Sucesiones y Series de Funciones
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SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES SUCESIONES DE FUNCIONES: DEFINICIÓN: Sea una sucesión de funciones( ). Decimos que CONVERGE PUNTUALMENTE en A a una función , que se llama función ímite, si para cada x0" A se verifica que: Es decir, si "x0"A, ">0,"n0 "N / "n"n0!|fn(x0)-f(x0)|< A se le llama también límite puntual de , y se escribe Ejemplos: Si hacemos el límite considerando x constante: Es decir, a medida que aumenta n, la curva que describe fn(x), se va aproximando a f(x)=x 1
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SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
SUCESIONES DE FUNCIONES:
DEFINICIÓN: Sea
una sucesión de funciones(
). Decimos que
CONVERGE PUNTUALMENTE en A a una función
, que se llama función ímite, si para cada x0" A se verifica que:
Es decir, si "x0"A, "�>0,"n0 "N / "n"n0!|fn(x0)−f(x0)|< �
A
se le llama también límite puntual de
, y se escribe
Ejemplos:
Si hacemos el límite considerando x constante:
Es decir, a medida que aumenta n, la curva que describe fn(x), se va aproximando a f(x)=x
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IDEA INTUITIVA: El límite de una sucesión de funciones continuas puede no ser continuas(ejemplo 2). Amenudo nos interesa asegurar que la función límite será continua. Para ello vamos a endurecer la noción deconvergencia, eliminando la dependencia de x0.
DEFINICIÓN: Sea
una sucesión de funciones(
). Decimos que
CONVERGE UNIFORMEMENTE en A hacía una función
, si "�>0 ,"n0"N / "n"n0!|fn(x)−f(x)|< � "x"A
Geometricamente esto se puede ver de la siguiente manera.
A partir de un n0, la función fn(x) puede hacer lo que quiera, pero estará contenida en un `tubo', formado porlas funciones f(x)+� y f(x)−�.
OBSERVACIÓN: La convergencia uniforme implica la convergencia puntual, es decir, es más fuerte launiforme que la puntual.
NOTACIÓN: Si
converge uniformemente a f en A, lo escribiremos:
TEOREMA(Caracterización del supremo):
, donde
Demostración:
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que es la definición de convergencia uniforme.
Ejemplo:
Estudiar la convergencia(ambas) de
límite puntual
Hallamos
(distancia entre el máximo y f(x))
Y el límite vale:
Luego hay convergencia uniforme.
PROPOSICIÓN: Si
y
están acotadas , entonces
está acotada en A
Demostración:
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Como
están acotadas,
también lo está.
TEOREMA: Sea
una sucesión de funciones(
), y supongamos que existe
. Si
, entonces:
existe
, y vale
Demostración:
1)Veamos que
es convergente
*
Tomando límites cuando x tiende a `a'
Luego
es de Cauchy, y por tanto convergente.
Sea
2)Hace falta demostrar que
Pues
Pues si
Dado que
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COROLARIO: Si
, y
continuas , entonces f es continua en A.
Demostración:
OBSERVACIÓN: Si
, y
continuas , y
es discontinua, la convergencia no es uniforme.
Ejemplo:
. Función discontinua. Convergencia no uniforme
TEOREMA(Integración): Si
, y
integrables en A , entonces la función límite es integrable en A y se verifica:
Además la convergencia del límite anterior es uniforme en A
TEOREMA(Derivación): Sea
, y
derivables en A ,
es uniformemente convergente en A, y existe a " A tal que
es convergente, entonces
es uniformemente convergente en A, la función límite es derivable y se verifica que:
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SERIES DE FUNCIONES:
DEFINICIÓN: Dada
(
), llamamos SERIE FUNCIONAL ASOCIADA a
a la sucesión de sumas parciales
, donde
Decimos que la serie es convergente(puntual o uniformemente)si lo es la sucesión de sumas parciales. En esecaso escribiremos:
Ejemplo:
Estudiar la convergencia de
Es una serie geométrica de razón
. Es convergente puntualmente si r<1, es decir, x>0, y su suma vale
TEOREMA: Si
converge uniformemente a S(x) (función suma) en A, y
continuas , entonces S(x) es continua.
Demostración:
Y Sn(x ) es continua por ser suma de funciones continuas, con lo
que la función límite S(x) también lo es.
TEOREMA(Criterio de la Mayorante. Weiertrass): Sea
una serie de funciones (
), y
una STP. Si
, y
es convergente, entonces
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es uniformemente convergente.
Demostración
Demostremos el criterio de convergencia de Cauchy para series de funciones:
Aplicandolo:
Ejemplo:
•
Por tanto la serie original es convergente
•
Vamos a intentar acotar la serie funcional derivando y hallando el máximo:
convergente, luego la original es uniformente convergente.
TEOREMA(Integración): Si
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converge uniformemente en A y
integrables en A , entonces la función suma es integrable en A y se verifica:
Además la convergencia de la serie anterior es uniforme en A
TEOREMA(Derivación): Si
derivables en A ,
es uniformemente convergente en A, y existe a " A tal que
es convergente, entonces
es uniformemente convergente en A, la función suma es derivable y se verifica que:
SERIES DE POTENCIAS:
DEFINICIÓN: Una serie de potencias es una expresión de la forma:
. A los términos an se les llama coeficientes de la serie.
Ejemplos:
Para estudiar la convergencia puntual, fijaremos la x y la trataremos como una serie normal. Al no tratarse deuna serie de términos positivos, utilizaremos la convergencia absoluta
Ejemplos:
1)
Luego bn es convergente
Por tanto la serie original es absolutamente convergente.
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2)
El caso general de una serie de potencias se expresa:
. A los términos an se les llama coeficientes de la serie.
Si hacemos t=x−a la reducimos al tipo anterior.
TEOREMA:
Si
converge puntualmente en x1"0 entonces es absolutamente convergente si |x|<| x1|
•
Si
diverge en x1"0 entonces es divergente si |x|>| x1|
•
Demostración:
convergente
•
Por tanto
es una mayorante a partir de n0 de
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es una serie geométrica de razón
Luego si
entonces
es una mayorante convergente de
, luego la original es convergente a partir de n0 y por tanto a partir de n=0. Debido a ello
es absolutamente convergente si
2)Reducción al absurdo:
Supongamos que existe
y
absolutamente convergente. Por 1) la serie seria convergente si
, luego sería convergente en
, lo que es contradictorio.
DEFINICIÓN: De lo anterior se deduce que existe
tal que
es absolutamente convergente
, y divergente si
. Si
puede ocurrir cualquier cosa. A r le llamaremos radio de convergencia de la serie de potencias.
PROPOSICIÓN: Sea
una serie de potencias con radio de convergencia r:
1)Si
entonces
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, es decir:
Si
entonces
, es decir:
•
Demostración:
Aplicando el criterio de la raíz:
Si
si
Si
si
No solo no es absolutamente convergente, sino que es divergente: si
, luego la serie es divergente.
DEFINICIÓN: Si
tiene radio de convergencia r, llamamos intervalo de convergencia al intervalo (−r,r), y campo deconvergencia al mayor intervalo en el que converge la serie. Por tanto el campo de convergencia será (−r,r),(−r,r], [−r,r) y [−r,r].
Ejemplos:
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Intervalo de convergencia (−1,1)
Serie divergenteCampo de convergencia (−1,1)
Intervalo de convergencia(−1,1)
Serie armónica Divergente
Serie armónica alternada Convergente
Campo de convergencia (−1,1]
r=1 Intervalo de convergencia(−1,1)
Serie armónica alternada Convergente
Serie armónica Divergente
Campo de convergencia [−1,1)
r=1 Intervalo de convergencia(−1,1)
Convergente
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Divergente
Campo de convergencia [−1,1]
DEFINICIÓN: Si
tiene radio de convergencia r>0 entonces converge uniformemente en cualquier intervalo
.
Demostración:
Sea
Si
es una mayorante de
Como ,
es convergente, y por el criterio de Weiertrasss
es absolutamente convergente
COROLARIOS:
1) Si
tiene radio de convergencia r y
entonces
es continua en (−r,r)
2) (para integrales)Si
converge uniformemente, entonces
Si
tiene radio de convergencia r entonces:
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la integral tiene radio de convergencia al menos r
3) (para derivadas)Si
converge uniformemente, entonces
Demostración:
1)Veamos que
es continua en
.
Existe
.
es continua en
por ser suma de funciones continuas, luego es continua en
PROPOSICIÓN: Si
tiene radio de convergencia , entonces:
y
también tiene radio de convergencia .
No haremos la demostración, pero la idea es que si el radio de convergencia aumentara(Como ya hemos visto,no puede disminuir), al derivarla tendríamos una serie de radio de convergencia , y si integramos dicha serie obtendríamos la serie original con un radio de convergencia , lo cual es imposible, pues habría cambiado el radio de la serie original.
Por ello una serie de potencias define una función indefinidamente derivable en su intervalo de convergencia.
NOTACIÓN: Decimos que
pertenece a las funciones de clase infinita en si y solo si
es indefinidamente derivable en . Se representa así:
Por tanto
DEFINICIÓN: Dada una función
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indefinidamente derivable en un intervalo
definimos su SERIE DE TAYLOR en como:
Analogamente se define la SERIE DE TAYLOR en como:
OBSERVACIÓN: ¿Qué relación hay entre
y
?
1)Si la serie no converge, no pueden ser iguales.
Ejemplo:
2)Si la serie converge, la suma puede ser distinta de
. Serán iguales si además el resto enésimo tiende a cero.
TEOREMA: Si
es indefinidamente derivable en
y
, entonces:
en
TEOREMA: Si
para un cierto y , podemos asegurar la convergencia y
Ejemplo:
1)
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, luego es convergente en R
SERIES DE FOURIER:
IDEA INTUITIVA: Nos proponemos escribir cualquier función periódica, de periodo en principio 2�, enforma de una serie de senos y cosenos. Para ello habrá que tener en cuenta las siguientes expresiones:
•
•
•
•
Demostracion:
DEFINICIÓN: Dada una función periódica de periodo 2�, definimos su SERIE DE FOURIER como :
Donde
son los llamados coeficientes de Fourier, y vienen dados por:
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Demostración:
Supongamos que
. Integrando en
:
Si multiplicamos por
e integramos en el mismo intervalo:
Haciendo lo mismo con
Donde los ceros se producen porque las integrales que quedan son impares, y por tanto se anulan.
OBSERVACIÓN: Lo que haremos será estudiar funciones en el intervalo
y extenderlas(hacerlas periódicas) en
Ejemplo:
si
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Como se observa en la gráfica, a medida que aumenta n, la serie de Fourier se aproxima más a la función. Enla gráfica se han sumado los 10 primeros términos.
PROPOSICIÓN: Si
es periódica de periodo , entonces se verifica que:
Demostración:
Veamos que:
Hacemos
IDEA INTUITIVA: Ahora vamos a intentar hacer la SF para funciones periodo arbitrario. Lo que vamos ahacer es usar una adaptación de las formulas de senos y cosenos:
son periódicas de periodo
, cosa que se comprueba fácilmente, aplicando la definición de periodicidad.
DEFINICIÓN: Sea
una función periódica de periodo
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. Llamamos SERIE DE FOURIER de
a:
Donde
son los llamados coeficientes de Fourier, y vienen dados por:
OBSERVACIÓN: Las integrales se pueden tomar en cualquier intervalo de longitud , como ya vimos.
DEFINICIÓN: Decimos que
es continua a trozos en un intervalo
, si es continua en
, excepto en un nº finito de puntos
y existen
y
,
(Es decir, los límites laterales) y son finitos(Es decir, si la discontinuidad es de tipo finito.)
Análogamente se define una función derivable a trozos, siendo además distintas las derivadas laterales(puessino sería derivable en el punto.):
TEOREMA(Dirichlet): Si
es periódica y derivable a trozos, su SF converge en el punto
a
.
Por tanto, si
es continua en
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, converge a
.
OBSERVACIÓN: Hasta ahora hemos estudiado el caso general de que las funciones sean cualesquiera. Perosi la función presenta simetría par o impar, los cálculos son más sencillas.
1)Sí
es par:2)Si
es impar:
CALCULO(Series de senos y cosenos): Supongamos
. Queremos desarrollarla en forma de SERIE DE SENOS. Para ello consideraremos la extensión impar de
. Con ello hacemos que
sea impar. A esa nueva función la llamaremos
Lo mismo podemos hacer con la extensión par, consiguiendo así la SERIE DE COSENOS de la función, pues
se hace par. A esta función la llamaremos
En la figura la función original está en azul, la par en rojo y la impar en verde.
Haciendo las SF de las funciones que nos quedan obtendremos una expresión que converge a
en
, y a
o a
en
según corresponda.
CALCULO(Sumación de series): A menudo nos piden que hallemos la serie de senos o de cosenos de unafunción, y después nos piden que sumemos una serie numérica a partir de la primera. El método para hacerloconsiste basicamente en hallar una valor de x , para el cual la serie de Fourier de senos o cosenos se puedatransformar en la serie numérica que buscamos.
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Ejemplo:
Sumar :
La serie de Fourier se calcula facilmente, ya que la función es par
Como la función es convergente para x=�
* Véase problema nº5 de la hoja de problemas.
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