇K(θk) v dz, ∀v ∈ Sh (57)

Aqui, hemos ya eliminado el término fk , ya que como demostraremos más adelante, este escero y cancela la última integral en el lado derecho.

Ahora podemos definir nuestros operadores funcionales en su forma bilineal y lineal respecti-vamente,

a(θk; θk, v) =

∫Ω

θk v dz + τ

∫Ω

D(θk)∇θk · ∇v dz, ∀v ∈ Sh (58)

L(v) =

∫Ω

θk−1 v dz + τ

∫Ω

∇K(θk) v dz, ∀v ∈ Sh (59)

El problema en su Formulación Variacional queda reducido a

Encuentre un θk ∈ Sh tal que

a(θk; θk, v) = L(v), ∀v ∈ Sh (60)Para producir una solución con este método, debemos especificar una solución inicial θ0, luego,

podemos resolver para θ, θ2 · · ·

En lugar de utilizar el método de elementos finitos para obtener a θ0 , simplemente interpola-mos a θ0 desde una solución conocida y la expresamos aśı:

θ0 =

N∑j=1

ξ0j φj

y se define a ξj = I(zj) , donde zj es el valor en z dado para el nodo j.

En FEniCS existe una forma fácil de lograr esto; esto permite evitar el paso de presentar unaformulación variacional similar a a(θ0, v) = L(v) a partir del cual se determina a θ0[4].

Nuestro programa FEniCS, escrito en Python, requiere realizar las iteraciones para cada tiempot expĺıcitamente, pero computamos la solución utilizando las herramientas disponibles en FEniCS.

La matriz asociada A será independiente del tiempo, ya que el funcional bilineal a no depen-de del tiempo, y solo se multiplica por el número τ una vez. Esta matriz puede ser computadafuera del ciclo de iteraciones, por lo que solo necesitamos computar dentro del ciclo el lado derechode la ecuación

4.2. Solución Inicial θ0

La solución inicial elegida θ0 , es una solución de la ecuación de difusión

θ(z, t) =√

2/π · e−j2 π2 t · sin(j π z) (61)

θ0(z) =√

2/π sin(j π z)

Verificando la identidad en,

∂θ

∂t= ∆θ + f (62)

⇒ f = 0

12

4.3. Coeficiente de Conductividad Hidráulica Relativa K(θ) = eαθ

En el paper o ponencia presentado por Tracy[15], Pag. 228, se describe una ConductividadHidráulica Relativa eαψ (Gardner SS 1985), modelada aśı por la suposición cuasi-lineal. La mismaes comparada con la Ecuación de Van Genuchten-Mualem (15) obtenida experimentalmente. Enesta sección, elegimos el valor para la Conductividad Hidráulica Relativa K(θ) de la siguienteforma

K(θ) u eα θ, 0 < α ≤ 3, α ∈ R (63)

donde el valor de α (Gardner [15]) debe darse entre 0 y 3.0 para mantener la estabilidad de lasolución numérica, y su valor depende del tipo de suelo estudiado.

4.3.1. Conductividad Hidráulica Relativa K(θ) con α = 1,9

Si hacemos α = 1,9 , podemos comparar este K(θ) relativo contra el dado por la fórmula deVanGenuchten (15),

K(θ) = Ks[1 − |αθ|ρ−1 (1 + |αθ|ρ)−µ]2

[1 + |αθ|ρ]µλ

Para comparar nuestro K(θ) contra la fórmula de VanGenuchten, hacemos

Ks = 1,0 ,

λ = 12 ,

ρ = 2,0,

µ = 1− 1ρ =12 ,

α = 4,2

Si ploteamos el resultado, usando el programa de este apéndice obtenemos

Figura 3: Aproximación de la Conductividad Hidraulica con α = 1,9

4.3.2. Conductividad Hidráulica Relativa K(θ) con α = 3,0

En los programas FEniCS utilizados para computar las soluciones numéricas del Caṕıtulo V,hemos empleado α = 3,0 . Con este valor, debemos ajustar los parámetros dados en la fórmulaexperimiental de VanGenuchten, aśı

Ks = 1,0 ,

λ = 12 ,

13

ρ = 3,0

µ = 1− 1ρ =23

α = 2,9

Si ploteamos el resultado, usando el programa de este apéndice obtenemos

Figura 4: Aproximación de la Conductividad Hidraulica con α = 3,0

4.4. Solución Numérica

En el tiempo k=1, tenemos que θk−1 = θ0 , nuestra solución inicial. Hacemos a α = 3,0 , yC(θk) = 1 , por lo que reducimos el Coeficiente de Difusividad a D(θk) = K(θk).

4.4.1. Procedimiento Solución en su forma Algoŕıtmica

En esta sección presentamos un pseudo-código del programa ”NLRichards TimeDepends2.py”,utilizado para hallar la solución numérica. El código Python de este programa, se encuentra en elApéndice D de la tesis.

Escribimos θ para representar la función espacial en un nuevo tiempo k (θk), y escribimos θ1para la solución espacial en un tiempo anterior k-1 (θk−1) [4]:

Definimos las Condiciones de Frontera de Dirichlet

Asignamos en θ1 la interpolación en Sh de θ0 para t = 0,

Definimos los funcionales a y L

Ensamblamos la matriz A a partir a

Especificamos el tiempo total en dias T = 5

Especificamos a τ = 0,1 como una fracción del tiempo

Empezamos en el tiempo t = 1.0

Mientras t ≤ T

Actualizamos θ1 con la interpolación en Sh de θ0 para el tiempo t,

Ensamblar vector b a partir L

Aplicar condiciones de frontera

Resolver A · ξk = b para ξk , y construir a θk

14

t← t+ τ

θ1 ← θk

El término especial de la Ecuación de Richards No Lineal es el que le da la caracteŕısticadistintiva, la cual puede ser observada en las gráficas mostradas en la siguiente sección.

Las siguientes gráficas, presentan los resultados al utilizar este método sobre Richards NoLineal, en el programa NLRichards TimeDepends2.py:

Figura 5: Aproximación de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.0

Figura 6: Aproximación de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.1

Figura 7: Aproximación de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.2

15

Figura 8: Aproximación de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.3

Figura 9: Aproximación de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.4

Figura 10: Aproximación de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=2.0

Figura 11: Aproximación de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=3.0

16

5. Discretización en el Tiempo para el Modelo No Linealde Richards: Método Discont́ınuo de Galerkin

En esta sección presentamos una variación del Método Discont́ınuo de Galerkin aplicado a laEcuación No lineal de Richards.

En la forma lineal, L(v) , con frecuencia ensamblamos el vector de carga b en cada iteracióndel tiempo t. Si la ecuación no tuviera el término especial de Richards que la distingue de laecuación de difusión no lineal, el procedimiento fuera formulado muy simple, y tanto la matrizde Masa y la matriz Estructural, aśı como el vector de carga mismo, se pudieran computartodos fuera de la iteración del tiempo t. Para el caso de la Ecuación de Richards No Lineal,aún tendremos que computar y ensamblar el término especial.

5.1. Formulación y Discretización de Funcionales

Podemos evitar ensamblar (construir las matrices y vectores) por expansión de las Funcionesde Elementos Finitos. Similar a como procedimos en el Caṕıtulo IV, utilizamos la fórmula desolución aproximada de Kantorovich para modelos semi-discretos[10]:

uh(t, z) =

N∑i=1

ξi(t)φi(z) t ∈ I,

con coeficientes dependientes del tiempo t ξi(t) ∈ R.

Esta vez, presentamos nuestras funciones del espacio Sh con los ı́ndices k, como sumas sobrela base de funciones φj , para identificar los productos de matrices y vectores que completannuestro sistema como veremos más adelante.

5.1.1. Funcional formal lineal L(v)

Para el funcional lineal,

L(v) = τ

∫Ω

∇K(θk) v dz +∫

Ω

θk−1 v dz + τ

∫Ω

fk v dz, ∀v ∈ Sh (64)

Debemos separar este funcional en dos:

L1(v) =

∫Ω

(θk−1 + τ fk

)v dz, ∀v ∈ Sh (65)

y

L2(v) = τ

∫Ω

∇K(θk) v dz, ∀v ∈ Sh (66)

La separación en L1(v) y L2(v) es necesaria ya que L2(v) depende de θk , el cual solo podemos

determinarlo en cada iteración particular del tiempo t.

Para L1(v) hacemos

θk−1 =

N∑j=1

ξjk−1 · φj (67)

fk =

N∑j=1

ηjk · φj (68)

Luego, insertamos estas expresiones en L1(v) , y usando v = φi , resulta en

L1(φi) =

∫Ω

N∑j=1

ξjk−1 · φj + τ

N∑j=1

ηjk · φj

· φi dz, ∀v ∈ Sh (69)17

L1(φi) =

N∑j=1

(∫Ω

φi · φj dz)ξjk−1 + τ

N∑j=1

(∫Ω

φi · φj dz)ηjk (70)

Introduciendo a Mij =∫

Ωφi · φj dz , podemos escribir la última expansión como

L1(φi) =

N∑j=1

Mij · ξjk−1 + τN∑j=1

Mij · ηjk (71)

Esto no es más que 2 productos de matrices por vectores,

⇒M · ξk−1 + M · ηk (72)

donde

ξk−1 = (ξ1k−1, ξ2

k−1, · · · , ξNk−1)T ,

ηk = (η1k, η2

k, · · · , ηNk)T

Recordemos que ξk−1 es el vector de la solución aproximada que ya tenemos desde la secciónanterior de este Caṕıtulo. Como fk = 0 , queda

⇒M · ξk−1 (73)

Finalmente, el vector de carga b se computa aśı

b = M · ξk−1 +R (74)

donde R = L2(v). Una vez ensamblado el vector R en la iteración del tiempo, se computa lasolución de nuestro problema.

5.1.2. Funcional formal bilineal a(θk; θk, v)

Para el funcional bilineal,

a(θk; θk, v) =

∫Ω

θk v dz + τ

∫Ω

D(θk)∇θk · ∇v dz, ∀v ∈ Sh (75)

Similar a como procedimos con el operador lineal, hacemos a v = φi , y

θk =

N∑j=1

ξjk · φj , (76)

Para resolver el sistema de la forma Λξ = b , debemos determinar la matriz de coeficientes Λ:

N∑j=1

(∫Ω

φi · φj dz)ξjk + τ

N∑j=1

(∫Ω

∇φi · ∇φj dz)ξjk (77)

N∑j=1

Mij ξjk + τ

N∑j=1

Kij ξjk (78)

⇒M · ξk + τK · ξk (79)

Luego,

Λ = M + τK (80)

donde M es la matriz de masa, y K es la matriz estructural o de stiffness.

Finalmente, tenemos que

Λξk = b ⇒ ξk = Λ−1 · b (81)

18

(M + τK) · ξk = M · ξk−1 +R (82)

⇒ ξk = (M + τK)−1 ·(M · ξk−1 +R

), (83)

para cada iteración de tiempo k.

5.2. Solución Numérica

Similar a como procedimos en el método anterior, Hacemos a α = 3,0 , y C(θk) = 1 , por loque tenemos que el Coeficiente no lineal de la Difusividad es D(θk) = K(θk).

5.2.1. Procedimiento Solución en su forma Algoŕıtmica

En esta sección presentamos un pseudo-código del programa ”NLRichards TimeDepends3.py”,utilizado para hallar la solución numérica. El código Python de este programa, se encuentra en elApéndice D de la tesis.

Escribimos θ para representar la función espacial en un nuevo tiempo k (θk), y escribimos θ1para la solución espacial en un tiempo anterior k-1 (θk−1) [4]:

Definimos las Condiciones de Frontera de Dirichlet

Asignamos en θ1 la interpolación en Sh de θ0 para t = 0,

Definimos los funcionales am , ak , L1 y L2

Ensamblamos la matriz M a partir am

Ensamblamos la matriz K a partir ak

Hacemos a Λ = M + τ K

Ensamblamos parcialmente, el vector b a partir L1 como b̂

Especificamos el tiempo total en dias T = 5

Especificamos a τ = 0,1 como una fracción del tiempo

Empezamos en el tiempo t = 1.0

Mientras t ≤ T

Actualizamos θ1 con la interpolación en Sh de θ0 para el tiempo t,

Ensamblamos el vector R, a partir L2

Completamos el vector b haciendo este b = b̂+R

Aplicar condiciones de frontera

Resolver Λ · ξk = b para ξk , y construir a θk

t← t+ τ

θ1 ← θk

Las siguientes gráficas, presentan los resultados al utilizar este método sobre Richards NoLineal, en el programa NLRichards TimeDepends3.py:

19

Figura 12: Aproximación de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.0

Figura 13: Aproximación de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.1

Figura 14: Aproximación de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.2

Figura 15: Aproximación de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.3

20

5.3. El Error Máximo según el parámetro α en K(θ) relativo

En la siguiente gráfica, podemos observar el comportamiento del Error Máximo en cada itera-ción k:

Figura 16: Error Máximo para α = 1,3, 1,9, 2,7 y 3,0

6. Aproximación Numérica utilizando la Solución Anaĺıticade Philip como Solución Inicial θ0

Por último, hemos construido un programa FEniCS, en el cual utilizamos como solución inicial,la solución linealizada de Philip del Caṕıtulo II:

θd +(θw − θd)

2

(erfc

[z

2(D t)1/2−(kt1/2

)2 D1/2

]+ e

(kz)D erfc

[z

2(D t)1/2+

(kt1/2

)2 D1/2

]). (84)

Donde erfc(x) es la función de error complementaria:

erfc(x) = 1− erf(x) = 2√π

∫ ∞x

e−t2

dt

y los valores iniciales dados son: θd = 1, θw = 74, D = 8 (la difusividad), k = 4.

6.1. Formulación de Funcionales

En esta ocasión, debemos separar de manera similar al método anterior, el operador de laforma lineal:

L1(v) =

∫Ω

(θk−1 + τfk

)v dz, ∀v ∈ Sh (85)

L2(v) = τ

∫Ω

∇K(θk) v dz (86)

El operador final es ensamblado aśı:

L(v) = L1(v) + L2(v) (87)

La formulación variacional utilizada en las secciones anteriores, aplica sin cambios.

21

6.2. Ploteo de la Solución Numérica

Para obtener la solución numérica, hemos dado al parámetro de Gardner en la ConductividadHidráulica relativa, el valor α = 0,45[15], ya que este es un valor que da estabilidad en la solución:

K(θ) = e0,45 θ (88)

Finalmente, realizamos las mismas iteraciones en el tiempo, para cada k, como en las seccionesanteriores.

Las siguientes gráficas, presentan los resultados al utilizar este método sobre Richards NoLineal, en el programa NLRichards TimeDepends4.py del Apéndice D de la tesis:

Figura 17: Aproximación de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.0

Figura 18: Aproximación de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.1

Figura 19: Aproximación de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=2.0

El error máximo para el tiempo t= 5, fue de 0.014 cuando utilizamos a Philip como solucióninicial.

7. Resultados

Se hace notar que en esta investigación se emplearon Polinomios de Lagrange lineales, oφi ∈ P1 , donde generalmente, Pk , k ≥ 1 está dado de esta forma

22

Figura 20: Aproximación de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=3.0

Figura 21: Aproximación de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=4.0

Pk =

φi(z) =k∑j=0

αj zj , αj ∈ R

donde Pk es un espacio vectorial de polinomios de una variable y de grado menor o igual a k.

Es interesante notar que aquellos φi ∈ P1 locales, pueden expresarse como φj(zi) = δij , donde

δij =

{1, si i = j0, si i 6= j.

es la función delta de Kronecker.

7.1. Aspectos F́ısicos de las Soluciones Númericas

Los resultados obtenidos para las versiones dependientes del tiempo t, para Richards Lineal yRichards No Lineal respectivamente, son similares en el dominio Ω = (0, 1).

Los resultados númericos presentados para Richards lineal, dependen de una ConductividadHidráulica K(θ) del tipo Isotrópico los cuales son del tipo lineal; mientras que los resulta-dos númericos presentados para Richards no lineal dependen de un Coeficiente de ConductividadHidráulica Relativa de la forma K(θ) = eα θ, 0 < α ≤ 3,0, α ∈ R, y es de caracter altamente nolineal.

Las gráficas de estos resultados pueden ser interpretadas desde el punto de vista f́ısico comopresentamos a continuación:

Dado el escenario de un suelo de poca o ninguna saturación, y un nivel t́ıpico deporosidad[1], y considerando una humedad inicial θ0 en la superficie del suelo,

23

* Las curvas u(z, 1) → 0 , t = 1 a medida que el agua se desplaza verticalmente por el suelo,y debido a la gravedad, y la humedad tiendo a cero en la superficie del suelo. De igual forma,podemos decir que para el flujo de agua ψ en el suelo, el flujo tiende a cero cuando ya no hay másagua que desplazar.

Dado el escenario de un suelo de alta saturación o que se satura con facilidad, ynivel mı́nimo de porosidad o poca porosidad, y considerando una humedad inicial θ0en la superficie del suelo,

* Las curvas u(z, 1)→ α , t = 1, α ≤ 0 a medida que el agua se desplaza verticalmente, y porefecto de la gravedad, y el suelo llega a su punto de saturación máxima. Esto quiere decir, quela humedad no tiende a cero en la superficie, y que el flujo del agua ahora es negativo ya que nopuede seguir desplazando agua en un suelo ya saturado.

En las gráficas de los resultados a continuación, podemos interpretar estos escenarios conside-rando que cada elemento finito representa un cent́ımetro de desplazamiento vertical, y t está dadoen d́ıas.

7.2. Comparación de los Problemas Trascientes de Richards Lineal vs.No Lineal en Ω = (0, 1)

Si observamos ambas soluciones en el dominio Ω = (0, 1), vemos que la solución lineal es máspronunciada respecto a la no lineal, la cual muestra una curva de mayor amplitud:

Figura 22: Aproximación de Richards Lineal con ProgFEMC4.m y N=100 Nodos

Figura 23: Aproximación de Richards No Lineal con N=64 Nodos y t=1.1

Si ahora observamos el comportamiento de las soluciones para Richards no lineal, cuandotomamos como solucion inicial, la difusión, la gráfica para t = 1.3, es parecida a las dadas por lasolución anaĺıtica de Philip, pero no se mantiene en el tiempo; mientras que usando la solucióninicial de Philip nos da mejores resultados:

24

Figura 24: Ploteo de la solución anaĺıtica para t=1

Figura 25: Ploteo de la solución anaĺıtica para t=4

Figura 26: Aproximación de Richards No Lineal con N=64 Nodos, t=1.3 y Solución Inicial deDifusión

Figura 27: Aproximación de Richards No Lineal con N=64 Nodos, t=1.0 y Solución Inicial dePhilip

25

Podemos observar, que si nuestra solución inicial es lo suficientemente buena, nuestros resul-tados numéricos también lo serán para los métodos estudiados. Esto lo podemos verificar con estaúltima gráfica, donde se utilizó como solución inicial, la solución linealizada de Philip.

Otro aspecto interesante que podemos comentar, es que con la Conductividad Hidráulica Rela-tiva, K(θ) = eα θ, podemos estudiar el problema transitorio de Richards No Lineal para diferentestipos de suelos (arcilla, arena, grava, sedimentos, mesclas), con solo especificar un valor α, queaproxime este coeficiente a la versión experimental de Vangenuchten para estos distintos tiposde suelos.

8. Recomendaciones

Para darle continuidad a esta investigación es menester mencionar los temas de investigaciónque le siguen de inmediato a este trabajo:

Emplear Polinomios de Lagrange de orden superior (φi(z) ∈ Pn, n > 1, z ∈ Ω) En este tra-bajo de investigación hemos utilizado solo polinomios de orden n = 1, por lo que seŕıa unproyecto de investigación futura, el tratar estas soluciones con Polinomios de orden n > 1(cuadrático, cúbico, otros).

Estabilidad de las Soluciones y Pruebas de Convergencia En este se verifican temas deconvergencia de las soluciones propuestas en este trabajo de tésis.

Estimados de Errores En este se comparan tanto numérica como gráficamente las solucionesencontradas, y otras soluciones propuestas por terceros.

Pruebas de Existencia y Unicidad de las Soluciones Existen libros donde se describen es-tos procesos muy claramente.

Aplicación de otras Soluciones Propuestas Es posible trabajar encima de los programas es-critos, con el objetivo de obtener mejores resultados.

Aproximaciones Numéricas para Richards sobre el Flujo del Agua Esta es una propues-ta que puede realizarse, en la cual pueden utilizarse los mismos programas escritos para estetrabajo de investigación, con algunas modificaciones necesarias.

Resultados Numéricos en 2D y 3D de la Ecuación de Richards El Método de Elemen-tos Finitos permite tratar geometŕıas complejas en 2D y 3D mediante elementos trianguladoscon grados de libertad n ≥ 1 . Esta seŕıa una extensión interesante a nuestro trabajo, el cualfue realizado para la versión 1D (solo una coordenada espacial, z) de Richards.

Utilizar el Método Espectral sobre este Problema Seŕıa un proyecto de igual valor, el in-tentar realizar este trabajo esta vez con otro método diferente, y comparar los resultadosobtenidos entre ambos métodos, FEM y Espectral.

26

Referencias

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[2] Felix Lara, Ecuación de Richards y algunas soluciones anaĺıticas. Universitat Politénica deValencia, Instituto Tecnológico de Santo Domingo, INTEC, Trabajo de Tésis de Diploma deEstudios Avanzados (DEA), 1999, 2012.

[3] Claes Johnson, Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite ElementMethod. Dover Publications 2009, Cambridge University Press 1987 1st Edition, 1987, 2009.

[4] Editors: Anders Logg, Kent-Andre Mardal, Garth Wells, Automated Solution of Differen-tial Equations by the Finite Element Method :The FEniCS Book. Springer, Lecture Notes inComputational Science and Engineering, Volume 84, 1st Edition, 2012.

[5] A. J. Davies, The Finite Element Method An Introduction with Partial Differential Equations.Oxford University Press, 2nd Edition, 1980, 2011.

[6] J. Tinsley Oden, Finite Elements of Nonlinear Continua (Dover Civil and Mechanical Engi-neering). Dover Publications (June 30, 2006), McGraw-Hill 1972, 2nd Edition, 1972, 2006.

[7] J. Tinsley Oden, An Introduction to the Mathematical Theory of Finite Elements (DoverBooks on Engineering). Dover Publications (April 20, 2011), 1st Edition, 2011.

[8] Tomaz G. Zielinski, Introduction to the Finite Element Method, Introductory Course on Mul-tiphysics Modelling, Institute of Fundamental Technological Research in Warsaw, Poland,Department of Intelligent Technologies, Lecture Notes, 2009.

[9] O. C. Zienkiewicz and R. L. Taylor, The Finite Element Method: Volume 3: Fluid Dynamics,Fifth Edition. Butterworth-Heinemann (September 11, 2000), Fifth Edition, 1967, 2000.

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[11] I.S. Gradshteyn, I.M. Ryzhik, Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger Table of Integrals, Series, andProducts. Elsevier, Academic Press, 7th. Edition, 2007.

[12] David M. Bressoud, A Radical Approach to Lebesgue’s Theory of Integration. The Mathema-tical Association of America (MAA), Cambridge University Press, Princeton, New York, 1st.Edition, 2008.

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[14] J.-Y. Parlange, D. A. Barry, M. B. Parlange, W. L. Hogarth, R. Haverkamp, P. J. Ross, L.Ling, and T. S. Steenhuis, D.A. DiCarlo, G. Katul, Analytical approximation to the solutionsof Richardss equation with applications to infiltration, ponding, and time compression appro-ximation. Elsevier Science Ltd., Advances in Water Resources, Volume 23 Pages 189-194,2008.

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27

IntroducciónMétodos para obtener la Conductividad HidráulicaPredicción de la función K() a partir de datos de retención del suelo-agua

Solución analítica de Philip

MétodoMarco ReferencialMétodo de Elemento Finito para la Ecuación de RichardsDefinición del DominioFormulación Variacional para Richards lineal con = (z)Formulación Variacional FuerteFormulación Variacional Débil

Formulación Variacional para Richards lineal dependiente del tiempo tFormulación Variacional FuerteFormulación Variacional para un Subespacio Finito ShMétodo discontínuo de Galerkin

Modelo de la Ecuación de Richards No LinealFormulación Variacional para Richards No Lineal

Discretización en el Tiempo para el Modelo No Lineal de Richards: Aproximación por Diferencia FinitaFormulación Variacional para k Solución Inicial 0 Coeficiente de Conductividad Hidráulica Relativa K() = e Conductividad Hidráulica Relativa K() con = 1.9Conductividad Hidráulica Relativa K() con = 3.0

Solución NuméricaProcedimiento Solución en su forma Algorítmica

Discretización en el Tiempo para el Modelo No Lineal de Richards: Método Discontínuo de GalerkinFormulación y Discretización de FuncionalesFuncional formal lineal L(v)Funcional formal bilineal a(k; k, v)

Solución NuméricaProcedimiento Solución en su forma Algorítmica

El Error Máximo según el parámetro en K() relativo

Aproximación Numérica utilizando la Solución Analítica de Philip como Solución Inicial 0Formulación de FuncionalesPloteo de la Solución Numérica

ResultadosAspectos Físicos de las Soluciones NúmericasComparación de los Problemas Trascientes de Richards Lineal vs. No Lineal en = (0,1)

RecomendacionesBibliografía