Sucesiones y progresiones

SUCESIONES1Sucesin es un conjunto de cosas que cumplen un orden. Por ejemplo:El orden para los autos est establecido por los colores: uno negro, uno rojo.

En una sucesin el mismo valor puede aparecer varias veces.

Esta sucesin alterna el cero y el uno.En orden: cuando decimos que los trminos estn "en orden", nosotros somos los que decimos qu orden! Podra ser adelante, atrs, ascendente, descendente, alternado... o el que quieras!

SUCESIONES2Una sucesin numrica es un conjunto ordenado de nmeros. Por ejemplo:El conjunto de los nmeros naturales: {1, 2, 3, 4, 5, 6, }El conjunto de los nmeros pares: {2, 4, 6, 8, 10}El conjunto de los nmeros impares: {1, 3, 5, 7, 9, }El conjunto de los mltiplos de un nmero cualquiera. Etc.

Qu es una sucesin numrica?A cada uno de los nmeros que forman una sucesin se les llama trmino, elemento o miembro.

Ejemplos{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesin muy simple (y es una sucesin infinita){20, 25, 30, 35, ...} tambin es una sucesin infinita {1, 3, 5, 7} es la sucesin de los 4 primeros nmeros impares (y es una sucesin finita){4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrs (es finita){1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesin infinita donde vamos doblando cada trmino{a, b, c, d, e} es la sucesin de las 5 primeras letras en orden alfabtico (es finita){a, l, f, r, e, d, o} es la sucesin de las letras en el nombre Alfredo (es finita){0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesin que alterna ceros y unos (siguen un orden, en este caso, un orden alternativo, y es infinita)Finita o infinita: Si la sucesin sigue indefinidamente, es una sucesin infinita. Si no es una sucesin finitaTodas las sucesiones tienen una regla que nos indica cmo calcular el valor de cada trmino. Por ejemplo:La sucesin {3, 5, 8, 10, 13...} empieza por 3, salta primero 2 y luego 3. Esta sucesin mantiene un patrn alternado +2 , +3, es decir, no tiene una constante.

3581013+2+3+3+2+3

La sucesin {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez. Mantiene un patrn alternado +2.Pero la regla debera ser una frmula! Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cmo se calcula el: 10 trmino, 100 trmino, o n-simo trmino (donde n puede ser cualquier nmero positivo que queramos).As que queremos una frmula con "n" dentro (donde n ser la posicin que tiene el trmino).La regla6Entonces, cul sera la regla para {3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}?Primero, vemos que la sucesin sube 2 nmeros cada vez, as que podemos adivinar que la regla va a ser "2 x n". Vamos a verlo:n (posicin)TrminoPrueba132n = 21 = 2252n = 22 = 4372n = 23 = 6 Probamos la regla: 2n

n (posicin)TrminoRegla132n +1 = 21 + 1 = 3252n +1 = 22 + 1 = 5372n +1 = 23 + 1 = 7Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menor de lo que debera dar, as que vamos a modificar un poco la regla.Probamos la regla: 2n+1

Funciona!As que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como:La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1Ahora, por ejemplo, podemos calcular el trmino 100: 2 100 + 1 = 201Para que sea ms fcil escribir las reglas, normalmente lo hacemos as:Posicin del trminoxn es el trmino a encontrarn es la posicin de ese trminoAs que para hablar del "quinto trmino" slo tenemos que escribir: x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuacin, as:xn = 2n+1Ahora, si queremos calcular el 10 trmino, podemos escribir:x10 = 2n+1 = 210+1 = 21NotacinCalcular diferenciasA veces ayuda encontrar diferencias entre los trminos. Generalmente nos muestra una pauta escondida. Aqu tienes un ejemplo sencillo:

Las diferencias siempre son 2, as que podemos adivinar que "2n" es parte de la respuesta. Probamos 2n:n12345Trminos (xn)791113152n246810Error55555La ltima fila nos dice que siempre nos faltan 5, as que sumamos 5 y acertamos:Regla: xn = 2n + 5Sucesiones aritmticas: es una sucesin en la que cada trmino (menos el primero) se obtiene a partir del anterior sumndole una cantidad constante que la llamamos diferencia. Ejemplos:

Esta sucesin tiene una diferencia de 3 entre cada dos nmeros consecutivos. El patrn se sigue sumando 3 al ltimo nmero cada vez. El trmino general o diferencia es 3.Esta sucesin tiene una diferencia de 5 entre cada dos nmeros consecutivos. El patrn se sigue sumando 5 al ltimo nmero cada vez. El trmino general o diferencia es 5.Trmino general14710 13 16 +3+3+3+3+3+3Una sucesin o progresin aritmtica se construye sumando un valor fijo cada vez.Trmino general381318 23 28 +5+5+5+5+5TIPOS DE SUCESIONESEsta sucesin tiene un factor 3 entre cada dos nmeros consecutivos.El patrn se sigue multiplicando el ltimo nmero por 3 cada vez. Es una sucesin de nmeros, tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior multiplicado por un nmero constante llamado razn.La regla es: xn = 3nSucesiones geomtricasUna sucesin o progresin geomtrica se construye multiplicando un valor fijo cada vez.Trmino general3927 81 243 x3x3x3x3x312SUCESIONES ESPECIALESLa sucesin es: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...Se genera a partir de una pauta de puntos en un tringulo. Aadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente nmero de la sucesin.

NUMEROS TRIANGULARES

La sucesin es: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...Para hallar un nmero cuadrado elevamos su posicin (nmero de trmino) al cuadrado. El que est en la posicin 2 es: 22 22 = 4 El que est en la posicin 7 es: 72 77 = 49, etc. La regla es: xn = n2 La sucesin es: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...Para hallar un nmero cbico elevamos su posicin (nmero de trmino) al cubo. El que est en la posicin 2 es: 23 22x2 = 8 El que est en la posicin 7 es: 73 77x7 = 343, etc. La regla es: xn = n3 NUMEROS CUADRADOS

NUMEROS CBICOSLa sucesin es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...Cualquier trmino de la sucesin se obtiene de sumar los dos anteriores. Es infinita. El nmero 2 (el 3er trmino) lo encontramos porque sumamos los dos nmeros anteriores (1+1) El 21 (el 8vo trmino) lo encontramos porque sumamos los dos nmeros anteriores a l (8+13) La regla es: xn = xn-1 + xn-2Esta regla es interesante porque depende de los valores de los trminos anteriores.Por ejemplo el 6 trmino se calculara as:x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8NUMEROS DE FIBONACCIdonde: xn es el trmino en posicin "n" xn-1 es el trmino anterior (n-1) xn-2 es el anterior a ese (n-2)

Leonardo de Pisa (Fibonacci) naci en Pisa en 1.170 y vivi hasta 1.250.

Su padre era representante de una Casa comercial italiana en el norte de Argelia (frica).

Este hecho hizo que Fibonacci tuviera contacto con maestro rabes que le ensearon Aritmtica y el Sistema de Numeracin hindo-arbico.

Consigui introducir este Sistema de Numeracin en todo Europa y escribi muchos libros sobre este tema.UN POCO DE HISTORIAFibonacci, sin pretenderlo, haba hallado la llave del crecimiento en la Naturaleza.

Los ptalos de las flores son nmeros de la sucesin de Fibonacci.PTALOS DE LAS FLORES

Si tomamos una Pia y contamos las hileras espirales de escamas, descubriremos 8 espirales enrollndose hacia la izquierda y 13 espirales que se enrollan hacia la derecha, o bien 13 hacia la izquierda y 21 hacia la derecha, u otras parejas de nmeros. Lo ms impactante es que estas parejas de nmeros siempre son nmeros consecutivos de la famosa sucesin de Fibonacci. PIA DE PINO

El nmero de espirales que forman las semillas de girasol son nmeros de la sucesin de Fibonacci. Flor del girasol: 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144 respectivamente. SEMILLAS DE GIRASOL

El largo de tus falanges tambin respeta la sucesin de Fibonacci. HUESOS DE LOS DEDOSUna pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad frtil. A partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser frtiles, engendrarn cada mes una pareja de conejos.Cuntos conejos habr al cabo de un determinado nmero de meses?. REPRODUCCIN DE CONEJOS

Estos nmeros aparecen en la construccin de las espirales del crecimiento de conchas de moluscos, cuernos de rumiantes,...ESPIRALES El inters por estas sucesiones ha sido avivado por desarrollos recientes en programacin de ordenadores, ya que al parecer tienen aplicacin en clasificacin de datos, recuperacin de informaciones, generacin de nmeros aleatorios, e incluso, en mtodos rpidos de clculo aproximado de valores mximos o mnimos de funciones. EN LA ACTUALIDAD