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SUCESIONES
SUCESIONES
SUCESIONES
Veronica Briceno V.
noviembre 2012
SUCESIONES
SUCESIONES
En esta Presentacion veremos:
Definicion de Sucesicion
Conceptos de Acotada, Creciente /Decreciente,ConvergenciaSubsucesionesPropiedadesTeoremas Importantes.
SUCESIONES
SUCESIONES
En esta Presentacion veremos:
Definicion de SucesicionConceptos de Acotada, Creciente /Decreciente,Convergencia
SubsucesionesPropiedadesTeoremas Importantes.
SUCESIONES
SUCESIONES
En esta Presentacion veremos:
Definicion de SucesicionConceptos de Acotada, Creciente /Decreciente,ConvergenciaSubsucesiones
PropiedadesTeoremas Importantes.
SUCESIONES
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En esta Presentacion veremos:
Definicion de SucesicionConceptos de Acotada, Creciente /Decreciente,ConvergenciaSubsucesionesPropiedades
Teoremas Importantes.
SUCESIONES
SUCESIONES
En esta Presentacion veremos:
Definicion de SucesicionConceptos de Acotada, Creciente /Decreciente,ConvergenciaSubsucesionesPropiedadesTeoremas Importantes.
SUCESIONES
Sucesion
Definicion
Una sucesion de numeros reales es una funcion:x : N → R
n → x(n) = xnque asocia a cada numero natural n un numero real x(n) quedenotaremos por xn y que llamamos el n-esimo termino de lasucesion.
Importante:Cada termino lleva una doble informacion: su valor, xn y ellugar que n ocupa.Notacion:(xn), (xn)n∈N, {xn}n∈N, {x1, x2, ..., xn, ...}
SUCESIONES
Sucesion
DefinicionUna sucesion de numeros reales es una funcion:
x : N → Rn → x(n) = xn
que asocia a cada numero natural n un numero real x(n) quedenotaremos por xn y que llamamos el n-esimo termino de lasucesion.
Importante:Cada termino lleva una doble informacion: su valor, xn y ellugar que n ocupa.Notacion:(xn), (xn)n∈N, {xn}n∈N, {x1, x2, ..., xn, ...}
SUCESIONES
Sucesion
DefinicionUna sucesion de numeros reales es una funcion:x : N → R
n → x(n) = xn
que asocia a cada numero natural n un numero real x(n) quedenotaremos por xn y que llamamos el n-esimo termino de lasucesion.
Importante:Cada termino lleva una doble informacion: su valor, xn y ellugar que n ocupa.Notacion:(xn), (xn)n∈N, {xn}n∈N, {x1, x2, ..., xn, ...}
SUCESIONES
Sucesion
DefinicionUna sucesion de numeros reales es una funcion:x : N → R
n → x(n) = xnque asocia a cada numero natural n un numero real x(n) quedenotaremos por xn y que llamamos el n-esimo termino de lasucesion.
Importante:Cada termino lleva una doble informacion: su valor, xn y ellugar que n ocupa.Notacion:(xn), (xn)n∈N, {xn}n∈N, {x1, x2, ..., xn, ...}
SUCESIONES
Sucesion
DefinicionUna sucesion de numeros reales es una funcion:x : N → R
n → x(n) = xnque asocia a cada numero natural n un numero real x(n) quedenotaremos por xn y que llamamos el n-esimo termino de lasucesion.
Importante:Cada termino lleva una doble informacion: su valor, xn y ellugar que n ocupa.Notacion:
(xn), (xn)n∈N, {xn}n∈N, {x1, x2, ..., xn, ...}
SUCESIONES
Sucesion
DefinicionUna sucesion de numeros reales es una funcion:x : N → R
n → x(n) = xnque asocia a cada numero natural n un numero real x(n) quedenotaremos por xn y que llamamos el n-esimo termino de lasucesion.
Importante:Cada termino lleva una doble informacion: su valor, xn y ellugar que n ocupa.Notacion:(xn), (xn)n∈N, {xn}n∈N, {x1, x2, ..., xn, ...}
SUCESIONES
Ejemplos
x : N → Rn → x(n) = (−1)n
Distinguir de: {−1,1}
{2,4,6,8, ...} y {2n}n∈N definen la misma sucesion.x1 = 1, x2 = 1, xn+1 = xn + xn−1,∀n ≥ 2
Se llama sucesion de Fibonacci.
Observacion:En estos ejemplos hemos mostrados las diferentes formas enque se puede definir una sucesion:
ExtensionComprensionInductiva
SUCESIONES
Ejemplos
x : N → Rn → x(n) = (−1)n
Distinguir de: {−1,1}{2,4,6,8, ...} y {2n}n∈N definen la misma sucesion.
x1 = 1, x2 = 1, xn+1 = xn + xn−1,∀n ≥ 2
Se llama sucesion de Fibonacci.
Observacion:En estos ejemplos hemos mostrados las diferentes formas enque se puede definir una sucesion:
ExtensionComprensionInductiva
SUCESIONES
Ejemplos
x : N → Rn → x(n) = (−1)n
Distinguir de: {−1,1}{2,4,6,8, ...} y {2n}n∈N definen la misma sucesion.x1 = 1, x2 = 1, xn+1 = xn + xn−1,∀n ≥ 2
Se llama sucesion de Fibonacci.
Observacion:En estos ejemplos hemos mostrados las diferentes formas enque se puede definir una sucesion:
ExtensionComprensionInductiva
SUCESIONES
Ejemplos
x : N → Rn → x(n) = (−1)n
Distinguir de: {−1,1}{2,4,6,8, ...} y {2n}n∈N definen la misma sucesion.x1 = 1, x2 = 1, xn+1 = xn + xn−1,∀n ≥ 2
Se llama sucesion de Fibonacci.
Observacion:En estos ejemplos hemos mostrados las diferentes formas enque se puede definir una sucesion:
ExtensionComprensionInductiva
SUCESIONES
Ejemplos
x : N → Rn → x(n) = (−1)n
Distinguir de: {−1,1}{2,4,6,8, ...} y {2n}n∈N definen la misma sucesion.x1 = 1, x2 = 1, xn+1 = xn + xn−1,∀n ≥ 2Se llama sucesion de Fibonacci.
Observacion:En estos ejemplos hemos mostrados las diferentes formas enque se puede definir una sucesion:
Extension
ComprensionInductiva
SUCESIONES
Ejemplos
x : N → Rn → x(n) = (−1)n
Distinguir de: {−1,1}{2,4,6,8, ...} y {2n}n∈N definen la misma sucesion.x1 = 1, x2 = 1, xn+1 = xn + xn−1,∀n ≥ 2Se llama sucesion de Fibonacci.
Observacion:En estos ejemplos hemos mostrados las diferentes formas enque se puede definir una sucesion:
ExtensionComprension
Inductiva
SUCESIONES
Ejemplos
x : N → Rn → x(n) = (−1)n
Distinguir de: {−1,1}{2,4,6,8, ...} y {2n}n∈N definen la misma sucesion.x1 = 1, x2 = 1, xn+1 = xn + xn−1,∀n ≥ 2Se llama sucesion de Fibonacci.
Observacion:En estos ejemplos hemos mostrados las diferentes formas enque se puede definir una sucesion:
ExtensionComprensionInductiva
SUCESIONES
Mas Ejemplos
Las progresiones geometricas corresponden a unasucesion del tipo:x : N → R
n → x(n) = arn−1
y las progresiones aritmeticas corresponden a unasucesion de la forma:x : N → R
n → x(n) = a + (n − 1)d
Escribir el termino n-esimo de {1,0,1,0,1,0, ...}.Encontrar el decimo termino de la sucesion: {1
n}.Estudiemos la sucesion: xn = (1 + 1
n )n.
SUCESIONES
Mas Ejemplos
Las progresiones geometricas corresponden a unasucesion del tipo:x : N → R
n → x(n) = arn−1
y las progresiones aritmeticas corresponden a unasucesion de la forma:x : N → R
n → x(n) = a + (n − 1)dEscribir el termino n-esimo de {1,0,1,0,1,0, ...}.
Encontrar el decimo termino de la sucesion: {1n}.
Estudiemos la sucesion: xn = (1 + 1n )
n.
SUCESIONES
Mas Ejemplos
Las progresiones geometricas corresponden a unasucesion del tipo:x : N → R
n → x(n) = arn−1
y las progresiones aritmeticas corresponden a unasucesion de la forma:x : N → R
n → x(n) = a + (n − 1)dEscribir el termino n-esimo de {1,0,1,0,1,0, ...}.Encontrar el decimo termino de la sucesion: {1
n}.
Estudiemos la sucesion: xn = (1 + 1n )
n.
SUCESIONES
Mas Ejemplos
Las progresiones geometricas corresponden a unasucesion del tipo:x : N → R
n → x(n) = arn−1
y las progresiones aritmeticas corresponden a unasucesion de la forma:x : N → R
n → x(n) = a + (n − 1)dEscribir el termino n-esimo de {1,0,1,0,1,0, ...}.Encontrar el decimo termino de la sucesion: {1
n}.Estudiemos la sucesion: xn = (1 + 1
n )n.
SUCESIONES
Algebra de Sucesion
Sea X = {xn} y Y = {yn} dos sucesiones, α ∈ R. Se define:
αX como la sucesion {αxn}
X + Y como la sucesion {xn + yn}X · Y como la sucesion {xn · yn}
Si yn 6= 0, entonces X/Y como la sucesion{
xnyn
}Ejemplos:Si X = {1
n} y Y = {2n} , obtener X · Y y X/Y .
SUCESIONES
Algebra de Sucesion
Sea X = {xn} y Y = {yn} dos sucesiones, α ∈ R. Se define:
αX como la sucesion {αxn}X + Y como la sucesion {xn + yn}
X · Y como la sucesion {xn · yn}
Si yn 6= 0, entonces X/Y como la sucesion{
xnyn
}Ejemplos:Si X = {1
n} y Y = {2n} , obtener X · Y y X/Y .
SUCESIONES
Algebra de Sucesion
Sea X = {xn} y Y = {yn} dos sucesiones, α ∈ R. Se define:
αX como la sucesion {αxn}X + Y como la sucesion {xn + yn}X · Y como la sucesion {xn · yn}
Si yn 6= 0, entonces X/Y como la sucesion{
xnyn
}Ejemplos:Si X = {1
n} y Y = {2n} , obtener X · Y y X/Y .
SUCESIONES
Algebra de Sucesion
Sea X = {xn} y Y = {yn} dos sucesiones, α ∈ R. Se define:
αX como la sucesion {αxn}X + Y como la sucesion {xn + yn}X · Y como la sucesion {xn · yn}
Si yn 6= 0, entonces X/Y como la sucesion{
xnyn
}
Ejemplos:Si X = {1
n} y Y = {2n} , obtener X · Y y X/Y .
SUCESIONES
Algebra de Sucesion
Sea X = {xn} y Y = {yn} dos sucesiones, α ∈ R. Se define:
αX como la sucesion {αxn}X + Y como la sucesion {xn + yn}X · Y como la sucesion {xn · yn}
Si yn 6= 0, entonces X/Y como la sucesion{
xnyn
}
Ejemplos:Si X = {1
n} y Y = {2n} , obtener X · Y y X/Y .
SUCESIONES
Algebra de Sucesion
Sea X = {xn} y Y = {yn} dos sucesiones, α ∈ R. Se define:
αX como la sucesion {αxn}X + Y como la sucesion {xn + yn}X · Y como la sucesion {xn · yn}
Si yn 6= 0, entonces X/Y como la sucesion{
xnyn
}Ejemplos:
Si X = {1n} y Y = {2n} , obtener X · Y y X/Y .
SUCESIONES
Algebra de Sucesion
Sea X = {xn} y Y = {yn} dos sucesiones, α ∈ R. Se define:
αX como la sucesion {αxn}X + Y como la sucesion {xn + yn}X · Y como la sucesion {xn · yn}
Si yn 6= 0, entonces X/Y como la sucesion{
xnyn
}Ejemplos:Si X = {1
n} y Y = {2n} , obtener X · Y y X/Y .
SUCESIONES
Sucesion acotada
Una sucesion X = {xn} se dice:
Acotada superiormente, si existe M ∈ R tal que xn ≤ Mpara todo n.
Acotada inferiormente, si existe m ∈ R tal que xn ≥ m paratodo n.Acotada, si es acotada superior e inferiormente, estoequivale a encontrar K > 0 tal que |xn| < K para todo n.
SUCESIONES
Sucesion acotada
Una sucesion X = {xn} se dice:
Acotada superiormente, si existe M ∈ R tal que xn ≤ Mpara todo n.Acotada inferiormente, si existe m ∈ R tal que xn ≥ m paratodo n.
Acotada, si es acotada superior e inferiormente, estoequivale a encontrar K > 0 tal que |xn| < K para todo n.
SUCESIONES
Sucesion acotada
Una sucesion X = {xn} se dice:
Acotada superiormente, si existe M ∈ R tal que xn ≤ Mpara todo n.Acotada inferiormente, si existe m ∈ R tal que xn ≥ m paratodo n.Acotada, si es acotada superior e inferiormente, estoequivale a encontrar K > 0 tal que |xn| < K para todo n.
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar si son acotadas o no, las siguientes sucesiones:
{1n}
{(−1)n}xn = (1 + 1
n )n
xn = sen(n2 + 1)xn = an,a ∈ R
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar si son acotadas o no, las siguientes sucesiones:
{1n}{(−1)n}
xn = (1 + 1n )
n
xn = sen(n2 + 1)xn = an,a ∈ R
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar si son acotadas o no, las siguientes sucesiones:
{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1
n )n
xn = sen(n2 + 1)xn = an,a ∈ R
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar si son acotadas o no, las siguientes sucesiones:
{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1
n )n
xn = sen(n2 + 1)
xn = an,a ∈ R
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar si son acotadas o no, las siguientes sucesiones:
{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1
n )n
xn = sen(n2 + 1)xn = an,a ∈ R
SUCESIONES
Sucesion Creciente o Decreciente
Una sucesion X = {xn} se dice:
Creciente si para cada n se verifica: xn ≤ xn+1
Estrictamente creciente si para cada n se verifica:xn < xn+1
Decreciente si para cada n se verifica: xn ≥ xn+1
Estrictamente decreciente si para cada n se verifica:xn > xn+1
Monotona si cumple con alguna de las anteriores (enocasiones se habla de monotonıa estricta si esestrictamente creciente o estrictamente. decreciente)
SUCESIONES
Sucesion Creciente o Decreciente
Una sucesion X = {xn} se dice:
Creciente si para cada n se verifica: xn ≤ xn+1
Estrictamente creciente si para cada n se verifica:xn < xn+1
Decreciente si para cada n se verifica: xn ≥ xn+1
Estrictamente decreciente si para cada n se verifica:xn > xn+1
Monotona si cumple con alguna de las anteriores (enocasiones se habla de monotonıa estricta si esestrictamente creciente o estrictamente. decreciente)
SUCESIONES
Sucesion Creciente o Decreciente
Una sucesion X = {xn} se dice:
Creciente si para cada n se verifica: xn ≤ xn+1
Estrictamente creciente si para cada n se verifica:xn < xn+1
Decreciente si para cada n se verifica: xn ≥ xn+1
Estrictamente decreciente si para cada n se verifica:xn > xn+1
Monotona si cumple con alguna de las anteriores (enocasiones se habla de monotonıa estricta si esestrictamente creciente o estrictamente. decreciente)
SUCESIONES
Sucesion Creciente o Decreciente
Una sucesion X = {xn} se dice:
Creciente si para cada n se verifica: xn ≤ xn+1
Estrictamente creciente si para cada n se verifica:xn < xn+1
Decreciente si para cada n se verifica: xn ≥ xn+1
Estrictamente decreciente si para cada n se verifica:xn > xn+1
Monotona si cumple con alguna de las anteriores (enocasiones se habla de monotonıa estricta si esestrictamente creciente o estrictamente. decreciente)
SUCESIONES
Sucesion Creciente o Decreciente
Una sucesion X = {xn} se dice:
Creciente si para cada n se verifica: xn ≤ xn+1
Estrictamente creciente si para cada n se verifica:xn < xn+1
Decreciente si para cada n se verifica: xn ≥ xn+1
Estrictamente decreciente si para cada n se verifica:xn > xn+1
Monotona si cumple con alguna de las anteriores (enocasiones se habla de monotonıa estricta si esestrictamente creciente o estrictamente. decreciente)
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar si son crecientes o decrecientes las siguientessucesiones:
{1n}
{(−1)n}xn = (1 + 1
n )n
xn = sen(n){1,2,3,4,5...}{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...}
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar si son crecientes o decrecientes las siguientessucesiones:
{1n}{(−1)n}
xn = (1 + 1n )
n
xn = sen(n){1,2,3,4,5...}{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...}
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar si son crecientes o decrecientes las siguientessucesiones:
{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1
n )n
xn = sen(n){1,2,3,4,5...}{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...}
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar si son crecientes o decrecientes las siguientessucesiones:
{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1
n )n
xn = sen(n)
{1,2,3,4,5...}{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...}
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar si son crecientes o decrecientes las siguientessucesiones:
{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1
n )n
xn = sen(n){1,2,3,4,5...}
{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...}
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar si son crecientes o decrecientes las siguientessucesiones:
{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1
n )n
xn = sen(n){1,2,3,4,5...}{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...}
SUCESIONES
Convergencia
Intuitiva
El concepto de convergencia indica que a partir de undeterminado n en adelante (a medida que n crece), los valoresque toma la sucesion estan muy cerca un numero L.Se dice que la sucesion converge a este L.
FormalSea L ∈ R.Una sucesion {xn} es CONVERGENTE, si∀ε > 0,∃N ∈ N,n ≥ N ⇒ |xn − L| < ε
Notacion:limx→∞xn = L , o bien, {xn} −→ L
SUCESIONES
Convergencia
IntuitivaEl concepto de convergencia indica que a partir de undeterminado n en adelante (a medida que n crece), los valoresque toma la sucesion estan muy cerca un numero L.
Se dice que la sucesion converge a este L.
FormalSea L ∈ R.Una sucesion {xn} es CONVERGENTE, si∀ε > 0,∃N ∈ N,n ≥ N ⇒ |xn − L| < ε
Notacion:limx→∞xn = L , o bien, {xn} −→ L
SUCESIONES
Convergencia
IntuitivaEl concepto de convergencia indica que a partir de undeterminado n en adelante (a medida que n crece), los valoresque toma la sucesion estan muy cerca un numero L.Se dice que la sucesion converge a este L.
Formal
Sea L ∈ R.Una sucesion {xn} es CONVERGENTE, si∀ε > 0,∃N ∈ N,n ≥ N ⇒ |xn − L| < ε
Notacion:limx→∞xn = L , o bien, {xn} −→ L
SUCESIONES
Convergencia
IntuitivaEl concepto de convergencia indica que a partir de undeterminado n en adelante (a medida que n crece), los valoresque toma la sucesion estan muy cerca un numero L.Se dice que la sucesion converge a este L.
FormalSea L ∈ R.Una sucesion {xn} es CONVERGENTE, si∀ε > 0,∃N ∈ N,n ≥ N ⇒ |xn − L| < ε
Notacion:limx→∞xn = L , o bien, {xn} −→ L
SUCESIONES
Convergencia
IntuitivaEl concepto de convergencia indica que a partir de undeterminado n en adelante (a medida que n crece), los valoresque toma la sucesion estan muy cerca un numero L.Se dice que la sucesion converge a este L.
FormalSea L ∈ R.Una sucesion {xn} es CONVERGENTE, si∀ε > 0,∃N ∈ N,n ≥ N ⇒ |xn − L| < ε
Notacion:
limx→∞xn = L , o bien, {xn} −→ L
SUCESIONES
Convergencia
IntuitivaEl concepto de convergencia indica que a partir de undeterminado n en adelante (a medida que n crece), los valoresque toma la sucesion estan muy cerca un numero L.Se dice que la sucesion converge a este L.
FormalSea L ∈ R.Una sucesion {xn} es CONVERGENTE, si∀ε > 0,∃N ∈ N,n ≥ N ⇒ |xn − L| < ε
Notacion:limx→∞xn = L , o bien, {xn} −→ L
SUCESIONES
Convergencia
IntuitivaEl concepto de convergencia indica que a partir de undeterminado n en adelante (a medida que n crece), los valoresque toma la sucesion estan muy cerca un numero L.Se dice que la sucesion converge a este L.
FormalSea L ∈ R.Una sucesion {xn} es CONVERGENTE, si∀ε > 0,∃N ∈ N,n ≥ N ⇒ |xn − L| < ε
Notacion:limx→∞xn = L , o bien, {xn} −→ L
SUCESIONES
Observaciones
1 |xn − L| < ε ssi xn ∈]L− ε,L + ε[
Luego, la definicion de convergencia nos dice que a partirde N en adelante los valores de xn se encuentran en{xN , xN+1, xN+2, ...}.
2 limx→∞xn = L⇐⇒ imx→∞|xn − L| = 0
SUCESIONES
Observaciones
1 |xn − L| < ε ssi xn ∈]L− ε,L + ε[Luego, la definicion de convergencia nos dice que a partirde N en adelante los valores de xn se encuentran en{xN , xN+1, xN+2, ...}.
2 limx→∞xn = L⇐⇒ imx→∞|xn − L| = 0
SUCESIONES
Convergencia
Definicion
Una sucesion que posee lımite se dira convergente, en casocontrario se dice divergente.
TeoremaTeorema:Si el limite de una sucesion existe, es unico.
SUCESIONES
Convergencia
DefinicionUna sucesion que posee lımite se dira convergente, en casocontrario se dice divergente.
TeoremaTeorema:Si el limite de una sucesion existe, es unico.
SUCESIONES
Convergencia
DefinicionUna sucesion que posee lımite se dira convergente, en casocontrario se dice divergente.
Teorema
Teorema:Si el limite de una sucesion existe, es unico.
SUCESIONES
Convergencia
DefinicionUna sucesion que posee lımite se dira convergente, en casocontrario se dice divergente.
TeoremaTeorema:Si el limite de una sucesion existe, es unico.
SUCESIONES
Convergencia
DefinicionUna sucesion que posee lımite se dira convergente, en casocontrario se dice divergente.
TeoremaTeorema:Si el limite de una sucesion existe, es unico.
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones:
{1n}
{(−1)n}xn = (1 + 1
n )n
xn = sen(n)xn = an,a ∈ Rxn = n
n+1
{22
5 ,32
10 ,42
17 ,52
26 , ...}
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones:
{1n}{(−1)n}
xn = (1 + 1n )
n
xn = sen(n)xn = an,a ∈ Rxn = n
n+1
{22
5 ,32
10 ,42
17 ,52
26 , ...}
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones:
{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1
n )n
xn = sen(n)xn = an,a ∈ Rxn = n
n+1
{22
5 ,32
10 ,42
17 ,52
26 , ...}
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones:
{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1
n )n
xn = sen(n)
xn = an,a ∈ Rxn = n
n+1
{22
5 ,32
10 ,42
17 ,52
26 , ...}
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones:
{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1
n )n
xn = sen(n)xn = an,a ∈ R
xn = nn+1
{22
5 ,32
10 ,42
17 ,52
26 , ...}
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones:
{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1
n )n
xn = sen(n)xn = an,a ∈ Rxn = n
n+1
{22
5 ,32
10 ,42
17 ,52
26 , ...}
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones:
{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1
n )n
xn = sen(n)xn = an,a ∈ Rxn = n
n+1
{22
5 ,32
10 ,42
17 ,52
26 , ...}
SUCESIONES
Algebra de Lımites:
Si {xn} → A y {yn} → B. Entonces:
{xn + yn} → A + B{xn · yn} → A · B{xn/yn} → A/B, si B 6= 0
SUCESIONES
Algebra de Lımites:
Si {xn} → A y {yn} → B. Entonces:
{xn + yn} → A + B
{xn · yn} → A · B{xn/yn} → A/B, si B 6= 0
SUCESIONES
Algebra de Lımites:
Si {xn} → A y {yn} → B. Entonces:
{xn + yn} → A + B{xn · yn} → A · B
{xn/yn} → A/B, si B 6= 0
SUCESIONES
Algebra de Lımites:
Si {xn} → A y {yn} → B. Entonces:
{xn + yn} → A + B{xn · yn} → A · B{xn/yn} → A/B, si B 6= 0
SUCESIONES
Ejemplo
Calcular el lımite de la sucesion que tiene termino general:
xn = log(1n )
xn = 3n4+2n+12n4+1
SUCESIONES
Lımites Infinitos
Definicion
Sea (xn) una sucesion.Se dice que {xn}:
Tiende (o converge) a infinito cuando n tiende a infinito, sipara todo K > 0,∃N ∈ N tal que n ≥ N ⇒ xn > K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn =∞Tiende (o converge) a menos infinito, cuando n tiende ainfinito, si para todo K < 0,∃N ∈ N tal quen ≥ N ⇒ xn < K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn = −∞.
SUCESIONES
Lımites Infinitos
Definicion
Sea (xn) una sucesion.Se dice que {xn}:
Tiende (o converge) a infinito cuando n tiende a infinito, sipara todo K > 0,∃N ∈ N tal que n ≥ N ⇒ xn > K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn =∞Tiende (o converge) a menos infinito, cuando n tiende ainfinito, si para todo K < 0,∃N ∈ N tal quen ≥ N ⇒ xn < K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn = −∞.
SUCESIONES
Lımites Infinitos
DefinicionSea (xn) una sucesion.
Se dice que {xn}:
Tiende (o converge) a infinito cuando n tiende a infinito, sipara todo K > 0,∃N ∈ N tal que n ≥ N ⇒ xn > K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn =∞Tiende (o converge) a menos infinito, cuando n tiende ainfinito, si para todo K < 0,∃N ∈ N tal quen ≥ N ⇒ xn < K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn = −∞.
SUCESIONES
Lımites Infinitos
DefinicionSea (xn) una sucesion.Se dice que {xn}:
Tiende (o converge) a infinito cuando n tiende a infinito, sipara todo K > 0, ∃N ∈ N tal que n ≥ N ⇒ xn > K .
En tal caso, escribiremos limn→∞xn =∞
Tiende (o converge) a menos infinito, cuando n tiende ainfinito, si para todo K < 0,∃N ∈ N tal quen ≥ N ⇒ xn < K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn = −∞.
SUCESIONES
Lımites Infinitos
DefinicionSea (xn) una sucesion.Se dice que {xn}:
Tiende (o converge) a infinito cuando n tiende a infinito, sipara todo K > 0, ∃N ∈ N tal que n ≥ N ⇒ xn > K .
En tal caso, escribiremos limn→∞xn =∞
Tiende (o converge) a menos infinito, cuando n tiende ainfinito, si para todo K < 0,∃N ∈ N tal quen ≥ N ⇒ xn < K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn = −∞.
SUCESIONES
Lımites Infinitos
DefinicionSea (xn) una sucesion.Se dice que {xn}:
Tiende (o converge) a infinito cuando n tiende a infinito, sipara todo K > 0, ∃N ∈ N tal que n ≥ N ⇒ xn > K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn =∞Tiende (o converge) a menos infinito, cuando n tiende ainfinito, si para todo K < 0, ∃N ∈ N tal quen ≥ N ⇒ xn < K .
En tal caso, escribiremos limn→∞xn = −∞.
SUCESIONES
Lımites Infinitos
DefinicionSea (xn) una sucesion.Se dice que {xn}:
Tiende (o converge) a infinito cuando n tiende a infinito, sipara todo K > 0, ∃N ∈ N tal que n ≥ N ⇒ xn > K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn =∞Tiende (o converge) a menos infinito, cuando n tiende ainfinito, si para todo K < 0, ∃N ∈ N tal quen ≥ N ⇒ xn < K .
En tal caso, escribiremos limn→∞xn = −∞.
SUCESIONES
Lımites Infinitos
DefinicionSea (xn) una sucesion.Se dice que {xn}:
Tiende (o converge) a infinito cuando n tiende a infinito, sipara todo K > 0, ∃N ∈ N tal que n ≥ N ⇒ xn > K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn =∞Tiende (o converge) a menos infinito, cuando n tiende ainfinito, si para todo K < 0, ∃N ∈ N tal quen ≥ N ⇒ xn < K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn = −∞.
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones:
{(−1)n2}
xn = n2
5n
Observacion
Si (xn) es una sucesion creciente y no es acotadasuperiormente entonces limx→∞xn =∞
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones:
{(−1)n2}xn = n2
5n
Observacion
Si (xn) es una sucesion creciente y no es acotadasuperiormente entonces limx→∞xn =∞
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones:
{(−1)n2}xn = n2
5n
Observacion
Si (xn) es una sucesion creciente y no es acotadasuperiormente entonces limx→∞xn =∞
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones:
{(−1)n2}xn = n2
5n
Observacion
Si (xn) es una sucesion creciente y no es acotadasuperiormente entonces limx→∞xn =∞
SUCESIONES
Ejemplos
Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones:
{(−1)n2}xn = n2
5n
ObservacionSi (xn) es una sucesion creciente y no es acotadasuperiormente entonces limx→∞xn =∞
SUCESIONES
Teorema:
Si {xn}, {yn} sucesiones. Entonces:
Si limx→∞xn =∞; {yn}, es una sucesion acotadainferiormente entonces
limx→∞(xn + yn) =∞
Si limx→∞xn =∞ ; y existe α > 0 tal que yn > α, ∀n ∈ Nentonces
limx→∞(xn · yn) =∞
Si limx→∞xn = 0; xn > 0∀n ∈ N, y existe α > 0 tal queyn > α, ∀n ∈ N entonces
limx→∞(xn
yn) =∞
SUCESIONES
Teorema:
Si {xn}, {yn} sucesiones. Entonces:
Si limx→∞xn =∞; {yn}, es una sucesion acotadainferiormente entonces
limx→∞(xn + yn) =∞
Si limx→∞xn =∞ ; y existe α > 0 tal que yn > α, ∀n ∈ Nentonces
limx→∞(xn · yn) =∞
Si limx→∞xn = 0; xn > 0∀n ∈ N, y existe α > 0 tal queyn > α, ∀n ∈ N entonces
limx→∞(xn
yn) =∞
SUCESIONES
Teorema:
Si {xn}, {yn} sucesiones. Entonces:
Si limx→∞xn =∞; {yn}, es una sucesion acotadainferiormente entonces
limx→∞(xn + yn) =∞
Si limx→∞xn =∞ ; y existe α > 0 tal que yn > α, ∀n ∈ Nentonces
limx→∞(xn · yn) =∞
Si limx→∞xn = 0; xn > 0∀n ∈ N, y existe α > 0 tal queyn > α, ∀n ∈ N entonces
limx→∞(xn
yn) =∞
SUCESIONES
Teorema:
Si {xn}, {yn} sucesiones. Entonces:
Si limx→∞xn =∞; {yn}, es una sucesion acotadainferiormente entonces
limx→∞(xn + yn) =∞
Si limx→∞xn =∞ ; y existe α > 0 tal que yn > α, ∀n ∈ Nentonces
limx→∞(xn · yn) =∞
Si limx→∞xn = 0; xn > 0∀n ∈ N, y existe α > 0 tal queyn > α, ∀n ∈ N entonces
limx→∞(xn
yn) =∞
SUCESIONES
Subsucesion
Definicion
Sea {xn} una sucesion.Entonces una subsucesion {xnk} de {xn} es una nuevasucesion que se forma considerando algunos n digamosn1,n2,n3... que cumplen n1 < n2 < n3 < ....Una subsucesion de una sucesion corresponde a efectuar unacomposicion (por la derecha) de la sucesion original con unafuncion ϕ : N→ N que sea estrictamente creciente.
EjemplosDada a la sucesion {xn}, extraer una subsucesion de la forma{x1, x3, x5, ...}.Que forma tiene ϕ?Que otra subsucesion podrıamos obtener?
SUCESIONES
Subsucesion
Definicion
Sea {xn} una sucesion.Entonces una subsucesion {xnk} de {xn} es una nuevasucesion que se forma considerando algunos n digamosn1,n2,n3... que cumplen n1 < n2 < n3 < ....Una subsucesion de una sucesion corresponde a efectuar unacomposicion (por la derecha) de la sucesion original con unafuncion ϕ : N→ N que sea estrictamente creciente.
EjemplosDada a la sucesion {xn}, extraer una subsucesion de la forma{x1, x3, x5, ...}.Que forma tiene ϕ?Que otra subsucesion podrıamos obtener?
SUCESIONES
Subsucesion
DefinicionSea {xn} una sucesion.
Entonces una subsucesion {xnk} de {xn} es una nuevasucesion que se forma considerando algunos n digamosn1,n2,n3... que cumplen n1 < n2 < n3 < ....Una subsucesion de una sucesion corresponde a efectuar unacomposicion (por la derecha) de la sucesion original con unafuncion ϕ : N→ N que sea estrictamente creciente.
EjemplosDada a la sucesion {xn}, extraer una subsucesion de la forma{x1, x3, x5, ...}.Que forma tiene ϕ?Que otra subsucesion podrıamos obtener?
SUCESIONES
Subsucesion
DefinicionSea {xn} una sucesion.Entonces una subsucesion {xnk} de {xn} es una nuevasucesion que se forma considerando algunos n digamosn1,n2,n3... que cumplen n1 < n2 < n3 < ....
Una subsucesion de una sucesion corresponde a efectuar unacomposicion (por la derecha) de la sucesion original con unafuncion ϕ : N→ N que sea estrictamente creciente.
EjemplosDada a la sucesion {xn}, extraer una subsucesion de la forma{x1, x3, x5, ...}.Que forma tiene ϕ?Que otra subsucesion podrıamos obtener?
SUCESIONES
Subsucesion
DefinicionSea {xn} una sucesion.Entonces una subsucesion {xnk} de {xn} es una nuevasucesion que se forma considerando algunos n digamosn1,n2,n3... que cumplen n1 < n2 < n3 < ....Una subsucesion de una sucesion corresponde a efectuar unacomposicion (por la derecha) de la sucesion original con unafuncion ϕ : N→ N que sea estrictamente creciente.
EjemplosDada a la sucesion {xn}, extraer una subsucesion de la forma{x1, x3, x5, ...}.Que forma tiene ϕ?Que otra subsucesion podrıamos obtener?
SUCESIONES
Subsucesion
DefinicionSea {xn} una sucesion.Entonces una subsucesion {xnk} de {xn} es una nuevasucesion que se forma considerando algunos n digamosn1,n2,n3... que cumplen n1 < n2 < n3 < ....Una subsucesion de una sucesion corresponde a efectuar unacomposicion (por la derecha) de la sucesion original con unafuncion ϕ : N→ N que sea estrictamente creciente.
Ejemplos
Dada a la sucesion {xn}, extraer una subsucesion de la forma{x1, x3, x5, ...}.Que forma tiene ϕ?Que otra subsucesion podrıamos obtener?
SUCESIONES
Subsucesion
DefinicionSea {xn} una sucesion.Entonces una subsucesion {xnk} de {xn} es una nuevasucesion que se forma considerando algunos n digamosn1,n2,n3... que cumplen n1 < n2 < n3 < ....Una subsucesion de una sucesion corresponde a efectuar unacomposicion (por la derecha) de la sucesion original con unafuncion ϕ : N→ N que sea estrictamente creciente.
EjemplosDada a la sucesion {xn}, extraer una subsucesion de la forma{x1, x3, x5, ...}.Que forma tiene ϕ?Que otra subsucesion podrıamos obtener?
SUCESIONES
Teoremas
Si (xn) es una sucesion convergente a L, entonces todasubsucesion (xnk ) converge y tambien a L.
(xn)→ L1; (yn)→ L2; xn < yn,∀n ∈ N Entonces, L1 < L2
Toda sucesion convergente es acotada.(Bolzano-Weierstrass). Toda sucesion acotada posee unasubsucesion convergente.
SUCESIONES
Teoremas
Si (xn) es una sucesion convergente a L, entonces todasubsucesion (xnk ) converge y tambien a L.(xn)→ L1; (yn)→ L2; xn < yn, ∀n ∈ N Entonces, L1 < L2
Toda sucesion convergente es acotada.(Bolzano-Weierstrass). Toda sucesion acotada posee unasubsucesion convergente.
SUCESIONES
Teoremas
Si (xn) es una sucesion convergente a L, entonces todasubsucesion (xnk ) converge y tambien a L.(xn)→ L1; (yn)→ L2; xn < yn, ∀n ∈ N Entonces, L1 < L2
Toda sucesion convergente es acotada.
(Bolzano-Weierstrass). Toda sucesion acotada posee unasubsucesion convergente.
SUCESIONES
Teoremas
Si (xn) es una sucesion convergente a L, entonces todasubsucesion (xnk ) converge y tambien a L.(xn)→ L1; (yn)→ L2; xn < yn, ∀n ∈ N Entonces, L1 < L2
Toda sucesion convergente es acotada.(Bolzano-Weierstrass). Toda sucesion acotada posee unasubsucesion convergente.
SUCESIONES
Teoremas
Toda sucesion creciente y acotada superiormenteconverge. De manera similar, toda sucesion decreciente yacotada inferiormente converge.
Sandwich: Sean sucesiones (xn), (yn), (zn) . Supongamosque limn→∞xn = L = limn→∞yn y que se cumplexn ≤ zn ≤ yn para n ≥ N. Entonces (zn) converge ylimn→∞zn = L.Si limx→∞f (x) = L, y consideramos la sucesion xn = f (n),entonces limn→∞xn = L.Si (xn) es una sucesion que converge a cero y (yn) es unasucesion acotada entonces (xn · yn) converge a cero.Sea A ⊂ R un conjunto que es union de intervalosabiertos. Sea f : A→ R una funcion y a ∈ A. La funcion fes continua en a si y solo si para toda sucesion (an) conan ∈ A y n ∈ N. y an → a, se cumplef (an)→ f (a).
SUCESIONES
Teoremas
Toda sucesion creciente y acotada superiormenteconverge. De manera similar, toda sucesion decreciente yacotada inferiormente converge.Sandwich: Sean sucesiones (xn), (yn), (zn) . Supongamosque limn→∞xn = L = limn→∞yn y que se cumplexn ≤ zn ≤ yn para n ≥ N. Entonces (zn) converge ylimn→∞zn = L.
Si limx→∞f (x) = L, y consideramos la sucesion xn = f (n),entonces limn→∞xn = L.Si (xn) es una sucesion que converge a cero y (yn) es unasucesion acotada entonces (xn · yn) converge a cero.Sea A ⊂ R un conjunto que es union de intervalosabiertos. Sea f : A→ R una funcion y a ∈ A. La funcion fes continua en a si y solo si para toda sucesion (an) conan ∈ A y n ∈ N. y an → a, se cumplef (an)→ f (a).
SUCESIONES
Teoremas
Toda sucesion creciente y acotada superiormenteconverge. De manera similar, toda sucesion decreciente yacotada inferiormente converge.Sandwich: Sean sucesiones (xn), (yn), (zn) . Supongamosque limn→∞xn = L = limn→∞yn y que se cumplexn ≤ zn ≤ yn para n ≥ N. Entonces (zn) converge ylimn→∞zn = L.Si limx→∞f (x) = L, y consideramos la sucesion xn = f (n),entonces limn→∞xn = L.
Si (xn) es una sucesion que converge a cero y (yn) es unasucesion acotada entonces (xn · yn) converge a cero.Sea A ⊂ R un conjunto que es union de intervalosabiertos. Sea f : A→ R una funcion y a ∈ A. La funcion fes continua en a si y solo si para toda sucesion (an) conan ∈ A y n ∈ N. y an → a, se cumplef (an)→ f (a).
SUCESIONES
Teoremas
Toda sucesion creciente y acotada superiormenteconverge. De manera similar, toda sucesion decreciente yacotada inferiormente converge.Sandwich: Sean sucesiones (xn), (yn), (zn) . Supongamosque limn→∞xn = L = limn→∞yn y que se cumplexn ≤ zn ≤ yn para n ≥ N. Entonces (zn) converge ylimn→∞zn = L.Si limx→∞f (x) = L, y consideramos la sucesion xn = f (n),entonces limn→∞xn = L.Si (xn) es una sucesion que converge a cero y (yn) es unasucesion acotada entonces (xn · yn) converge a cero.
Sea A ⊂ R un conjunto que es union de intervalosabiertos. Sea f : A→ R una funcion y a ∈ A. La funcion fes continua en a si y solo si para toda sucesion (an) conan ∈ A y n ∈ N. y an → a, se cumplef (an)→ f (a).
SUCESIONES
Teoremas
Toda sucesion creciente y acotada superiormenteconverge. De manera similar, toda sucesion decreciente yacotada inferiormente converge.Sandwich: Sean sucesiones (xn), (yn), (zn) . Supongamosque limn→∞xn = L = limn→∞yn y que se cumplexn ≤ zn ≤ yn para n ≥ N. Entonces (zn) converge ylimn→∞zn = L.Si limx→∞f (x) = L, y consideramos la sucesion xn = f (n),entonces limn→∞xn = L.Si (xn) es una sucesion que converge a cero y (yn) es unasucesion acotada entonces (xn · yn) converge a cero.Sea A ⊂ R un conjunto que es union de intervalosabiertos. Sea f : A→ R una funcion y a ∈ A. La funcion fes continua en a si y solo si para toda sucesion (an) conan ∈ A y n ∈ N. y an → a, se cumplef (an)→ f (a).