Sucesiones 2002.pdf

CUARTO AO COMN TEXTO SAN MATEO 2002 30

COLEGIO SAN MATEO de OSORNO.

CUARTO AO PLAN COMN

UNIDAD : NMEROS SUBUNIDAD3 : SUCESIONES TIEMPO : 20 a 25 HORAS

PROFESOR ENCARGADO : GEORG STCKRATH M.

APRENDIZAJES ESPERADOS :

Los alumnos : Reconocen una sucesin de nmeros reales y su regla de formacin. Incorporan al lenguaje habitual la expresin con distintas clases de nmeros para comunicar los

hechos de forma ms completa y precisa.

Reconocen la utilidad de las diferentes clases de nmeros para ordenar, expresar cdigos,

aproximar y estimar medidas.

Incorporar al lenguaje habitual la expresin con distintas clases de nmeros para comunicar los

hechos de forma ms simple, completa y precisa.

Representar los nmeros naturales, enteros y decimales en la recta numrica para facilitar su

ordenacin y comprensin.

Adquirir destrezas prcticas relacionas con el clculo numrico.

ACTIVIDADES SUGERIDAS:

Realizan una investigacin sobre las diversas clases de nmeros de acuerdo a las necesidades

presentadas.

Resuelven ejercicios para determinar la necesidad de crear nuevos nmeros.

Buscan diferentes mtodos para agilizar la determinacin de los trminos generales de una sucesin

dada.

Analizan la operatoria con las diferentes definiciones axiomticas de adicin y multiplicacin de los

trminos generales de una sumatoria.

Confianza en encontrar procedimientos y estrategias para resolver y solucionar problemas.

Bibliografa :

Matemtica Ed. Arrayn 4 ao

Matemtica Ed. Santillana 4 ao

Texto San Mateo

Fundamentos de Matemtica Moderna Coleccin Schaum

PLAN DE TRABAJO

CONTENIDOS: ( Lo que voy a hacer

Definicin de desigualdad

Concepto de intervalo.

Inecuaciones de primer grado con una o dos variables.

Definicin de sucesin

Determinacin de los trminos de una sucesin dado el trmino general.

Determinacin del trmino general dados los primeros trminos de una sucesin

Sucesiones crecientes y decrecientes

Operaciones con sucesiones.

Concepto intuitivo de lmite.

Aplicacin del concepto intuitivo de lmite.

Concepto de Sumatoria y aplicaciones.

Factorial y Coeficiente Binmico

Teorema del binomio y sus aplicaciones

Concepto y aplicacin de progresin aritmtica

Concepto y aplicacin de Progresin Geomtrica


Aplicacin del mtodo de induccin

SUCESIONES. OBJETIVO :

Reconocer una sucesin de nmeros reales y su regla de formacin.

I. ORDEN EN El cuerpo de los reales es un conjunto ordenado puesto que en l se cumple la relacin "menor o igual que" ( ) :

p q p q q p, , 0 Demuestra que (,, ) es un cuerpo ordenado.

II. INTERVALOS. El conjunto de nmeros reales que estn entre dos nmeros reales a y b dados es un

intervalo.

x a x b /

ALGUNOS TIPOS DE INTERVALO :

Intervalo abierto a, b = { x /a < x < b }

a b

Intervalo abierto

a derecha

a, b = { x /a x < b }

Intervalo abierto

a izquierda

a, b = { x /a < x b }

Intervalo cerrado

a, b = { x /a x b }

Existen tambin los intervalos en los que uno o ambos parmetros son infinitos.

INECUACIONES.

Desigualdad condicional entre cantidades conocidas y otras variables.

Ejemplo : 5(x+2) 3(x+5) > 1

5x + 10 3x 15 > 1

5x 3x > 1 + 15 10

2x > 6

x > 3

Respuesta Como conjunto numrico {x / x x > 3 }

Como intervalo ,3

Representacin grfica


3

EJERCICIOS :

2. Representa en la Recta numrica cada uno de los siguientes intervalos :

a) A = { x / -3 < x 4 }

b) B = { x / -5 x -1 }

c) C = { x / -2 x }

3. Resuelve las siguientes inecuaciones :

a) 8x - 19 > 11 x 4

b) 7(x - 3) + 8(x - 1) > 2(x + 5)

c) (x + 2)(x + 5) - (x + 1)(x - 2) > 0 d) 2x - 4 < 5

e) x2 - 2x + 7 0 f) 2x(2x - 7) 6x 25

4. Resuelve el siguiente sistema con una incgnita :

7(3x 2 ) 4( 5x + 6 ) > 0

4x2

15x

2

7

La representacin grfica de una inecuacin de primer grado con dos variables se debe

realizar en un plano x

5. Resuelve el siguiente sistema con dos incgnitas :

2x 3y + 9 > 0

x 2y < 6

Ejemplo de una inecuacin con dos

variables 3x + 6y > 12

III. SUCESIONES.

Sucesin es una funcin cuyo dominio es el conjunto de nmeros naturales y cuyo

recorrido es un subconjunto de los nmeros reales.

Una sucesin de nmeros reales es una ley (funcin) que hace corresponder a cada nmero

natural un nmero real.

1 2 3 4 5 ... n ...

a1 a2

2

a3

3

a4

4

a5

5

... an

n

...

Se acostumbra representar la sucesin por sus imgenes :

a1

1

, a2

2

, a3

3

, a4

4

, . . . , an

n

, . . .


1 2 3 4 n

Los nmeros naturales 1,2,3,4,... n se llaman ndices. Los nmeros reales a1

1

, a2

2

, a3

3

,

a4

4

, . . . , an

n

, . . . se llaman trminos. Al trmino an

n

se le llama trmino general.

Ejemplo a1 a2 a3 a4 a5 an

Ejemplo 1 1 3 5 7 9 2n-1

Ejemplo 2 2 4 6 8 10 2n

Ejemplo 3 1 4 9 16 25 n2

Ejemplo 4 1 -2 3 -4 5 (-1)n+1n

EJERCICIOS :

6. Escribe los primeros cinco trminos de la sucesin

a) 1

2 1n b)

1n

n c)

1

2 1n

d) nn

e) n2 + (-1)nn f)

n

n

1

2 g)

n

n n2 1 h)

n

n

2

2

1

1

i) 3

4 2

n

n

j) n2+3n+1 k)

2

2 1

n

n l)

2n3

1n2

m) 11

n

n

n) 2n2 o)

1n3

n

p) 1n

11

7. Determina el trmino general de cada sucesin :

Ejemplo a1 a2 a3 a4 a5 an

Ejemplo a 1 8 27 64 125

Ejemplo b 1 4 9 16 125

Ejemplo c -1 1 -1 1 -1

Ejemplo d 2 5 10 17 26

Ejemplo e 2 12 30 56 90

Ejemplo f 0

3

1

2

1

5

3

3

2

Ejemplo g 4 7 10 13 16

Ejemplo h 2 1

5

4

7

5

3

2

Ejemplo i -1

2

1

3

1

4

1

5

1

IV. MONOTONIA. Una sucesin (an) es montona creciente cuando cada trmino es menor o igual que el

trmino siguiente, es decir, an an+1 , cualesquiera que sea el nmero natural n.

Ejemplo, la sucesin siguiente es montona creciente :

1, 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 4 , 5 . . .

Una sucesin (a

n

) es estrictamente creciente si es montona creciente y todos sus trminos

son distintos., es decir, an < an+1 , cualesquiera que sea el nmero natural n.

Ejemplo, la sucesin siguiente es estrictamente creciente :

1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . .


Una sucesin (a

n

) es montona decreciente cuando cada trmino es mayor o igual que el

trmino siguiente, es decir, an an+1, cualesquiera que sea el nmero natural n.

Ejemplo, la sucesin siguiente es montona decreciente :

,...6

1,

5

1,

4

1,

3

1,

2

1,1

Una sucesin (an ) es estrictamente decreciente si es montona decreciente y todos sus

trminos son distintos., es decir,

an > an+1,

1

, cualesquiera que sea el nmero

Ejemplo, la sucesin siguiente es estrictamente decreciente :

-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, . . .

8. Demuestra a que tipo pertenecen las siguientes sucesiones :

a) ,...2,3

5,

3

4,1 b) ,...

27

8,

9

4,

3

2,1 c) ,...

125

1,

25

1,

5

1,1

VI. OPERACIONES CON SUCESIONES. a) PRODUCTO DE UNA SUCESIN POR UN NUMERO.

La sucesin (k a n

n

) se llama sucesin producto de un nmero real k por la

sucesin (an ). Su trmino general se obtiene multiplicando el trmino general de (an) por el

nmero real k.

Ejemplo, Si la sucesin de trmino general ( n2 ) se multiplica por 2, el trmino de

orden general ser (2 n2 ).

b) SUMA DE SUCESIONES.

La sucesin (cn) se llama sucesin suma de las sucesiones ( an ) y ( bn )

Su trmino general se obtiene sumando los trminos generales ( an ) y ( bn )

Ejemplo. Si las sucesiones de trminos general an

nn

2

1 y b

n

nn

1

se suman n

n

n

n

n n

n

n n

nn

2 2

1 1 1

1

1

( )

o sea , la sucesin suma cn = n

c) SUCESION PRODUCTO.

La sucesin ( cn ) se llama sucesin producto de las sucesiones ( an ) y ( bn )

Su trmino general se obtiene multiplicando los trminos generales ( an ) y ( bn )

Ejemplo. Si las sucesiones de trminos general an

nn

2

1 y b

n

nn

1

se multiplican

n

n

n

n

n

n

2 3

21 1 1

o sea , la sucesin suma cn =

n

n

3

21


EJERCICIOS.

9. Se dan las siguientes sucesiones :

1n

3n2c

n

1nb

n

n23a n

2

nn

realiza las siguientes operaciones :

a) ( an ) + ( bn ) = b) ( bn ) - ( cn ) = c) ( an ) ( cn ) =

10. Si an = 2n + 3 y bn = 3n - 1 encuentra los 5 primeros trminos de la sucesin a) an + bn

b) an bn =

11. Si an = 2 1n

n

y

bn = n

n

1

1

encuentra los 5 primeros trminos de la sucesin a) an + bn b) an bn =

11 . Si an = n

n

2 1 y

bn = n

n 1

encuentra los 5 primeros trminos de la sucesin a) an + bn b) an bn =

LIMITE DE UNA SUCESION.

Sea la sucesin con trmino general an = 2 1

1

n

n

A medida que n se hace cada vez mayor, la diferencia entre el trmino an y el lmite 2 se hace cada vez

menor.

A partir de qu trmino la diferencia es menor que una centsima ?

2 1

12

1

1

n

n

n

n

1

100

1

100

99

A partir de qu trmino la diferencia a-2 son menores que un milsimo ?

Haciendo el mismo proceso anterior , llegaramos a que n > 999

UNA SUCESIN DE NMEROS REALES ( an ) TIENE POR LMITE EL NMERO REAL a, CUANDO PARA TODO NMERO REAL POSITIVO EXISTE UN NMERO NATURAL n* , TAL QUE PARA TODO n > n* SE VERIFICA QUE :

an - a < SE SIMBOLIZA AS :

limn

a = an


Las sucesiones que tienen lmite real se denominan sucesiones convergentes.

LMITE DE UNA SUCESIN Consideremos la sucesin

na = 0, ,...n

1n,...

6

5,

5

4,

4

3,

3

2,

2

1

Si n = 100 entonces el trmino que le corresponde es 99,0100

99


999


999999

T puedes comprobar intuitivamente que el nmero se acerca cada vez ms a 1, pero nunca llega a ser

igual a 1, por lo que diremos

1n

1nlim

n

OPERACIONES CON SUCESIONES CONVERGENTES. Si las sucesiones (an ) y (bn) tienen lmite finito, se pueden realizar las siguientes operaciones :

ADICION suma lim(an+ bn) = lim an + lim bn

opuesto lim (-an) = - lim an

diferencia lim(an - bn) = lim an - lim bn

MULTIPLICACIN producto lim(an bn) = lim an . lim bn

recproco lim 1

bn =

1

lim bn

cuociente limlim

a

b

a

lim b

n

n

n

n

CONSTANTE producto por k lim ( k an) = k lim an

ENTORNO DEL LIMITE. El nmero real a es el lmite de la sucesin a

n

si para todo real positivo suficientemente pequeo,

existe un valor no correspondiente al trmino ano de la sucesin, a partir del cul todos los trminos siguientes

estn en el entorno a-, a+ del punto a.

El nmero real a es el lmite de la sucesin an s y slo s para cualquier nmero real positivo suficientemente pequeo, existe un nmero natural no , tal que n > no se cumple que an - a>

Es decir : lim a an n o = a > 0 ; n / a < , n > n


Toda sucesin que tiene lmite se dice que es convergente. El lmite de una sucesin es un nmero real nico. Ejemplo :

= 0

0 + 1 =

n

1 lim

n

1 lim + 1 lim

= 1

n

1 +1

lim = n

n +

n

lim = n

lim

2

22

2

2

nn

nn

n

n

COLEGIO SAN MATEO

rea de Matemtica Prof.Georg Stckrath M

Nombre : FECHA : PUNTOS : NOTA :

1.

2.

3.

6. Escribe los primeros cinco trminos de la sucesin

a) 1

2 1n b)

1n

n c)

1

2 1n

d) nn

e) n2 + (-1)nn f)

n

n

1

2 g)

n

n n2 1 h)

n

n

2

2

1

1

i) 3

4 2

n

n

j) n2+3n+1 k)

2

2 1

n

n l)

2n3

1n2

m) 11

n

n

n)

2n2 o)1n3

n

p) 1n

11

1. Determina si cada sucesin es creciente o decreciente; es convergente o divergente y determina el

lmite de ellas cuendo n tiende a infinito

1n

n2an

2n

1nan

3

2nan

1n2

1na

2n

3n

1n2an

1n2

1an

1n

1n2an

nn 2

1

n

1a

2n

2an

n

14an

n

1)1(a 1nn

n

nn

11a

n

1an

n2

1n4an

1n

12an

n2

1n2a

2

n

CUARTO MEDIO SUBUNIDAD 3 : SUCESIONES

CONTROL FORMATIVO


SUMATORIA DE LOS TRMINOS DE UNA SUCESIN.

OBJETIVO : Reconocer, comprender y aplicar la notacin de sumatoria y sus propiedades. CONTENIDOS : Sumatoria : concepto y propiedades. Sumatoria de sucesiones de nmeros reales. Sumatoria de una sucesin es la forma abreviada de escribir sus trminos como sumandos.

Ejemplo 1 : x1 + x2 + x3 + + xn =

n

1k

kx

Ejemplo 2 : 12 + 22 + 32 + . . . + n2 =

n

k

k1

2

a a a a a akk

n

k

1

1 2 3 4 ...

PROPIEDADES :

1. Suma de una constante :

c n ckk

n

1

2. Sumatoria del producto de una constante por los trminos de una sucesin :

c a c ak kk

n

k

n

11

3. Sumatoria de la suma o diferencia de dos sucesiones :

( )a b a bk k kk

n

k

n

k

k

n

11 1

4. Sumatoria de los n primeros nmeros naturales :

kn n

k

n

1

1

2

( )

5. Sumatoria de los n primeros nmeros impares :

6. Sumatoria de los cuadrados de los n primeros nmeros naturales :

kn n n

k

n2

1

1 2 1

6

( )( )

( )2 11

2k nk

n


7. Sumatoria de los cubos de los n primeros nmeros naturales :

n

1k

223

4

)1n(nk

EJERCICIOS RESUELTOS :

1.

n

1k

n

1k

2n

1k

2n

1k

n6

)1n2)(1n(n1k1k1k1k

2. ...54433221 n trminos

...2

)1n(n

6

)1n2)(1n(nkkkk)1k(k

n

1k

n

1k

2n

1k

2n

1k

EJERCICIOS POR RESOLVER

1. ...543432321 n trminos

2. k k

k

( )

1

21

7

3. k

kk ( )

1 21

6

4. ( ) ( )

1 1

4

2

1

8 K

k

k

k

5. ( )

11

5k

k

k 6. 1

2 11 kk

n

7. ( ) ( )

1 11 21

k

k

n

k

Expresa como sumatoria : 8. 12 + 23 + 34 + ... 9. 2 + 5 + 8 + ... + 44

10. 1 1 + 2 3 + 3 5 + ... + 10 19 10. 1 + 4 + 7 + ... + 43

12. 3 + 5 + 7 + 9 + ... 13. 1 4 + 2 5 + 3 6 + 4 7

14

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

7

15. 27

4

3

1

3

21

Aplica propiedades y calcula :

16. 7 13

1

10

( )kk

17 ( )( )k kk

2

11

20

2 2

Calcula la sumatoria de :


18. kk

1

40

19. ( )2 11

30

kk

20. kk

2

1

63

21. ( )k kk

2

1

70

Usa las frmulas conocidas para el clculo de :

22. 21

kk

n

23. ( )3 21

kk

n

24. ( )2 1 2

1

kk

n

25. ( )kk

n

1 21

OBJETIVO:

INTERPRETAR EL CONCEPTO DE FACTORIAL.

CONTENIDOS Factorial

FACTORIAL.

DEFINICIN n! = 1 2 3 ... (n-2) ( n-1) n Es decir, n factorial es el producto de los n primeros nmeros naturales.

1! = 1 0! = 1 n! = n ( n-1)!

EJERCICIO RESUELTO

Ejemplo 1 : 5! = 12345 = 120


1. Simplificar a) 15! = b) (n+1)! c) (x+6)! 13!. 2! (n-1)! (x+4)!

2. Expresa en forma factorial : a) 13 12 11 b) 1

2524

3. Es verdadera la igualdad 2!

162!

+ 3! + 4!

OBJETIVO

CONOCER Y APLICAR EL CONCEPTO DE COEFICIENTE BINMICO

CONTENIDO

COEFICIENTE BINMICO


COEFICIENTE BINOMICO.

DEFINICIN : r)1r...(321

)1rn(...)2n()1n(n

r

n

1n

n

1

0

0

)!ba(!b

!a

b

a

EJERCICIO RESUELTO

Ejemplo 1.

10!3!2

!5

2

5

EJERCICIOS POR RESOLVER :

Es verdadera cada proposicin ?:

4)

4

8

5

7

4

7 5)

5

7

5

5

4

52

3

5

6) 42

1

7)

4

3

32

1

8)

4

4

3

4

2

4

1

4

0

42

4

9. Simplifica

15

17

14

17

2

16

1

16

10 Determina el valor de x en : 203

x

2

x2

1

x

11.

1n

n:

n

1n= 12.

1k

n

k

n

Demuestra si existe igualdad en :

13. 1n

1n

2n

n:

1n

1n

16. Resuelve la ecuacin :

7x

35

x

35


17. El valor de x en :

x

12

5

12

7

12

OBJETIVO :

DEDUCIR EL TEOREMA DEL BINOMIO.

CONTENIDO

TEOREMA DEL BINOMIO

TEOREMA DEL BINOMIO. Los coeficientes de las potencias de (a + b) se organizan de acuerdo al tringulo de Pascal : ( a + b )0 = 1 ( a + b )1 = a + b ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ( a + b )4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 ( a + b )5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 ........ se obtienen slo los coeficientes

1 0

0

1 1 1

0

1

1

1 2 1 2

0

2

1

2

2

1 3 3 3 3

0

3

1

3

2

3

3

1 4 6 4 1 4

0

4

1

4

2

4

3

4

4

......................... entonces se puede obtener el desarrollo de un binomio elevado a la potencia n

( a + b )n = n1n22n1nn bn

nab

1n

n...ba

2

nba

1

na

0

n


o tambin rrnn

0r

nba

r

nba

EJERCICIOS RESUELTO :

5y2x

05 y2x0

5

14 y2x1

5

23 y2x2

5

32 y2x3

5

41 y2x4

5

50 y2x5

5

=

)y32(y16x5y8(x10y4x10)y2(x5x 54)322345

54322345 y32xy80yx80yx40yx10x


19. Desarrolla cada uno de los siguientes binomios :

a) (x - y)5 b) (2x - 3y)4 c) (2 - 3ab)5

d) 3

2

2

4

x y

e)

32b

5

2a

2

3

f) (3p - q)5 =

Para determinar el trmino de orden p

tp = 1p)1p(n

na1p

n

20. Encuentra el :

a) el sexto trmino de (x+y)15 b) el quinto trmino de (a-b)9

c) el cuarto trmino de (x2 - y2)11 d) el noveno trmino de

12

x

1x

2

1

PROGRESIN ARITMTICA.

OBJETIVOS :

Aplicar los conceptos y las propiedades de las progresiones aritmticas.

CONTENIDOS :

Una progresin aritmtica (P.A.) es una secuencia de nmeros relacionados de

tal manera que cada uno, despus del primero, se pueden obtener del que le precede

sumando a ste una cantidad fija llamada diferencia comn.

a1 = primer trmino de la P.A.

d = diferencia comn de la P.A.

an = trmino ensimo ( ltimo ) de la P.A.

n = nmeros de trminos de la P.A.


Sn = suma de los n trminos de la P.A.

EJERCICIOS :

1. Escribe los n primeros trminos de la P.A. siguiente, cuyos datos son :

a) a1 = 3 ; d = 3 ; n = 5 b) a1 = -1 ; d = 2 ; n = 7

c) a1 = -5 ; a3 = -1 ; n = 6 d) a6 = 2 ; a2 =11 ; n = 6

2. Encuentra la suma de los trminos de la P.A. de acuerdo a los siguientes datos :

a) a1 = 6 ; d = 3 ; n = 5 b) a1 = -8 ; d = 3 ; n = 11

c) a1 = -3 ; an = 9 ; n = 7 d) a1 = 1 ; an = 7 ; n = 8

3. De las variables, a1 ; an ; n ; d ; S ; encuantra las que faltan en cada una de las

siguientes agrupaciones :

a) a1 = 2 ; d = -0,5 ; n = 8

b) an = -11 ; S = -32 ; n = 8

c) a1 = 4 ; n = 11 ; S = -11

d) an = 1 ; d = -1 ; S = 78

4. Calcula el trmino de orden 14 en una P.A. si el primer trmino es 5 y la

diferencia es 4.

5. El undcimo trmino de una P.A. es 49 y su diferencia es 4. Encuentra el

primer y el octavo trmino.

6. Encuentra la P.A. cuyo quinto trmino es 14 y el dcimo trmino es 29.

7. Interpola cinco trminos entre 3 y 6.

8. Hallar tres nmeros que estn en P.A. sabiendo que la suma del primer y del

tercer trmino es 44 y el producto del segundo por el primer trmino es 418.

9. Encuentra la suma de los 100 primeros mltiplos de tres.

10. Se dan las siguientes P.A. encuentra el trmino que se indica :

5, 8,, 11, 14 ... a10

5, 2, -1, -4, ... a15

3, 8, 13, 18, ... a12

FRMULAS :

an = a1 + ( n - 1 )d d = an - an-1 Sn = n

a an2 1


1

22 3

1

25, , , ,... a10

11. Determina cuntos trminos tiene una P.A. si el primero es 5, el ltimo es

50 y la diferencia es 3 .

12. Halla una P.A. tal que la suma de los primeros veinte trminos es 120 y su

diferencia es 2.

13. Encuentra la diferencia en una P.A. cuyo trmino de lugar 27 es 32 y cuyo

trmino de lugar 18 es 5. Encuentra adems el primer trmino.

14. Interpola tres trminos entre 12 y 42.

Interpola cinco trminos entre 6 y 91

4

15. Encuentra la suma de los diez primeros trminos de las siguientes

sucesiones :

a) 1, 2, 3, ...

b) 5, 2, -1, ...

c) 1, 1

2 , 0 , ...

16. Halla la suma de los primeros quince trminos de una P.A. si se sabe que el

quinto trmino es 17 y el sptimo trmino es 23.

17. Halla una P.A. de 8 trminos sabiendo que los cuatro primeros trminos

suman 40 y que los cuatro ltimos suman 72.

18. Para construir una va elevada se levanta sobre una superficie horizontal

una rampa de pendiente uniforme la que se sostiene sobre 12 soportes de

fierro igualmente espaciados. La altura del primer soporte es 2 m y la del ms

alto es 51,5 m. Encuentra la altura de cada soporte y la suma del fierro a

emplear.

19. Se deja caer una bola de goma, la que en el primer bote se levanta 1 metro

del suelo, en el segundo bote 95 cm, en el tercer bote 90 cm y as

sucesivamente. Calcula cunto ha recorrido la bola desde que toca por primera

vez el suelo hasta que llega al punto ms alto despus del dcimo bote.

PROGRESIN GEOMTRICA. Una progresin geomtrica ( P.G. ) es una secuencia de nmeros relacionados de tal

manera que, cada uno, despus del primero, se puede obtener del que le precede

multiplicndolo por una cantidad fija llamada razn comn .

a1 = primer trmino de la P.G.

an = ltimo trmino de la P.G.

r = razn de la P.G.

n = nmero de trminos de la P.G.

S = suma de los trminos de la P.G.

Ejemplo : Primer elemento 3

razn 4

a1 a2 a3 a4 a5

3 3 4 = 12 12 4 = 48 48 4 = 192 192 4 = 768


Es decir, la P.G. es 3, 12, 48, 192, 768, ...

Frmulas :

an = a1 rn-1 r = a

a

n

n-1

S = a 1- r1 - r

1

n

EJERCICIOS :

1. Escribe los n primeros trminos de la P.G. de acuerdo a los siguientes datos :

a) a1 = 3 ; r = 3 ; n = 6 b) a1 = -4 ; r = 3 ; n = 4

c) a1 = 8 ; a2 = 4 ; n = 6

d) a2 = 1 ; a5 = 125 ; n = 5

2. Encuentra el trmino de orden n en las siguientes P.G. a) a1 = 2 ; r = 2 ; n = 5

b) a1 = 625 ; r = 0,2 ; n = 6

c) a1 = 343 ; r = 1

7 ; n = 5

3. Encuentra la suma de los trminos que se indican en cada P.G. : a) a1 = 1 ; r = 2 ; n = 5

b) a1 = 125 ; r = 0,2 ; an = 0,2

c) a1 = 1

2 ; r = 2 ; n = 7

d) a1 = 81 ; r = 1

3 ; n = 6

4. Encuentra las variables faltantes entre S, a1 , an , r , n en las siguientes P.G. : a) an = 27 ; r = 3 ; n = 6

b) an = 1 ; r = 1

2 ; S = 511

c) an = 1 ; r = 0,2 ; n = 5

d) a1 = 256 ; n = 3 ; S = 256

5. Halla el quinto trmino y la suma de los diez primeros trminos de la P.G. : 8, 4, 2, ....

6. El segundo trmino de una P.G. es

4

3 y el quinto es

32

3. Encuentra el octavo

trmino.

7. En una P.G. el primer trmino es 23 y la razn es 2. Cuntos trminos se deben sumar para que el resultado sea 1449 ?

8. Gonzalo gana $ 1. El primer da de trabajo, $ 2 el segundo da, $ 4 el tercer da, $ 8 el cuarto da. Cunto habr ganado al cabo de 20 das de trabajo ?

9. Encuentra los cinco primeros trminos de una P.G. de modo que el primero sea 2 y el segundo 3.

10. Interpola dos medios geomtricos entre a y b.

11. Determina cuntos trminos tiene la P.G. cuyo primer trmino es 2 y cuyo ltimo trmino es 512 si su suma es 682.


12. Se sabe que una determinada bacteria se reproduce por biparticin cada 20 minutos, es decir de cada bacteria aparecen 2 cada 20 minutos. Cuntas bacterias habrn

pasadas 10 horas desde que se detect la primera ?

XI. PROGRESIN GEOMTRICA INFINITA.

Si n y r> 1 entonces S = a

r

1

1

1. Encuentra la suma de

a) 1+1

2

1

4 ... B) a1 = 5 ; r =

3

5 c) a1 = 4 ; a2 = 2,4

d) a1 = 4 ; a4 = 4

125 e) a2 = 64 ; a4 = 4

2. Si una pelota rebota tres cuartos de la distancia recorrida en su cada.

Calcula la distancia real que recorrer antes de alcanzar su estado de reposo

si se ha dejado caer desde 2,6 metros.

3. Una bicicleta baja una pendiente frenando de tal modo que cada segundo

recorre tres cuartos de distancia recorrida en el segundo anterior. Calcula el

espacio recorrido hasta detenerse si avanz 5 metros en el primer segundo.

4. Un nio recibe $ 5000 durante el primer ao de vida de un fondo que le

asegura un ingreso anual igual a la mitad del valor recibido el ao anterior.

Calcula el valor aproximado que llegar a recibir hasta que su primer nieto

est en segundo ao bsico.

Se tiene un cuadrado de lado a. Se inscribe en l un cuadrado uniendo los

puntos medios de los lados del cuadrado original y as se van inscribiendo

cuadrados cada vez ms chicos. Calcular la suma de las reas y de los

permetros de los infinitos cuadrados as obtenidos.

INDUCCCIN MATEMTICA. OBJETIVO : Demostrar la validez de proposiciones y frmulas mediante el principio

de Induccin Matemtica.

CONTENIDOS : El Principio de Induccin completa es una proposicin q

expresada en trminos de una variable k que cumple :

1) es verdadera si k = 1 2) a partir de que k = p se deduce que tambin es vlida para K 0 p+1 entonces

dicha proposicin q es vlida para cualquier nmero natural.

Para llegar a una generalizacin se debe examinar un cierto nmero de casos

particulares para descubrir la forma en que estn relacionados. Una vez que se

encuentra la mencionada relacin se constituye en generalizacin o ley. Es decir se

trabaja de lo particular a lo general, lo que forma el mtodo de la lgica llamado

induccin.

EJERCICIOS :

Demuestra las siguientes proposiciones por medio de induccin :

1) 1 + 2 + 3 + . . . + n = n n 1

2

2) 2 + 4 + 6 + . . . + 2n = n(n + 1 )


3) 3 + 5 + 7 + . . . + ( 2n+1 ) = n(n + 2)

4) 1 + 4 + 7 + . . . + ( 3n - 2 ) = n 3n 1

2

5) 4 + 7 + 10 + . . . + ( 3n + 1 ) = n

23n 5

6) 3 + 6 + 9 + . . . + 3n = 3n

2n 1

7) 1 + 5 + 9 + . . . + ( 4n - 3 ) = n(2n - 1 )

8) 2 + 22 + 23 + . . . + 2n = 2(2n- 1 )

9) 1 2 + 2 3 + 3 4 + . . . + n (n+1) = n n 1 n 2

3

10) 2 4 + 4 6 + 6 8 + . . . + 2n (2n+2) = 4n n 1 n 2

3

11) 1 + 3 + 6 + . . . + 1

2n n 1

n n 1 n 2

6

12)

1

1 2

1

2 3

1

3 4...

1

n n 1

n

n 1

COLEGIO SAN MATEO

rea de Matemtica Prof.Georg Stckrath M

Nombre : FECHA : PUNTOS : NOTA :

1. Desarrolla las siguientes sumatorias y obtn el resultado :

a)

5

1

)12(k

k

b)

6

1

)1)(1(k

kk

2. Escribe en forma de sumatoria las siguientes series :

a) ...7

4

5

3

3

21

CUARTO MEDIO

UNIDAD 3 :

SUCESIONES

CONTROL SUMATIVO N

3


1. -1 + 2 3 + 4 5

c) 74635241

3. Calcula el valor de la siguiente suma :

27

18

3 )(k

kk

4. Calcula el valor de las siguientes sumas :

a)

36

1

)21(k

k

b)

30

1

)3(k

kk

5. Calcula los siguientes valores :

a) !28

!30

b)

2

5

3

5


c)

!1

!1

k

k

d)

2

5

3

52

3

6

6. Compara las siguientes igualdades :

a) !436

!6!5!4

b)

4

10

4

9

3

9 c)

5

7

4

6:

5

7

7. Calcula el valor de x en :

a) 152

x b) 36

2

x

x

EJERCICIOS PAA

Pregunta 26: El tringulo ABC es rectngulo en C y BF, es bisectriz del ngulo ABC. Determinar cunto vale a. a) 60 b) 75 c) 30 d) 105 e) 90

Pregunta 27: Si en el D ACD : a = b = x/6 . Cunto mide x? a) 140 b) 102,5 c) 120 d) 135 e) Ninguna de las anteriores

Pregunta 28:

En la figura, L1 L2 . Determinar el valor de p + q + r; si 1 2 3 = 25 a) 170 b) 125 c) 130 d) 120 e) 115

Pregunta 29:

Si L1 //L 2 , L1 OA ; OB=BD=5 cm. y AD = 6 cm., determine el rea del tringulo OBC a) 6 cm2 b) 8 cm2 c) 12 cm2 d) 4,5 cm2 e) 9 cm2


Pregunta 30: Si en el tringulo ABC, rectngulo en A, se cumple que 28 < z < 56, entonces si los valores de x fluctan entre los enteros. Entre qu valores puede fluctuar x? a) 34 < x < 62 b) 28 < x < 56 c) 124< x


Pregunta 39: Si al triple del producto entre a y b se le suma el producto entre el triple de a y la suma entre a y b se obtiene: a) 3a (a + 2b) b) 3a ( a + b c) 3a2 d) 4a + 2ab + b e) 3a (2a + 3b)

Pregunta 40: El doble del cubo de la diferencia de los nmeros p y s, se expresa por: a) (p - s)6 b) 2 (p - s)3 c) 2 p3 - s3 d) 2 ( p3 - s3 ) e) (2p - 2s)3

Pregunta 41: Si al producto a(a + b) le restamos el producto b (a - b) obtiene: a) a2 + ab b) a2 - ab c) ab - b2 d) a2 - b2 e) a2 + b2 Pregunta 42: La multiplicacin del cubo de 3m por el triple de 3n se expresa como: a) 9m2 12n b) 6m2 12n c) 6m 12n

d) 27m3 9n e) 9m 2 64n3 Pregunta 43: Si al doble de a - b se le resta el doble de a + b se obtiene: a) 2a + b b) a2 + b2 c) -4b d) 4b e) 2 + a + b Pregunta 44: El doble del cubo de la diferencia entre x y su doble equivale a la expresin: a) -2x 3 b) 2x 3 c) -8x3 d) 8x 3 e) 2x3 - 2x Pregunta 45: ( - x ) 0 + ( - x ) + (- x ) 2 = y , entonces y =? a) 1 b) x2 c) -x+x2 d) 1+x+x2 e) 1-x+x2 Pregunta 46: Si a un nmero x se le resta su quinto, se obtiene la mitad del nmero ms 6, entonces x =? a) 25 b) 20 c) 15 d) 10 e) 5 Pregunta 47: La tercera parte de un nmero ms 14, es igual al mismo nmero. Cul es el nmero? a) 43/2 b) 10,5 c) 42/3 d) 21 e) 7 Pregunta 48: Si a = 1 entonces, 2a -1+ a -1+ a0 + a2 =? a) 5 b) 4 C) 3 d) 2 e) 1 Pregunta 49: Si x = y = z = 1, entonces (x-y) /(x+z) =? a) 1 b) 1 c) d) 0 e) 2 Pregunta 50: Si a + b = -1 y b - 1 = 2, entonces a = a) 2 b) 4 C) 2 d) 3 e) 4

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