SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA GUÍA DE ESTUDIO Exámenes a …6 Aplicaciones de máximos y mínimos...

SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA

GUÍA DE ESTUDIO Exámenes a Título de Suficiencia 2013/2 PLAN DE ESTUDIOS 2008 – 2009 JUNIIO, 2013.

©IPN – CECYT NÚM. 1 “G.V.V.” Página 1 de 17

“2013, Año de la Lealtad Institucional y Centenario del Ejército Mexicano” “80 Aniversario de la Escuela Superior de Ingeniería Textil”

“65 Aniversario de la Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas” “50 Aniversario del Centro Nacional de Cálculo”

“50 Aniversario del CECyT 7 Cuauhtémoc”

Unidad de aprendizaje:

CALCULO DIFERENCIAL

Departamento: UNIDADES DE APRENDIZAJE DEL ÁREA BÁSICA Nivel: 4

Academia: MATEMÁTICAS Turno: MATUTINO

GUÍA DE ESTUDIO ELABORADA POR:

ACADEMIA DE MATEMATICAS T.M.

FECHA DE ELABORACIÓN

2012

RECOMENDACIONES GENERALES PARA RESOLVER LA GUÍA:

Revisa y resuelve el contenido completo de la guía de estudio y apóyate en las fuentes de consulta que se recomiendan a continuación.

Retoma los apuntes y bibliografía del curso para revisar ejercicios similares a los que se proponen en la guía.

Acude a resolver dudas específicas sobre los temas de la guía en los horarios disponibles de los profesores para asesorías individuales que se publicarán en la página web del CECYT (http://www.cecyt1.ipn.mx) o en la jefatura de departamento que se indica en el encabezado.

Acude con tu guía resuelta a la sesión grupal para revisar la solución de la guía en a la fecha y horario que se publicará en la página web del CECYT (http://www.cecyt1.ipn.mx) o en la jefatura de departamento que se indica en el encabezado.

INSTRUCCIONES PARA PRESENTAR EL EXAMEN:

Inscríbete al E.T.S. a través de la página del SAES (http://www.saes.cecyt1.iipn.mx) o en ventanilla de Gestión Escolar el 24 o 25 de junio de 2013.

Acude puntualmente en la fecha y horario que indique tu comprobante de inscripción al E.T.S. Para poder presentar el E.T.S. deberás presentar identificación con fotografía reciente y

comprobante de inscripción sellado por el área de Gestión Escolar.

TEMAS A EVALUAR EN EL EXÁMEN 1 Algebra de funciones / Composición de funciones /Evaluación de funciones

2 Limites que tienden a una constante / Forma indeterminada

/ Forma indeterminada

3 Derivadas algebraicas y transcendentales (empleando el formulario)

4 Ecuaciones de la recta tangente y recta normal / Ángulo entre curvas

5 Funciones crecientes y decrecientes / Concavidad / Puntos de inflexión /Máximos y mínimos / Gráfica

6 Aplicaciones de máximos y mínimos /Velocidad instantánea / Aceleración instantánea

FUENTES DE CONSULTA RECOMENDADAS PARA RESOLVER LA GUÍA 1 Calculo diferencial / Samuel Fuenlabrada / McGraw Hill

2 Calculo diferencial e integral / Purcell / Pearson

3 Calculo diferencial e integral / William Granville Anthony / Limusa

4 Calculo diferencial / Juan Antonio Cuellar / McGraw Hill

5

http://www.cecyt1.ipn.mx/

http://www.cecyt1.ipn.mx/

http://www.saes.cecyt1.iipn.mx/







CONTENIDO DE LA GUÍA

EVALUACIÓN DE FUNCIONES

1) Dada la función 642 xxxf

Calcular: Demostrar que:

a)

2

1f d)

2

7

2

1ff

b) 3f e) hfhf 22

c) 53 af

2) Dada la función 2

22

x

xf

Calcular:

a) 2f

b) 22 xf

c)

2

2Xf

3) Dada la función 1

1

x

xxf

Calcular: Demostrar que:

a) )0(f c) xfX

f

1







b) af 2 d) )(

11

xfXf

4) si 2045 23 xxxxg , demostrar que:

a) 320 ff

b) 157 ff

5) si XBxf , demostrar que hxfhfxf

6) A partir de x

xf 1 , demostrar que ab

abfbfaf

ALGEBRA DE FUNCIONES

En los siguientes ejercicios calcular:

xgxf xgxf xgxf

xg

xf

1) si 13 2 xxf & 1 xxg

2) si 23 24 xxxf & 1 xxg

3) si

& x

xg1

4) si 3

32

x

xxf

&

24

3

x

xxg

5) si xxf & 3xxg

6) si 12 xxf & 14 xxg

1

1

x

xxf







FUNCIONES COMPUESTAS

En los siguientes ejercicios calcular: xgf xfg xff xgg

1) Si 232 xxxf & 1 xxg

2) Si 253 2 xxxf & g xxx 2

3) Si 2

1

xxf

&

x

xxg

2

2

4) Si 1

1)(

x

xxf

&

x

xxg

2

2

5) Si 12 xxf & xxg

CALCULAR LOS SIGUIENTES LÍMITES:

1) 1000

103

10lim

x

x

x 6)

h

xhx

h

44

0lim

2) 125

253

2

5lim

x

x

x 7)

h

xhx

h

33

0lim

3) 232

1452

2

2lim

xx

xx

x 8)

h

xhx

H

lim

0







4) 43

1232

2

1lim

xx

xx

x 9)

h

xhx

h

22lim

0

5) 352

122

2

3lim

xx

xx

x 10)

42

1642 2

lim

x

xx

x

11) 232

1272

3

2lim

xx

xx

x 21)

22

22

1082lim

x

xx

x

12) 16

24

2

2lim

x

x

x 22)

2324

223

23

lim

xx

xxx

x

13) 10

552lim

10

x

x

x 23)

235

1232

2

lim

xx

xx

x

14) 162

48lim

8

x

x

x 24)

236

4243

23

lim

xx

xx

x

15)x

x

x

12

3lim

3 25)

2

2

36

12lim

xx

x

x

16) 183

5132lim

6

x

x

x 26)

32

12

4

lim

y

y

x

17) 38

23lim

1

x

x

x 27)

4

42

lim

x

x

x

18) x

x

x

144

314lim

2 28)

5

322

lim

w

w

x

19) 35

632lim

4

x

x

x 29)

2

322

0 52

3lim

kxk

kkkx

k







20) hx

hx

hx

lim

30)

h

xhx

h

22

0lim

DERIVA LAS SIGUIENTES FUNCIONES EMPLEA LA

REGLA DE LOS 4 PASOS (REGLA GENERAL DE DERIVADA)

1) 52 xy 6) x

y2

2) bay 75 7) xy

3) axxy 643 2 8) 2 xy

4) bx

y 47

9)

7

5

xy

5) x

y

1

4

10)

5

2

x

xy

OBTENER LA DERIVADA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES EMPLEANDO EL FORMULARIO

a) Funciones Algebraicas

1) 524

3

1

4

12

1

4

22 xx

xxy

2) 3

62

xxy

3) xxxxy 3212 23







4) 3322 124 xxy

5) 222

3

yaz

6) 12

122

2

tt

tts

7) 2

22

22

ax

axy

8) 221 2 xxxy

9) 3 22 153 xxy

10) 241 w

wz

11) 1

1

x

xxf

12) 103 2

xbx

xby

b) Derivadas de funciones trigonométricas

16) 22

2 xCos

xSeny

17) tCosy 25







18)

cottan

cottan

y

19) x

y4sec

2

20) SenxxCosxSenxxy 222 c) Derivadas de funciones trigonométricas inversas

21)

xy

2arccos

22) 5522 arcseny

23) 12arctan xy

24) xxarcxf 44csc 2

25) a

xarcsenaxaxy 222

d) Funciones Exponenciales y Logarítmicas

26) Y In2

2

1 x

x

27) y In x

x

23

23

28) ty t cos







29) y In xcos

30) ty 3cos9

31) xx

xx

y

32) y Log xx 23

33) 3xy In x

34) xarcseny 22

35) 3 3 7 xy

36) tInIny tan

37) 7

3

2

x

xIny

38) 32

2

xy

x

39) 22 7 xy

40) xsennxy 2

3.- ECUACIONES DE LA TANGENTE Y NORMAL







Obtener la ecuación de la tangente y normal, en el punto que se indica.

a) 53 23 xxxy M (3,2)

b) 22 23 xxy N (2,4)

c) 043 22 yxyx A (1,1)

d) 52 yxxy C (2,1)

e) 2722 xyyx D (6, 3)

f) 4094 22 yx E (1, 2)

g) 323 33 bbybxyx F (b, b)

h) 13 323 yxyx G (2, 4)

i) 1623 yx Z (2, 2)

J) aayaxyx 33 22 H (a, a)

K) 282 22 yxyx J (2, 3)

I) 13 222 yxyx K (2, -1)

CALCULAR LOS INTERVALOS CRECIENTES, DECRECIENTES, MAXIMOS MINIMOS Y GRAFICAR LAS SIGUIENTES FUNCIONES:







1) 154 23 xxxy

2) 162 3 xxy

3) 21232 23 xxxy

4) 242 xxy

5) xx

y 27

3

6) 12

4

x

xy

7) 1223

23

xxx

y

8) 12 24 xxy

9) 2

14

xy

10) 193 23 xxxy







11) 231

1

xy

12) 1

22

x

xy

OBTENER EL ÁNGULO QUE FORMA LAS CURVAS QUE SE INDICAN EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.

a) 4

1622

yx

yx

b) 72

73

22

22

yx

yx

c) 758

434

22

22

yx

yx

d) 1012410

3832

22

22

xyx

xyx

e) 08

8

22

22

xyx

yx







f) yx

xy

5122

4

2

2

g) 84

202

22

22

xx

yx

h) 84

02

22

22

yx

yx

i) 54

4594

22

22

yx

yx

DERIVADAS IMPLÍCITAS: CALCULA

de las siguientes funciones implícitas:

1)

2)

√

√

3)

4)√ √ √

√

√

5)







6)

7)

8)

9) √

√

√

10) √ √

√

HALLAR LAS ECUACIONES DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL A LAS SIGUIENTES CURVAS EN EL PUNTO

DADO:

1) T (2, 4) sol:

2) T (1, 1) sol:

3) T (0, 0) sol:

4) T (2,-4) sol:

5) T (2, 1) sol:







PROBLEMAS DE APLICACIÓN (MÁXIMOS Y MÍNIMOS)

1) Encontrar dos números positivos cuya suma sea 100 y su producto sea el máximo posible. 2) Buscar dos números cuya suma sea 125 y que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea el máximo. 3) Calcular las dimensiones del rectángulo con perímetro de 240m., de manera que el rectángulo tenga el área máxima. 4) Se desea construir una lata cilíndrica de un litro de capacidad de manera que utiliza la menor superficie posible de lámina. 5) Con una lámina cuadrada de hoja de lata de “a” pulgadas de lado, se hace una caja sin tapa cortando un pequeño cuadrado de dicho material de cada esquina y doblando los lados hacia arriba. ¿Qué tamaño ha de tener el cuadro cortado en cada esquina para que la caja tenga el mayor y menor volumen posible? 6) Hallar dos números positivos cuya suma sea 20; la suma de sus cuadrados sea

mínima; su producto sea máximo y el producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro sea máximo.

7) Un cartel debe incluir un grado de 250m con márgenes de 40cm en las partes

superior e inferior, y 20cm a los lados. Hallar las dimensiones totales y el área del cartel es mínimo.

8) Se desea construir un recipiente cilíndrico, sin tapa de base circular y de 364cm de

volumen. Calcular las dimensiones que debe tener para que la cantidad del metal sea mínima.

9) Hallar un número positivo tal que al sumarlo con su recíproco de la suma mínima.







10) Una persona desea cortar un pedazo de alambre de 1m. de largo en 2 trozos. Uno de ellos se va a doblar en forma de cuadrado y el otro en forma de círculo. ¿Cómo debe cortarse el alambre para que la suma de las áreas sea máxima?

11) En el costado de un terreno se encuentra una barda de piedra y se disponen de 600m de malla de acero de la misma altura de la barda, se desea hacer un corral rectangular utilizando el muro de piedra como uno de sus costados. Calcula las dimensiones que debe de tener el corral para encerrar la mayor área posible

12) Se desea construir una caja cuadrada abierta por arriba y de mayor volumen

posible, cortando las esquinas cuadradas iguales y doblando hacia arriba para formar las caras laterales. Se dispone de una pieza de hojalata de 32cm por lado. ¿Cuánto debe de medir el cuadrado que se recorta para obtener el volumen máximo?

VELOCIDAD Y ACELERACION

1.- Dada las siguientes ecuaciones de movimiento rectilíneo. Calcular el espacio recorrido, la velocidad y aceleración.

a) 42016 2 tts segtsegt 2:3

b) 284100 tts segtsegt 5:3

c) 42016 2 tts 2t d) 2832 tts 3t 2.- Una pelota que se lanza directamente hacia arriba se mueve según la ley,

.525 2ttS Si “S” se mide en metros y ""t en segundos hallar:







a) Su posición y velocidad después de 2 y 3 segundos b) Hasta que altura llega c) A que distancia se moveré en 1 segundo

3.- Un coche hace un recorrido en 10 minutos, moviéndose según la ley ,100 42 ttS

midiendo ""t en minutos ""s en metros.

a) Calcular la distancia que recorre b) Calcular la velocidad máxima

4. La trayectoria de una partícula en movimiento rectilíneo viene dada por

496 23 tttS

a) Hallar ""S y ""a cuando 0v b) Hallar ""s y ""v cuando 0a

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