Sucesiones Infinitas y Notación de Sumatoria - …precalculo.carimobits.com/PrecalcII/Material del...

ContenidoSucesiones Infinitas

Notacion de Sumatoria

Sucesiones Infinitas yNotacion de Sumatoria

Carlos A. Rivera-Morales

Precalculo 2

Rivera-Morales, Carlos A. Introduccion a Sucesiones Infinitas y Notacion de Sumatoria

Tabla de Contenido

1 Sucesiones InfinitasDefinicionSucesiones RecursivasSumas Parciales

2 Notacion de Sumatoria

Tabla de Contenido

1 Sucesiones InfinitasDefinicionSucesiones RecursivasSumas Parciales

2 Notacion de Sumatoria

Objetivos:

Discutiremos:

definicion de sucesion

notacion factorial

sucesion recursiva

sumas parciales de sucesiones

notacion de sumatoria

ejercicios y aplicaciones

Objetivos:

Discutiremos:

notacion factorial

sucesion recursiva

Objetivos:

Discutiremos:

notacion factorial

sucesion recursiva

Objetivos:

Discutiremos:

notacion factorial

sucesion recursiva

Objetivos:

Discutiremos:

notacion factorial

sucesion recursiva

Objetivos:

Discutiremos:

notacion factorial

sucesion recursiva

DefinicionSucesiones RecursivasSumas Parciales

Sucesiones Infinitas

Definicion 1:

Definicion 1: Una sucesion infinita es un listado ilimitado denumeros, en nuestro caso numeros reales, considerados en unorden especıfico.

Ejemplo: 5, 10, 15, . . . (Suponga que el patron continua.)

Definicion 2:

Definicion 2: Una sucesion infinita es una funcion cuyodominio es el conjunto de los numeros naturales. Los valoresf(1), f(2), f(3),. . . son los terminos de la sucesion. . . .

Ejemplo: f(n) = 5n

Definicion 1:

Definicion 2:

Ejemplo: f(n) = 5n

Definicion 1:

Definicion 2:

Ejemplo: f(n) = 5n

Definicion 1:

Definicion 2:

Ejemplo: f(n) = 5n

Notacion:Se denota por a1, a2, a3, . . . .

a1 − primer termino de la sucesiona2 − segundo termino de la sucesion. . .an − n-esimo termino de la sucesion

Notacion:Se denota por a1, a2, a3, . . . .a1 − primer termino de la sucesion

a2 − segundo termino de la sucesion. . .an − n-esimo termino de la sucesion

Notacion:Se denota por a1, a2, a3, . . . .a1 − primer termino de la sucesiona2 − segundo termino de la sucesion

. . .an − n-esimo termino de la sucesion

Notacion:Se denota por a1, a2, a3, . . . .a1 − primer termino de la sucesiona2 − segundo termino de la sucesion. . .

an − n-esimo termino de la sucesion

Notacion:Se denota por a1, a2, a3, . . . .a1 − primer termino de la sucesiona2 − segundo termino de la sucesion. . .an − n-esimo termino de la sucesion

Ejemplos:

1 Sucesion de los numeros impares positivos: 1, 3, 5, 7, 9,. . .

2 Sucesion de los multiplos positivos de 5: 5, 10, 15, 20,. . .

3 an = 1 − 1n

4 cn = 3 + (−1)n

5 tn = 0.9999

6 bn = 2n1+n

7 an = (−1)n

8 cn = n2

9 Sucesion de los dıgitos del numero π

Ejemplos:

3 an = 1 − 1n

4 cn = 3 + (−1)n

5 tn = 0.9999

6 bn = 2n1+n

7 an = (−1)n

8 cn = n2

Ejemplos:

3 an = 1 − 1n

4 cn = 3 + (−1)n

5 tn = 0.9999

6 bn = 2n1+n

7 an = (−1)n

8 cn = n2

Ejemplos:

3 an = 1 − 1n

4 cn = 3 + (−1)n

5 tn = 0.9999

6 bn = 2n1+n

7 an = (−1)n

8 cn = n2

Ejemplos:

3 an = 1 − 1n

4 cn = 3 + (−1)n

5 tn = 0.9999

6 bn = 2n1+n

7 an = (−1)n

8 cn = n2

Ejemplos:

3 an = 1 − 1n

4 cn = 3 + (−1)n

5 tn = 0.9999

6 bn = 2n1+n

7 an = (−1)n

8 cn = n2

Ejemplos:

3 an = 1 − 1n

4 cn = 3 + (−1)n

5 tn = 0.9999

6 bn = 2n1+n

7 an = (−1)n

8 cn = n2

Ejemplos:

3 an = 1 − 1n

4 cn = 3 + (−1)n

5 tn = 0.9999

6 bn = 2n1+n

7 an = (−1)n

8 cn = n2

Ejemplos:

3 an = 1 − 1n

4 cn = 3 + (−1)n

5 tn = 0.9999

6 bn = 2n1+n

7 an = (−1)n

8 cn = n2

Ejemplos:

3 an = 1 − 1n

4 cn = 3 + (−1)n

5 tn = 0.9999

6 bn = 2n1+n

7 an = (−1)n

8 cn = n2

Ejercicio: Suponga que el patron continua y escriba unaformula para definir el termino n-esimo de las sucesionessiguientes:

1 12 , 3

4 , 56 , 7

8 , . . .

2 −2, 4,−8, 16,−32, . . .

3 5,−25, 125,−625, ...

4 34 ,

67 , ..

5 1, 4, 7, 10, ...

Algunas sucesiones importantes en matematicas incluyenterminos que se definen con tipos especiales de productosdenominados factoriales.

Notacion Factorial

Definicion de Factorial: Si n es un numero entero positivo,entonces n factorial se define como sigue:

n! = 1 × 2 × 3 × 4... ×n, n ≥ 2.

Casos especiales:

1 0! = 1

2 1! = 1

Ejercicio 1: Evalue cada expresion factorial.

1 8!2!×6!

2 2!×6!3!×5!

3 n!(n−1)!

Ejercicio 2: Escriba los primeros cinco terminos de la sucesiondada.

1 an = 2n

Sucesiones Recursivas

Definicion:

Definicion: Una sucesion se define de forma recursivacuando el n-esimo termino depende de algunos o todos losterminos anteriores.

Ejemplos:

1 Sucesion de Fibonacci: Fn = Fn−1 + Fn−2;F1 = 1 y F2 = 1

2 a1 = 1, an = 3(an−1 + 2)

Definicion:

Ejemplos:

2 a1 = 1, an = 3(an−1 + 2)

Definicion:

Ejemplos:

2 a1 = 1, an = 3(an−1 + 2)

Definicion:

Ejemplos:

2 a1 = 1, an = 3(an−1 + 2)

Ejercicio: Incrementos al Salario A un vendedor reciencontratado se le prometio un salario inicial de $30 000.00, conun aumento de $2 000.00 cada ano. Sea sn su salario en sun-esimo ano de empleo

Determine una definicion no recursiva para sn.

Determine una definicion recursiva para sn.

Determine el salario del vendedor en el quinto ano deempleo usando cada una de las dos definiciones anteriores

Sumas Parciales:Nota: Para la sucesion a1, a2, a3, . . . , las sumas parciales son:

S1 = a1 primera suma parcial

S2 = a1 + a2 segunda suma parcialS3 = a1 + a2 + a3 tercera suma parcial. . . . . .Sn = a1 + a2 + . . .+ an n-esima suma parcial

S1, S2, S3, . . . , Sn sucesion de sumas parciales

S1 = a1 primera suma parcialS2 = a1 + a2 segunda suma parcial

S3 = a1 + a2 + a3 tercera suma parcial. . . . . .Sn = a1 + a2 + . . .+ an n-esima suma parcial

S1 = a1 primera suma parcialS2 = a1 + a2 segunda suma parcialS3 = a1 + a2 + a3 tercera suma parcial

. . . . . .Sn = a1 + a2 + . . .+ an n-esima suma parcial

S1 = a1 primera suma parcialS2 = a1 + a2 segunda suma parcialS3 = a1 + a2 + a3 tercera suma parcial. . . . . .Sn = a1 + a2 + . . .+ an n-esima suma parcial

Ejercicios:

1 Calcule las 4 primeras sumas parciales y la n-esima sumaparcial de la sucesion representada por an = 1

2 Calcule las 4 primeras sumas parciales y la n-esima sumaparcial de la sucesion representada por an = 1

n − 1n+1 .

Nota: La suma de los primeros n terminos de la sucesion dadapor a1, a2, a3, . . . se puede denotar por

∑nk=1 ak = a1 + a2 + a3 + . . .+ an

donde k es el ındice de suma o variable de la sumatoria.

La expresion anterior tambien se puede escribir de otras formasequivalentes tales como:

i=1 ai = a1 + a2 + a3 + . . .+ an2

∑nj=1 aj = a1 + a2 + a3 + . . .+ an

∑nk=1 ak = a1 + a2 + a3 + . . .+ an

i=1 ai = a1 + a2 + a3 + . . .+ an

j=1 aj = a1 + a2 + a3 + . . .+ an

∑nk=1 ak = a1 + a2 + a3 + . . .+ an

i=1 ai = a1 + a2 + a3 + . . .+ an2

∑nj=1 aj = a1 + a2 + a3 + . . .+ an

Ejemplos:

i=1 i =

1 + 2 + 3 + . . .+ 8 = 36

k=1 k3 = 13 + 23 + 33 + 43 = 100

r=31r = 1

3 + 14 + 1

5 = 4760

4∑10

k=4 5 = 5 + 5 + 5 + . . .+ 5 = (7)5 = 35

Ejemplos:

i=1 i = 1 + 2 + 3 + . . .+ 8 =

k=1 k3 = 13 + 23 + 33 + 43 = 100

r=31r = 1

3 + 14 + 1

5 = 4760

4∑10

k=4 5 = 5 + 5 + 5 + . . .+ 5 = (7)5 = 35

Ejemplos:

i=1 i = 1 + 2 + 3 + . . .+ 8 = 36

k=1 k3 = 13 + 23 + 33 + 43 = 100

r=31r = 1

3 + 14 + 1

5 = 4760

4∑10

k=4 5 = 5 + 5 + 5 + . . .+ 5 = (7)5 = 35

Ejemplos:

i=1 i = 1 + 2 + 3 + . . .+ 8 = 36

k=1 k3 =

13 + 23 + 33 + 43 = 100

r=31r = 1

3 + 14 + 1

5 = 4760

4∑10

k=4 5 = 5 + 5 + 5 + . . .+ 5 = (7)5 = 35

Ejemplos:

i=1 i = 1 + 2 + 3 + . . .+ 8 = 36

k=1 k3 = 13 + 23 + 33 + 43 =

r=31r = 1

3 + 14 + 1

5 = 4760

4∑10

k=4 5 = 5 + 5 + 5 + . . .+ 5 = (7)5 = 35

Ejemplos:

i=1 i = 1 + 2 + 3 + . . .+ 8 = 36

k=1 k3 = 13 + 23 + 33 + 43 = 100

r=31r = 1

3 + 14 + 1

5 = 4760

4∑10

k=4 5 = 5 + 5 + 5 + . . .+ 5 = (7)5 = 35

Ejemplos:

i=1 i = 1 + 2 + 3 + . . .+ 8 = 36

k=1 k3 = 13 + 23 + 33 + 43 = 100

r=31r =

13 + 1

4 + 15 = 47

4∑10

k=4 5 = 5 + 5 + 5 + . . .+ 5 = (7)5 = 35

Ejemplos:

i=1 i = 1 + 2 + 3 + . . .+ 8 = 36

k=1 k3 = 13 + 23 + 33 + 43 = 100

r=31r = 1

3 + 14 + 1

4∑10

k=4 5 = 5 + 5 + 5 + . . .+ 5 = (7)5 = 35

Ejemplos:

i=1 i = 1 + 2 + 3 + . . .+ 8 = 36

k=1 k3 = 13 + 23 + 33 + 43 = 100

r=31r = 1

3 + 14 + 1

5 = 4760

4∑10

k=4 5 = 5 + 5 + 5 + . . .+ 5 = (7)5 = 35

Ejemplos:

i=1 i = 1 + 2 + 3 + . . .+ 8 = 36

k=1 k3 = 13 + 23 + 33 + 43 = 100

r=31r = 1

3 + 14 + 1

5 = 4760

4∑10

k=4 5 =

5 + 5 + 5 + . . .+ 5 = (7)5 = 35

Ejemplos:

i=1 i = 1 + 2 + 3 + . . .+ 8 = 36

k=1 k3 = 13 + 23 + 33 + 43 = 100

r=31r = 1

3 + 14 + 1

5 = 4760

4∑10

k=4 5 = 5 + 5 + 5 + . . .+ 5 =

(7)5 = 35

Ejemplos:

i=1 i = 1 + 2 + 3 + . . .+ 8 = 36

k=1 k3 = 13 + 23 + 33 + 43 = 100

r=31r = 1

3 + 14 + 1

5 = 4760

4∑10

k=4 5 = 5 + 5 + 5 + . . .+ 5 = (7)5 = 35

Ejercicios: Exprese cada suma en notacion de sumatoria.

1 2 + 4 + 6 + . . .+ 20

√112

+ . . .+√

3 1 − 2x+ 3x2 − 4x3 + 5x4 − · · · − 100x99

Propiedades de las Sumas:

i=1 (ai + bi) =∑n

i=1 ai +∑n

i=1 bi

i=1 (ai − bi) =∑n

i=1 ai −∑n

i=1 bi

i=1 (cai) = c(∑n

i=1 ai)

i=1 (ai + bi) =∑n

i=1 ai +∑n

i=1 bi

i=1 (ai − bi) =∑n

i=1 ai −∑n

i=1 bi

i=1 (cai) = c(∑n

i=1 ai)

i=1 (ai + bi) =∑n

i=1 ai +∑n

i=1 bi

i=1 (ai − bi) =∑n

i=1 ai −∑n

i=1 bi

i=1 (cai) = c(∑n

i=1 ai)

Ejemplos:

1∑10

i=1 (1 + (−1)i) =

∑10i=1 1 +

∑10i=1 (−1)i = 10 + 0 = 10

2 Dado que∑10

i=1 xi = 15,∑10

i=1 yi = 33,∑10i=1(2xi − 1

2yi −32 )

=∑10

i=1(2xi) −∑10

i=1( 12yi) −

∑10i=1

= 2∑10

i=1 xi −12

∑10i=1 yi −

∑10i=1

= 2(15) − ( 12 )(33) − (10) 3

= − 32

Ejemplos:

1∑10

i=1 (1 + (−1)i) =∑10

i=1 1 +∑10

i=1 (−1)i =

10 + 0 = 10

2 Dado que∑10

i=1 xi = 15,∑10

i=1 yi = 33,∑10i=1(2xi − 1

2yi −32 )

=∑10

i=1(2xi) −∑10

i=1( 12yi) −

∑10i=1

= 2∑10

i=1 xi −12

∑10i=1 yi −

∑10i=1

= 2(15) − ( 12 )(33) − (10) 3

= − 32

Ejemplos:

1∑10

i=1 (1 + (−1)i) =∑10

i=1 1 +∑10

i=1 (−1)i = 10 + 0 = 10

2 Dado que∑10

i=1 xi = 15,∑10

i=1 yi = 33,∑10i=1(2xi − 1

2yi −32 )

=∑10

i=1(2xi) −∑10

i=1( 12yi) −

∑10i=1

= 2∑10

i=1 xi −12

∑10i=1 yi −

∑10i=1

= 2(15) − ( 12 )(33) − (10) 3

= − 32

Ejemplos:

1∑10

i=1 (1 + (−1)i) =∑10

i=1 1 +∑10

i=1 (−1)i = 10 + 0 = 10

2 Dado que∑10

i=1 xi = 15,∑10

i=1 yi = 33,∑10i=1(2xi − 1

2yi −32 )

=∑10

i=1(2xi) −∑10

i=1( 12yi) −

∑10i=1

= 2∑10

i=1 xi −12

∑10i=1 yi −

∑10i=1

= 2(15) − ( 12 )(33) − (10) 3

= − 32

Ejemplos:

1∑10

i=1 (1 + (−1)i) =∑10

i=1 1 +∑10

i=1 (−1)i = 10 + 0 = 10

2 Dado que∑10

i=1 xi = 15,∑10

i=1 yi = 33,∑10i=1(2xi − 1

2yi −32 )

=∑10

i=1(2xi) −∑10

i=1( 12yi) −

∑10i=1

= 2∑10

i=1 xi −12

∑10i=1 yi −

∑10i=1

= 2(15) − ( 12 )(33) − (10) 3

= − 32

Ejemplos:

1∑10

i=1 (1 + (−1)i) =∑10

i=1 1 +∑10

i=1 (−1)i = 10 + 0 = 10

2 Dado que∑10

i=1 xi = 15,∑10

i=1 yi = 33,∑10i=1(2xi − 1

2yi −32 )

=∑10

i=1(2xi) −∑10

i=1( 12yi) −

∑10i=1

= 2∑10

i=1 xi −12

∑10i=1 yi −

∑10i=1

= 2(15) − ( 12 )(33) − (10) 3

= − 32

Ejemplos:

1∑10

i=1 (1 + (−1)i) =∑10

i=1 1 +∑10

i=1 (−1)i = 10 + 0 = 10

2 Dado que∑10

i=1 xi = 15,∑10

i=1 yi = 33,∑10i=1(2xi − 1

2yi −32 )

=∑10

i=1(2xi) −∑10

i=1( 12yi) −

∑10i=1

= 2∑10

i=1 xi −12

∑10i=1 yi −

∑10i=1

= 2(15) − ( 12 )(33) − (10) 3

= − 32

Ejemplos:

1∑10

i=1 (1 + (−1)i) =∑10

i=1 1 +∑10

i=1 (−1)i = 10 + 0 = 10

2 Dado que∑10

i=1 xi = 15,∑10

i=1 yi = 33,∑10i=1(2xi − 1

2yi −32 )

=∑10

i=1(2xi) −∑10

i=1( 12yi) −

∑10i=1

= 2∑10

i=1 xi −12

∑10i=1 yi −

∑10i=1

= 2(15) − ( 12 )(33) − (10) 3

= − 32

Ejercicio:

1 Dado que∑10

i=1 yi = 33, y1 = 4, y10 = 2, determine:∑9i=2(2yi − 3)

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