Soluciones Problemas 06 07 Tema 10

Soluciones a los ejercicios propuestos: Matematicas III. Curso 06–07 129

Tema 10(Nota: algunos de los ejercicios que aparecen a continuacion han sido tomados de laobra: Optimizacion: cuestiones, ejercicios y aplicaciones a la economıa, R.Barbolla, E.Cerda y P. Sanz, Ed. Prentice–Hall, 2000. Tal y como ya aparece en la bibliografıa de laasignatura, se recomienda este texto para los temas 7 al 10 de la asignatura)

1. Determinar los extremos de la funcion f(x, y) = xy(1−x2−y2) en el cuadrado[−1, 1]× [−1, 1].

Esta resuelto en el tema 8, ejercicio 9.a).

2. Consideremos el problema

Opt x2 + (y − 1)2

s. a. x+ y ≤ 6

2x+ y ≥ 4

x, y ≥ 0

Se pide:

(a) Estudiar que restricciones saturan los puntos (2, 3), (2, 0), (3, 3).

El conjunto factible del programa es

B = {(x, y) ∈ <2/x+ y ≤ 6, 2x+ y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}

y las funciones que definen las restricciones son

g1(x, y) = x+ y − 6→ g1(x, y) ≤ 0g2(x, y) = 4− 2x− y → g2(x, y) ≤ 0g3(x, y) = −x→ g3(x, y) ≤ 0g4(x, y) = −y → g4(x, y) ≤ 0

• El punto (2, 3) ∈ B y como

g1(2, 3) = −1 < 0g2(2, 3) = −3 < 0g3(2, 3) = −2 < 0


g4(2, 3) = −3 < 0

en la solucion factible (2,3) no se satura ninguna restriccion.

• En (2,0) se saturan las restricciones segunda y cuarta ya que

g1(2, 0) = −4 < 0g2(2, 0) = 0g3(2, 0) = −2 < 0g4(2, 0) = 0

• Por ultimo, como

g1(3, 3) = 0g2(3, 3) = −5 < 0g3(3, 3) = −3 < 0g4(3, 3) = −3 < 0

el punto factible (3,3) solo satura la primera restriccion.

(b) Estudiar los puntos regulares para el problema anterior.

Tenemos que,

∇g1(x, y) = (1, 1) ; ∇g3(x, y) = (−1, 0)∇g2(x, y) = (−2,−1) ; ∇g4(x, y) = (0,−1)

∀(x, y) ∈ <2, los vectores anteriores son linealmente independientes 2 a2, luego todos los puntos del problema anterior, cumplen la condicion deregularidad.

(c) Resolver, si es posible, geometricamente el problema.

Las curvas de nivel de la funcion objetivo son circunferencias de la formax2 + (y − 1)2 = k, con centro (0,1) y radio r =

√k, k > 0. Por tanto,

teniendo en cuenta la figura, el maximo global se encuentra en el punto(6,0) y el mınimo global en el punto de tangencia

(65, 8

5

)que se obtiene

como solucion del sistema

{2x+ y = 42x2

= 2(y−1)1


Ası pues, como ilustra la figura y puede comprobarse analıticamente,el punto donde se alcanza el maximo satura las restricciones primeray cuarta pues dicho punto esta situado sobre las rectas g1(x, y) = 0 yg4(x, y) = 0. Del mismo modo puede observarse que el punto dondese alcanza el mınimo, solo satura la segunda restriccion, alcanzando elmaximo en (6,0) y el mınimo en

(65, 8

5

)(d) Estudiar las condiciones de Kuhn–Tucker en los optimos.

Las condiciones de Kuhn–Tucker son,(2x

2(y − 1)

)+λ1

(11

)+λ2

(−2−1

)+λ3

(−10

)+λ4

(0−1

)=

(00

)

λ1 ≥ 0; λ2 ≥ 0; λ3 ≥ 0; λ4 ≥ 0;

λ1(x+ y − 6) = 0; x+ y − 6 ≤ 0λ2(4− 2x− y) = 0; 4− 2x− y ≤ 0λ3(−x) = 0; −x ≤ 0λ4(−y) = 0 ; −y ≤ 0

Veamos si verifican las condiciones anteriores en x∗1 = (6, 0)y en x∗2 =(65, 8

5

).

• En el punto x∗1 = (6, 0), estarıamos en un problema de maximizacion,


y se verifican las condiciones de Kuhn–Tucker, obteniendo λ1 = −12,λ2 = λ3 = 0 y λ4 = −14.

• En el punto x∗2 =(

65, 8

5

), estarıamos en un problema de

minimizacion, y no se verifican las condiciones de Kuhn–Tucker porllegar a una incongruencia en las ecuaciones.

3. Consideremos el problemamin y − x2

s. a. x2 − y ≤ 0

y ≤ 4

x, y ≥ 0

Se pide:

(a) Probar que el punto x? = (1, 1), verifica las condiciones de Kuhn–Tucker.

Podemos escribir el programa como,

min y − x2

s.a. x2 − y ≤ 0y − 4 ≤ 0−x ≤ 0−y ≤ 0

Las condiciones de Kuhn–Tucker en este caso son:(−2x

1

)+ λ1

(2x−1

)+ λ2

(01

)+ λ3

(−10

)+ λ4

(0−1

)=

(00

)

λ1 ≥ 0; λ2 ≥ 0; λ3 ≥ 0; λ4 ≥ 0;

λ1(x2 − y) = 0; x2 − y ≤ 0

λ2(y − 4) = 0; y − 4 ≤ 0λ3(−x) = 0; −x ≤ 0λ4(−y) = 0 ; −y ≤ 0

El punto x∗ = (1, 1) es factible y solo satura la primera restriccion, portanto, sustituyendo x = y = 1, λ2 = λ3 = λ4 = 0 en la ecuacion resulta

−2 + 2λ1 = 01− λ1 = 0

}↔ λ1 = 1 > 0


Ası pues, x∗ = (1, 1) es un posible mınimo local del programa ya quecumple las condiciones necesarias de Kuhn–Tucker.

(b) Probar que x? es un mınimo global del programa.

Sea B = {(x, y) ∈ <2/x2 − y ≤ 0, y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}

Dado que la funcion objetivo es

f(x, y) = y − x2

y todas las soluciones factibles (x, y) ∈ B verifican que

x2 − y ≤ 0, se tiene que ∀(x, y) ∈ B, f(x, y) ≥ 0 = f(1, 1)Por tanto, x∗ = (1, 1) es un mınimo global del problema.

(c) Probar que en x? no se cumple la condicion de segundo orden de mınimolocal.

En este punto, no se verifican las condiciones suficientes de segundoorden. En efecto, como

H£(λ∗, 1, 1) = Hf(1, 1) + λ∗1Hg1(1, 1) =

(−2 00 0

)+ 1

(2 00 0

)

=

(0 00 0

)y

M(1, 1) = {(p1, p2) ∈ <2/p2 = 2p1, (p1, p2) 6= (0, 0)}

y es claro que H£(λ∗, 1, 1) no es difinida positiva en M(1, 1), ya que∀p ∈M(1, 1) se verifica que ptH£(λ∗, 1, 1)p = 0.Esto muestra que las condiciones de segundo orden no son necesarias.

4. Consideremos el problema

Opt (x− 3)2 + (y − 3/2)2

s. a. − x+ y ≥ 0

x2 + y2 ≤ 4

x, y ≥ 0


(a) Resolverlo geometricamente.

El conjunto de soluciones factibles es

B = {(x, y) ∈ <2/x− y ≤ 0, x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}

y las curvas de nivel de la funcion objetivo son circunferencias con centro(3, 3/2

)y de radio

√k, k > 0, es decir, (x− 3)2 +

(y − 3/2

)2= k.

Por tanto, como muestra la figura, el mınimo global del programa seencuentra en el punto x∗1 =

(√2,√

2), solucion del sistema de ecuaciones

x− y = 0x2 + y2 = 4

}El maximo global se encuentra en el punto x∗2 = (0, 0)

(b) Comprobar las condiciones de Kuh–Tucker en el optimo.

Las condiciones de Kuhn–Tucker son:

(2(x− 3)

2(y − 3/2

) ) + λ1

(1−1

)+ λ2

(2x2y

)+ λ3

(−10

)+ λ4

(0−1

)=(

00

)

λ1 ≥ 0; λ2 ≥ 0; λ3 ≥ 0; λ4 ≥ 0;

λ1(x− y) = 0; x− y ≤ 0λ2(x

2 + y2 − 4) = 0; x2 + y2 − 4 ≤ 0λ3(−x) = 0; −x ≤ 0λ4(−y) = 0 ; −y ≤ 0


• Para el punto x∗1 =(√

2,√

2), se verifican las condiciones de Kuhn–

Tucker, obteniendose λ1 = 1, 5 > 0, λ2 = 0, 59 > 0 y λ3 = λ4 = 0

• Para el punto x∗2 = (0, 0), el problema serıa de maximizacion, ycumple las condiciones de Kuhn–Tucker, obteniendo dos posiblessoluciones, una con λ1 = λ2 = 0, λ3 = −6 y λ4 = −3, y la otra conλ2 = λ4 = 0, λ1 = −3 y λ3 = −9.

5. Hallar analıticamente las soluciones factibles x∗ en las que se verifican lascondiciones de Kuhn–Tucker en los siguientes problemas:

(a)min 1− x+ y2

s. a. x2 + y2 − 1 ≤ 0

Consideramos los casos en los que el punto x∗ solucion del programa seainterior al conjunto de las soluciones factibles o un punto frontera quesatura la restriccion.

• Supongamos que x∗ es un punto interior de

B = {(x, y) ∈ <2/x2 + y2 − 1 ≤ 0}

Las condiciones necesarias de primer orden serıan las de optimosin restricciones ya que, la restriccion impuesta por g(x, y) ≤ 0 esirrelevante para el problema considerado. El programa se reducirıaa estudiar los puntos crıticos de la funcion objetivo.Como ∇f(x, y) = (−1, 2y),∀(x, y) ∈ <2, y siempre se verifica que∂f∂x

= −1 6= 0, el optimo no se puede alcanzar en el interior delconjunto de soluciones factibles.

• Si x∗ satura la restriccion g(x, y) = x2 + y2− 1 = 0 entonces x∗ serala solucion del programamin f(x, y)s.a. g(x, y) = 0

}y por tanto, sera punto crıtico de la funcion Lagrangiana,


£(λ;x, y) = f(x, y) + λg(x, y) = 1− x+ y2 + λ(x2 + y2 − 1)

con λ ≥ 0, ya que tiene que verificarse

∇f(x∗) + λ∇g(x∗) = 0∇g(x∗) = 0λ ≥ 0

o explıcitamente

∂£∂x

= −1 + 2λx = 0∂£∂y

= 2x+ 2λy = 0

g(x, y) = x2 + y2 − 1 = 0λ ≥ 0

Despues de resolver el sistema anterior, obtenemos como punto queverifica las condiciones de Kuhn-Tucker el x∗ = (1, 0) con λ = 1/2.

(b)min−3x− y

s. a. x2 + y2 − 5 ≤ 0

x− y − 1 ≤ 0

El conjunto de soluciones factibles es

B = {(x, y) ∈ <2/g1(x, y) ≤ 0, g2(x, y) ≤ 0}

Consideremos los siguientes casos:1. Que el optimo se alcanza en el interior de B, es decir,g1(x, y) < 0 y g2(x, y) < 0y por tanto, no se satura ninguna restriccion. Entonces, se estarıa en unpunto crıtico de f sin restricciones en el que deberıa verificarse que∇f(x∗) = 0↔ ∂f

∂x(x∗) = 0 y ∂f

∂y(x∗) = 0

2. Que el optimo esta situado en la frontera porque al menos una de lasdos restricciones esta saturada, es decir, se verifica quei)g1(x

∗) = 0g2(x

∗) < 0ii)g1(x

∗) < 0g2(x

∗) = 0iii)g1(x

∗) = 0g2(x

∗) = 0Las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker nos dicen que, si x∗ esoptimo local del programa cuando se cumplen ciertas hipotesis, entonces,


−∇f(x∗) debe pertenecer al cono generado por ∇gi(x∗) con i ∈ I y

verificar,∇f(x∗, y∗) + λ1∇g1(x

∗, y∗) + λ2∇g2(x∗, y∗) = (0, 0)

λ1∇g1(x∗, y∗) = 0

λ2∇g2(x∗, y∗) = 0

λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0g1(x

∗, y∗) ≤ 0g2(x

∗, y∗) ≤ 0

Estudiemos si esto se cumple en los casos i), ii) y iii).

i) Si g1(x, y) = 0 y g2(x, y) < 0→ λ2 = 0

Las condiciones de Kuhn-Tucker son

−3 + 2λ1x = 0−1 + 2λ1y = 0x2 + y2 − 5 = 0λ1 ≥ 0x− y − 1 < 0λ2 = 0

De las dos primeras ecuaciones se deduce que

λ1 = 32x

y λ1 = 12y→ x = 3y

Sustituyendo en la condicion g1(x, y) = 0 obtenemos que

y = ±√

22→ x = ±3

√2

2.

Desechamos y = −√

22

, ya que en ese caso tenemos λ1 < 0, lo que es unacontradiccion.En el caso que x∗ =

(3√

22,√

22

)obtenemos λ1 = 1√

2que nos proporciona

una posible solucion. Veamos si x∗ es factible.g2(x

∗) = 3√

22−

√2

2− 1 6< 0

Ası pues, podemos concluir que en esta situacion no existe posiblesolucion.

ii) Si g1(x, y) < 0 y g2(x, y) = 0 → λ1 = 0, y las condiciones de Kuhn-Tucker explıcitamente las podemos escribir como−3 + λ2 = 0−1 + λ2(−1) = 0x2 + y2 − 5 < 0λ1 = 0x− y − 1 = 0λ2 ≥ 0De la primera ecuacion obtenemos λ2 = 3 y de la segunda λ2 = −1,lo cual es incompatible. Esto prueba que no existe un x∗ solucion del


problema tal que g1(x∗) < 0 y g2(x

∗) = 0

iii) Si x∗ es un punto tal que satura las dos restricciones, es decir, verificaque g1(x, y) = 0 y g2(x, y) = 0, entonces, las condiciones de Kuhn-Tuckerson−3 + λ12x+ λ2 = 0−1 + λ12y + λ2(−1) = 0x2 + y2 − 5 = 0λ1 ≥ 0λ1(x

2 + y2 − 5) = 0x− y − 1 = 0λ2 ≥ 0λ2(x− y − 1) = 0El sistema formado por las restricciones saturadasx2 + y2 − 5 = 0x− y − 1 = 0tiene como soluciones x = −1, y = −2 y tambien x = 2, y = 1.Para x∗ = (2, 1), sustituyendo en las condiciones de Kuhn-Tuckerobtenemosλ1 = 2

3> 0 y λ2 = 1

3> 0

Por tanto, el punto x∗ = (2, 1) es un posible mınimo del programa.Para x∗ = (−1,−2) se tiene λ1 = −2

3< 0, lo que contradice la no

negatividad de los λi, i = 1, 2, por lo que x∗ = (−1,−2) no es optimo delprograma.En general, las condiciones de Kuhn-Tucker quedaran resumidas en−3 + 2λ1x+ λ2 = 0−1 + 2λ1y − λ2 = 0λ1 ≥ 0λ2 ≥ 0λ1(x

2 + y2 − 5) = 0λ2(x− y − 1) = 0x2 + y2 − 5 ≤ 0x− y − 1 ≤ 0Siendo los casos a considerar para encontrar los posibles mınimos x∗ lossiguientes:- Si no se satura ninguna restriccion, entonces λ1 = 0, λ2 = 0- Si se satura unicamente la primera restriccion, entonces λ2 = 0- Si se satura solo la segunda restriccion, entonces λ1 = 0- Si se saturan ambas restricciones, entonces λ1 ≥ 0 y λ2 ≥ 0

(c)minx2 + (y − 2)2

s. a. x+ y ≤ 1


−x+ y ≤ 1

y ≥ 0

Las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker son:2x+ λ1 − λ2 = 02(y − 2) + λ1 + λ2 − λ3 = 0λ1(x+ y − 1) = 0λ2(−x+ y − 1) = 0λ3(−y) = 0x+ y − 1 ≤ 0−x+ y − 1 ≤ 0−y ≤ 0λ1 ≥ 0λ2 ≥ 0λ3 ≥ 0Las hipotesis que podemos hacer sobre los valores de los λi, i = 1, 2, 3 seresumen en los 23 = 8 casos que a continuacion enumeramosI. λ1 = λ2 = λ3 = 0II. λ1 = λ2 = 0III.λ1 = λ3 = 0IV. λ2 = λ3 = 0V. λ1 = 0VI. λ2 = 0VII.λ3 = 0VIII.λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, λ3 ≥ 0

Se comprueba facilmente que solo en la hipotesis VII se complen lascondiciones de Kuhn-Tucker. Estas se verifican en el punto x∗ = (0, 1)para λ1 = λ2 = 1, λ3 = 0. Por tanto, solo el punto x∗ = (0, 1) es posibleoptimo del programa.

6. Consideremos el problemamax x · y

s. a. x+ y + z ≤ 5

x2 + y2 + z2 ≥ 4

x, y, z ≥ 0

y el punto x? = (5/2, 5/2, 0). Se pide:

(a) Comprobar que se verifican las condiciones necesarias de Kuhn–Tuckeren el punto indicado.


Podemos escribir el programa de la siguiente forma,

max xys.a. x+ y + z − 5 ≤ 04− x2 − y2 − z2 ≤ 0−x ≤ 0−y ≤ 0−z ≤ 0

Las condiciones de Kuhn-Tucker para este problema son

x+ λ1 − 2yλ2 − λ4 = 0y + λ1 − 2xλ2 − λ3 = 0λ1 − 2zλ2 − λ5 = 0λ1 ≤ 0, λ2 ≤ 0, λ3 ≤ 0, λ4 ≤ 0, λ5 ≤ 0λ1(x+ y + z − 5) = 0λ2(4− x2 − y2 − z2) = 0λ3(−x) = 0λ4(−y) = 0λ5(−z) = 0x+ y + z − 5 ≤ 04− x2 − y2 − z2 ≤ 0−x ≤ 0,−y ≤ 0,−z ≤ 0

El punto(5/2,

5/2, 0)

es una solucion factible que solo satura la primeray la quinta restriccion, ası pues λ2 = λ3 = λ4 = 0.Finalmente, sustituyendo en las tres primeras ecuacionesx = 5

2; y = 5

2;z = 0;λ2 = λ3 = λ4 = 0; λ1 = λ5 = −5

2

Ası pues, en el punto x∗ se verifican las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker.

(b) Comprobar si se cumplen las condiciones suficientes de segundo orden.

Dado que x∗ satura la primera y ultima restriccion y λ∗1 < 0, λ∗5 < 0comprobar que ptH£(λ∗, x∗)p < 0, ∀p ∈ M(x∗) es equivalente acomprobar que en (λ∗, x∗) el determinante


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 1 1 10 0 0 0 −11 0 0 1 01 0 1 0 01 −1 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −2 < 0

tiene el mismo signo que (−1)3 < 0. En efecto, esto se cumple pues

para x∗ =(

52, 5

2, 0)

y λ∗ =(−52, 0, 0, 0, −5

2

)este determinante es igual a

−2. Luego el punto x∗es un maximo local estricto.

(c) Probar que se trata de un maximo global.

Para determinar si es o no maximo, y si es local o global, nos ayudamosen este caso de la resolucion grafica del problema.

El conjunto de soluciones factibles es el tetraedro del primer ortante,excepto el interior de la parte de la esfera contenida en el mismo .Las superficies de nivel de la funcion objetivo sonSk = {(x, y, z) ∈ <3/xy = k}, k ∈ <Ası pues, en x∗ esta el maximo global de la funcion f(x, y, z) = xy sobreel conjunto B de soluciones factibles.

7. Consideremos el problema siguiente:

min (x− 2)2 + (y − 1)2

s. a. x2 − y ≤ 0


x+ y − 2 ≤ 0

x, y ≥ 0

(a) Resolver el problema graficamente.

Las curvas de nivel de la funcion objetivo son circunferencias de centro(2, 1) y radio

√k, k > 0, es decir, (x− 2)2 + (y − 1)2 = k.

El conjunto de soluciones factibles es,B = {(x, y) ∈ <2/x2 − y ≤ 0, x + y − 2 ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0}, tal y comopuede verse en la figura:

Como podemos observar, el mınimo se alcanza en el punto x∗ = (1, 1),que es el punto de corte entre la recta x + y = 2 y la parabola y = x2,tomando en dicho punto el valor f(1, 1) = 1.

(b) Escribir las condiciones de Kuhn–Tucker para este problema e indicar sipuede asegurarse que son condiciones necesarias y suficientes.

Las condiciones de Kuhn-Tucker son(2(x− 2)2(y − 1)

)+λ1

(2x−1

)+λ2

(11

)+λ3

(−10

)+λ4

(0−1

)=

(00

)λ1 ≥ 0;λ2 ≥ 0;λ3 ≥ 0;λ4 ≥ 0;λ1(x

2 − y) = 0; λ3(−x) = 0;λ2(x+ y − 2) = 0; λ4(−y) = 0;x2 − y ≤ 0;x+ y − 2 ≤ 0;−x ≤ 0;


−y ≤ 0;

En el punto x∗ = (1, 1), se verifican las condiciones de Kuhn-Tuckercon λ1 = λ2 = 2/3 y λ3 = λ4 = 0Hemos de recordar que las condiciones de Kuhn-Tucker son necesariaspero no suficientes, por tanto, hay que hacer uso de las condicionesde segundo orden, para determinar el caracter del punto x∗ = (1, 1),o verificar que tanto la funcion objetivo como la region factible seanconvexas, para que con el hecho de que tambien se cumplan lascondiciones de Kuhn-Tucker, se verifique que x∗ es un mınimo globaldel programa, y en tal caso, serıan necesarias y suficientes.

8. Consideremos el problema siguiente:

max −x21 + x2

s. a. x21 + x2 ≤ 10

x1 ≥ 2

x1, x2 ≥ 0

(a) Resolver el problema graficamente.

max −x21 + x2

s.a. x21 + x2 − 10 ≤ 0

2− x1 ≤ 0−x2 ≤ 0

Las curvas de nivel de la funcion objetivo son parabolas de ecuacionx2 = x2

1 + k, k ∈ <.El conjunto de soluciones factibles es,

B = {(x1, x2) ∈ <2/x21 + x2 ≤ 10, x1 ≥ 2, x2 ≥ 0}

tal y como puede verse en la figura:


Como podemos observar, el maximo se alcanza en el punto x∗ = (2, 6),que es donde se cortan la recta x1 = 2 y la parabola x2 = 10 − x2

1,tomando en dicho punto la funcion objetivo, el valor 2.

(b) Comprobar que las soluciones optimas obtenidas verifican las condicionesde Kuhn–Tucker e indicar cual es el valor de los multiplicadores.

Las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker son:(−2x1

1

)+ λ1

(2x1

1

)+ λ2

(−10

)+ λ3

(0−1

)=

(00

)λ1 ≤ 0;λ2 ≤ 0;λ3 ≤ 0;λ1(x

21 + x2 − 10) = 0;

λ2(2− x1) = 0;λ3(−x2) = 0;x2

1 + x2 − 10 ≤ 0;2− x1 ≤ 0;−x2 ≤ 0;

En el punto x∗ = (2, 6) se verifican las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker, obteniendo λ1 = −1, λ2 = −8 y λ3 = 0.

(c) Si la funcion objetivo representa una funcion de beneficios y la primerarestriccion representa una limitacion de capacidad de los recursos, indicarsi interesa aumentar esta capacidad suponiendo que incrementar unaunidad de recursos cuesta 2 unidades monetarias. Justificar la respuesta.

En nuestro caso tenemos que, ∆fmax ≈ 1(−λ1) = 1Realmente no interesa aumentar dicha capacidad una unidad, pues se


obtendrıa una unidad extra de beneficio, pero se han invertido 2 u.m. enel aumento de la capacidad de los recursos, teniendo como perdida 2 - 1= 1 u.m.,

9. Resolver analıticamente el problema

min x+ 2y

s. a. xy ≥ 1

x− y ≤ 2

x ≥ 0

Decir que puede contestarse si el problema fuera de maximo

min x+ 2ys.a. 1− xy ≤ 0x− y − 2 ≤ 0−x ≤ 0

La funcion objetivo f(x, y) = x + 2y es convexa (y tambien concava) y elconjunto de soluciones factibles

B = {(x, y) ∈ <2/1− xy ≤ 0, x− y − 2 ≤ 0,−x ≤ 0}

es convexo.Las condiciones de Kuhn-Tucker para este programa son1− λ1y + λ2 − λ3 = 0;2− λ1x− λ2 = 0;λ1(1− xy) = 0;λ2(x− y − 2) = 0;λ3(−x) = 0;λ1 ≥ 0;λ2 ≥ 0;λ3 ≥ 0;1− xy ≤ 0;x− y − 2 ≤ 0;−x ≤ 0;

Analicemos las distintas posibilidades:De forma inmediata se comprueba que cuandoI. λ1 = λ2 = λ3 = 0II. λ1 = λ2 = 0III.λ1 = λ3 = 0no hay soluciones que verifiquen estas condiciones.IV. Si λ2 = λ3 = 0 → λ1 =

√2, obteniendose solo una solucion factible en

el punto(√

2,√

2/2

), luego en dicho punto se verifican las condiciones de


Kuhn-Tucker.Puede comprobarse facilmente que en los casosV. λ1 = 0VI. λ2 = 0no existen soluciones factibles para las que se verifiquen las condiciones deKuhn-Tucker.VII. Si λ3 = 0, se obtienen dos puntos, pero en uno de ellos no se verifican lascondiciones de Kuhn-Tucker, y el otro no es solucion factible.VIII. En este caso se saturarıan las tres restricciones, pero no existe ningunasolucion factible que lo verifique.En resumen, hemos obtenido un unico punto,

x∗ =(√

2,√

2/2

)con λ1 =

√2;λ2 = λ3 = 0,

en el que se verifican las condiciones de Kuhn-Tucker, y puesto que tanto lafuncion objetivo como el conjunto de soluciones factibles son convexos, x∗ seramınimo global.En el caso de que se tratara de un ploblema de maximizacion, el programa

max x+ 2ys.a. 1− xy ≤ 0x− y − 2 ≤ 0−x ≤ 0

no tiene maximo global (tampoco local) ya que no existe ninguna solucionfactible en la que se verifiquen las correspondientes condiciones de Kuhn-Tucker. En efecto, para el programa de maximizacion, las condicionesde Kuhn-Tucker coinciden con las del programa de minimizacion salvo lasreferentes a la positividad de los multiplicadores, que se convierten enλ1 ≤ 0;λ2 ≤ 0;λ3 ≤ 0Teniendo esto en cuenta, si repasamos la resolucion del problema deminimizacion, es claro que, no existen soluciones factibles que cumplan lascondiciones necesarias para ser maximo local.

10. Una empresa desea minimizar sus costes totales, con la condicion de que losingresos obtenidos por la venta de las cantidades x1, x2 de los dos productosque fabrica superen un cierto umbral mınimo. Sabiendo que los costesunitarios de fabricacion de cada bien son funciones lineales de los outputsproducidos de la forma C1 = x1, C2 = 2x2, que se vende todo lo que seproduce y que los precios de venta de los productos son p1 = 1, p2 = 3,respectivamente. Se pide:

(a) Escribir el problema matematicamente, suponiendo que se deben ingresarcomo mınimo tres unidades monetarias.


El programa es

min C(x1, x2) = x21 + 2x2

2

s.a. x1 + 3x2 ≥ 3x1, x2 ≥ 0

↔min C(x1, x2) = x2

1 + 2x22

s.a. 3− x1 − 3x2 ≤ 0−x1 ≤ 0−x2 ≤ 0

(b) Resolver el problema utilizando las condiciones de Kuhn–Tucker y

contestar si son necesarias y suficientes.

El programa es convexo, pues la funcion objetivo es convexa ya quesu matriz hessiana es

HC(x1, x2) =

(2 00 4

)que es definida positiva ∀(x1, x2) ∈ <2. El conjunto factible es convexopues las funciones que determinan las restricciones son lineales.Por ser el programa convexo, las condiciones de Kuhn-Tucker sonnecesarias y suficientes de optimalidad global. Ademas, si encontramosuna solucion que verifique las condiciones de Kuhn-Tucker, esta es unoptimo global.Las condiciones de Kuhn-Tucker son2x1 − λ1 − λ2 = 0;4x2 − 3λ1 − λ3 = 0;λ1(3− x1 − 3x2) = 0;λ2(−x1) = 0;λ3(−x2) = 0;3− x1 − 3x2 ≤ 0;−x1 ≤ 0;−x2 ≤ 0;λ1 ≥ 0;λ2 ≥ 0;λ3 ≥ 0;Resolviendo obtenemos,

x∗ =(

611, 9

11

)con λ1 = 12

11, λ2 = λ3 = 0

que cumple las condiciones de Kuhn-Tucker. Como el programa esconvexo, esta solucion es optimo global y por ello no hace falta quesigamos calculando otras posibles soluciones.El coste mınimo es C(x∗) = 18

11

(c) Estudiar cuanto variara el coste optimo con respecto a la situaciopnanterior si como mınimo deben ingresarse 2.8 unidades monetarias.Analogamente para 3.1

Como los ingresos por ventas debıan ser al menos, 3 u.m., tenıamosque


g1(x1, x2) = 3− x1 − 3x2 ≤ 0

por lo que, si cambiamos a la situacion en la que deben ingresarse comomınimo 2,8 u.m., la restriccion sera

g2(x1, x2) ≤ 0, 2

El multiplicador asociado a esta primera restriccion es λ1 = 1211

, luego,

∆C(x∗) ' 0, 2(−λ1) = −1255

u.m.

Por tanto, si deben ingresarse como mınimo 2,8 u.m., el coste optimodisminuira aproximadamente en 12

55u.m. con respecto al caso en el que se

debıan ingresar al menos 3 u.m.Si suponemos que el ingreso debe ser como mınimo de 3,1 u.m. en lugarde 3, entonces,

∆C(x∗) ' −0, 1(−λ1) = 655

u.m.

En este caso el coste mınimo aumentara aproximadamente en 655

u.m.con respecto al coste optimo en la situacion inicial.

11. Resolver el problemamin 3− x3

s. a. x2 + y2 ≤ 4

x+ 2y ≥ 2

x, y ≥ 0

Podemos escribir el programa de la forma,

min 3− x3

s.a. x2 + y2 − 4 ≤ 02− x− 2y ≤ 0−x ≤ 0−y ≤ 0

La funcion objetivo f(x, y) = 3 − x3 es continua ∀(x, y) ∈ <2, y ademasel conjunto de soluciones factibles


B = {(x, y) ∈ <2/x2 + y2 − 4 ≤ 0, 2− x− 2y ≤ 0,−x ≤ 0,−y ≤ 0}

es compacto (cerrado y acotado) en <2, luego si existe algun punto candidatoa mınimo estara en el interior o en la frontera de B, y ademas dicho puntosera el mınimo global del programa.Ahora veamos si existe algun punto x∗ que verifica las condiciones de Kuhn-Tucker que en este caso son(−3x2

0

)+ λ1

(2x2y

)+ λ2

(−1−2

)+ λ3

(−10

)+ λ4

(0−1

)=

(00

)λ1 ≥ 0;λ2 ≥ 0;λ3 ≥ 0;λ4 ≥ 0λ1(x

2 + y2 − 4) = 0;λ2(2− x− 2y) = 0;λ3(−x) = 0;λ4(−y) = 0;x2 + y2 − 4 ≤ 0;2− x− 2y ≤ 0;−x ≤ 0;−y ≤ 0;De las 16 posibilidades diferentes que pueden plantearse para este programa,unicamente se encuentra solucion cuando se analiza el caso λ2 = λ3 = 0,obteniendose

−3x2 + 2λ1x = 02λ1y − λ4 = 0x2 + y2 − 4 = 0y = 0

Es decir, el punto x∗ = (2, 0) con λ1 = 3, λ2 = λ3 = λ4 = 0.Puesto que ∀(x, y) ∈ B,f(x, y) ≥ −5 = f(2, 0), y por lo dicho anteriormente, se tiene que x∗ = (2, 0)es el mınimo global del problema.

12. La funcion de produccion de una empresa es de tipo Cobb–Douglas

Q ≡ f(K,L) = AKαLβ,

donde A,α > 0 y 0 < β < 1, K y L representan los factores capital y tra-bajo, respectivamente. Supongamos que los precios de ambos son pK y pL,respectivamente, ambos positivos. Encontrar la combinacion de ambos queminimiza el coste cuando la produccion debe de ser al menos de Q0.

El programa que hemos de resolver es


minC(K,L) = Pk ·K + PL · Ls.a.KαLβ ≥ Q0

K ≥ 0, L ≥ 0

↔minC(K,L) = Pk ·K + PL · Ls.a.Q0 −KαLβ ≤ 0−K ≤ 0,−L ≤ 0

Las condiciones de Kuhn-Tucker son

Pk − λ1αKα−1Lβ − λ2 = 0;

PL − λ1βKαLβ−1 − λ3 = 0;

λ1 ≥ 0;λ2 ≥ 0;λ3 ≥ 0;λ1(Q0 −KαLβ) = 0;λ2(−k) = 0;λ3(−L) = 0;Q0 −KαLβ ≤ 0;−K ≤ 0;−L ≤ 0;

Puede comprobarse facilmente que en los casos

I. λ1 = λ2 = λ3 = 0II. λ1 = λ2 = 0III. λ1 = λ3 = 0IV. λ1 = 0V. λ2 = 0VI. λ3 = 0VII. λ1 ≥ 0;λ2 ≥ 0;λ3 ≥ 0

no existe ninguna combinacion (K,L) que verifique las condiciones de Kuhn-Tucker.Sin embargo, si λ2 = λ3 = 0, y se satura la primera restriccion existe (K,L)que cumplePk − λ1αK

α−1Lβ = 0PL − λ1βK

αLβ−1 = 0Q0 −KαLβ = 0λ1 ≥ 0En concreto, se obtiene

L∗ =[Q0

(βPk

αPL

)α]1/(β + α) ;K∗ =[Q0

(αPL

βPK

)β]1/(β + α)

con

λ1 = Q(1/α+β)−10

PL

β

(βPK

αPL

)α/(α+β)> 0

A continuacion comprobaremos que (K∗, L∗) es un mınimo global. La funcion


objetivo es lineal y por tanto convexa y el conjunto de soluciones factibles

B = {(K,L) ∈ <2/Q0 −KαLβ ≤ 0}⋂{(K,L) ∈ <2/K ≥ 0, L ≥ 0}

es convexo por ser interseccion de conjuntos convexos.Teniendo en cuenta esto ultimo, junto con el hecho de que se verifican lascondiciones de Kuhn-Tucker, concluimos que el punto (K∗, L∗) es un mınimoglobal.

13. Una companıa petrolıfera tiene que determinar cuantos barriles de petroleova a extraer de los pozos en los proximos tres anos para maximizar los ben-eficios. Conoce que si extrae x1 millones de barriles durante el primer ano,puede vender cada barril por (28− x1) euros siendo el coste de extraccion dex2

1 millones de euros. Durante el segundo ano, si extrae x2 millones de barrilesel precio de venta por barril es de (30 − x2) euros y 15 millones de euros elcoste de extraccion. En el tercer ano si se extraen x3 millones de barriles,cada uno de ellos se puede vender a (32 − x3) euros, ascendiendo el coste a2x2

3 millones de euros. La empresa, por otra parte, conoce que a lo largo de lostres anos puede extraer en total 30 millones de barriles y gastar 350 millonesde euros en la extraccion. Supuesto que el tipo de interes anual es del 4%,plantear el problema para determinar la polıtica optima de extraccion en losproximos tres anos.

Las variables de decision son:

x1 ≡millones de barriles extraıdos en el primer ano.x2 ≡millones de barriles extraıdos en el segundo ano.x3 ≡millones de barriles extraıdos en el tercer ano.

y el planteamiento del problema sera,

max x1(28− x1) + 11,04

x2 (30− x2) + 1(1,04)2

(x3 (32− x3))− x21 − 1

1,0415x2

2 − 11,04

2x23

s.a. x21 + 15x2

2 + 2x23 ≤ 350

x1 + x2 + x3 ≤ 30x1 ≥ 0;x2 ≥ 0;x3 ≥ 0

14. Una empresa produce dos tipos de ordenadores cuyos precios son p1 y p2,respectivamente y las cantidades que se pueden vender son:

q1 = 6000− 8p1 + 2p2,

q2 = 5000 + p1 − 5p2,


respectivamente. La fabricacion de un producto del primer tipo requiere 3horas de trabajo y 2 chips y la de un ordenador del segundo tipo, 2 horas detrabajo y 4 chips. Si para la fabricacion de ordenadores se dispone de 8000horas de trabajo (maximo) y un maximo de 7000 chips, plantear el problemapara determinar los precios y cantidades que maximizan los ingresos.

El programa matematico a resolver es el siguiente:

max p1q1 + p2q2s.a. q1 = 6000− 8p1 + 2p2

q2 = 5000 + p1 − 5p2

3q1 + 2q2 ≤ 80002q1 + 4q2 ≤ 7000q1 ≥ 0; q2 ≥ 0; p1 ≥ 0; p2 ≥ 0

obteniendo como precios y cantidades optimas,

p∗1 = 723, 68; p∗2 = 1019, 73; q∗1 = 2250; q∗2 = 625 siendo el ingreso maximoI∗ = 2265625 u.m.

15. La funcion de utilidad de un individuo que consume dos bienes es

u = xy + 2x

siendo x e y las cantidades de estos bienes y px = 4 y py = 2, los preciosrespectivos de los bienes. El individuo dispone de 460 unidades monetarias(u.m.).

(a) Determinar las cantidades de bienes que el consumidor debe adquirirpara maximizar su utilidad.

El problema puede escribirse como

max U(x, y) = xy + 2xs.a. 4x+ 2y − 460 ≤ 0−x ≤ 0−y ≤ 0

Las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker son,(y + 2x

)+ λ1

(42

)+ λ2

(−10

)+ λ3

(0−1

)=

(00

)λ1 ≤ 0;λ2 ≤ 0;λ3 ≤ 0;λ1(4x+ 2y − 460) = 0;λ2(−x) = 0;


λ3(−y) = 0;4x+ 2y − 460 ≤ 0;−x ≤ 0;−y ≤ 0

Tenemos que analizar 23 = 8 posibilidades:

I. λ1 = λ2 = λ3 = 0II. λ1 = λ3 = 0III. λ1 = λ2 = 0IV. λ2 = λ3 = 0V. λ1 = 0VI. λ2 = 0VII. λ3 = 0VIII.λ1 ≤ 0, λ2 ≤ 0, λ3 ≤ 0

Despues de analizar todas las posibilidades, llegamos a obtener el puntox∗ = (58, 114) con λ2 = λ3 = 0 y λ1 = −29, es decir el caso IV, ya queen el resto de los casos se llega a una contradiccion.Solo nos queda probar que x∗ es un maximo. En nuestro caso, bastacalcular la matriz hessiana de U(x, y):

HU(x, y) =

(0 11 0

)y para los vectores p 6= 0 con

p ∈M(x∗) = {p ∈ <2/(

4 2)( p1

p2

)= 0} = {p ∈ <2/2p1 + p2 = 0}

se verifica(p1 −2p1

)( 0 11 0

)(p1

−2p1

)= −4p2

1 < 0

luego x∗ = (58, 114) es un maximo con U(58, 114) = 6728.

(b) Indicar cual es el valor de los multiplicadores e interpretar estos valorespara este problema.

Como se ha visto en el apartado anterior,

λ1 = −29, λ2 = λ3 = 0

El significado de los multiplicadores, en nuestro problema, es quesi aumentamos en una unidad el termino independiente de la


primera, segunda o tercera restriccion, el valor de la funcion objetivoaproximadamente aumentara en 29, 0 y 0 unidades respectivamente.

16. Un paıs productor de un cierto mineral se ve obligado a exportar anualmenteuna cantidad de producto no inferior a 2000 toneladas ni superior a 4000toneladas. La venta del producto se puede hacer en el mercado internacionala 2000 unidades monetarias la tonelada o bien a un paıs vecino a un preciop1 = 4000− x1 u.m. por tonelada, siendo x1 el numero de toneladas vendidasa dicho paıs. El gobierno desea saber, que parte del mineral producido (x2)debe vender en el mercado internacional y que parte (x1) al paıs vecino si suobjetivo es maximizar beneficios.

El planteamiento del problema es,

max 4000x1 − x21 + 2000x2

s.a. x1 + x2 − 2000 ≥ 04000− x1 − x2 ≥ 0x1 ≥ 0x1 ≥ 0

que es un programa convexo para maximizacion, por lo que, todo punto queverifique las condiciones de Kuhn-Tucker es un maximo global.Las condiciones de Kuhn-Tucker son las siguientes:

4000− 2x1 + λ1 − λ2 + λ3 = 02000 + λ1 − λ2 + λ4 = 0λ1 ≥ 0;λ2 ≥ 0;λ3 ≥ 0;λ4 ≥ 0;λ1(x1 + x2 − 2000) = 0;λ2(4000− x1 − x2) = 0;λ3x1 = 0;λ4x2 = 0;x1 + x2 − 2000 ≥ 04000− x1 − x2 ≥ 0x1 ≥ 0x2 ≥ 0

y se verifican en el punto x∗ = (1000, 3000) con λ2 = 2000 y λ1 = λ3 = λ4 = 0,en el que se alcanza el ingreso maximo que es I∗ = 9000000

NOTA: Este problema se ha resuelto con las restricciones puestas en la forma

gi(x1, x2) ≥ 0,

por eso λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, λ3 ≥ 0, λ4 ≥ 0,, en este problema que es de


maximizacion. Si se formulase en la forma gi(x1, x2) ≤ 0 los multiplicadoresdeberıan ser menores o iguales que cero.

Soluciones Problemas 06 07 Tema 10

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