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SPGMingeniería i Manual Parte II.4 FSuelorocadinamico Formulación matemática del modelo Plástico SPGMingeniería Abril, 2020
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Manual Parte II.4
FSuelorocadinamico
Formulación matemática del modelo
Plástico
SPGMingeniería
Abril, 2020
SPGMingeniería
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Índice
Descripción Pág Tóp 27.10.-Formulación matemática del modelo Plástico (plasticidad perfecta). 1
Tóp 27.10.1.-Teoría de deformación por plasticidad. 2
Tóp 27.10.2.-Modelos de módulo variable. 6
Tóp 27.10.3.-Teoría de flujo definida para la determinación de las deformaciones plásticas. 7
Tóp 27.10.4.-Relaciones esfuerzo-deformación generalizadas. 23
Tóp 27.10.5.-Formulación de rigidez generalizada de las relaciones de esfuerzo – deformación. 31
Tóp 27.10.6.-Proceso de cálculo de esfuerzos y desplazamientos considerando un comportamiento
plástico del suelo.
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Referencias 48
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Tóp 27.10.-Formulación matemática del modelo Plástico (plasticidad
perfecta).
Chen y Mizuno (1990), expresan que la diferencia fundamental entre los modelos basados
en la elasticidad y los modelos basados en la plasticidad, consiste en el tratamiento de la
carga y la descarga. El suelo se comporta como un material elasto-plástico (ver fig. 78),
donde las deformaciones del suelo son básicamente inelásticas, ya que al remover la carga,
la trayectoria en descarga es totalmente diferente a obtenida en carga.
La teoría de la deformación por plasticidad tiene ciertas limitaciones, las cuales se pueden
superar mediante la introducción de la teoría de flujo de plasticidad.
La teoría de flujo está basada en tres consideraciones fundamentales:
1. La existencia de una superficie de fluencia inicial.
2. La evolución de subsecuentes superficies de carga (regla de endurecimiento).
3. La formulación de una regla de flujo apropiada.
Para suelos, así como para metales, la plasticidad perfecta es una excelente simplificación
del diseño, mientras que para análisis más complejos de esfuerzo-deformación de suelos,
puede ser aplicada la teoría un poco más sofisticada de plasticidad de endurecimiento.
La formulación basada en la teoría de flujo de plasticidad, generalmente da un buen ajuste a
los datos obtenidos a partir de los ensayos de laboratorio.
Los modelos de plasticidad, pueden representar características importantes de los suelos,
tales como: Dilatancia, dependencia de la resistencia en función de la historia de esfuerzos
o de la deformación, comportamiento de histéresis lineal bajo ciclos de cargas, y
coincidencia de los ejes principales de incremento de deformación con los ejes de
incrementos de esfuerzos, a bajo niveles de esfuerzos, con una transición suave para la
coincidencia de los ejes principales del incremento de deformación con los ejes de
esfuerzos principales en los niveles altos de esfuerzos. Esos modelos, rigurosamente
satisfacen los requerimientos básicos de la mecánica continúa, tales como: unicidad,
estabilidad y continuidad.
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Fig. 78.- Representación de modelos de comportamiento de los suelos.
Una generalización de la teoría de la deformación por plasticidad, en la forma de
relaciones incrementales de esfuerzo-deformación, es llamada modelos de módulo
variable, cuyas limitaciones, también se pueden superar mediante la introducción de la
teoría de flujo de plasticidad.
Los modelos de plasticidad perfecta, ya fueron expuestos en los puntos anteriores,
correspondientes a la definición de los criterios de resistencia y definición de la superficie
de fluencia de: Coulomb, Tresca, Von mises y Drucker-Prager. En estos modelos, la
superficie de fluencia permanece constante, siendo éste el enunciado que determina la
definición de la teoría de la plasticidad perfecta.
Tóp 27.10.1.-Teoría de deformación plástica (basados modelos de elasticidad no lineal).
Los análisis en estado plástico (relaciones de esfuerzo-deformación en estado inelástico),
son un requerimiento en los estudios del comportamiento del suelo, ya que las
deformaciones de éste, en el rango elástico son usualmente pequeñas, y por tanto no
representan esfuerzos realistas en los problemas de ingeniería geotécnica.
Dentro del marco de la teoría de la deformación por plasticidad, las deformaciones totales
ij son descompuestas en la componente elástica y plástica
, expresándose:
(218)
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La deformación plástica es obtenida a partir de la regla de flujo, expresada como:
(219)
Donde:
: Escalar relacionado con la curva de esfuerzo-deformación, y es positivo durante la carga
y cero durante la descarga.
F: Función dependiente del estado esfuerzos actuales y de los parámetros de resistencia.
En la teoría de la deformación plástica, tomando en cuenta el trabajo de endurecimiento de
materiales, establece que, el estado de esfuerzos determina el estado de deformación,
únicamente mientras la deformación plástica continúe. Por tanto, son idénticos con las
relaciones esfuerzo-deformación elásticas no lineal del tipo secante, siempre y cuando la
descarga no ocurra.
Para describir adecuadamente el comportamiento del suelo, bajo un estado de carga y
descarga, basados en tales modelos de elasticidad, es necesario establecer criterios que
definan ese sistema de carga. Tal tratamiento está muy cerca de la teoría por deformación
plástica. Chen W. and Mizuno E., (1990), presentan del siguiente ejemplo.
Ejemplo ilustrativo.
La formulación de deformación plástica, para un criterio de carga y descarga, es expresado
en términos de la función de densidad de energía complementaria (), considera la
siguiente formulación:
(220)
Donde:
: Incremento de la función de densidad de la energía complementaria .
: Vector de deformaciones.
: Incremento del tensor de esfuerzos.
La figura 79, muestra la curva esfuerzo deformación de un suelo real y de un suelo
idealizado a través de un comportamiento elasto-plástico. Tomando en cuenta el cambio
incremental de la función de densidad de la energía complementaria, se establecen las
siguientes condiciones:
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La descarga ocurre sí un incremento de función de densidad de energía
complementaria es menor a cero ( d< 0).
La carga ocurre sí un incremento de función de densidad de energía complementaria
es mayor a cero (d> 0).
La recarga es definida por la condición d> 0 y < máx, donde máx es el valor
previo máximo de en el material, antes de la descarga.
Para condiciones generales se expresa:
Carga: Cuando = máx, y d> 0. (221.1)
Descarga: Cuando máx, y d< 0. (221.2)
Recarga: Cuando <máx, y d> 0. (221.3)
Para el caso de descarga o recarga, el módulo tangencial inicial, puede ser usado en los
análisis, mientras para carga, la siguiente forma general de la teoría de deformación para
un material isotrópico, puede ser usada:
(222)
Donde
: Tensor de esfuerzo desviatorio.
: Vector de las componentes de deformación plástica.
ij: Delta Kronecker, cuyo valor es uno (1) cuando i = j y es cero cuando i j.
P, Q y R: Funciones escalares que dependen de las tres invariantes del tensor de esfuerzo
ij.
Para la ec. 222, y la segunda invariante de esfuerzos desviadores, se expresan como:
(223.1)
(223.2)
Solamente existe objeción para la definición de carga y descarga, cuando sea encuentre la
condición de carga neutral, es decir d = 0, donde pudiera arbitrariamente asignarse un
valor del módulo bien sea para carga o descarga.
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Fig. 79.- Estados de carga en un suelo real.
Algunas preguntas:
¿En cuál punto de la curva real se produce carga neutral?; ¿La carga neutral se produce
en el punto donde termina la carga y comienza la descarga?; ¿La carga neutral se produce
en el punto donde termina la descarga y comienza la recarga?; ¿La carga neutral se
produce en punto de máxima resistencia?).
El resultado es que un cambio infinitesimal de esfuerzo cerca de la carga neutral, puede
producir cambios de deformación finita, y la condición de continuidad puede ser violada.
Esto no es aceptable físicamente.
Chen W. and Mizuno E., (1990), expresan que la declaración establecida por la ec. 221 es
aceptada para condiciones de carga moderada, y que excepto para condiciones de carga
multi-dimensional severas, trayectorias de carga neutral probablemente no ocurren en
muchas situaciones prácticas. Sin embargo, la validez de tal declaración debe ser
convalidada con estudios numéricos extensivos de problemas prácticos. Tales estudios
numéricos, no están disponibles por ahora para estos modelos híper-elásticos de tercer
orden combinados con un criterio de carga, tal como la función de densidad de energía
complementaria .
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Chen W. and Mizuno E. (1990) indican, que excepto para ciertos casos especiales de carga,
como por ejemplo incrementos proporcionales de carga, la teoría de deformación por
plasticidad, no pueden conducir a resultados significativos, y algunas veces conducen a
contradicciones, y en consecuencia esos tipos de modelos no satisfacen los requerimientos
de continuidad para condiciones de carga cerca de la carga neutral. Básicamente, la
dificultad consiste en el hecho de que la teoría de deformación y la existencia de la función
“f” de carga, aún en el más sentido limitado, son incompatibles. Esto ha conducido
naturalmente a la consideración de un segundo tipo de formulación, basado en la teoría
incremental de plasticidad de flujo expuesta más adelante.
Tóp 27.10.2.-Modelos de módulo variable.
La generalización de la teoría de la deformación por plasticidad, en la forma de relaciones
de esfuerzo-deformación incremental, es llamada modelos de módulos variable (Nelson y
Baron, 1971; Nelson et al, 1971). Formas diferentes de funciones de respuesta del material
son aplicadas al inicio de la carga, y subsecuentemente en descarga y recarga, es decir,
estos modelos son generalmente irreversibles, aún para carga incremental.
La descripción matemática del modelo de módulo variable es dado en las formas
incrementales, como:
y (224)
Donde:
: Incremento de esfuerzo hidrostático promedio.
: Incremento de deformación volumétrica.
: Incremento de esfuerzos desviatorios.
: Incrementos de deformaciones desviatorias.
K: Módulo bulk
⁄
: Presión hidrostática.
: Cambio en la deformación volumétrica.
G: Módulo de corte.
Funciones diferentes de los módulos de corte G y de los módulos del bulk K, generalmente
son aplicados en la carga inicial, y en las subsecuentes descarga y recarga.
Modelos de módulo variable tienen muchas ventajas. Ellos generalmente proporcionan un
buen ajuste para el set completo de ensayos disponibles, y son capaces de ajustarse a los
datos repetidos de histéresis en ciclos de carga. Adicionalmente, ellos son
computacionalmente simples y relativamente fácil de ajustarse a los datos para la
determinación de las constantes del material. Sin embargo, fenómenos como la dilatación,
efectos transversales y la no coincidencia de los ejes de los esfuerzos principales y los ejes
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de los incrementos de deformación, no pueden ser descritos por tales relaciones como la ec.
224.
Otro problema asociado en este tipo de formulación, es que el modelo puede no satisfacer
todos los rigurosos requerimientos teóricos para todas las historias de esfuerzos. Por
ejemplo, en o cerca de las condiciones de carga neutral en corte, el modelo falla para
satisfacer la condición de continuidad (Chen y Saleeb, 1982). Por tanto, el modelo está
restringido a aplicaciones prácticas, cerca a la carga neutral. Para el caso de carga
proporcional, el modelo es teóricamente correcto.
Las ventajas y limitaciones de los modelos constitutivos, basados en la deformación, tipo
teoría de plasticidad, son resumidos a continuación:
Teoría de la deformación por plasticidad
Ventajas
Formulación simple.
Permite comportamiento de histéresis.
Limitaciones
Problema de continuidad cerca o en la carga neutral.
Con la excepción de la descarga, el comportamiento es de trayectoria independiente.
Modelos de módulo variable
Ventajas
Buen ajuste de datos.
Permite comportamiento de histéresis.
Fácil de ajustar.
Apto para la implementación de los elementos finitos.
Limitaciones
Problema de continuidad cerca o en la carga neutral.
Tóp 27.10.3.-Teoría de flujo definida para la determinación de las deformaciones
plásticas.
En el desarrollo de las relaciones de incremento esfuerzo- deformación, el incremento de la
deformación total dij, es asumido ser la suma del incremento de la deformación elástica y
el incremento de la deformación plástica, tal como se indica:
(225)
Donde:
: Incremento de deformación total.
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: Incremento de deformación elástica.
: Incremento de deformación plástica.
El incremento de deformación elástica, es asumido ser completamente descrita dentro del
marco de la ley de Hooke, donde dos parámetros del material, tales como el módulo bulk
(K) y el módulo de corte (G), son constantes o función de las invariantes de esfuerzos y/o
de las invariantes de deformación. Por otro lado, para estimar el incremento de deformación
plástica, los conceptos siguientes de flujo, o teoría incremental de plasticidad para
materiales perfectamente plásticos (ver línea segmentada ‘cd’ en la fig. 80), son
necesarios:
1. La existencia de una superficie de fluencia.
2. La establecer de la regla de flujo que especifique la forma general de las relaciones
de esfuerzo con los incrementos de deformación plástica.
Criterio de fluencia.
Es necesario definir el comienzo de la plasticidad o el punto en el cual las relaciones
elásticas ya son válidas. En este sentido, tenemos:
-Para ensayos simples, tales como tensión, compresión y corte, el inicio de la plasticidad
puede ser tomada como el punto de fluencia, el cual puede ser obtenido a partir de la curva
esfuerzo-deformación, bien sea por el método directo tangente o por compensación.
-Para ensayos combinados bajo condiciones de esfuerzos biaxiales, curvas de fluencia
deben ser establecidas, más que puntos de fluencia. Además, a partir de la mayoría de las
combinaciones generales de ensayos triaxiales, las superficies de fluencia pueden ser
construidas. Esas superficies o curvas son matemáticamente representadas como el criterio
de fluencia (envolvente de resistencia Morh-Columb, Tresca, Von Mises, Drucker-Prager).
Esos criterios de fluencia, sirven para definir las condiciones de esfuerzos, bajo los cuales
la deformación plástica ocurrirá para un material y también separar las zonas de
comportamiento elástico de esas de comportamiento elásto- plástico.
Las trayectorias de esfuerzos dentro de la superficie de fluencia, generan sólo
deformaciones recuperables (elásticas), mientras que las trayectorias que intersectan la
superficie de fluencia, producen tanto deformaciones recuperables como deformaciones
permanentes (deformaciones plásticas).
Ya anteriormente en el capítulo II.3, se desarrolló los modelos de plasticidad perfecta
(Modelo de Columb, Tresca, Von Mises, Drucker-Prager), indicándose que la función de
fluencia inicial “fc”, puede ser escrita como una función del tensor de esfuerzos ( ( )
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), donde “fc” es un valor constante1, para un material perfectamente plástico pero
de deformación variable2 o materiales con endurecimiento.
Lo siguiente es tomado de internet “El modelo Hardening del suelo con endurecimiento
isotrópico es un modelo avanzado capaz de simular el comportamiento de varios tipos de
suelo tanto cohesivos como granulares. A diferencia del modelo elastoplástico perfecto, la
superficie de fluencia del modelo no es fija en el espacio de los esfuerzos principales, sino
que puede expandirse debido a deformaciones plásticas y en función del esfuerzo de pre-
consolidación”.
La fig. 80, muestra el comportamiento de un suelo elástico-plástico (línea oab segmentada
fina), donde el estado plástico está asociado con deformaciones irreversibles (línea
horizontal), mientras que un modelo perfectamente plástico, es un modelo definido a través
de una superficie de fluencia fija (línea cd segmentada gruesa), la cual es completamente
definida por parámetros máximos de resistencia o esfuerzos máximos, que no están
afectados por las deformaciones plásticas (ver modelos de plasticidad perfecta).
Un material de comportamiento elasto-plástico perfecto, es como el representado por la
línea oab punteada de la figura 80, donde se ignora el ablandamiento que sufre el material
cuando alcanza un pico en un comportamiento real del suelo (curva continua).
En un material con plasticidad perfecta, se produce flujo plástico continuo a esfuerzo
constante (línea cd segmentada). Sin embargo para un suelo con comportamiento elasto-
plástico, también se debe producir flujo plástico continuo a esfuerzo constante a partir del
punto donde se alcanza la máxima resistencia (respecto a la fig. 80, esto ocurre a partir del
punto “a”). La selección del nivel de esfuerzo (máximo esfuerzo desviador) al cual fluye,
dependerá de las características del problema a resolver (esfuerzos de confinamiento, tipo
de suelo, tipo de esfuerzos actuantes).
1 Es constante para cierto esfuerzo desviador en la falla o que alcance la falla, es decir su máxima
resistencia. 2 Se alcanza la máxima resistencia y el material se sigue deformando.
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Fig. 80.- Representación de las deformaciones elásticas y plásticas.
Chen W. and Mizuno E., (1990), muestran que para un material perfectamente plástico,
la superficie de fluencia es fija en el espacio de esfuerzo (fig. 81), y por consiguiente
deformación plástica ocurre solamente cuando la trayectoria de esfuerzos se mueve
sobre la superficie de fluencia3. Por tanto, la condición de carga para flujo plástico es
dada por:
y
(226)
En la fig. 81, se aprecia que las trayectorias de esfuerzos para comportamiento elástico,
ocurren solamente para estados de esfuerzos que están dentro de la superficie de fluencia.
Es decir, el comportamiento elástico existe, si después de un incremento de esfuerzo, el
nuevo estado de esfuerzo se ubica dentro del dominio elástico, sin sobrepasar la superficie
de fluencia. Esto es:
(227.1)
Donde:
f: Función que define el estado de esfuerzos actuantes en el suelo.
fc: Función de fluencia o máxima resistencia del suelo.
3 La trayectoria de esfuerzos alcanza la superficie de fluencia y luego permanece constante o sigue sobre ella.
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Fig. 81.- (a) Superficie de fluencia (original de chen4). (b) Superficie de fluencia donde el
esfuerzo confinante varía.
Para el caso especial, de una trayectoria de esfuerzos producida sobre la superficie de
fluencia la condición de carga para el comportamiento elástico es expresado como:
y
(227.2)
5
Regla de flujo.
La regla de flujo, define la relación entre el incremento de deformación plástica
y el
estado presente de esfuerzos ij que lo genera, para un elemento fluyendo.
En la teoría de plasticidad, esta relación (entre el incremento de deformación plástica
y el estado presente de esfuerzos ij), se expresa como:
(228)
Donde:
g: Función potencial plástica determinado en función del ángulo de dilatancia del suelo (en
el capítulo II.1 también se uso la letra Q representar este potencial).
4 Se ha colocado una nota al pie de la fig. original de Chen.
5 df será menor a cero cuando se descargue el material. Sin embargo para esa condición también se producen deformaciones plásticas.
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d: Escalar positivo que depende del estado de esfuerzos y de la historia de carga.
En el capítulo II.2, se trató el tema de los modelos de plasticidad perfecta (Modelo de
Columb, Tresca, Von Mises, Drucker-Prager). El ángulo de fricción del material, usados
en estos modelos, sobreestima la dilatancia del suelo (resistencia que ofrece el suelo por
incremento del volumen durante el corte). Por esta razón se define el potencial plástico
identificado con la letra ‘g’.
En el capítulo II.2, se obtuvo función de esfuerzos (F), la cual es equivalente a la función
potencial ‘g’, y es determinada por la diferencia entre una función correspondiente
al estado de esfuerzos actuales y la función de fluencia de máxima resistencia del
suelo. La función de fluencia fc, corresponde a los modelos de Morh-Columb, Tresca, Von
Mises, Drucker-Prager. Las expresiones de F se repiten nuevamente aquí:
Para el criterio de Morh- Coulomb (caso bidimensional):
cos22
3131
csenF (3.2)
1, 3: Esfuerzos principales actuales mayor y menor.
Para el criterio de Morh- Coulomb (caso tridimensional):
cos3cossin33sinsin132
12
csenIJ
(138.5)
Donde:
F: Diferencia de la función de fluencia respecto a la función de esfuerzos actuales.
p: Presión hidrostática.
I1: Primera invariante de esfuerzos.
J2, J3: Invariantes de esfuerzos desviadores.
: Angulo ubicado en el plano de proyección del vector de esfuerzos desviatorios, el
cual está determinado por la ec. 122, y es función de las invariantes de esfuerzos
desviadores J2 y J3.
(
√
) (122)
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Para el criterio de Tresca (caso bidimensional):
Para el caso 1 ≥ 2 ≥ 3 (142)
Donde:
k: Esfuerzo de fluencia del material determinado a partir del ensayo de corte puro.
Para el criterio de Tresca (caso tridimensionall):
(144)
Para el criterio de Von Mises (caso bidimensional):
(146.a)
(162.3)
Para el criterio de Von Mises (caso tridimensional):
2213
232
221 k- - - -
6
1 F (146.b)
Para el criterio de Drucker-Prager (caso bidimensional):
cossin
33
sin39 12
2
CI
JF (182)
2
2
2
231
2
xzxz
J (175)
21 32
3 Jzx (170.6)
2sin39
sin
(179.1)
2sin39
cos3
ck (179.2)
Para el criterio de Drucker-Prager (cas tridimensional):
Para elementos a compresión:
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( )√
√ (157.b)
Para elementios a tensión:
√
√ ( )
√ ( ) (caso tridimensional) (160)
- - - 6
1 J
213
232
2212 (87)
Si la superficie potencial “g” y la función de esfuerzos ‘F’, ambas definidas por la
diferencia entre los esfuerzos actuantes ( ) y la función de fluencia (envolvente de
resistencia) ( ), coinciden entre si (g = F), la regla de flujo es llamada
del tipo asociada, de lo contrario es del tipo no asociada6.
Continuando con la exposición de Chen W. and Mizuno E., 1990:
La dirección del vector de incremento de deformación plástica (
), es normal a la
superficie de potencial plástico “g” en el punto de esfuerzo ij. Esta condición de
normalidad, es mostrada esquemáticamente en la fig. 82. Debido a esta condición de
normalidad, la dirección de los ejes principales del incremento de deformación plástica, en
general no coinciden con los ejes de incremento de esfuerzos.
Requerimientos básicos de la teoría de flujo (Chen W. and Mizuno E., 1990).
La regla de flujo asociada, permite la solución única de un problema de valor de borde, para
materiales perfectamente plásticos y donde ocurra endurecimiento.
El carácter irreversible de las deformaciones plásticas, conduce a la condición de
irreversibilidad, que es definida simplemente como: El trabajo hecho por esfuerzos
actuantes en un elemento de suelo, y que alcancen la superficie de fluencia, será positivo,
siempre que un cambio de deformación plástica ocurra.
Ahora consideremos un volumen unitario de material perfectamente plástico, sujeto a un
estado de esfuerzos homogéneo , sobre o dentro de la superficie de fluencia (fig. 83).
Supongamos, que un agente externo añade esfuerzos a lo largo de la trayectoria ABC,
6 La diferencia entre ambas se encuentra en el ángulo de fricción que se toma en el análisis. En el tipo no
asociada se considera el ángulo de dilatancia (aumento de la resistencia friccionante por incremento del
volumen durante el corte en suelos densos) en la expresión del potencial “g”.
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manteniéndose dentro de la superficie hasta que el estado de esfuerzos alcance a la
superficie de fluencia para ij. Veamos las siguientes observaciones:
Fig. 82.- Representación de la regla de flujo.
Solamente trabajo elástico habrá tomado lugar a lo largo de la trayectoria de
esfuerzos ABC.
Ahora considere que el agente externo mantiene el estado de esfuerzo ij, sobre la
superficie de fluencia por un corto tiempo. Flujo plástico debe por tanto ocurrir, y
solamente trabajo plástico toma lugar durante el flujo.
Considere, que el agente externo entonces libera esfuerzos y retorna el estado de
esfuerzos al original a lo largo de la trayectoria elástica DE.
Como todos los cambios elásticos son completamente reversibles e independientes
de la trayectoria desde a ij y retornando a
, toda la energía elástica es
recuperada (ver fig. 83.2). El trabajo plástico hecho por los agentes externos en el
ciclo de carga y descarga, es representado por el producto escalar del vector de
esfuerzos ( ) y el vector de incremento de deformación plástica
. El
requerimiento de que este trabajo sea positivo, por los cambios generados en la
deformación plástica, induce a:
( )
(229)
Sobreponiendo las coordenadas de la deformación plástica, con las coordenadas de
esfuerzos, puede lograse la interpretación geométrica de la ec. 229, tal como lo
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muestra la fig. 83.1. El producto escalar positivo requiere un ángulo agudo entre el
vector de esfuerzos ( ) y el vector de incremento de deformación plástica
, tal como se aprecia en la fig 83.1.
Si la condición de normalidad es aplicada (vector de incremento de deformación
plástica es normal a la superficie de fluencia) y tomando en cuenta que la ec. 229
debe ser satisfecha para todos los vectores de esfuerzos ( ), se requiere
entonces, que la superficie de fluencia sea convexa.
Lo anterior establece, que una de las restricciones impuestas sobre las relaciones
esfuerzos – deformaciones plásticas, por la condición de normalidad para el vector
de incremento de deformación plástica
, es la propiedad de convexidad de la
superficie de fluencia.
Fig. 83.1.- Trayectoria de esfuerzos producido por un agente externo (coordenadas de
deformación plástica son superpuestas). ( )
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Fig. 83.2.- Recuperación de la energía elástica en un material perfectamente plástico luego
de volver a su estado inicial de esfuerzos.
La fig. 84.1 muestra la función de fluencia , donde se representan los ejes de
coordenadas de esfuerzos, conincidiendo los ejes variaciones de deformación plásticas.
Se aprecia el plano combinado del esfuerzo y de variación de la deformación plástica,
donde el vector que representa la variación de deformación plástica tiene la dirección de
la normal a la superficie de fluencia y forma un ángulo (ángulo de dilatancia del
material) con la dirección del vector de esfuerzos
7 para el caso de la regla de
flujo no asociada.
7 Este vector es el esfuerzo desviador (esfuerzo que produce el corte) o la falla en el suelo
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Figura. 84.1 . Representación de la superficie de fluencia y regla de flujo (modifica de la
original de Chen).
Para el criterio de Mohr-Coulomb o Tresca, la superficie de fluencia tenie esquinas o
vértices donde no existe una única dirección normal (caso del vector esfuerzos en el
punto ‘b’). En este caso, la regla de flujo demanda que, el vector de variación de
deformación plástica puede tener alguna dirección dentro del abanico definido por las
normales a las superficies contiguas. Para el estado de esfuerzos definido en el punto ‘a’
por los vectores y
, la superficie de fluencia es lisa con una normal definida por el
vector de variación de deformación plástica, asociado con el estado de esfuerzos plástico
.
Como complemento a lo ya indicado arriba, de la fig. 84.1, también se puede decir:
1) Sí cij ff ..........ocurrirá flujo plástico
2) Sí 0 cij ff ..........estados de esfuerzos son excluidos del modelo plástico e incluidos
en el modelo viscoplástico
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3) Sí 0 cij ff ..........corresponde a comportamiento elástico
La figura 84.2, ayuda a entender con más claridad lo correspondiente al ángulo de
dilatancia. Aquí se presenta, una muestra de material en la cual existe suelo granular
donde se aprecia que las partículas que encajan unas con otras y donde además también
existe material con cierta cohesión. La muestra está sometida a un esfuerzo normal n y a
un esfuerzo cortante en su plano medio. Para que el sistema superior se mueva, el
esfuerzo cortante debe vencer la resistencia cohesiva, la resistencia friccionante y la
resistencia debido al grado de encaje ( Lamber and Whitman, 1990).
Figura 84.2. Muestra de un material granular, sometida un esfuerzo normal n y a un
esfuerzo cortante en su plano medio.
El vencimiento del grado de encaje, para un esfuerzo n constante, y con un efecto dentro
de una masa de suelo, ocurre cuando las partículas se separan unas con respecto a las
otras, lo que significa que existirá un incremento de volumen en la masa de suelo, y esto es
denominado dilatancia. Significa entonces que la dilatancia ocurre cuando un
desplazamiento horizontal h , va acompañado de un desplazamiento vertical , tal
como se muestra en la figura, donde se indica una representación de ambos
desplazamientos y del desplazamiento total, cuya dirección será la misma del vector de
variación de formación plástica p . De esta figura se deduce que entre las direcciones
del esfuerzo cortante y la dirección del vector de variación de deformación, se forma un
ángulo , llamado ángulo de dilatancia.
En la fig. 84.3 se ilustra la ley de resistencia o de fluencia en el plano - . En esta
figura se muestra la trayectoria de esfuerzos (o-c-d) que se produce en un punto (elemento
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) determinado de un suelo, la cual alcanza la superficie de fluencia, sin sobrepasarla, ya
que en este modelo de comportamiento (plasticidad perfecta), un estado de esfuerzos fuera
de la superficie de fluencia es inaceptable. También, se aprecia la dirección del vector de
deformación plástica normal a la superficie de fluencia ( la línea punteada), y en este
caso forma un ángulo igual a con la dirección del esfuerzo cortante , lo cual
corresponde a la denominada ley de flujo asociado. Sin embargo, tomando en cuenta la
dilatancia (flujo es no asociado), se ha representado el vector de deformación plástica,
formando un ángulo , con la dirección de .
Figura 84.3.- Representación del vector de variación de la deformación plástica normal a la
superficie
La condición de normalidad del vector de deformaciones plásticas
, puede ser sustentada
matemáticamente, con la ayuda de la fig. 84.4, en la cual se indica la presión mínima
(presión activa ) y la presión máxima (presión pasiva ), las cuales puede soportar el
suelo (los esfuerzos en la fig. están representados a compresión). La primera presión
produce el empuje activo y la segunda el empuje pasivo. A la presión mínima le debe
corresponder la deformación plástica mínima
y a la presión máxima la deformación
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plástica máxima
. Sí se considera, que el eje de esfuerzos 8, coincide con el eje de las
deformaciones plásticas normales ( ), entonces en la fig. 84.4 también se puede
representar el círculo de Morh de las deformaciones plásticas. Este círculo, debe coincidir
con el círculo de Morh de esfuerzos, tocando la envolvente en el mismo punto d.
Fig. 84.4.- Círculos de Morh de esfuerzos a compresión y de deformaciones plásticas.
A partir de la fig. 84.4 y desarrollando las funciones trigonométricas, se obtienen las
expresiones para las presiones mínima y máxima (( )). El esfuerzo en la fig.
corresponde a la presión vertical geostática (su propio peso) del suelo.
2/45tan22/45tan 23 cha (229.1)
2/45tan'22/45tan 23 chp (229.2)
Se debe indicar, que la obtención de las ecuaciones 229.1 y 229.2, se hizo antecediendo a
los esfuerzos el signo negativo, de manera de poder relacionar segmentos de recta en el eje
, quedan origen a dichas ecuaciones. Ejemplo:
y es también
igual a . Sí se evaluarán ambas expresiones de A, su valor sería el
mismo y con signo positivo.
8 Los esfuerzos son los que generan compresión o tracción al suelo. Por tanto las deformaciones plásticas
normales (
) se producen en dirección perpendicular al plano donde actúan los esfuerzos .
SPGMingeniería
22
Sí, se evaluarán los esfuerzos en la 229.1 y 229.2, resultarían con signo negativo, ya que
tiene signo negativo (se está considerando que actúa a compresión)
Trabajando con el círculo de Morh para el caso activo, y cambiando la simbología de
por y por , la ec. 229.1 se escribe como:
2/45tan22/45tan 2 cmínmáx (229.3)
Ahora la superficie de fluencia de morh-Coulmb para el caso bidimensional, se puede
escribir en función de y :
cos22
csenF mínmáxmínmáx (229.4)
Aplicando la ec. 228 (la función F representa a g en la ec. 228), a la ec. 229.4, resulta:
(229.5)
(229.6)
Relacionando la fig. 229.5 y 229.6, resulta:
⁄ (229.7)
Sí hacemos: y y escribendo la tangente en función del seno, la ec.
229.3 queda:
(229.8)
Si despejamos de la ec. 229.4, se tien:
(229.9)
La ec. 229.7, también se puede escribir:
⁄ (229.10)
Si ahora se define un sistema de referencia, con los ejes de esfuerzos principales ( ), y
sobre esos ejes sobreponemos los ejes de las deformaciones plásticas (
), y luego
se representa las rectas determinadas por la ec. 229.8 y 222.10., encontraremos la gráfica
mostrada en la fig. 84.5, donde se aprecia que la recta de las deformaciones plásticas es
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23
perpendicular a la superfciie de fluencia, encontrándose de esta manera, la validez de la
perpendicularidad del vector de deformaciones plásticas a la superfciie de fluencia.
Fig. 84.5.- Representación de la superficie de fluencia a partir del criterio de falla de Morh-
Coulomb y relación con la recta que define la dirección del vector de deformaciones
plásticas.
Tóp 27.10.4.-Relaciones esfuerzo-deformación generalizadas.
A partir de la condición de normalidad y con la consideración de la regla de flujo asociada
(
), se derivará la relación general de esfuerzo-deformación, para un
material idealmente plástico, cuya función de fluencia “fc” (o superficie de fluencia) es fija
en el espacio de esfuerzos principales, es decir, esta no se mueve o se expande durante la
deformación plástica.
La superficie de fluencia tratada en el desarrollo de las relaciones de los incrementos
esfuerzo-deformación, es solamente función del tensor de esfuerzos o función de las
invariantes del tensor de esfuerzos, para un material isotrópico.
SPGMingeniería
24
Para hallar las relaciones esfuerzo-deformación para un material elástico – perfectamente
plástico, se procede apoyándose en la teoría de elasticidad, tal como se indica a
continuación.
Para las relaciones esfuerzo-deformación para un material elástico lineal isotrópico, el
tensor de esfuerzo puede expresarse, como:
(
) (230)
Donde:
: Tensor de esfuerzos.
G: Módulo de corte.
K: Módulo bulk.
: Deformación volumétrica.
: Vector de deformaciones.
: Delta de Kronecker. para i = j (esfuerzos a compresión o a tensión) y
para i j (esfuerzos cortantes).
El tensor de esfuerzos es función de los esfuerzos desviatorios y de la presión
hidrostática, quedando:
(231)
Para la condición (i = j, ) y sabiendo que:
(232)
Donde:
: Deformaciones normales en dirección de los ejes principales.
(
) (233)
El incremento del tensor de deformaciones elásticas, se expresa como:
(234)
Donde:
: Incremento del tensor de deformaciones elásticas.
: Incremento del tensor de deformaciones desviatorias el cual es un estado de corte
puro.
: Incremento del cambio de volumen por unidad de volumen.
SPGMingeniería
25
De la ec. 233, se obtiene:
(235)
De la ec.235, se expresa:
(236)
El incremento del tensor de deformaciones desviatorias, el cual es un estado de corte, se
expresa como9:
(237)
Sustituyendo la ec. 236 y 237, en la ec. 234, queda:
(238)
Sustituyendo las ec. 238 de incrementos de deformación el elástica y la ec. 228 de regla de
flujo, en la ec. 225 correspondientes a la suma del incremento de deformación elástica y
plástica, las relaciones esfuerzo-deformación para un material elástico – perfectamente
plástico, pueden ser representadas como:
(225)
(239)
Donde d es un factor de proporcionalidad plástico, cuyos valores pueden ser:
d = 0 si f < fc
Los esfuerzos actuantes no tocan a la superficie de fluencia. Las deformaciones que
genere cualquier estado de esfuerzos son elásticas.
d = 0 si f = fc pero df < 0
Los esfuerzos alcanzan la superficie de fluencia. Vea la expresión df en la ec. 240.
Sí df es negativa es porque existe descarga en el material. El estado de esfuerzos
produce deformaciones elásticas al descargar y permanecerán las deformaciones
plásticas en el material.
d> o si f = fc y df = 0
Aquí no existe carga ni descarga, pero en el material existirá flujo plástico a
esfuerzo constante fc. Se producen deformaciones plásticas.
9 Puede ser obtenida obtenida a través de correlación con lla ec. 230
SPGMingeniería
26
Donde fc es la función de fluencia y f es la función de esfuerzos actuantes en un
elemento de suelo.
Para la determinación del factor d, es necesario considerar la siguiente condición
expresada por la ec. 240:
(240)
10
Esta condición (ec. 240) asegura que un Nuevo estado de esfuerzo ( ) después
del cambio de incremento aún satisface el criterio de fluencia, y por tanto se cumple:
( ) ( ) ( ) ( ¿es correcta?) (241)
Ahora se escribe la ec. 231, en forma de incrementos (tensor de incrementos de esfuerzos):
(242)
El incremento de esfuerzos desviadores se obtiene de la ec. 239, quedando de la forma:
(243)
Remplazando la ec.243 en la ec. 242, resulta:
(
) (244)
Sustituyendo de la ec. 244 en la ec. 240:
(
)
(245)
Para la condición cuando (i = j), , la ec. 239 tiene la forma:
(246)
Despejando de la ec. 246:
(
) (247)
10 La función f en la ec. 240, viene dada por la diferencia entre los esfuerzos actuantes (definicón inicial de
) y la función de fluencia fc (envolvente de resietncia. Esto está definido en el capítulo II.1en el pto Top
27). La ec. 240 de Chen y Mizuno, obliga a que el estado de esfuerzos ( ) que alcance a la superficie de
fluencia fc, no sobrepase a la misma, y si existe un incremento de esfuerzo adicional al estado
inicial ( ), la suma de ambos continue dentro de la superfice de fluencia.
SPGMingeniería
27
Tomando en cuenta la condición la condición (i = j) ,
es la derivada de la
función respecto a los esfuerzos actuantes a compresión o tensión (esfuerzos normales).
Chen y Mizuno (1990), expresa de la forma (
). La ec.
247, quedará como:
(
) (248)
Remplazando la ec. 248 en la ec. 245, y despejando el factor de proporcionalidad , se
obtiene:
(
)
(
)(
) (
)(
)(
)
(249)
La nomenclatura de Chen y Mizuno (1990), para el factor de proporcionalidad , es:
(
)
(
)(
)
(250)
El término
es un producto escalar del vector de derivadas respecto al tensor de
esfuerzos
por el vector de incrementos de deformaciones plásticas . También se
debe indicar que el término (
)
corresponde al producto escalar del mismo vector
de derivadas, y donde el deta Kronecker es cero para esfuerzos cortantes.
Chen y Mizuno (1990) expresan, que una vez que la función de fluencia es evaluada para
un material particular de interés y los incrementos de deformación son pre-escritos11
,
el factor puede ser determinado inequívocamente. Cuando de la ec. 248 es
sustituida en la ec. 244, y sabiendo que el incremento de esfuerzos
se expresa como:
Chen y Mizuno (1990), expresan esta expresión con la siguiente nomenclatura:
[(
)
] (251)
11 Se pueden tomar con un porcentaje de las deformaciones iniciales obtenidas a partir de los desplazamientos estimados con las propiedades elásticas del suelo, junto con las fuerzas existentes en la condición actual, como son el peso propio, fuerzas externas, ect. Se considera que esos desplazamientos y esas deformaciones, no tienen importancia para decir si el suelo es estable o no, ya que cualquier masa de suelo in situ ya está parcialmente consolidado o consolidado.
SPGMingeniería
28
Si el estado de esfuerzos actuales es conocido y los incrementos de deformación son
pre-escritos, la ec. 251 puede ser usada para encontrar los correspondientes incrementos de
esfuerzos . Sin embargo, si el estado de esfuerzos actual es conocido y los
incrementos de esfuerzos son pre-escritos, los incrementos de deformación
correspondientes, no pueden ser inequívocamente determinados, ya que los incrementos de
deformación plástica pueden ser definidos solamente con el factor .
Para un número de materiales geotécnicos, particularmente los suelos, la función de
fluencia en modelos de plasticidad perfecta vistos anteriormente, son generalmente
expresados en términos de las invariantes (I1, J2, J3), de la forma:
( ) (252)
Por tanto la derivada de la función de fluencia, respecto al tensor de esfuerzos
, se
expresa como:
(253)
s.r La función de f que se debe derivar, por ejemplo para el criterio de Mohr-Coulomb y
caso tridimensional, viene dada por ( ver capitulo II.1):
cos3cossin33sinsin132
12
csenIJ
(138.5)
F es la diferencia entre el estado de esfuerzos actuantes y la resistencia del material o lo
que es lo mismo, la diferencia entre la función del estado de esfuerzos ( ) y la función
de fluencia fc.
En la ec. 138.5 se aprecia que la invariante de esfuerzos J3 no interviene en la ec. 253.
Las derivadas de las invariantes respecto al tensor de esfuerzos, Chen y Mizuno (1990) las
expresan de la forma siguiente:
(254.1)
(254.2)
???? (254.3)
Donde y , se expresaron a través de la ec. 223.1 y la ec. 223.2:
SPGMingeniería
29
(223.1)
(223.2)
Escribiendo la 254.1, 254.2 y 254.3, como un vector aplicando las derivadas a la ec. 52.1,
84 y 85, de este trabajo.
{
}
(255.1)
{
}
(255.2)
xzyyzxy
yzxzxxy
xyzzxyz
xyxzyzyxzyx
xzyzxyxzyzx
yxxzyzyzxzy
ssss
ssss
ssss
sssss
sssss
sssss
J
2
2
2
223
1
223
1
223
1
222
222
222
3
(255.3)
SPGMingeniería
30
La ec. 253, puede ser expresada como:
(256)
Sustituyendo la ec. 256 en la ec. 251, y sabiendo que la presión hidrostática es un tercio de
la primera invariante de esfuerzos, se tiene:
[ (
)
(
)] (257)
[
(
)] (258)
Chen y Mizuno (1990), expresan el factor de proporcionalidad , de la siguiente forma:
[
(
) ] (259)
Siendo la expresión de “H”:
(
)
(
)
(
(
)
) (260)
Sin embargo la evaluación de este factor también podrá hacerse, remplazando la ec. 255 en
la ec. 253, quedando:
{
}
{
}
xzyyzxy
yzxzxxy
xyzzxyz
xyxzyzyxzyx
xzyzxyxzyzx
yxxzyzyzxzy
ssss
ssss
ssss
sssss
sssss
sssss
2
2
2
223
1
223
1
223
1
222
222
222
(261)
La ec. 261 y 256, son equivalentes. Luego evaluando la ec. 261, resulta un valor
adimensional, que sustituido en la ec. 249, permite obtener el factor de proporcionalidad.
SPGMingeniería
31
Tóp 27.10.5.-Formulación de rigidez generalizada de las relaciones de esfuerzo –
deformación.
Matriz de rigidez (Chen y Mizuno, 1990)
Para el uso directo en la formulación de desplazamientos por elementos finitos, la ec. 258,
puede ser preferiblemente escrita en forma tensorial, como:
(262.1)
Donde:
: Matriz de rigidez elasto-plástica.
La matriz
viene determinada por:
(
)
(262.2)
Donde:
(
) (262.3)
( ) (262.4)
(262.5)
La ec. 262.1, puede ser escrita en forma de una matriz tridimensional, sabiendo que:
( ) y ( )
{
}
[ (
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
)
(
)
(
)
]
{
}
SPGMingeniería
32
[
]
{
}
(263)
Coeficientes de rigideces.
Los coeficientes de A, B, C de la ec. 262.5, se obtienen a continuación para los modelos de
Tresca, von Mises, Coulomb y Drucker-Prager.
Modelo de Tresca
A partir de la ec. 144, se obtienen los coeficientes (A, B, C) derivando la misma, respecto a
, , .
(264.1)
(264.2)
(264.3)
Modelo de von Mises
A partir de la ec. 146.a, se obtienen los coeficientes (A, B, C), escribiendo la misma como:
√ (265)
√
(266)
Modelo de Coulomb
Usando la ec. 138.c, los coefcientes (A, B, C), quedan:
coscossin33
3sinsin1
2
2
csenp
JF (138.3)
SPGMingeniería
33
En este caso el coeficiente “A” se encuentra derivando “F” respecto a la presión
hidrostática
:
311
sen
I
F
I
fA
(267)
A continuación se hace el desarrollo para obtener la expresión del coeficiente B:
2
2
2
2sinsin3
3
3cossin1
cos)sin3(3
3sin)sin1(
1
2
1
2
1
JJ
J
J
FB
(268.1)
Para obtener la derivada de 2J
, se usa la ecuación (II.128) y se plantea:
2
3
2
3
2 2
33cos
3
1
J
Jar
J
(268.2)
Si:
yar
Jcos
3
1
2
(268.3)
donde:
2
3
2
3
2
33
J
Jy
(268.4)
Por tanto:
22
2 1
1
3
1
J
y
yJ
(268.5)
1
2
3
232
2 2
3
2
33
1
1
3
1JJ
yJ
(268.6)
SPGMingeniería
34
22
33
)3(cos1
11
2
23
2
3
22
J
J
J
J
(268.7)
)3tan(
1
2
1
2
1)3cos(
)3sin(
1
222
JJJ (268.8)
Sustituyendo (268.8) en (268.1), se obtiene:
)3tan(
1
2
1sinsin3
3
3cossin1
cos)sin3(3
3sin)sin1(
1
2
1
2
1
2
2
2
2
JJ
J
J
FB (268.9)
)3tan(
sincos)sin3(
3
3
)3tan(
cossin)sin1(
1
4
1
22
JJ
FB
(269.1)
Si se sustituye (268.7) en (268.1), se obtiene:
)3sin(
1sinsin3
3
3cossin1
4
33
cos)sin3(3
3sin)sin1(
1
2
1
2
1
2
2
3
2
2
JJ
J
J
QB (269.2)
A continuación se hace el desarrollo del coeficiente “C”:
3
2
3
33
3cos1
2 Jsensensen
J
J
F
(270.1)
La derivada 3J
es resuelta a partir de la ecuación (ii.128), donde:
yar
Jcos
3
1
3
(270.2)
Donde “y” viene dado por la ec. 268.4
SPGMingeniería
35
32
3 1
1
3
1
J
y
yJ
(270.3)
3
323
2223
22
3
1
2
33
3cos1
1
3
1
2
33
1
1
3
1
JJ
JJyJ
(270.4)
3tan
11
3
13cos
3sin
1
3
1
333
JJJ (270.5)
La sustitución de la ecuación (270.5) en la ecuación (270.1), resulta en:
3tan
1sinsin3
3
3cossin1
6
1
3
2
3
J
J
J
FC (270.6)
3tan
cossin1
3tan
sinsin3
3
3
6
1
3
2
3 J
J
J
FC (271.1)
Al sustituir la ec. 270.4 en la ec. 270.1, queda:
)3(
1cos13
3
3
4
3
23
senJsensensen
J
FC
(271.2)
Chen y Mizuno (1990), trabaja con la ec. 138.5, quedando los coeficientes de la siguiente
forma:
cos3cossin33sinsin132
12
csenIJ
(138.5)
senI
F
I
fA
11
(272)
)3sin(
1sinsin33cossin13
4
33
cos)sin3(3sin)sin1(31
2
1
2
1
22
3
2
2
JJ
J
J
Q (273)
)3(
1cos1333
4
3
23
senJsensensen
J
F
(274)
SPGMingeniería
36
Si la fricción del material es cero ( = 0), los coeficientes (A, B, C) son los
correspondientes al modelo de Tresca.
Modelo de Drucker-Prager
Derivando la ec. 151, respecto a las invariante de esfuerzos I1, y las invariantes de
esfuerzos desviadores J2 y J3, se obtienen los coeficientes (A, B,C)
kJffF c 21 (151)
√
(275)
Si “” es cero, los coeficientes son los mismos del modelo de von Mises.
Ejercicio Nº 8 (propuesto por Chen y Mizuno, 1990)
Escriba explícitamente para deformación plana, el vector de incrementos de esfuerzos en
función de la matriz constitutiva de propiedades del material para el modelo de Drucker-
Prager.
{
}
[ (
) (
)
(
) (
)
(
)
(
)
]
{
}
[
]
{
} (276)
Sustituyendo los coeficientes de la ec. 275, en la ec. 262.3 y 262.4, resulta:
(277.1)
(
√ ) (277.2)
De acuerdo a la ec. 254.2 de Chen y Mizuno (1990), es la derivada de
, lo cual
según la ec. 255.2, cuando ij, los esfuerzos cortantes van multiplicados por dos.
√ (278.1)
√ (278.2)
SPGMingeniería
37
√ (278.3)
√ (278.4)
La ecuación 278.3, la expresa Chen y Mizuno (1990), sin estar afectada por el número dos
(2), lo cual no parece correcto según lo indicado por la ec. 255.2.
s.r Para el caso tridimensional, aplicando el modelo de Drucker-Prager, los coeficientes de
la ec. 277.1 y 277.2, siguen siendo las mismas, así como la ec. 278.1, 278.2, 278.3 y 278.4
de los coeficientes de la matriz de plasticidad, faltando en este caso las expresiones de
( , ), las cuales se escriben como:
√ (278.5)
√ (278.6)
Tóp 27.10.6.-Proceso de cálculo de esfuerzos y desplazamientos considerando un
comportamiento plástico del suelo.
Al igual que se hizo para el caso de comportamiento viscoplástico (capítulo II.3, punto Tóp
27.9.1), tomando como ejemplo el caso presentado en la fig. 75, la cual está formada por
cuatro triángulos con cinco puntos de apoyo, deben calcularse las matrices de rigideces de
cada elemento, las fuerzas externas que actúan en ellos, y ordenar dichos cálculos según la
numeración general (1,2, .,..n). Debe indicarse, que en este caso, no existe proceso
iterativo de cálculo, tal como se observará más adelante.
Los pasos del 1 al 14, expuestos en el punto en el capítulo II.3 en el punto Tóp 27.9.1 para
el comportamiento viscoplástico, se mantienen. Esto se debe, a que la definición de los
elementos finitos no varía, así como tampoco varía la matriz de rigideces completamente
ensamblada, ni el vector de fuerzas externas, ni los desplazamientos iniciales suponiendo
comportamiento elástico del material. Por consiguiente, lo expuesto para aquí estará
referido del paso 15 en adelante (Tóp 27.9.1).
Para facilitar la lectura, escribiremos nuevamente aquí los elementos finitos con los
respectivos nodos que definen el problema planteado en la fig. 75.
SPGMingeniería
38
Figura 75. Figura conformada por cuatro triángulos, donde se muestran los puntos de
apoyo y cargas actuantes en la misma.
Definición el orden en que están dados los nodos para cada triángulo (elementos finitos),
en el problema ilustrado en la fig.75.
Triángulo I i=3 j=2 k=1
Triángulo II i=2 j=3 k=4
Triángulo III i=5 j=4 k=3
Triángulo IV i=5 j=6 k=4
Nota: Como los pasos del 1 al 14 son los mismos presentados en el cálculo viscoplástico,
entonces comenzaremos con el número 15 para explicar el proceso de cálculo en este caso.
15. Pasamos ahora al cálculo plástico, elemento por elemento. En este caso que se
trata de un elemento triangular de orden lineal, el cálculo es más sencillo, porque no
hay que repetir el cálculo para cada punto de integración (en este caso, existe sólo
un punto de integración).
Nota: Aquí no existe proceso iterativo de cálculo.
SPGMingeniería
39
Para el elemento I, se obtienen el vector de desplazamientos, de los nodos que
definen el elemento. Estos valores se buscan, en el vector de desplazamientos
estimado anteriormente{ }.
-Se ordena el vector de desplazamiento, según la numeración inicial
1 ,2 ,3 kji .
1
1
2
2
3
3
1
v
u
v
u
v
u
e
Estos desplazamientos (e-1) fueron obtenidos suponiendo que el suelo se comporta
“elásticamente”.
Recordemos que el vector de desplazamientos iniciales, era el resultado de resolver
el sistema de ecuaciones [ ] { } { }, considerando un
comportamiento elástico del suelo.
6
00,0
00,05
4
4
00,03
2
00,0
00,0
00,0
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
v
u
v
u
u
v
v
u
v
u
v
u
v
u
v
u
v
u
iniciales
-Se estima el vector de deformaciones. Estas deformaciones son obtenidas a partir
de la consideración de que el material tiene un comportamiento elástico (la ec. que
se aplica es la misma expuesta en el punto Tóp27.9.1.
SPGMingeniería
40
{ } {
} [ ] { } (210)
{ }: Vector de deformaciones del elemento I.
[ ] : Matriz de funciones formas derivadas del elemento I.
e_1: Desplazamientos elásticos del elemento I.
- Luego se calculan los esfuerzos para estimar la función de fluencia en el elemento,
a partir de:
{ } [ ] [ ] { } (211)
Donde:
{ } : Vector de esfuerzos del elemento I, considerando comportamiento
“elástico”.
[ ] : Matriz de propiedades elásticas del elemento.
Este vector , estará dado por: {
} {
}
-Se determina la segunda invariante de esfuerzos desviadores (recordemos que
estamos considerando deformación plana y el criterio de Drucker-Prager) a través
de la ec. 175 (ya expuestas anteriormente).
2
2
2
231
2
xzxz
J (175)
2sin39
sin
(179.1)
- Ahora se estima la primera invariante de esfuerzos I1.
21 32
3 Jzx (170.6)
- Se calcula el esfuerzo hidrostático( ),
.
-Se estiman los esfuerzos desviadores (consideremos que estos esfuerzos
corresponden al elemento I ) :
mxxS
SPGMingeniería
41
myyS
xyxyS
-Estime el valor de la función de fluencia “F” a través de la ec. 182.
cossin
3
sin392
2
1
CpJF (182)
Donde:
1F : Función de fluencia del elemento I.
Si el valor de la función de fluencia es mayor de cero para el elemento que
estamos analizando (en este caso elemento I) (F 0), entonces debemos estimar
el vector de las deformaciones plásticas. Si el valor de la función de fluencia es
menor o igual que cero (F < 0), los esfuerzos de ese elemento corresponden al
estado elástico, y se pasa al chequeo del siguiente elemento.
Consideremos entonces, que la función de fluencia es mayor de cero (F > 0). En
este caso se estima, las deformaciones plásticas para el respectivo elemento, tal
como se indica a continuación:
a. Estime el vector de diferencia de esfuerzos entre elásticos y plásticos
{ } [ ]
[ ] {
} (279.1)12
Con este vector de esfuerzos determine nuevamente los esfuerzos:
, y el esfuerzo hidrostático . Evalue el vector de derivadas de la
función f (f =F), a partir de la ec. 253, el cual se requiere en la estimación del
escalar .
(253)
b. Estime el vector inicial de incrementos de deformaciones plásticas { }, el
cual debe sustituirse en la ec. 250. El programa FSuelorocadinamico toma los
valores iniciales (deformaciones seudo-elásticas), obtenidas a través de la ec.
210.
12 Se considera que el vector de esfuerzos [ ]
{ } {
}, y que por esa razón es que la función F se hace mayor a cero, sobrepasando la función de fluencia.
SPGMingeniería
42
{ } { } {
} (279.2)
c. Estime inicialmente el factor de proporcionalidad a través de la ec. 250,
remplazando los valores del vector { } ya obtenidos en punto ‘b’ y los
vectores de derivadas
,
evaluados a partir con los valores del vector
{ } del punto ‘a’.
(
)
(
)(
)
(250)
Donde:
G: El módulo de corte (ec. 187.9, capítulo II.3).
K : Módulo bulk (ec. 187.8).
: Vector delta de Kronecker. para i=j (esfuerzos a
compresión o a tensión) y para i j (esfuerzos cortantes).
: Vector de derivadas de la función de fluencia respecto a los esfuerzos, la
cual para flujo asociado es igual a la derivada del potencial plástico
Q
obtenido por la ec. 194 (capítulo II.3).
: Vector de derivada de la función de fluencia respecto a los esfuerzos de
compresión o tensión solamente ( establece que la derivada respecto a los
esfuerzos desviadores sea cero). Es la misma ecuación 194 con un valor cero
para la derivada respecto al esfuerzo cortante (
).
y
xz
z
x
S
S
S
J
2
21
6
sin39
3
1
0
3
1
3
1
sin (194)
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y
z
x
S
S
S
J 0
1
6
sin39
3
1
0
3
1
3
1
sin2
2
(194)
El remplazo de la función derivada de la ec. 194, en la ec. 250 debe hacerse
tomando en cuenta el factor delta de Kronecker.
d. A través de un proceso iterativo, estime el vector de deformaciones plásticas
(ec. 228) y el factor de proporcionalidad .
Con del paso ‘c’ obtenga { }
{ } {
} {
} (228)
El resultado es el vector { } {
} y el valor de .
Donde:
{ } : Vector de incrementos de las deformaciones plásticas del elemento I.
e. Determine los incrementos de esfuerzos plásticos a partir de las deformaciones
plásticas. Para ello se aplica:
[ ]
[ ] {
} (279.3)
Donde:
: Incremento del vector de esfuerzos plásticos.
[ ] : Matriz de propiedades plásticas del elemento I (ec. 186.2).
{ } {
} (280)
Con los valores del vector de esfuerzos { }, determine de nuevo la matriz de
propiedades plásticas del elemento, y luego vaya al paso ‘c’, y a partir del
vector { } determine las derivadas para hallar nuevamente el factor ;
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44
remplace en la ec. 250 del factor el vector de incremento de deformaciones
plásticas estimado en el paso ‘e’. Repita un mínimo de 5 veces el ciclo.
f. Determine el vector de esfuerzos totales tomando en cuenta las deformaciones
plásticas en ele elemento I.
-Si el usuario le indica al programa FSuelorocadinamico que estime esfuerzos
solamente para las deformaciones plásticas, el vector del elemento I para la
iteración 1, será:
{ } {
} (281)
Tomando en cuenta los puntos gaussianos o de integración (ii), del problema, se
tendrá:
Si ii=1 ({ })
{
}.
Si ii> 1 ({ })
({
})
{ }.
-Si el usuario le indica al programa FSuelorocadinamico que estime esfuerzos
totales, el vector (elemento I para la iteración 1) queda: { }
{
}
{ }. El vector {
} es obtenido a partir de las propiedades elásticas del
material y de los desplazamientos totales.
Si ii=1 ({ })
{
} { }.
Si ii > 1 ({ })
({
})
{ } {
}.
Donde por ejemplo ({ })
corresponde al vector de esfuerzos del elemento 1
(subíndice dentro de la llave).
Consideremos que los cálculos se han hecho para el total de los puntos de
integración (núm_intg). En este caso el esfuerzo promedio en el elemento, será:
Si ii= Total de los puntos de integración o gaussianos (núm_intg).
{ } {
}
{ } : Esfuerzo definitivo en el elemento I por comportamiento plástico.
g. Estime el vector de incrementos de desplazamientos por deformaciones
plásticas. Para ello se plantea:
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Estos desplazamientos (correspondientes al elemento 1) los estima el programa
considerando la longitud promedio de los segmentos entre nodos y que son
contiguos a cada nodo. { }
{ } (
)
.
Considerando los puntos de integración o gaussianos:
Si ii =1 ({ } )
{ }
.
Si ii> 1 ({ }
)
({ }
)
({ }
)
({ }
)
({ } )
({ }
)
({ } )
({ }
)
Donde por ejemplo, ({ } )
indica el vector de desplazamiento del
elemento 1 para el punto de integración 1 (ii=1).
En los nodos donde convergen varios elementos, el desplazamiento a considerar
será el mayor que se estime para todos los elementos en la dirección
correspondiente.
Por ejemplo, consideremos que el nodo ‘k’ pertenece a la definición del
elemento I y II, entonces debemos seleccionar el desplazamiento en ese nodo,
comparando valores. Veamos:
{ }
{ }
{ }
{ }
El programa FSulorocadinámico estima los desplazamientos totales,
considerando solamente los incrementos de los desplazamientos producidos
deformaciones viscoplásticas o plásticas.
Para el elemento II, III y IV
Repita los pasos expuestos del elemento I.
Recordemos que existirán elementos donde la función de fluencia es menor, y por
tanto los puntos (a, b, ….h) del paso 15 no debe ejecutarse es decir, no se
estimarán deformaciones plásticas y por consiguiente tampoco desplazamientos por
estas deformaciones.
La fig. 84.6, presenta el diagrama de flujo para el proceso del cálculo plástico.
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Fig. 84.6.- Diagrama de flujo para el proceso iterativo del cálculo plástico.
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Referencias bibliográficas
Chen W., (1975), “Limit analysis and soil plasticity”, Elscvier, Amsterdam.
Chen W. and Mizuno E., (1990), “Nonlinear analysis in soil Mechanics”, Elscvier,
Amsterdam.
Etse G. and Willam K (1999), “Failure Analysis of elastoviscoplastic material models”,
Journal of Engineering Mechanics, January.
Case J. and Chilver A., (1971), “Strength of materials and structures”, Hodder Arnold.
Wittke W., (1990), “Rock mechanics”, Springer – Verlag.
