ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO

INGENIERÍA ELECTRÓNICA REDES Y COMUNICACIÓN DE DATOS

Proyecto I: Introducción a Procesos Estocásticos

DANY TABAREZ

14 abril de 2011

Proyecto 1: Introducción a Procesos Estocásticos

Simulación de Muestreo

Muestreo con Reemplazo

Investigue el espacio de probabilidades del lanzamiento de un dado de cuatro caras, donde cada una de sus caras numeradas de 1 a 4 tiene igual probabilidad de aparecer.

1. Simular el lanzamiento del dado descrito n = 100 veces mediante el uso de la función rand.

Mediante la función rand y mostrando mediante un gráfico los lanzamientos

2. Determinar la probabilidad que aparezca cada una de las caras del dado.

Haciendo los cálculos necesarios, determinando una frecuencia con respecto a cada una de las caras del dado en resultado es:

Siendo c la probabilidad de cada lado

3. Comparar estas probabilidades con el valor analítico calculado.

Dado que el espacio S= {1,2,3,4 } siendo estas las caras del dadoLa probabilidad de cada evento en un habiente controlado seria la probabilidad de cada uno para la cantidad

de eventos, así la probabilidad de cada uno es c 1=c 2=c 3=c4=14=0.25

Si comparamos con la probabilidad simulada a 100 veces vemos todavía significativas variaciones con respecto al valor teórico, por ejemplo en c3 la probabilidad es mas baja que las demás cuando debería ser igual.

4. Repetir los pasos anteriores para n = 500; 1000; 50000 y 100000 veces.

Con n=500

conn=1000

n=50000

n=100000

5. Que se puede concluir de las actividades anteriores?

Como conclusión de la simulación podemos concluir que a pesar que la probabilidad sea diversa ante un número mayor de veces que se repite el experimento podemos observar que la tendencia de cada probabilidad se acerca mucho al valor del evento. Como es el caso del lanzamiento del dado 100000 que acerco dos de las posibilidades a 0.2510 que es casi exacto con el valor analítico de 0.25.

Codigo:

function [] = MuestreoConRemplazo( ) clc %varsc1=0;c2=0;c3=0;c4=0; %define number of rollsrolls=500; for i=1:rolls n(i)=ceil(4*rand); if n(i)==1 c1=c1+1; end if n(i)==2 c2=c2+1; end if n(i)==3 c3=c3+1; end if n(i)==4 c4=c4+1; end

end for i=1:4 x(i)=length(find(n==i)); end %show us bars graphssprintf('grafico de barras lanzamientos: ')sprintf('precione enter para mostrar...')pausebar(n) mensaje=sprintf('grafico de barras probabilidades: ')sprintf('precione enter para mostrar...')pausebar(x) %show us the probability of each event in the command promtsprintf('la probabilidad de cada evento es: ')c1=c1/rollsc2=c2/rollsc3=c3/rollsc4=c4/rolls

end

Muestreo sin Reemplazo

Investigue el espacio de probabilidades del problema de seleccionar dos bolas de una urna conteniendo tres bolas rojas y tres bolas verdes.

1. Simular la extracción de dos bolas de la urna descrita n = 100 veces mediante el uso de la función randperm.

Caso 1: Rojo luego VerdeCaso 2: Rojo luego RojoCaso 3: Verde luego RojoCaso 4: Verde luego verde

2. Determinar la probabilidad que aparezca una bola roja seguida de una bola verde.

Mostrando un gráfico la probabilidad de que esto se dé es:

3. Comparar esta probabilidad con el valor analítico calculado.

Mediante un diagrama de árbol podemos analizar claramente lo que sucede en el evento

La probabilidad en el caso de sacar un bola roja seguida de una

verde es p ( RV )=

12∗3

5=0.3

En la simulación del evento tenemos en resultado de este evento

p ( RV )=0.35Lo que es un valor casi cercano pero con un margen de error bastante alto, ya que excede casi un 5% de ventaja el cual no se da, será necesario realizar mas pruebas

4. Repetir los pasos anteriores para n = 500; 1000; 50000 y 100000 veces.

n=100

n=1000

n=50000

n=100000

5. Que se puede concluir de las actividades anteriores?

Como conclusión de la simulación podemos concluir que a pesar que la probabilidad sea diversa ante un número mayor de veces que se repite el experimento podemos observar que la tendencia de cada probabilidad se acerca mucho al valor del evento. Se observa claramente que en el evento n=50000 ya se tenía la aproximación deseada.

Codigo:

function [ ] = MuestreoSinRemplazo( ) clc extractions=100;RG=0;GR=0;RR=0;GG=0; for i=1:extractions x=randperm(6); %extraction 1,2,3 Red - 4,5,6 Green if x(1)==1 || x(1)==2 || x(1)==3%Red if x(2)==4||x(2)==5||x(2)==6%Green RG=RG+1; frecu(i)=1; else %RED RR=RR+1; frecu(i)=2; end end if x(1)==4 || x(1)==5 || x(1)==6%Green if x(2)==1||x(2)==2||x(2)==3%Red

GR=GR+1; frecu(i)=3; else %Green GG=GG+1; frecu(i)=4; end end end %for i=1:4 f(i)=length(find(frecu==i)); endfprintf('\npresione enter para empezar...')pausebar(frecu);fprintf('\nlas bolas han sido tomadas')fprintf('\npresione enter para continuar...')pausebar(f)fprintf('\nreacomodando casos: 1:RV 2.RR 3.VR 4.VV')fprintf('\npresione enter para continuar...')pauseexplode=[1 0 0 0];%pie3(f,{'RG','RR','GR','GG'})pie3(f,explode) fprintf('\nLa probabilidad de Rojo Verde es:')prblty=RG/extractions end

Problemas AdicionalesAplicando la teoría estudiada, calcular las soluciones analíticas a cada uno de los siguientes problemas.

En cada caso verificar las respuestas obtenidas mediante la correspondiente simulación en Octave1 (o MatLab R) para un número bastante grande de experimentos usando la metodología expuesta en la sección anterior. Ustedes deben primero decidir si el problema es equivalente a un muestreo con o sin reemplazo.

1. Una moneda normal es lanzada cuatro veces. Cuál es la probabilidad de obtener dos caras" y dos sellos" en cualquier orden?

Considerando una moneda sin ningún arregla el S en el primer lanzamiento es S= { H , T }

Donde p ( H )=12

y p (T )=12

si el nuevo campo es de en la posibilidad de 4 lanzamientos

p ( HH TT )=

12∗1

2∗1

2∗1

2=

116

Dice se considera S= { HHTT , TTHH , HTHT , THTH , HTTH ,THHT …} hasta16 posibilidadesDonde el evento E={HHTT ,TTHH }

p ( E )=2( 116 )=1

8=0.125

Análisis en matlab

Considerando que el análisis se realiza 100 veces, la probabilidad de el evento E es

Subiendo a 500

Con 1000

Con 50000

Con 100000

2. Un sorteo tiene bolas numeradas desde 1 hasta 10. Cinco bolas son extraídas y el ganador debe coincidir con los cinco valores sin importar el orden. Cual es la probabilidad de ganar?

Considerando que es un muestreo sin remplazo las posibilidades van disminuyéndose conforme se realiza el experimentos

E={sacar 5numeros cualquieras del1al 10 }

p ( E )=

110

∗1

9∗1

8∗1

7∗1

6= 1

30240=3.3x 10−5

El efecto de no remplazar la bola hace que se reduzca aumente la posibilidad de cada siguiente bola pero a la vez la posibilidad de ganar sigue siendo muy baja

Análisis en matlab:

Para este análisis se usó randperm para generar una supuesta caja con los 10 elementos

Se asumió un ganador como 1,2,3,4,5

Al repetir este evento n=100, n=500,n=1000

CODIGO 1 – ADICIONALES

function [ ] = Extra1Coin( ) clc %define number of releasesreleases=100000;HHTT=0;TTHH=0; for i=1:releases for i=1:4 aux(i)=ceil(2*rand); end %1 H , 2T if aux(1)==1 && aux(2)==1 if aux(3)==2 && aux(4)==2 HHTT=HHTT+1; end end if aux(1)==2 && aux(2)==2 if aux(3)==1 && aux(4)==1 TTHH=TTHH+1; end end end probblty=(HHTT/releases)+(TTHH/releases) end

Entre más pruebas se realice se puede tener una mejor aproximación del evento.

Con n=50000

Con n=1000000

El resultado es aproximado a el resultado teórico pero sería necesario más eventos para acercarnos mas

3. Dos dados de 4 lados son lanzados al mismo tiempo, repitiéndose tres veces la experiencia. Cuál es la probabilidad de que un doble 4 sea lanzado al menos una de las tres veces posibles?

La probabilidad que se de cualquiera de los lados del dado considerando que no tiene ningún arreglo

E={cara=4 }=14

Ya que son dos dados lanzados simultáneamente, la probabilidad de que ambos den la misma cara o cualquier cara es de

p ( D1=D 2=4 )=

14∗1

4=0.0625

Simulación en matlab

Tomando en cuenta que se va a realizar el evento más de una vez con todos sus elementos, se trata de un muestreo sin remplazo, como el enunciado requiere 3 experiencias no se espera el resultado deseado.N=3

En otro intento del mismo número de experiencias también se llegó a probabilidades de 0%

CODIGO 2 – ADICIONALES

function [ ] = Extra2Balls10( ) clc games=1000000; winner=[1 2 3 4 5];probblty=0; for i=1:games box=randperm(10); if box(1)==winner(1) && box(2)==winner(2) && box(3)==winner(3) && box(4)==winner(4) && box(5)==winner(5) probblty=probblty+1; end end fprintf('Su boleto fue: ')winnerwin=probblty/games;fprintf('\nSu probabilidad de ganar es: %f',win)winper=win*100;fprintf('\nPorcentaje de ganar con el numero es: %f\n',winper) end

Entre más pruebas se realice se puede tener una mejor aproximación del evento. A pesar de ser un evento sin remplazo las probabilidades de ganar en este tipo de eventos parecen extremadamente bajas, en un ambiente aleatorio controlado.

Como podemos notar no es suficiente para tener el valor teórico, pero en una experiencia real esto puede darse, aunque sea bastante probable aparentemente el resultado no es confiable.

En un número más alto de experiencias como n=100000

Que ya es más cercano al valor teórico.

4. Un dado de 4 lados es lanzado seis veces. Cuál es la probabilidad de lanzar dos 4's consecutivos? (Esto es mucho más fácil simular que calcular a mano!)

Suponiendo aunque el problema no menciona, que sean un solo un par de 4s y exactamente solo dos de ellos aparecen consecutivamente

El espacio S del evento consiste en 4096 posibilidades

Ejemplo del lanzamiento se tuvo {4,4,2,4,4,3} no será tomado en cuenta como consecutivo y solo se contara como una consecuencia.

Existen varias posibilidades {4,4 , x , x , x , x }{ x ,4,4 , x , x , x }{ x , x , 4,4 , x , x }{ x , x , x ,4,4 , x }{x , x , x , x , 4,4 }

Todo el espacio del evento es de 1280 posibilidades

p ( E )=12804096

=0.31 aproximadamente*

CODIGO 3 – ADICIONALES

function [ ] = Extra3Dies( ) clc %varsc4=0; %define number of rollsrolls=1; for i=1:3*rolls d1=ceil(4*rand); d2=ceil(4*rand); if d1==4 && d2==4 c4=c4+1; endend fprintf('la probabilidad del evento es: ') c4=c4/rolls end

Entre más pruebas se realice se puede tener una mejor aproximación del evento.

A pesar de tener 3 lanzamientos se tuvo un alto porcentaje de probabilidad.

CODIGO 4 – ADICIONALESfunction [ ] = Extra4Dies4s( )

clc %varsc4=0;%define number of rollsexperience=50000; for i=1:experience for j=1:6 die(j)=ceil(4*rand); end for t=1:5 k=t+1; if die(t) == die(k) && die(k)==4 && die(t)==4 %fprintf('Hay dos elementos iguales en %d y %d\n',die(k), die(t)); c4=c4+1; break; end end end fprintf('la probabilidad del evento es: \n') c4=c4/experience fprintf('el porcentaje del evento es: %f % \n',c4*100) end

Esta simulación nos entrega un resultado que sería mucho más difícil manualmente

Ya que hay que restar múltiples casos donde se cumplen más de la excepción y donde no se cuentan algunas probabilidades

Simulación Matlab

Suponiendo con n=100 experiencias

Con n=500 experiencias

Con n=100000

Podemos concluir que el porcentaje real de que el evento se de en realidad es de 0.243 que es menor al calculado en el cual se hizo una estimación y no todos los casos en si.

Probabilidad Condicional

Asistencia a ClasesEl Director del Departamento preocupado por la pobre asistencia de estudiantes a clases, decide encargar un estudio para investigar las posibles causas. En particular, el Director está interesado en saber si el horario de las clases afecta la asistencia y si varía entre hombres y mujeres. Para ello se cuenta la asistencia a dos cursos casi idénticos, uno llevado a cabo a las 9h00 y otro a las 10h00, y se encuentran los siguientes datos:

Ustedes pueden cargar los datos de estas dos matrices desde el archivo lab1 data.m y deben ser capaces de responder las preguntas que siguen realizando cálculos directamente sobre estas matrices mediante técnicas de vectorizacion. Usaremos la notación: M para el evento que un estudiante es hombre, F para el evento que un estudiante es mujer, P para el evento que un estudiante está presente, y A para el evento que un estudiante está ausente.

1. Para cada uno de los cursos, use los datos para encontrar las matrices que dan las probabilidades conjuntas:

Mediante diagrama de árbol y la resolución del teorema de la multiplicación que dice:

p ( M ∩ P )=p (M|P )∗p(P)O más fácil

p ( M ∩ P )=p (P|M )∗p(M )

Aunque depende del punto de vista, con este concepto se puede desarrollar el algoritmo que estará descrito en el código del programa utilizado.

2. Para cada uno de los cursos, encuentre dos vectores, uno conteniendo p(M) y p(F), y el otro conteniendo p(P) y p(A).

1. Use las respuestas anteriores para establecer si, en cada una de los cursos, el género del estudiante es un factor que afecta su asistencia a clases. Para ello debe determinarse si los eventos M y F son independientes de los eventos P y A.

La independencia se muestra mediante el uso del teorema

Elementos de prb dado por el lieral 1

p ( M ∩ P ) p ( M ∩ A )p ( F ∩ P ) p ( F ∩ A )

Si se cumple la propiedad de independencia que se demuestra mediante:

p ( M ∩ P )=p (M )∗p (P)

Los elementos de probIDE son dados por

p ( M )∗p(P) p ( M )∗p( A)p ( F )∗p(P) p ( F )∗p( A)

Como podemos observar la independencia existe en la clase 2 pero no en la clase 1

Por lo tanto en la clase 1 el género parece ser un factor determinante de las faltas.

2. Ahora calcule las matrices conteniendo las probabilidades condicionales de un estudiante asistir a clases dado su género:

Que conclusiones podría darle al Director del Departamento?

Las mujeres tienen igual índice de asistencia en ambas clases, el género parece ser un factor importante que provoca un aumento en los ausentes de la clase 1

function [ ] = Misses( ) clc class1=[9 15;12 4];class2=[27 9; 18 6]; %M para evento de un estudiante Hombre%F para evento de un estudiante mujer%P para evento de un estudiante presente%A para evento de un estudiante ausente %evento %Literal 1fprintf('probabilidades conjuntas clase 1')prob(class1)fprintf('probabilidades conjuntas clase 2')prob(class2) %Literal2fprintf('Probabilidad Clase 1: ')pMpF(class1)pPpA(class1) fprintf('Probabilidad Clase 2: ')pMpF(class2)pPpA(class2)

%Literal3fprintf('Mostrar independencia de la Clase 1')prob(class1)IDE(class1) fprintf('Mostrar independencia de la Clase 2')prob(class2)IDE(class2) %Literal 4fprintf('Mostrar probabilidades condicionales de la Clase 1')probCON(class1) fprintf('Mostrar probabilidades condicionales de la Clase 2')probCON(class2) end function []=prob(Mx) x=Mx(1,1)+Mx(1,2)+Mx(2,1)+Mx(2,2);x; prb=Mx/xend%literal 2function []=pMpF(Mx)

x=Mx(1,1)+Mx(1,2)+Mx(2,1)+Mx(2,2); y=Mx(1,:);pM=y/x y=Mx(2,:);pF=y/x end function []=pPpA(Mx) x=Mx(1,1)+Mx(1,2)+Mx(2,1)+Mx(2,2); y=Mx(:,1);pP=y/x y=Mx(:,2);pA=y/x end function []=IDE(Mx)x=Mx(1,1)+Mx(1,2)+Mx(2,1)+Mx(2,2); y=Mx(1,:);pM=(y(1,1)+y(1,2))/x; y=Mx(2,:);pF=(y(1,1)+y(1,2))/x; y=Mx(:,1);pP=(y(1,1)+y(2,1))/x;

y=Mx(:,2);pA=(y(1,1)+y(2,1))/x; probIDE=[pM*pP pM*pA ; pF*pP pF*pA] end function []=probCON(Mx)

x=Mx(1,1)+Mx(1,2)+Mx(2,1)+Mx(2,2);prb=Mx/x; y=Mx(1,:);pM=(y(1,1)+y(1,2))/x; y=Mx(2,:);

pF=(y(1,1)+y(1,2))/x; prb(1,1)/pM;prb(1,2)/pM;prb(2,1)/pF;prb(2,2)/pF; prb end

Lanzamiento de Moneda Cargada

Suponga que existen 2 monedas. Una de ellas es normal con probabilidad de obtener una \cara" o un\sello" igual a 0.5. La segunda moneda está cargada: la probabilidad de obtener una \cara" es 0.6 y la probabilidad de obtener un \sello" 0.4.

Para este ejercicio se asumen eventosH para Head(cara)T para Tail(sello)FC para Fair coin (moneda sin peso)WC para wighted coin (moneda con peso)

Se puede establecer una tabla de relaciónFC WC

H 1 3T 1 2

Este cuadro nos ayuda a determinar las probabilidades y desarrollar un algoritmo, y también poder cargar una matriz para ayudarnos a la resolución del problema, esta relación cumple con la probabilidad de WC que anuncia el problema, como vemos 3 a 2 de que sea H o T, es equivalente a 3/5 y 2/5 respectivamente es 0.6 y 0.4 mientras que la probabilidad de H o T en FC es 1 a 1 o 0.5 para las dos.

1. Una de las 2 monedas es seleccionada al azar. La moneda es lanzada y aparece \cara". Cuál es la probabilidad que la moneda seleccionada sea la cargada, dado que resulto \cara" el lanzamiento?

Esto se puede analizar como probabilidad condicional de

p (WC|H )= p (WC ∩ H )p ( H )

Asumiendo primero la matriz de intersecciones

p(FC ∩ H ) p(WC ∩ H )p(FC ∩T ) p(WC ∩T )

Luego divido para la probabilidad que necesito

p ( FC ∩ H )p (H )

p (WC ∩ H )p(H )

p ( FC ∩T )p (T )

p (WC ∩T )p(T )

Realizamos la simulación en matlab sistematizando el proceso que y obtenemos la respuesta

Como vemos la probabilidad de obtener cara y que esta provenga de la moneda con peso es de 75%

2. La misma moneda es lanzada una segunda vez. Cuál es la probabilidad que la moneda salga “cara", dado que ya salió \cara" el primer lanzamiento? Por qué los 2 eventos no son independientes?

Dado que es la intersección de dos eventos, la probabilidad de que salga H1 la primera vez depende totalmente de lo que paso antes, cuando se decidió si era una moneda con pero comparada con una sin pesoPodemos demostrar la independencia de cada evento.La segunda parte del evento se manifiesta como

H2 T2H1 1 3T1 1 2

Como vemos el evento uno es dependiente y el segundo evento es independiente ya que cumple le propiedad de la independencia, pero como la segunda parte del experimento depende de la primera parte que si es dependiente. Si

function [ ] = CoinFinal( )clcEXP=[1 3;1 2]%literal 1probCON(EXP) end

function []=probCON(Mx) x=Mx(1,1)+Mx(1,2)+Mx(2,1)+Mx(2,2);prb=Mx/x; y=Mx(1,:);pH=(y(1,1)+y(1,2))/x; y=Mx(2,:);pT=(y(1,1)+y(1,2))/x; prb(1,1)=prb(1,1)/pH;prb(1,2)=prb(1,2)/pH;prb(2,1)=prb(2,1)/pT;prb(2,2)=prb(2,2)/pT; prb end

function [ ] = CoinFinal( )clcEXP=[1 3;1 2]prob(EXP)IDE(EXP) EXP=[3 2;3 2]prob(EXP)IDE(EXP) end

function []=prob(Mx) x=Mx(1,1)+Mx(1,2)+Mx(2,1)+Mx(2,2);x; prb=Mx/xend function []=IDE(Mx)x=Mx(1,1)+Mx(1,2)+Mx(2,1)+Mx(2,2); y=Mx(1,:);pM=(y(1,1)+y(1,2))/x; y=Mx(2,:);pF=(y(1,1)+y(1,2))/x; y=Mx(:,1);pP=(y(1,1)+y(2,1))/x; y=Mx(:,2);pA=(y(1,1)+y(2,1))/x; probIDE=[pM*pP pM*pA ; pF*pP pF*pA] end

demostramos cada uno de los eventos individuales es posible demostrarlo mediante el programa en matlab.

3. Suponga que una de las monedas es lanzada 2n veces. Escriba una función en Octave para calcular la probabilidad de obtener “caras" y n “sellos", dado que la moneda es normal y dado que la moneda está cargada (este debe ser un argumento de la función). La función debe operar para cualquier valor de n.

function [] = ProCoin(N,tipoMoneda)Se debe escoger el valor de N lanzamientostipoMoneda: 1 para moneda limpia, 2 para cargada

Probabilidades de moneda limpia:

n=100PRO =

0.4900 0.5100n=500

PRO =

0.5240 0.4760

n=1000PRO =

0.4900 0.5100n=50000

PRO =

0.5002 0.4998n=100000

PRO =

0.5007 0.4993

En cuanto a una moneda limpia el valor si corresponde al teorico ya muy aproximado en el que n=100000

2.- Moneda CargadaProbabilidades de moneda limpia:

n=100PRO =

function [ ] = CoinFinal3( )%ProCoin(N lanzamientos tipo int,1 para moneda limpia 2 para cargada)ProCoin(100,2);end function [] = ProCoin(N,tipoMoneda)H=0;T=0;for i=1:2*N if(tipoMoneda==1) m=ceil(rand()*2); if(m==1) H=H+1; else T=T+1; end else m=rand(); if m<=0.6 H=H+1; else T=T+1; end end end PRO=[H T];PRO=PRO/(2*N);PRObar(PRO)end

0.5950 0.4050n=500

PRO =

0.5860 0.4140n=1000

PRO =

0.5980 0.4020n=50000

PRO =

0.6025 0.3975n=100000

PRO =

0.6013 0.3987

function [ ] = CoinFinal3( )%ProCoin(N lanzamientos tipo int,1 para moneda limpia 2 para cargada)ProCoin(100,2);end function [] = ProCoin(N,tipoMoneda)H=0;T=0;for i=1:2*N if(tipoMoneda==1) m=ceil(rand()*2); if(m==1) H=H+1; else T=T+1; end else m=rand(); if m<=0.6 H=H+1; else T=T+1; end end end PRO=[H T];PRO=PRO/(2*N);PRObar(PRO)end

4. Una moneda fue seleccionada aleatoriamente. Use la función anterior para calcular la probabilidad de que la moneda seleccionada este cargada, dado que n lanzamientos fueron “cara" y n lanzamientos fueron “sello”. Grafique el valor de esta probabilidad para n entre 0 y 40. Explique la forma de la curva.

Dado una serie de lanzamientos al azar y sabiendo que estos fueron escogidos aleatoriamente. Podemos determinar la incidencia mayoritaria de caras así que de un grupo de lanzamientos y con la referencia de la parte 1 del ejercicio determinamos que del total de caras que se pueden obtener el 75% provenían de la bola cargada, en este caso de 80 lanzamientos ya que es 40*N, 44 son caras y de las 44, 33 provienen de la moneda cargada. Por lo tanto existe la gran probabilidad que de los lanzamientos al menos de cara vinieron de la moneda cargada y al ser la mayoría en la mayor aumentan las posibilidades

function [ ] = CoinFinal4( )%ProCoin(N lanzamientos tipo int,1 para moneda limpia 2 para cargada)clcAA=ProCoin(40);AAend function [PRO] = ProCoin(N)H=0;T=0;C=0;for i=1:2*N tipoMoneda=ceil(rand()*2); if(tipoMoneda==1) m=ceil(rand()*2); if(m==1) H=H+1; C(i)=1; else T=T+1; C(i)=2; end else m=rand(); if m<=0.6 H=H+1; C(i)=1; else T=T+1; C(i)=2; end end endfor i=1:2 f(i)=length(find(C==i)); endPROX=[H T];PRO=PROX/(2*N);bar(C)bar(f)end

5. Ahora suponga que existen 2 monedas cargadas (idénticas a la anterior) y una moneda normal. Una moneda es seleccionada aleatoriamente. Dado el mismo escenario de que son obtenidas n \caras" y n \sellos", modifique los cálculos de la pregunta anterior para obtener la probabilidad de que la moneda seleccionada este cargada. Cuál es el valor más pequeño de n para el cual es más probable que la moneda seleccionada sea la normal?

Al igual que en el caso anterior podemos determinar con certeza que el número de caras obtenidas en experimento es relativamente grande con respecto al número de sellos, de la determinación de la probabilidad vemos que existe un 0.60 de probabilidad total de caras de las cuales al ser 3 las monedas aleatorias. La probabilidad de cara es de

P ( H )=

13∗3

5∗2=

25

Que corresponden a las monedas arregladas.

function [ ] = CoinFinal5( )%ProCoin(N lanzamientos tipo int,1 para moneda limpia 2 para cargada)clcAA=ProCoin(40);AAend function [PRO] = ProCoin(N)H=0;T=0;C=0;for i=1:2*N tipoMoneda=ceil(rand()*3); if(tipoMoneda==1) m=ceil(rand()*2); if(m==1) H=H+1; C(i)=1; else T=T+1; C(i)=2; end end if(tipoMoneda==2) m=rand(); if m<=0.6 H=H+1; C(i)=1; else T=T+1; C(i)=2; end end if(tipoMoneda==3) m=rand(); if m<=0.6 H=H+1; C(i)=1; else T=T+1; C(i)=2; end end end for i=1:2 f(i)=length(find(C==i)); endPROX=[H T];PRO=PROX/(2*N);bar(C)bar(f)

Por lo tanto la probabilidad de que estas provengan de la moneda limpia es muy baja.