Sucesiones GeométricasSucesiones Geométricas*) Definición*) Definición*) Término General*) Término General*) Término E-nésimo*) Término E-nésimo*) Suma de los términos*) Suma de los términos*) Interpolación*) Interpolación

Sucesión GeométricaSucesión Geométrica

DefiniciónDefinición::

Es toda serie en la cual cada término Es toda serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante que por una cantidad constante que recibe el nombre de recibe el nombre de razónrazón..

En toda sucesión geométrica la En toda sucesión geométrica la razónrazón se halla se halla dividiendo un término dividiendo un término cualquiera por el anterior.cualquiera por el anterior.

Una Sucesión geométrica es CRECIENTE cuando la razón es mayor que uno. Por ejemplo:

1, 4, 16, 64, 128,...

Y es DECRECIENTE cuando la razón es, menor que uno. Por ejemplo: 8, 4, 2, 1, ½, .....

Término General de una Sucesión Término General de una Sucesión GeométricaGeométrica

El término general de una sucesión geométrica se El término general de una sucesión geométrica se calcula en dos etapas de la manera siguiente:calcula en dos etapas de la manera siguiente:

ETAPA I)ETAPA I) la primera parte del término general se la primera parte del término general se obtiene elevando a la potencia “n”, el cociente obtiene elevando a la potencia “n”, el cociente entre dos términos consecutivos.entre dos términos consecutivos.

ETAPA II)ETAPA II) al sustituir “n” por 1, en la expresión al sustituir “n” por 1, en la expresión obtenida en la etapa anterior, debería obtenerse obtenida en la etapa anterior, debería obtenerse el primer término de la serie; si esto no ocurre, el primer término de la serie; si esto no ocurre, entonces deberá multiplicarse la expresión por la entonces deberá multiplicarse la expresión por la constante necesaria para obtener dicho primer constante necesaria para obtener dicho primer término.término.

E J E M P L OE J E M P L OObtener el término general de la sucesión: 9, 27, Obtener el término general de la sucesión: 9, 27, 81, 243, .......81, 243, .......SOLUCION: El cociente entre un término y el : El cociente entre un término y el anterior es constante e igual a 3.anterior es constante e igual a 3.1) la primera parte del término general es por lo 1) la primera parte del término general es por lo tanto: 3tanto: 3nn

2) al sustituir “n” por 1, se tiene 2) al sustituir “n” por 1, se tiene 3311 = 3. Este número debe multiplicarse por tres = 3. Este número debe multiplicarse por tres

para obtener el primer término de la sucesión, para obtener el primer término de la sucesión, que es 9. Por lo tanto el término general buscado que es 9. Por lo tanto el término general buscado es: f(n) = 3(3es: f(n) = 3(3nn))

f(n) = 3f(n) = 3n+1n+1

Fórmula del Término e-nésimoFórmula del Término e-nésimo

Sea la sucesión: a, b, c, d, e, ....., u, Sea la sucesión: a, b, c, d, e, ....., u, en la que “u” es el término enésimo y en la que “u” es el término enésimo y cuya razón es “r”.cuya razón es “r”.

En toda sucesión geométrica, cada En toda sucesión geométrica, cada término es igual al término anterior término es igual al término anterior multiplicado por la razón, luego:multiplicado por la razón, luego:

u = aru = arn-1n-1

ejemploejemploHallar el 10º término de la sucesión Hallar el 10º término de la sucesión geométrica: 2, 6, 18, 54, ........geométrica: 2, 6, 18, 54, ........Datos: a = 2; n = 10; r = 3, luego:Datos: a = 2; n = 10; r = 3, luego:

u = aru = arn-1n-1

u = 2 x 3 u = 2 x 3 (10 – 1)(10 – 1)

u = 2 x 3u = 2 x 399

u = 2 x 19683u = 2 x 19683 u = 39366u = 39366

Suma de los términos de una Suma de los términos de una sucesión geométricasucesión geométrica

Sea la sucesión: a,b, c, d,......, u, cuya Sea la sucesión: a,b, c, d,......, u, cuya razón es “r”.razón es “r”.

Designamos por “S” a la suma de todos Designamos por “S” a la suma de todos sus términos y así tendremos:sus términos y así tendremos:

S = a+b+c+d + ........ + u (1)S = a+b+c+d + ........ + u (1) Multiplicando los dos miembros de la Multiplicando los dos miembros de la

igualdad por “r”, nos resulta:igualdad por “r”, nos resulta: Sr =ar+br+ cr + dr +...... + ur(2)Sr =ar+br+ cr + dr +...... + ur(2) Restando (1) de (2): Sr–S= ur – aRestando (1) de (2): Sr–S= ur – a Factor Común: S(r – 1 ) = ur – a, Factor Común: S(r – 1 ) = ur – a,

luego:luego:

1

r

aurS

E j e m p l oE j e m p l oHallar la suma de los 6 primeros términos Hallar la suma de los 6 primeros términos de la serie: 4, -8, 16, ....de la serie: 4, -8, 16, ....

SoluciónSolución: encontrar el 6º término, : encontrar el 6º término,

U = arU = arn-1 n-1 = 4(-2)= 4(-2)6-1 6-1 = 4(-32) = -128= 4(-32) = -128

Luego, aplicando la fórmula de la suma: Luego, aplicando la fórmula de la suma:

843

4256

12

4)2)(128(

S

INTERPOLACION DE MEDIOS INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOSGEOMETRICOS

Se trata de colocar, entre dos números reales Se trata de colocar, entre dos números reales dados, un número específico de términos que dados, un número específico de términos que junto con los dos dados originalmente, junto con los dos dados originalmente, pertenezcan a una sucesión geométrica.pertenezcan a una sucesión geométrica.EJEMPLOEJEMPLO: Interpolar entre 96 y 3 cuatro medios : Interpolar entre 96 y 3 cuatro medios geométricos.geométricos.SOLUCIONSOLUCION: Hay que formar una sucesión : Hay que formar una sucesión geométrica cuyo primer término sea 96 y el geométrica cuyo primer término sea 96 y el último 3. Para ello habrá que encontrar la razón. último 3. Para ello habrá que encontrar la razón. Como se va a interpolar 4 medios y ya tenemos Como se va a interpolar 4 medios y ya tenemos dos extremos, n = 6, luego:dos extremos, n = 6, luego:

1n

a

ur Donde: r = es la razón ; n = el

número de términos ; u = último término de la serie y a = primer término.

16

96

3r 5

32

1rSimplificando :

2

1r

Si la razón es ½, multiplicando 96 por ½ tendremos el 2º término; éste, multiplicado por ½ dará el 3º término y así sucesivamente.

Tenemos: 96, 48, 24, 12, 6, 3

EJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOS

El tercer término de una sucesión geométrica es 54 y el quinto término es 486. Encuentre el segundo término. R/

Al efectuar la sumar todos los números enteros que son divisibles por 7 y que se encuentran entre 41 y 407 se obtiene: R/

Un teatro al aire libre tiene 40 filas de asientos. En la primera fila hay 28 sillas, en la segunda 32, en la tercera 36 y así sucesivamente. Entonces el número total de personas que pueden sentarse es: R/