solucionesGeometricasdeTriangulosGeogebra

Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas

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Contenido Introduccin ............................................................................................................................... 2

Objetivo ....................................................................................................................................... 2

Objetivo General ..................................................................................................................... 2

Objetivos Especficos ............................................................................................................. 2

Tema 1: Tringulos .................................................................................................................. 3

Construccin ........................................................................................................................... 3

Clasificacin. ......................................................................................................................... 11

rea y permetro ................................................................................................................... 14

Igualdad de tringulos ......................................................................................................... 16

Semejanza de tringulos ..................................................................................................... 17

Tema 2: Teoremas sobre ngulos ..................................................................................... 18

Teorema de ngulos internos ............................................................................................. 18

Teorema de Pitgoras ......................................................................................................... 20

Tema 3: Rectas notables de un tringulo ........................................................................ 21

Mediana. ................................................................................................................................ 21

Mediatriz................................................................................................................................. 22

Bisectriz.................................................................................................................................. 26

Altura. ..................................................................................................................................... 30

MDULO III

SOLUCIN DE TRINGULOS.


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Introduccin En el mdulo III SOLUCIN DE TRINGULOS se trabajar la construccin

de tringulos haciendo uso del compas y con las herramientas que cuenta el

software, describiendo los principales elementos y analizando algunos de los

teoremas importantes como teorema de ngulos internos, ngulos externos,

Pitgoras, igualdad y semejanza de tringulos.

Para realizar las actividades de este mdulo se pretende que el participante

revise el material del mdulo III: recursos multimedia, plan del mdulo, manual,

gua de ejercicios y material adicional que encontrar disponibles en el aula

virtual.

Objetivo

Objetivo General

Construir diferentes tipos de tringulos haciendo uso de los recursos

con que cuenta el software y describir sus principales caractersticas.

Objetivos Especficos

Construir distintos tipos de tringulos haciendo uso del comps.

Describir los principales elementos de los tringulos.

Ilustrar los principales teoremas sobre tringulos.


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Tema 1: Tringulos

Construccin

Un tringulo es la parte del plano limitada por tres rectas que se cortan dos a

dos y est formado por tres lados y tres ngulos.

Figura 1: tringulo

Para construir un tringulo hay que conocer tres de esos datos, siendo al

menos uno de ellos un lado.

El proceso de construccin depende de los elementos que se conozcan, tal

como se muestra en los casos siguientes:


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Construccin de un tringulo conociendo los tres lados.

Ejemplo: Construir un tringulo cuyos lados miden 10, 8 y 5 cm

respectivamente.

Desarrollo:

Trazar un segmento de medida igual al primer lado.

Figura 2: primer lado del tringulo

Tomando como centro los extremos del primer segmento trazar una

circunferencia de radio igual a la longitud del valor del segundo y tercer

lado.


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Figura 3: Circunferencias con radio igual a los lados restantes del tringulo

El tringulo tendrn como vrtices los extremos del primer segmento y

una de las intersecciones de las circunferencias.

Figura 4: Construccin de un Tringulo dados sus tres lados


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Observacin: para realizar la construccin la medida de cada lado debe ser

menor que la suma de los otros dos.

Construccin de un tringulo, conocidos dos lados y el ngulo

comprendido entre ellos.

Ejemplo: construir un tringulo con las siguientes caractersticas: lado A=

9cm, B=5cm y el ngulo entre ellos 50.

Desarrollo:

Trazar uno de los segmentos.

Figura 5: Primer lado del triangulo

Construir el ngulo que forman los lados.

Activar la opcin , de la Barra de herramientas, luego

seleccionar un punto del lado inicial y digitar la medida del ngulo


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Figura 6: Construccin del ngulo dado

Llevar el segundo lado conocido sobre el lado del ngulo.

Para trasladar el segmento se traza una circunferencia de radio igual

a la medida del otro lado del tringulo y centro el vrtice del ngulo

medido en el paso anterior


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Figura 7: Circunferencia de radio igual al segundo lado del tringulo

Luego se traza un radio de la circunferencia que coincida con el lado

terminal del ngulo medido.

Figura 8: Semirrecta que pasa por lado terminal del ngulo dado


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Finalmente se grafica el punto de interseccin de la circunferencia y

el radio trazado.

Figura 9: Identificacin del punto de interseccin de la circunferencia y la semirrecta

Unir los extremos de los dos lados para construir el tringulo.

Figura 10: Construccin del tringulo


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Construccin de un tringulo conocido un lado y dos ngulos contiguos.

Ejemplo: Construir un tringulo si uno de sus lados mide 4 cm y sus ngulos

contiguos 80 y 50 respectivamente.

Desarrollo:

Construir el lado conocido.

Figura 11: Primer lado del tringulo

Desde cada uno de los extremos del lado se trazar los ngulos dados.

Figura 12: primer ngulo Figura 13: segundo ngulo

La interseccin de los lados de los ngulos es el tercer vrtice del

tringulo.


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Figura 14: Tringulo dado un lado y ngulos adyacentes

Observaciones: La suma de los dos ngulos conocidos debe ser menor de

180.

Es importante destacar que siempre se necesitan tres

datos para poder construir un tringulo.

Clasificacin.

Como un tringulo es un polgono que tiene tres lados y tres ngulos, entonces

se obtienen diferentes tipos de tringulos dependiendo del valor de sus ngulos

y/o sus lados.

Segn la longitud de sus lados, un tringulo puede ser:


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Equiltero: si tiene los tres lados iguales

Figura 15: Tringulo equiltero

Issceles: si tiene dos lados iguales.

Figura 16: Triangulo issceles

Escaleno: si sus tres lados son diferentes.


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Figura 17: Tringulo escaleno

Segn la medida de sus ngulos un tringulo puede ser:

Acutngulo, tiene los tres ngulos agudos.

Figura 18: Tringulo acutngulo


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Rectngulo, tiene un ngulo recto y dos agudos

Figura 19: Tringulo rectngulo

Obtusngulo, tiene un ngulo obtuso y dos agudos.

Figura 20: Tringulo obtusngulo

rea y permetro

El rea de un tringulo es el semiproducto de uno de sus lados por la altura

que corresponde a ese lado; y el permetro es la suma de las medidas de sus

lados.


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El rea de un tringulo con GeoGebra, se calcula automticamente y

corresponde al valor que registra como polgono en la Vista Algebraica tal

como se muestra en la figura 21.

Figura 21: rea del tringulo

El permetro de un tringulo es la suma de las longitudes de sus lados, y para

calcularlo basta con digitar en la Barra de Entrada y presionar

la tecla enter (donde a, b y c corresponden a las longitudes de los lados del

tringulo).

Figura 22: permetro del triangulo

Una vez calculado el permetro e identificada el rea del tringulo se puede

mostrar el nombre de cada uno de sus lados dando clic derecho seleccionado

la opcin mostrar rtulo, tal como se muestra en la figura 23.


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Figura 23: rea y permetro del triangulo

Adems, para determinar la medida de sus ngulos de un tringulo cualquiera

basta activar la opcin de la Barra de Herramientas y dar clic sobre el

tringulo para que GeoGebra automticamente muestre la medida de los tres

ngulos del tringulo. Por tanto resolver un tringulo en GeoGebra resulta

prctico

Igualdad de tringulos

Dos tringulos son iguales si se pueden superponer uno sobre el otro y

coinciden en todos sus elementos. As por ejemplos los tringulos ABC y DEF,

son iguales, pues tienen sus tres lados y sus tres ngulos respectivamente

iguales.


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Figura 24: igualdad de tringulos

Semejanza de tringulos

Los tringulos son semejantes si tienen sus ngulos respectivamente

congruentes y sus lados homlogos proporcionales.

Por ejemplo el tringulo ABC es semejante al triangulo EDC dado que el

segmento AB es paralelo al segmento DE, los ngulos y

y el ngulo Ces comn a ambos tringulos.


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Figura 25: tringulos semejantes

Tema 2: Teoremas sobre ngulos

El valor de los lados y el de los ngulos, no puede ser cualquier nmero, pues

en todo tringulo se cumple el siguiente teorema

Teorema de ngulos internos

Ilustracin

Figura 26: ngulos internos de un tringulo acutngulo


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Figura 27: ngulos internos de un triangulo rectngulo

Figura 28: ngulos internos de un triangulo obtusngulo

La suma de los ngulos internos en un tringulo cualquiera es igual a 180 .


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Teorema de Pitgoras

El Teorema de Pitgoras es una relacin entre los lados de tringulos

rectngulos. Un tringulo rectngulo es el que tiene un ngulo recto, esto es,

un ngulo de 90. Y se enuncia de la siguiente manera:

En todo tringulo rectngulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de

los cuadrados de los catetos

Para el tringulo

Figura 29: teorema de Pitgoras

Figura 30: ilustracin del teorema de Pitgoras


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Interpretacin geomtrica del teorema de Pitgoras.

El teorema de Pitgoras expresa una relacin entre los cuadrados de las

medidas de los lados de un tringulo rectngulo.

Son las reas de cuadrados de lados respectivamente.

Por lo que se puede enunciar tambin as:

En un tringulo rectngulo, el rea del cuadrado construido sobre la

hipotenusa es igual a la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre

los catetos.

Tema 3: Rectas notables de un tringulo

Mediana.

Se llama mediana de un tringulo al segmento que une un vrtice con el punto

medio del lado opuesto.

Las tres medianas de un tringulo se cortan en un punto que se llama

baricentro.

Para determinar el baricentro de un tringulo cualquiera haciendo uso de

GeoGebra se aplica el siguiente proceso:

Se construye el tringulo

Se identifican los puntos medios de cada uno de los lados del

tringulo.

Se une cada vrtice con el punto medio de su respectivo lado

opuesto; es decir se trazan las medianas.

Se identifica el punto de corte de las tres medianas.


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Figura 31: Baricentro

Mediatriz

Recuerda que la mediatriz de un segmento, es la recta perpendicular al

segmento en su punto medio.

Se llaman mediatrices del tringulo a las mediatrices de cada uno de sus lados.

Figura 32: Mediatrices


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Observa que las tres mediatrices se cortan en un punto, que se denomina

circuncentro

El circuncentro tiene una propiedad muy importante, si se traza una

circunferencia con centro en l, que pase por uno de los vrtices del tringulo,

tambin pasa por los otros dos vrtices. El circuncentro es el centro de la

circunferencia que pasa por los tres vrtices de un tringulo.

Figura 33: circuncentro

A esta circunferencia se le llama circunferencia circunscrita, de ah que a su

centro se le llame circuncentro.

El trazado de mediatrices, y en consecuencia el circuncentro resuelven dos

importantes problemas geomtricos.

1. Determinar el centro de una circunferencia. Imagina que encuentras una

circunferencia dibujada. Cmo calcular su centro?


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Figura 34: circunferencia dada

El proceso a seguir es:

Se representan tres puntos cualquiera en ella A, B, C. Construimos

dos segmentos, por ejemplo AB y BC.

Figura 35: identificacin de 3 untos Figura 36: Triangulo ABC


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Se trazan las mediatrices de los dos segmentos.

El punto en que se cortan las mediatrices es el centro de la

circunferencia.

Figura 37: centro de la circunferencia


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Bisectriz.

La bisectriz de un ngulo es la semirrecta que le divide en dos ngulos iguales.

En un tringulo podemos trazar tres bisectrices, estas se cortan en un punto

que se llama Incentro.

Figura 38: bisectrices de un tringulo

El incentro siempre es un punto situado en el interior del tringulo,

independientemente de la medida de sus lados o ngulos y tiene una

importante propiedad, y de ah su nombre, es el centro de la circunferencia

inscrita en el tringulo.


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Figura 39: tringulo rectngulo Figura 40: en un tringulo issceles

Figura 41: bisectrices de un tringulo equiltero Figura 42: bisectrices de un tringulo obtusngulo

Para construir la circunferencia inscrita se procede como se muestra en la

imagen.

Se construyen las bisectrices.


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Figura 43: bisectrices de un triangulo dado

La interseccin de las bisectrices es el incentro.

Figura 44: incentro del tringulo ABC


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Desde el incentro se traza una perpendicular a uno de los lados.

Figura 45: Perpendicular desde el centro hasta un lado

Se traza la circunferencia con centro el incentro y que pase por la

interseccin con la perpendicular al lado.

Figura 46: circunferencia inscrita


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La circunferencia inscrita es tangente los tres lados.

Altura.

Altura de un tringulo es el segmento que une un vrtice con el lado opuesto o su prolongacin formando ngulo recto. La figura muestra el procedimiento para trazar la altura sobre el lado BC.

Se traza la recta que contiene a BC.

Figura 47: recta que contiene al lado AB

Se traza la perpendicular a esa recta por el punto A.

Figura 48: altura sobre el lado BC


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Las tres alturas de un tringulo, o sus prolongaciones, se cortan en un punto que se llama ortocentro.

Figura 49: Ortocentro en un triangulo rectngulo

Figura 50: Ortocentro en un tringulo acutngulo


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Figura 51: Ortocentro en un tringulo obtusngulo

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