Sucesiones - Encontrar la reglaPara encontrar un nmero que falta en una sucesin, primero tienes que conocerla reglaDefinicin rpida de sucesinLee sobresucesiones y seriespara conocer el tema bien, pero por ahora:Una sucesin es un conjunto de cosas (normalmente nmeros) que estn en algn orden.Cada nmero en la sucesin es untrmino(a veces "elemento" o "miembro"):

Encontrar nmeros que faltanPara calcular un nmero que falta primero necesitas saberla reglaque sigue la sucesin.A veces basta con mirar los nmeros y ver el patrn.Ejemplo: 1, 4, 9, 16, ?Respuesta: soncuadrados(12=1, 22=4, 32=9, 42=16, ...)Regla: xn= n2Sucesin: 1, 4, 9, 16,25, 36, 49, ...Has visto cmo escribimos la regla con "x" y "n"?xnsignifica "el trmino en la posicin n", as que el tercer trmino serax3Y tambin hemos usado "n" en la frmula, as que para el tercer trmino hacemos 32= 9. Esto se puede escribirx3= 32= 9Cuando sepamos la regla, la podemos usar para calcular cualquier trmino, por ejemplo trmino 25 se calcula "poniendo dentro"25donde haya unan.x25= 252= 625Qu tal si vemos otro ejemplo:Ejemplo: 3, 5, 8, 13, 21, ?Son la suma de los dos que estn delante, o sea 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13 y sigue as (en realidad es parte de laSucesin de Fibonacci):Regla: xn= xn-1+ xn-2Sucesin: 3, 5, 8, 13, 21,34, 55, 89, ...Qu significaxn-1aqu? Bueno, slo significa "el trmino anterior" porque la posicin (n-1) es uno menos que (n).Entonces, sines6, serxn= x6(el 6 trmino) yxn-1= x6-1= x5(el 5 trmino)Vamos a aplicar la regla al 6 trmino:x6= x6-1+ x6-2x6= x5+ x4Ya sabemos que el 4 es 13, y que el 5 es 21, as que la respuesta es:x6= 21+ 13 = 34Muy simple... slo pon nmeros en lugar de "n"Muchas reglasUno de los problemas que hay en "encontrar el siguiente trmino" de una sucesin es que las matemticas son tan potentes que siempre hay ms de una regla que vale.Cul es el siguiente nmero de la sucesin 1, 2, 4, 7, ?Hay (por lo menos) tres soluciones:

Solucin 1: suma 1, despus suma 2, 3, 4, ...Entonces, 1+1=2, 2+2=4, 4+3=7, 7+4=11, etc...Regla: xn= n(n-1)/2 + 1Sucesin: 1, 2, 4, 7,11, 16, 22, ...(La regla parece complicada, pero funciona)Solucin 2: suma los dos nmeros anteriores ms 1:Regla: xn= xn-1+ xn-2+ 1Sucesin: 1, 2, 4, 7,12, 20, 33, ...Solucin 3: suma los tres nmeros anterioresRegla: xn= xn-1+ xn-2+ xn-3Sucesin: 1, 2, 4, 7,13, 24, 44, ...As que tenemos tres soluciones razonables, y cada una da una sucesin diferente.Cul es la correcta?Todas son correctas.Y habr otras soluciones.Hey, puede ser una lista de nmeros ganadores... as que el siguiente ser... cualquiera!

La regla ms simpleCuando dudes, eligela regla ms simpleque funcione, pero menciona tambin que hay otras soluciones.Calcular diferenciasA veces ayuda encontrardiferenciasentre los trminos... muchas veces esto nos muestra una pauta escondida.Aqu tienes un ejemplo sencillo:

Las diferencias siempre son 2, as que podemos adivinar que "2n" es parte de la respuesta.Probamos2n:n:12345

Trminos (xn):79111315

2n:246810

Error:55555

La ltima fila nos dice que siempre nos faltan 5, as que sumamos 5 y acertamos:Regla: xn= 2n + 5OK, podas haber calculado "2n+5" jugando un poco con los nmeros, pero queremos unsistemaque funcione, para cuando las sucesiones sean complicadas.Segundas diferenciasEn la sucesin{1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...}tenemos que calcular las diferencias...... y despus calcular las diferencias deesasdiferencias (se llamansegundas diferencias), as:

En este caso lassegundas diferenciasson 1.Con las segundas diferencias multiplicamos por "n2/ 2".En nuestro caso la diferencia es 1, as que probamosn2/ 2:n:12345

Trminos (xn):124711

n2:1491625

n2/ 2:0.524.5812.5

Error:0.50-0.5-1-1.5

Estamos cerca, pero nos estamos desviando en 0.5 cada vez ms, as que probamos ahora:n2/ 2 - n/2n2/ 2 - n/2:013610

Error:11111

Ahora nos sale 1 menos, as que sumamos 1:n2/ 2 - n/2 + 1:124711

Error:00000

La frmula n2/ 2 - n/2 + 1 se puede simplificar an(n-1)/2 + 1As que, con "prueba y error" hemos conseguido descubrir la regla.Sucesin: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22,29, 37, ...Otros tipos de sucesionesAdems de las que se explican ensucesiones y series: Sucesiones aritmticas Sucesiones geomtricas Sucesin de Fibonacci Sucesiones triangularesTen en cuenta Nmeros primos Nmeros factoriales y cualquier otra sucesin que veas en tus viajes!La verdad es que hay demasiados tipos de sucesiones para

Qu es una sucesin?

Una sucesin es un conjunto de cosas (normalmente nmeros) una detrs de otra, en un cierto orden.

Finita o infinitaSi la sucesin sigue para siempre, es unasucesin infinita,si no es unasucesin finitaEjemplos{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesin muy simple (y es unasucesin infinita){20, 25, 30, 35, ...} tambin es una sucesin infinita{1, 3, 5, 7} es la sucesin de los 4 primeros nmeros impares (y es unasucesin infinita){4, 3, 2, 1} va de 4 a 1hacia atrs{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesin infinita donde vamos doblando cada trmino{a, b, c, d, e} es la sucesin de las 5 primeras letrasen order alfabtico{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesin de las letras en el nombre "alfredo"{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesin quealterna0s y 1s (s, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)En ordenCuando decimos que los trminos estn "en orden", nosotros somos los que decimosqu orden! Podra ser adelante, atrs... o alternando... o el que quieras!Una sucesin es muy parecida a unconjunto, pero con los trminosen orden(y el mismo valor s puede aparecer muchas veces).Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es lasucesinque alterna 0s y 1s. Elconjuntosera slo {0,1}La reglaUna sucesin sigue unareglaque te dice cmo calcular el valor de cada trmino.Ejemplo: la sucesin {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

Pero la regla debera ser una frmula!Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cmo se calcula el: 10 trmino, 100 trmino, o n-simo trmino(dondenpuede ser cualquier nmero positivo que queramos).As que queremos una frmula con "n" dentro (dondenser la posicin que tiene el trmino).Entonces, cul sera la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?Primero, vemos que la sucesin sube 2 cada vez, as que podemos adivinar que la regla va a ser "2 n". Vamos a verlo:Probamos la regla: 2nnTrminoPrueba

132n= 21=2

252n= 22=4

372n= 23=6

Estocasifunciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidadmenosde lo que debera, as que vamos a cambiarla un poco:Probamos la regla: 2n+1nTrminoRegla

132n+1 = 21+ 1 = 3

252n+1 = 22+ 1 = 5

372n+1 = 23+ 1 = 7

Funciona!As que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla comoLa regla para {3, 5, 7, 9, ...} es:2n+1Ahora, por ejemplo, podemos calcular eltrmino 100: 2 100 + 1 =201NotacinPara que sea ms fcil escribir las reglas, normalmente lo hacemos as:Posicin del trmino

Es normal usarxnpara los trminos: xnes el trmino nes la posicin de ese trmino

As que para hablar del "quinto trmino" slo tienes que escribir:x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuacin, as:xn= 2n+1Ahora, si queremos calcular el 10 trmino, podemos escribir:x10= 2n+1 = 210+1 = 21Puedes calcular el 50 trmino? Y el 500?Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:Tipos de sucesionesSucesiones aritmticasEl ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesin aritmtica (o progresin aritmtica), porquela diferencia entre un trmino y el siguiente es una constante.Ejemplos1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesin tiene una diferencia de 3 entre cada dos trminos.La regla esxn= 3n-2

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38,...

Esta sucesin tiene una diferencia de 5 entre cada dos trminos.La regla esxn= 5n-2Sucesiones geomtricasEn una sucesin geomtrica cada trmino se calcula multiplicando el anterior por un nmero fijo.Ejemplos:2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesin tiene un factor 2 entre cada dos trminos.La regla esxn= 2n3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesin tiene un factor 3 entre cada dos trminos.La regla esxn= 3n4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...

Esta sucesin tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos trminos.La regla esxn= 4 2-nSucesiones especialesNmeros triangulares1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesin se genera a partir de una pauta de puntos en un tringulo.Aadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente nmero de la sucesin.

Pero es ms fcil usar la reglaxn= n(n+1)/2Ejemplo: El quinto nmero triangular es x5= 5(5+1)/2 =15, y el sexto es x6= 6(6+1)/2 =21Nmeros cuadrados1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente nmero se calcula elevando al cuadrado su posicin.La regla esxn= n2Nmeros cbicos1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

El siguiente nmero se calcula elevando al cubo su posicin.La regla esxn= n3Nmeros de Fibonacci0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

El siguiente nmero se calcula sumando los dos que estn antes de l.El 2 se calcula sumando los dos delante de l (1+1)El 21 se calcula sumando los dos delante de l (8+13)La regla esxn= xn-1+ xn-2Esta regla es interesante porque depende de los valores de los trminos anteriores.Por ejemplo el 6 trmino se calculara as:x6= x6-1+ x6-2= x5+ x4= 5 + 3 = 8Series"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es lasumade una sucesin.Sucesin: {1,2,3,4}Serie: 1+2+3+4 = 10Las series se suelen escribir con el smboloque significa "smalos todos":Esto significa "suma de 1 a 4" = 10

Esto significa "suma los cuatro primeros trminos de la sucesin2n+1"

Que son los cuatro primeros trminos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24