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SUCESIONES NUMÉRICAS. PROGRESIONES 20 de mayo de 2010

C O L E G I O E S C O L A P I A S ‐ G A N D Í A Depar tamen to de Matemá t i c a s 3 º E . S . O Página 11

Seguimos avanzando. Vamos a construir unas progresiones “a nuestra medida”

PROGRESIÓN ARITMÉTICA PrA 7) Suma los diez primeros términos de la progresión aritmética: 4, , , 3, , … PrA 8) Halla la suma de todos los números pares mayores que 100 y menores que 200. PrA 9) Calcula la suma de los 120 primeros múltiplos de 3. PrA 10) Entre 500 y 1000, ¿cuántos múltiplos de 7 existen? ¿cuánto suman? PrA 11) En una progresión aritmética, la suma de los 1000 primeros términos es 1.284.975 y el término que ocupa el lugar 1000 es 1309´95.

Calcula , la diferencia , y la suma de los 880 primeros términos.

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA PrG 5) Suma los ocho primeros términos de la progresión 1, 3, 9, 27, … PrG 6) Averigua la suma de los 15 primeros términos de la progresión geométrica que tiene 512 y razón . PrG 7) Halla la suma de los 20 primeros términos de la progresión geométrica si 2 y razón 1 1 . PrG 8) Calcula la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica: 6, 12, 24, 48, … PrG 9) Halla la suma de los 12 primeros términos de la progresión geométrica: 59049, ‐39366, 26244, ‐17496, … PrG 10) En una progresión geométrica, la suma de los cinco primeros términos es 605, y . Halla .

PROGRESIÓN ARITMÉTICA Interpolación de medios diferencialesInterpolar medios aritméticos o, también medios diferenciales consiste en intercalar números entre otros dos, y , de manera que los 2 números formen una progresión aritmética.

Ejp 6. Interpola tres medios diferenciales entre 11 y 35. Solución: En total habrá 5 términos: 11 35 Aplicando la fórmula del término general, 35 11 5 1 · 6 Los medios aritméticos o diferenciales son 17, 23, 29, ya que 11, 17, 23, 29, 35 forman una progresión aritmética.

Generalizando, si se trata de dos números y para interpolar números, la diferencia se obtiene así: 2 1 ·

Ejp 7. Dos cipreses están a una distancia de 108 m. En línea recta con ellos se desea intercalar 5 pinos de manera que cada árbol quede a la misma distancia de los contiguos. ¿A qué distancia del primer ciprés hay que plantar los pinos? Comprueba que la solución es 18 metros.



PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Interpolación de medios geométricos o proporcionales Interpolar medios geométricos o proporcionales consiste en intercalar n números entre otros dos, p y q, de manera que los 2 números formen una progresión geométrica.

Ejp 6. Interpola cuatro medios geométricos entre 3 y 9375. Solución: En total habrá 6 términos: 3 9375 Aplicando la fórmula del término general: 9375 3 · 3125 √3125 5, 3125 5 Los medios geométricos son: , , , , ya que 3, 15, 75, 375, 1875, 93875 forman una progresión geométrica.

Generalizando, si se trata de interpolar n medios geométricos entre dos números p y q, la razón se obtiene de esta forma: ·

Ejp 7. Interpola 6 medios proporcionales entre 5 y ‐10935. Solución: En total habrá 8 términos: 5 10935 Aplicando la fórmula del término general: 10935 5 · 2187 √ 2187 3, 2187 3 Los medios geométricos son: , , , , , .

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Producto de n términos consecutivosPropiedad: En una progresión geométrica de n términos, , , , … , , el producto de dos términos equidistantes de los extremos, es igual al producto de los dos términos extremos.

Ejp 8. En la progresión geométrica: 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, si calculamos · 6 · 486 2916. Si hacemos · 18 · 162 2916. El producto de los valores extremos de la progresión, · 2 · 1458 2916.

Propiedad: En una progresión geométrica de n términos, , , , … , , el producto de los términos, · (¿Te atreverías a demostrarlo?) Ejp 9. Calcula el producto de los 6 primeros términos de la progresión geométrica de primer término 3 y razón 2.

Solución: Aplicando la fórmula, · 3 · 2 . Entonces, · · 3 · 3 · 2 3 · 2 23887872

¡Sigue, sigue, no pares!.... ¡¡¡Esto se acaba, no te quedes atrás…!!!



Las Torres de Hanói es un rompecabezas o juego matemático inventado en 1883 por el matemático francés Éduard Lucas. Este solitario se trata de un juego de ocho discos de radio creciente que se apilan insertándose en una de las tres estacas de un tablero. El objetivo del juego es crear la pila en otra de las estacas siguiendo unas ciertas reglas. El problema es muy conocido en la ciencia de la computación y aparece en muchos libros de texto como introducción a la teoría de algoritmos. El juego, en su forma más tradicional, consiste en tres varillas verticales. En una de las varillas se apila un número indeterminado de discos (elaborados de madera) que determinará la complejidad de la solución, por regla general se consideran ocho discos. Los discos se apilan sobre una varilla en tamaño decreciente. No hay dos discos iguales, y todos ellos están apilados de mayor a menor radio en una de las varillas, quedando las otras dos varillas vacantes. El juego consiste en pasar todos los discos de la varilla ocupada (es decir la que posee la torre) a una de las otras varillas vacantes. Para realizar este objetivo, es necesario seguir tres simples reglas:

1. Sólo se puede mover un disco cada vez. 2. Un disco de mayor tamaño no puede descansar sobre uno más pequeño que él mismo. 3. Sólo puedes desplazar el disco que se encuentre arriba en cada varilla.

Existen diversas formas de realizar la solución final, todas ellas siguiendo estrategias diversas. Se cuenta que un templo de Benarés (Uttar Pradesh, India), se encontraba una cúpula que señalaba el centro del mundo. Allí estaba una bandeja sobre la cual existían tres agujas de diamante. En una mañana lluviosa, un rey mandó a poner 64 discos de oro, siendo ordenados por tamaño: el mayor en la base de la bandeja y el menor arriba de todos los discos. Tras la colocación, los sacerdotes del templo intentaron mover los discos entre las agujas, según las leyes que se les habían entregado: "El sacerdote de turno no debe mover más de un disco a la vez, y no puede situar un disco de mayor diámetro encima de otro de menor diámetro". Hoy no existe tal templo, pero el juego aún perduró en el tiempo... Otra leyenda cuenta que Dios al crear el mundo, colocó tres varillas de diamante con 64 discos en la primera. También creó un monasterio con monjes, los cuales tienen la tarea de resolver esta Torre de Hanói divina. El día que estos monjes consigan terminar el juego, el mundo acabará. No obstante, esta leyenda resultó

ser un invento publicitario del creador del juego, el matemático Éduard Lucas. En aquella época, era muy común encontrar matemáticos ganándose la vida de forma itinerante con juegos de su invención, de la misma forma que los juglares hacían con su música. No obstante, la falacia resultó ser tan efectista y tan bonita, que ha perdurado hasta nuestros días. Además, invita a realizarse la pregunta: "si la leyenda fuera cierta, ¿cuándo será el fin del mundo?". El mínimo número de movimientos que se necesita para resolver este problema es de 2641. Si los monjes hicieran un movimiento por segundo, los 64 discos estarían en la tercera varilla en algo menos de 585 mil millones de años. Como comparación para ver la magnitud de esta cifra, la Tierra tiene como 5 mil millones de años, y el Universo entre 15 y 20 mil millones de años de antigüedad, sólo una pequeña fracción de esa cifra.



Para comprender el significado de esta expresión “suma de los infinitos términos” basta hacer unos pocos cálculos, y advertir la magnitud de las cantidades que pueden resultar. Así:

- En la progresión geométrica 2, 6, 18, 54, 162, … . , , …. si sumamos los 50 primeros términos, el resultado es 239.299.329.230.617.529.590.082, una cantidad asombrosa, y sólo es la suma de los 50 primeros términos. La respuesta a la pregunta ¿y la suma de los “infinitos términos de la progresión”? , es clara, 2 6 18 54 ∞

- La misma cuestión, para la progresión geométrica ‐2, ‐6, ‐18, ‐54, ‐162, … , …. obviamente es 2 6 18 54 ∞. - Pero, en la progresión geométrica 2, 6, 18, 54, 162,… . , , …., no está tan claro cuánto vale 2 6 18 54 - Y por supuesto, tampoco queda evidente la suma infinita en la progresión , , , , , … . , , ….

Veamos la siguiente historia de,

Zenón fue un filósofo griego de la escuela eleática, nacido en Elea (Italia meridional). Fue discípulo de Parménides (uno de los filósofos griegos más importantes de la época y de los más señalados en la escuela eleática) y, según varios escritores, enseñó en Atenas durante algún tiempo. Zenón trató de mostrar que la realidad es una e invariable y que todo movimiento es ilusorio. Era costumbre suya mostrar lo absurdo de algunas creencias y frecuentemente se valía de paradojas (expresión o situación que parece absurda y sin embargo es razonable), en las que viene a decir que todo movimiento es un engaño.

Contrastadas con la realidad, las pruebas de Zenón contra el movimiento, se revelan al punto como paradojas y como auténticos paralogismos (argumento o contradicción falsa). Es como ponerse a discutir el azul del cielo. “Aquiles, llamado el de los pies ligeros y el más hábil guerrero de los Aqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él”.



Un corredor, decía Zenón, no podrá recorrer una distancia concreta en toda su vida, ya que ésta se descompone en infinitos intervalos sucesivos de longitud, cada uno de los cuales ha de ser recorrido antes de recorrer el siguiente... y sin que nunca se llegue a recorrer el último, pues no lo hay (ya que la sucesión de intervalos es infinita) ¿Dónde está el error en esta argumentación?, porque Aquiles sí que alcanza a la tortuga. La respuesta está en la suma de infinitos términos de una progresión geométrica del tipo: 50 25 12 5 6 25

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica Definición: Una progresión geométrica de razón es decreciente si 0 | | 1 .

Ejp 10. La progresión geométrica: 4, 2, 1, , , , … 4 · 2 2 , … es decreciente de razón .

Ejp 11. La progresión geométrica: 4, 2, 1, , , , … 4 · 2 , … es decreciente de razón .

Propiedad: En una progresión geométrica decreciente de razón r , la suma de los infinitos términos, … , es .

Demostración: Si partimos de la fórmula de la suma, · · · · · , analicemos que ocurre con cuando se

hace muy grande, siendo 0 | | 1. Tomemos, por ejemplo, y veamos las sucesivas potencias : Valores de : 1 2 3 4 … 50 … 100 … 1000 … ∞ Valores de … … … … 0 (Conviene que hagas idea de la magnitud de estas fracciones utilizando tu calculadora, seguramente se “enfadará un poco”, no querrá darte el resultado y directamente te dará el valor cero).

Generalizando, si la razón es un número comprendido entre 1 1, 0, las sucesivas potencias , , … , son cantidades que en valor absoluto se van acercando cada vez más a cero, por eso podemos despreciar en la fórmula y escribir, ·

Ejp 12. Calcula la suma de todos los términos de la progresión : 4, 2, 1, , , , … , ….

Solución: Aplicando la fórmula,

4 0

1 1 8

Ejp 13. La suma de todos los términos de una progresión geométrica decreciente es 8 y su primer término 6. Calcula la razón. Solución: Apliquemos la fórmula , con 6, 8, resultando, 8 8 8 6



Y ahora , la solución al problema de Aquiles y la tortuga. Supongamos que la carrera tiene cien metros y Aquiles corre a una velocidad de 10 metros por segundo y la tortuga justo la mitad, es decir, 5 metros por segundo. La carrera se inicia con 10 metros de ventaja para la tortuga.

Si nos damos cuenta, al cabo de 2 segundos, Aquiles habrá recorrido 20 metros y la tortuga habrá recorrido 10 metros, es decir, ambos contendientes están situados en el punto correspondiente a los 20 metros, lo cual quiere decir que Aquiles ¡ALCANZA a la tortuga! y, por supuesto, gana la carrera, que ha terminado al cabo de 10 segundos al entrar Aquiles en la meta, mientras que la tortuga se encuentra en el punto correspondiente a los 60 metros en ese mismo momento.

COLEGIO ESCOLAPIAS GANDÍA Departamento de Matemáticas 3º ESO , curso escolar 20092010 UT Sucesiones Numéricas



Cuando termines estas actividades, tus habilidades de cálculo numérico estarán en un buen nivel, Suces Num E1. Halla el término general de la sucesión: 9, 13, 17, 21, 25, … , , … Suces Num E2. Halla el término de la sucesión: 235, 229, 223, 217, … , , … Suces Num E3. Justifica de forma razonada si el número 89 es o no un término de la sucesión: 56, , , , 55 , , … Suces Num E4. Halla el término general de la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, , … Suces Num E5. ¿Qué lugar ocupa en la sucesión 128, 64, 32, 16, , …?

Suces Num E6. La sucesión , , , , . . , … no es una progresión aritmética, sin embargo, aplicando este concepto podemos

hallar su término general, ¿sabrías encontrarlo y averiguar si es un término de la sucesión? Suces Num E7. Tampoco es una progresión, ni aritmética ni geométrica, pero, ¿sabrías hallar el término general de esta sucesión?

, , , , , , … , , … Suces Num E8. Observa con atención como se van formando los términos de la sucesión y halla los términos , , , siendo

dicha sucesión :2, 1, 5, 0, 5, 3, 10, 0, 8, 7, 20, 0, 11, 11, 40, 0, 14, 15, … , , … Suces Num E9. ¿Te atreves con el término general de la sucesión: 1, , , , , … , , … ? ¡Ojo!, no te dejes engañar por las

fracciones, ya sabes, pueden estar simplificadas… Suces Num E10. Esta vez tendrás que hacer unos pocos cálculos, has de contestar a esta pregunta: ¿El número 343 es un término de la

sucesión donde 2 , 1 , 2 , 2? Ayúdate de la siguiente tabla, 1 2 2 1

A ver, ¿dónde está la sucesión?

¡¡¡Dejadme solo que me la cargooo…o!!!



Las siguientes actividades son de tipo "instrumental", tratan de probar tu grado de conocimiento de los conceptos aprendidos y su aplicación en casos sencillos, Prog Niv I E1. En la progresión 4, , , 11, 16, , , … , , … , halla la suma de los 15 primeros términos. Prog Niv I E2. Halla el número de términos de la progresión aritmética si se sabe que 1530, la diferencia 4, y 41 . Prog Niv I E3. Conocidos en la progresión geométrica 324 y 96, calcula la suma de los ocho primeros términos. Prog Niv I E4. Suma los 25 primeros términos de la progresión:

, , , , , , … (¡Que NO TE PAREN las fracciones!)

Prog Niv I E5. ¿Cuántos múltiplos de 11 hay entre 500 y 1000? ¿Cuánto suman? (¡No se te ocurra hacer la suma uno a uno!) Prog Niv I E6. Halla el término general de la sucesión: 1, 1 4, 1 4 7, 1 4 7 10, 1 4 7 10 13 … , , … Prog Niv I E7. ¿Cuánto vale la suma 1 … …? (¡ojo, puede tener trampa!) Prog Niv I E8. Entre 3 y 48 se quiere intercalar 8 números de manera que los 10 números resultantes formen una progresión

aritmética. ¿Cuáles son esos números? ¿Y si se quiere intercalar 4 números? ¿Y 2 números? Interpola ahora 3 medios geométricos entre 3 y 48. ¿Y un medio proporcional?

Prog Niv I E9. Calcula las sumas: a) 0 3 0 33 0 333 0 3333 (El resultado es muy simple)

b) ´ ´´ ´ ´ ´ …

´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´

(Parece difícil, pero no lo es)

Prog Niv I E10. Halla el término general de la sucesión: , , , , … , ¿El número es un término de la sucesión? Justifica razonadamente tu respuesta.

Prog Niv I E11. Si en una progresión se conoce 3072 , y 972 , se pide: a) Halla el término general, los 6 primeros términos, y su suma, si se trata de una progresión aritmética. b) El término general, los 5 primeros términos, y su suma, si es progresión geométrica. (¡Ojo hay dos soluciones!)

Prog Niv I E12. En una progresión geométrica , la suma de los cinco primeros términos es 403 , 2 . Halla los 6 primeros términos.

Siempre igual, estos profes de mate están a veces un poco pesados ¿no?



¿Qué tal aplicas las técnicas? ¿Y los problemas, se te dan bien? Lo puedes comprobar ahora.

Prog Niv II E1. Calcula estas sumas: a) 5 10 20 5120 b) 34 27 20 78 c) 16 8 4 2 d) 4 2√2 2 √2 e) 4 3 2 2 1

Prog Niv II E2. Halla, en cada caso, la fracción generatriz, aplicando las propiedades de las progresiones: a) 3 1 b) 2 25 c) 1 2 5 d) 4 12 34

Prog Niv II E3. Halla los lados del triángulo rectángulo de 24 de perímetro, sabiendo que están en progresión aritmética. Prog Niv II E4. Las edades de Sofía, Theo, María, Marcos y Alba, están en orden creciente, formando una progresión aritmética. Si la

edad de Alba es el triple de la edad de Theo, y entre todos suman 50 años, ¿qué edades tienen? Prog Niv II E5. Utiliza las progresiones para contestar a estas cuestiones:

a) Si abrimos una cuenta de 2500 € en el banco Kakobanc que nos ofrece un interés simple anual de 5%, queremos averiguar en qué se convertirá nuestro dinero al cabo de 4 años, 10 años, n años.

b) Resuelve el mismo problema si el interés es ahora compuesto anual del 4%. (Repásate el significado de estos conceptos “Interés simple” e “Interés compuesto”).

Prog Niv II E6. Halla los ángulos de un pentágono si se conoce el menor de ellos, 50°, y se sabe que están en progresión aritmética. Prog Niv II E7. Vicent y Paco se preparan para la “Volta ciclista a la Safor” que empieza el próximo 10 de junio. Ambos empiezan su

entrenamiento el día 1 de mayo con técnicas diferentes. Vicent hace el primer día 36 km y cada día que pasa hace 4 km más que el anterior, mientras que Paco empieza el primer día con 15 km y cada día que pasa hace 5km más que el anterior. El día 9 de junio, ¿cuántos km hace cada uno? Al finalizar el mes de mayo, ¿cuál de los dos ha hecho más km?

Vaya tonterías de problemas, yo los hago con los ojos cerrados, ¿lo ves?

Oye Buh, te has fijado en la carita de estos chicos, ¿lo entienden?

¡No puedo abrir más los ojos!, ¿qué quieres, que se me salgan? ¡Creo que no entienden nada, me dan mucha pena!



Prog Niv II E8. Piénsese en un folio de 1/20 mm de espesor; es decir, veinte folios bien prensados tendrían un grosor de 1 mm. Si se dobla el papel por su mitad; se vuelve a doblar otra vez por la mitad, y se continúa este proceso hasta repetirlo 50 veces, ¿qué grosor tendría el trozo de papel resultante?

a) ¿Más de 20 km, pero menos de 100 km? b) ¿Entre 100 km y 1000 km? c) Podríamos dar la vuelta a la Tierra, pero sin llegar a la Luna. d) Entre la distancia a la Luna y al Sol.

Prog Niv II E9. A las 8 de la mañana Puri se entera de una noticia: “Las vacaciones se adelantarán una semana”. A la media hora le cuenta el “secreto” a Cloti, a Fede y a Marta, pero les dice que sean discretos y no lo digan a nadie. Pasada otra media hora, cada uno de estos amigos, eso sí con mucho “secreto”, cuenta la misma noticia a otros tres alumnos del colegio, y así sucesivamente. Si en el colegio hay 560 alumnos, ¿es posible que a la hora del patio, eso sí, “con mucha discreción” sepa la noticia todo el colegio?

Prog Niv II E10. El tío Batiste debe echar un cubo de agua al pié de cada uno de los 30 árboles que hay al lado del camino. Los árboles están a 6m de distancia, y el pozo a 10m antes del primer árbol. ¿Qué distancia habrá recorrido después de haber terminado el riego y llevado el cubo al pozo?

Prog Niv II E11. Partiendo de un cuadrado de lado 12 cm se forma un triángulo isósceles que se divide por la mitad. Con el rectángulo

que ha quedado se forman dos cuadrados. Tomamos el que queda abajo y de nuevo construimos otro triángulo isósceles, tal como muestran las ilustraciones. Halla:

a) Longitud de la línea quebrada formada por las hipotenusas y catetos mayores de los infinitos triángulos rectángulos.

b) Área de toda la zona sombreada que determinan los infinitos triángulos rectángulos.

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