SUCESIONES ARITMETICAS

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales: {1, 2,

3, …}. Una sucesión aritmética es aquélla en la cual la diferencia entre dos términos

consecutivos es una constante. La fórmula para el término general de una sucesión

aritmética es an + b, en donde a y b son constantes, y n es el número del término deseado.

Específicamente, la constante a es la diferencia entre un término y el anterior.

Si sumamos n términos de la sucesión con término general an + b obtendremos el valor:

EJEMPLO A:

Notemos la sucesión: 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…

La diferencia entre cualquier término y el anterior es 3, de modo que el término general

sería 3n + b.

Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.

De esta forma, 3(1) + b = 8, y por lo tanto b = 5.

Por lo tanto, el término general de la sucesión es: 3n + 5.

Si queremos encontrar el término 25 de la sucesión, sustituimos 25 en la anterior fórmula:

3(25) + 5 = 80. De modo que el término 25 de la sucesión tiene el valor de 80.

Si queremos encontrar la suma de los primeros 12 términos de esta sucesión, utilizamos la

fórmula (1) arriba, con a = 3, b = 5 y n = 12:

EJEMPLO B:

Notemos la sucesión: –13, –19, –25, –31, –43, –49, –55,…

La diferencia entre cada término y el anterior es -6, de modo que el término general sería –

6n + b.

Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.

De esta forma, –6(1) + b = –13, y por lo tanto b = –7.

Por lo tanto, el término general de la sucesión es: –6n – 7.

Si queremos encontrar el término 16 de la sucesión, sustituimos 16 en la anterior fórmula:

–6(16) – 7 = –103. De modo que el término 16 de la sucesión tiene el valor de –103.

Si queremos encontrar la suma de los primeros 30 términos de esta sucesión, utilizamos la

fórmula (1) arriba, con a = –6, b = –7 y n = 30:

EJERCICIOS:

Sea la sucesión aritmética: –7, –1, 5, 11, 17, 23, 29, …

1) Encontrar el término 24.

2) Encontrar la suma de los primeros 32 términos.

Sea la sucesión aritmética: –3.5, –7.5, –11.5, –15.5, –19.5, –23.5, –27.5, …

3) Encontrar el término 33.

4) Encontrar la suma de los primeros 32 términos.

SUCESIONES GEOMETRICAS

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales: {1, 2,

3, …}. Una sucesión geométrica es aquélla en la cual el cociente entre dos términos

consecutivos es una constante. La fórmula para el término general de una sucesión

geométrica es a . rn–1, en donde a y r son constantes, y n es el número del término deseado.

Específicamente, la constante r es el cociente entre un término y el anterior.

Si sumamos n términos de la sucesión geométrica con término general a . rn–1 obtendremos

el valor:

EJEMPLO A:

Notemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, …

El cociente entre dos términos consecutivos es 2, de modo que el término general sería: a .

2n–1.

Para encontrar el valor de a podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.

De esta forma, a . 20 = 3. Como 20 = 1, se deduce que a = 3.

Por lo tanto, el término general de la sucesión es: 3 . 2n–1.

Si queremos encontrar el término 13 de la sucesión, sustituimos 13 en la anterior fórmula:

3 . 213–1 = 12288. De modo que el término 13 de la sucesión tiene el valor de 12288.

Si queremos encontrar la suma de los primeros 9 términos de esta sucesión, utilizamos la

fórmula número (1) arriba, con a = 3, r = 2 y n = 13, obtenemos 1533.

EJEMPLO B:

Notemos la sucesión: 0.5, –1.5, 4.5, –13.5, 40.5, –121.5, 364.5,…

El cociente entre dos términos consecutivos es -3, de modo que el término general sería: a .

(–3)n–1.

Para encontrar el valor de a podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.

De esta forma, a . (–3)0 = 0.5. Como (–3)0 = 0.5, se deduce que a = 0.5.

Por lo tanto, el término general de la sucesión es: 0.5 . (–3)n–1.

Si el valor de r es negativo, los términos alternan entre positivo, negativo, positivo, etc.

Si queremos encontrar el término 9 de la sucesión, sustituimos 9 en la anterior fórmula:

0.5 . (–3)9–1 = 3280.5. De modo que el término 9 de la sucesión tiene el valor de 3280.5.

Si queremos encontrar la suma de los primeros 6 términos de esta sucesión, utilizamos la

fórmula número (1) arriba, con a = 0.5, r = –3 y n = 6, obtenemos –91.

EJERCICIOS:

Sea la sucesión geométrica: 0.4, 1.2, 3.6, 10.8, 32.4, 97.2, 291.6, …

1) Encontrar el término 11.

2) Encontrar la suma de los primeros 8 términos.

Sea la sucesión geométrica: –0.6, 1.2, –2.4, 4.8, –9.6, 19.2, –38.4, …

3) Encontrar el término 19.

4) Encontrar la suma de los primeros 13 términos.

APLICACIONES DE SUCESIONES ARITMÉTICAS

Recordamos la fórmula para el término general de una sucesión aritmética: an + b, en

donde a y b son constantes, y n es el número del término deseado. Específicamente, la

constante a es la diferencia entre un término y el anterior.

Si sumamos n términos de la sucesión con término general an + b obtendremos el valor:

EJEMPLO:

Introducimos una clavo largo de acero en una tabla. Con el primer golpe, el clavo se

introduce 20 mm; con el segundo, 18 mm. Si suponemos que el clavo se introduce en la

tabla siguiendo una secuencia aritmética, calcular cuánto se ha introducido al final del

noveno golpe.

Solución: Primero encontramos la diferencia entre términos sucesivos: 18 – 20 = –2 = a.

Por tanto, el término general es –2n + b. Usamos el primer término con n = 1 para encontrar

b: –2(1) + b = 20 b = 22. Luego, el término general es: –2n + 22.

Para encontrar la suma total penetrado por el clavo, sustituimos en la fórmula (1) con a = –

2, b = 22 y n = 9: (–2/2)(9)(9 + 1) + (22)(9) = 108.

EJERCICIOS:

1) Al final de esta semana, ponemos $0.50 en una alcancía vacía. Una semana después

ponemos $0.75; a la semana siguiente, $1.00 y así sucesivamente. ¿Cuánto dinero habrá

en la alcancía al final de la semana 26?

2) Al final de un minuto, un automóvil recorre 10 m; al final del segundo minuto, 13 m;

del tercero, 16 m y así sucesivamente. ¿Cuánto habrá recorrido al final del minuto 33?

3) Un almacén vende a $100 la primera docena de artículos; a $99.70 la segunda; a $99.40

la tercera y así sucesivamente. ¿Cuánto pagaríamos por 11 docenas de artículos?

4) El último graderío de un gimnasio tiene capacidad para 1000 aficionados; el penúltimo,

para 930; el antepenúltimo, para 860 y así sucesivamente. Si el estadio tiene 15 graderíos,

¿cuál es su capacidad total?

APLICACIONES DE SUCESIONES GEOMÉTRICAS

Recordamos que la fórmula para el término general de una sucesión geométrica es a . rn–1,

en donde a y r son constantes, y n es el número del término deseado. Específicamente, la

constante r es el cociente entre un término y el anterior.

Si sumamos n términos de la sucesión geométrica con término general a . rn–1 obtendremos

el valor:

EJEMPLO:

Al ejercitar un músculo, éste aumenta 3 milímetros el primer día. Además, el incremento de

cada día es igual a 0.95 del incremento del día anterior. ¿Cuál será el incremento total al

final del día 18?

Solución: Evidentemente, r = 0.95, de modo que el término general es: a . 0.95n–1. Para

obtener a sustituimos n = 1 en el primer término: a . 0.951–1 = 3 a = 3. Por tanto, el

término general es: 3 0.95n–1.

Para obtener el crecimiento total al final del día 18, sustituimos a = 3, r = 0.95 y n = 18 en

la fórmula (1): 3(0.9518 – 1)/(0.95 – 1) = 36.17 cm.

EJERCICIOS:

1) En una cuenta de ahorros, depositamos $100 al final del primer año. El banco agrega

5% compuestos cada año. ¿Cuánto dinero habría al finalizar 13 años? (Nótese que en este

problema no nos interesa la suma, sino únicamente el término 13.)

2) Un auto recorre 20 m en un minuto; 10 m al siguiente minuto; 5 m al siguiente y así

sucesivamente. ¿Cuánta distancia habrá recorrido al finalizar 11 minutos?

3) Una persona tiene 2 padres (1a. generación atrás), 4 abuelos (2a. generación atrás), 8

bisabuelos y así sucesivamente. ¿Cuántos ancestros tendría 13 generaciones atrás?

4) Una bola se deja caer desde una altura de 18 m. El primer rebote alcanza una altura de

6 m; el segundo, 2 m y así sucesivamente. ¿Cuál es la distancia total que ha recorrido la

bola al final del quinto rebote? (Importante: La caída inicial de la bola es especial porque

la bola sólo baja, a diferencia de cada rebote en que sube y después baja.)

Sucesiones y series

.

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un

cierto orden.

Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,

si no es una sucesión finita

Ejemplos

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término

{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético

{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un

orden alternativo)

En orden

Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué

orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!

Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo

valor sí puede aparecer muchas veces).

Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo

{0,1}

La regla

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

¡Pero la regla debería ser una fórmula!

Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:

10º término,

100º término, o

n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).

Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el

término).

Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?

Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a

ser "2 × n". Vamos a verlo:

Probamos la regla: 2n

n Término Prueba

1 3 2n = 2×1 = 2

2 5 2n = 2×2 = 4

3 7 2n = 2×3 = 6

Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que

debería, así que vamos a cambiarla un poco:

Probamos la regla: 2n+1

n Término Regla

1 3 2n+1 = 2×1 + 1 = 3

2 5 2n+1 = 2×2 + 1 = 5

3 7 2n+1 = 2×3 + 1 = 7

¡Funciona!

Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como

La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1

Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201

Notación

Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

Posición del término

Es normal usar xn para los términos:

xn es el término

n es la posición de ese término

Así que para hablar del "quinto término" sólo

tienes que escribir: x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:

xn = 2n+1

Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:

x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21

¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?

Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:

Tipos de sucesiones

Sucesiones aritméticas

El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión

aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.

Ejemplos

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.

La regla es xn = 3n-2

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.

La regla es xn = 5n-2

Sucesiones geométricas

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un

número fijo.

Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.

La regla es xn = 2n

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.

La regla es xn = 3n

4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...

Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.

La regla es xn = 4 × 2-n

Sucesiones especiales

Números triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.

Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la

sucesión.

Pero es más fácil usar la regla

xn = n(n+1)/2

Ejemplo:

El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,

y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21

Números cuadrados

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.

La regla es xn = n2

Números cúbicos

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.

La regla es xn = n3

Números de Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.

El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)

El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)

La regla es xn = xn-1 + xn-2

Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.

Por ejemplo el 6º término se calcularía así:

x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8

Series

"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la

suma de una sucesión.

Sucesión: {1,2,3,4}

Serie: 1+2+3+4 = 10

Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":

Esto significa "suma de 1 a 4" = 10

Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión

2n+1"

Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo

{3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24

Sucesiones - Encontrar la regla

Para encontrar un número que falta en una sucesión, primero tienes que conocer la regla

Definición rápida de sucesión:

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) que están en algún orden.

Cada número en la sucesión es un término (a veces "elemento" o "miembro"):

Encontrar números que faltan

Para calcular un número que falta primero necesitas saber la regla que sigue la sucesión.

A veces basta con mirar los números y ver el patrón.

Ejemplo: 1, 4, 9, 16, ?

Respuesta: son cuadrados (12=1, 22=4, 32=9, 42=16, ...)

Regla: xn = n2

Sucesión: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

¿Has visto cómo escribimos la regla con "x" y "n"?

xn significa "el término en la posición n", así que el tercer término sería x3

Y también hemos usado "n" en la fórmula, así que para el tercer término hacemos 32 = 9.

Esto se puede escribir

x3 = 32 = 9

Cuando sepamos la regla, la podemos usar para calcular cualquier término, por ejemplo

término 25º se calcula "poniendo dentro" 25 donde haya una n.

x25 = 252 = 625

Qué tal si vemos otro ejemplo:

Ejemplo: 3, 5, 8, 13, 21, ?

Son la suma de los dos que están delante, o sea 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13 y sigue así (en realidad

es parte de la Sucesión de Fibonacci):

Regla: xn = xn-1 + xn-2

Sucesión: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

¿Qué significa xn-1 aquí? Bueno, sólo significa "el término anterior" porque la posición (n-

1) es uno menos que (n).

Entonces, si n es 6, será xn = x6 (el 6º término) y xn-1 = x6-1 = x5 (el 5º término)

Vamos a aplicar la regla al 6º término:

x6 = x6-1 + x6-2

x6 = x5 + x4

Ya sabemos que el 4º es 13, y que el 5º es 21, así que la respuesta es:

x6 = 21 + 13 = 34

Muy simple... sólo pon números en lugar de "n"

Muchas reglas

Uno de los problemas que hay en "encontrar el siguiente término" de una sucesión es que

las matemáticas son tan potentes que siempre hay más de una regla que vale.

¿Cuál es el siguiente número de la sucesión 1, 2, 4, 7, ?

Hay (por lo menos) tres soluciones:

Solución 1: suma 1, después suma 2, 3, 4, ...

Entonces, 1+1=2, 2+2=4, 4+3=7, 7+4=11, etc...

Regla: xn = n(n-1)/2 + 1

Sucesión: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...

(La regla parece complicada, pero funciona)

Solución 2: suma los dos números anteriores más 1:

Regla: xn = xn-1 + xn-2 + 1

Sucesión: 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, ...

Solución 3: suma los tres números anteriores

Regla: xn = xn-1 + xn-2 + xn-3

Sucesión: 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, ...

Así que tenemos tres soluciones razonables, y cada una da una sucesión diferente.

¿Cuál es la correcta? Todas son correctas.

Y habrá otras soluciones.

Hey, puede ser una lista de números ganadores... así que el

siguiente será... ¡cualquiera!

La regla más simple

Cuando dudes, elige la regla más simple que funcione, pero menciona también que hay

otras soluciones.

Calcular diferencias

A veces ayuda encontrar diferencias entre los términos... muchas veces esto nos muestra

una pauta escondida.

Aquí tienes un ejemplo sencillo:

Las diferencias siempre son 2, así que podemos adivinar que "2n" es parte de la respuesta.

Probamos 2n:

n: 1 2 3 4 5

Términos (xn): 7 9 11 13 15

2n: 2 4 6 8 10

Error: 5 5 5 5 5

La última fila nos dice que siempre nos faltan 5, así que sumamos 5 y acertamos:

Regla: xn = 2n + 5

OK, podías haber calculado "2n+5" jugando un poco con los números, pero queremos un

sistema que funcione, para cuando las sucesiones sean complicadas.

Segundas diferencias

En la sucesión {1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...} tenemos que calcular las diferencias...

... y después calcular las diferencias de esas diferencias (se llaman segundas diferencias),

así:

En este caso las segundas diferencias son 1.

Con las segundas diferencias multiplicamos por "n2 / 2".

En nuestro caso la diferencia es 1, así que probamos n2 / 2:

n: 1 2 3 4 5

Términos (xn): 1 2 4 7 11

n2: 1 4 9 16 25

n2 / 2: 0.5 2 4.5 8 12.5

Error: 0.5 0 -0.5 -1 -1.5

Estamos cerca, pero nos estamos desviando en 0.5 cada vez más, así que probamos ahora:

n2 / 2 - n/2

n2 / 2 - n/2: 0 1 3 6 10

Error: 1 1 1 1 1

Ahora nos sale 1 menos, así que sumamos 1:

n2 / 2 - n/2 + 1: 1 2 4 7 11

Error: 0 0 0 0 0

La fórmula n2 / 2 - n/2 + 1 se puede simplificar a n(n-1)/2 + 1

Así que, con "prueba y error" hemos conseguido descubrir la regla.

Sucesión: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, ...

Otros tipos de sucesiones

Además de las que se explican en sucesiones y series:

Sucesiones aritméticas

Sucesiones geométricas

Sucesión de Fibonacci

Sucesiones triangulares

Ten en cuenta

Números primos

Números factoriales

¡y cualquier otra sucesión que veas en tus viajes!

La verdad es que hay demasiados tipos de sucesiones para decirlos aquí, pero si hay alguno

que te gustaría que digamos, sólo tienes que decírmelo.

Patrones conocidos de números

A veces los números forman patrones interesantes. Aquí mostramos los más

comunes y cómo se forman.

Sucesiones aritméticas

Una sucesión aritmética se construye sumando un valor fijo cada vez.

Ejemplos:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos números consecutivos.

El patrón se sigue sumando 3 al último número cada vez.

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos números consecutivos.

El patrón se sigue sumando 3 al último número cada vez.

Sucesiones geométricas

Una sucesión geométrica se construye multiplicando un valor fijo cada vez.

Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos números consecutivos.

El patrón se sigue multiplicando el último número por 2 cada vez.

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos números consecutivos.

El patrón se sigue multiplicando el último número por 3 cada vez.

Sucesiones especiales

Números triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesión se genera con un patrón de puntos que forma un triángulo.

Añadiendo otra fila de puntos y contando el total se encuentra el siguiente número de la

sucesión.

Números cuadrados

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente número se hace elevando su posición al cuadrado.

El segundo número es 2 al cuadrado (22 o 2×2)

El séptimo número es 7 al cuadrado (72 o 7×7) etc.

Números cúbicos

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

El siguiente número se calcula elevando su posición al cubo.

El segundo número es 2 al cubo (23 o 2×2×2)

El séptimo número es 7 al cubo (73 o 7×7×7) etc.

Números de Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

El siguiente número se halla sumando los dos números delante de él.

El 2 se calcula sumando los dos números delante de él (1+1)

El 21 se calcula sumando los dos números delante de él (8+13)

El siguiente número de la sucesión sería 55 (21+34)

¿Puedes averiguar algunos números más?

Otras sucesiones

¡Hay muchas más! Incluso se te pueden ocurrir a ti ...