Unidad 4

SUCESIONES INFINITASPROFESOR: ING JAVIER HERNANDEZ RODRIGUEZ.

MATERIA: CALCULO INTEGRAL (MATEMATICAS 2) UNIDAD: 4

ALUMNO: JOSÉ MANUEL BAUTISTA SANTIAGO

CARRERA: ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES.

4.1 SUCESIONES INFINITAS

Las sucesiones son una colección de objetos que se ordenan de una cierta manera en general en matemáticas se utilizan muchas sucesiones sin asignarles directamente en nombre de sucesiones por ejemplo los números naturales.

En donde los tres puntos de la derecha se utilizan para establecer que la sucesión ordenada sigue infinitamente.

Otro ejemplo pueden ser los números pares:

Los cuales también son una colección infinita de términos de la notación antes utilizada podemos identificar varias cosas clásicas en las sucesiones.

- Los elementos de una sucesión tiene un primer elemento.- Estos tienen un cierto orden.- En general las sucesiones se pueden escribir de forma reducida mediante una

expresión que nos permita establecer cualquier elemento en un instante determinado.

- Las sucesiones son en general infinitas de hecho sus elementos pueden ser ordenados y establecer una relación con los números naturales, esto es que a cada numero natural se le asigne un elemento de la sucesión correspondiente, salvo restricciones pero existen infinitos números naturales.

En general las sucesiones se escriben de la forma:

Donde {an} es la forma de indicar que es la sucesión de infinitos términos de an.

4.2 SERIES INFINITAS

A la suma de una sucesión de términos se denomina SERIE y el valor de dicha suma, si es q tiene alguno, se define como:

Un ejemplo de serie infinita, denominada así debido a dicha secesión es infinita, en al denominada serie geométrica, la cual se obtiene de un término inicial multiplicado por una cantidad constante. en este caso la cantidad inicial a es multiplicada por la cantidad constante r para obtener dicha serie infinita .

También usaremos formas abreviadas para denotar las series p.ej. para las series anteriores, la forma abreviada será.

Definición formalLas series consideradas son numéricas (con términos reales o complejos) o vectoriales (con valores en un espacio vectorial normado).

La serie de término general   converge cuando la sucesión   de sumas parciales converge, donde para todo entero natural n,

.En este caso la suma de la serie es el límite de la sucesión de sumas parciales

.La naturaleza de convergencia o no-convergencia de una serie no se altera si se modifica una cantidad finita de términos de la serie.

CONVERGENCIA ABSOLUTA

Artículo principal: Convergencia absoluta.

Si   es une serie a valores en un espacio vectorial normado completo, se dice que

es absolutamente convergente si la serie de término general   es convergente.

En este caso, la serie   converge.

Criterios de convergencia comparativos

Son aplicables en caso de disponer de otra serie   tal que se conozca su condición de convergencia o no-convergencia.

Criterio de comparación directa(de la mayorante o de Gauss)Si 

Si   converge   converge

Si   diverge   diverge

Serie divergenteUna serie divergente es una serie infinita que no converge.

Si una serie converge, los términos individuales de la serie deben tender a cero. Por lo tanto toda serie en la cual los términos individuales no tienden a cero diverge. El ejemplo más simple de una serie divergente cuyos términos se aproximan a cero es la serie armónica

La divergencia de la serie armónica fue demostrada en forma elegante por el matemático medieval Nicole Oresme.A veces es posible asignarle un valor a las series divergentes utilizando un método de sumación. Por ejemplo, la sumación de Cesàro le asigna a la serie divergente de Grandi el valor ½

.,

PROPIEDADES DE LOS MÉTODOS DE SUMACIÓN.

Si A es una función que le asigna un valor a una sucesión, es conveniente que posea ciertas propiedades si es que se pretende que sea un método de sumación útil.

1. Regularidad. Un método es regular si, toda vez que la sucesión s converge a x, A(s) = x.

2. Linearidad. A es lineal si es funcionalmente lineal sobre sucesiones convergentes, de forma tal que A(r + s) = A(r) + A(s) y A(ks) = k.A(s), para k un escalar (real o complejo)

3. Estabilidad. Si s es una sucesión que comienza en s0 y s′ es la sucesión obtenida al truncar el primer valor, por lo que comienza en s1, entonces A(s) es definida si y solo si A(s′) es definida, y A(s) = A(s′ ).

La tercer condición es menos importante, y existen algunos métodos destacados, por ejemplo el método de sumación de Borel, que no la satisfacen.Una propiedad deseable entre dos métodos de sumación A y B es que posean consistencia: A y B son consistentes si para toda sucesión s a la que ambos le asignan un valor,A(s) = B(s). Si dos métodos son consistentes, y uno suma más series que el otro, se suele decir que aquel que suma más series es más potente.De todas formas es conveniente notar que existen métodos de sumación poderosos que sin embargo no son ni lineales ni regulares, por ejemplo transformaciones de sucesionesno-lineales como las transformaciones de sucesiones tipo Levin y las aproximaciones de Padé.

4.5 SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS POSITIVOS Teorema (I). Una serie infinita de términos positivos es convergente si y sólo si su sucesión de sumas parciales tiene una cota superior.Teorema (II). PRUEBA DE COMPARACIÓN Sea la serie una serie de términos positivos:

Ejemplo: Determinar si la serie infinita es convergente o divergente. Veamos los elementos de la serie:

La serie geométrica:

Es convergente porque

Teorema (IV). PRUEBA DE LA INTEGRAL

Sea una función que es continua, decreciente y de valores positivos para toda Entonces, la serie infinita:

Es convergente si la integral impropia

Y es divergente si

4.6 SERIE DE POTENCIASDefiniciónUna serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

En el cual el centro es c, y los coeficientes   son los términos de una sucesion.Ejemplos

La serie geométrica   es una serie de potencias absolutamente

convergente si   y divergente si   ó 

La serie de potencias   es absolutamente convergente para todo 

La serie de potencias   solamente converge para 

4.7 SERIE DE TAYLOR

sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1,3, 5, 7, 9, 11 y 13.En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).

Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llamaanalítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.Si a = 0, a la serie se le llama serie de McLaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes: La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a

término, que resultan operaciones triviales. Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función. Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie

de Taylor, es la óptima aproximación posible.Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

4.8 SERIES DE MACLAURIN (TAYLOR ALREDEDOR DE 0) NOTABLES

La función coseno.

Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos.

Las dos imágenes de arriba puestas juntas.

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.

Función exponencial y logaritmo natural

Serie geométrica

Teorema del binomio

 para 

y cualquier   complejo

Funciones trigonométricas

Donde Bs son los Números de Bernoulli.

Funciones hiperbólicas

Función W de Lambert

Los números Bk que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. LosEk del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.

BIBLIOGRAFIA.

www.mat.uson.mx/~jldiaz/.../Int.../Notas%20de%20Sucesiones.pdfhttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_divergenthttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylorhttp://www.udobasico.net/misitio/Conicas.pdfhttp://www.udobasico.net/misitio/matIV/SUCESIONV.pdfhttp://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/apuntes/09-seriespotencias.pdf