SUCESIONES Y SERIES.doc

7/23/2019 SUCESIONES Y SERIES.doc

http://slidepdf.com/reader/full/sucesiones-y-seriesdoc 1/20



Unidad III: Series Infinitas

*omo naa nn ∀≤ +1 entonces la sucesión

+12n

nes Monótona Creciente#

(2!

=

,.....

1,....,

3

1,

2

1,1

1

nn

1

111 +

== +n

an

ann

nnnnnn

aa nn ∀≥+⇒∀+

≥⇒≥ + 11

111 + entonces naa nn ∀≥ +1 as% la sucesión

n

1 es

Monótona Decreciente#

Sucesiones Acotadas.-Una sucesión { }na se dice ue est- ACOTADA si y sólo si tiene una cota superior y una cota

inferior#

$a sucesión { }na es ACOTADA SUPERIORMENTE si e.iste una constante M tal ue M an ≤

para todo n y es ACOTADA INFERIORMENTE si e.iste una constante N tal ue na N ≤ para

todo n#

&jemplo:

=

,.....1,....,

31,

21,11

nnes acotada ya ue:

*ota superior=1,2/,# (0 1! y la *ota inferior=/,1, (04/!

nn SupCot Inf Cot

∀≤<...

11

0

5eorema: Una sucesión monótona acotada es coner!ente#

6or ejemplo

=

,.....1

,....,

3

1,

2

1,1

1

nn

es una sucesión monótona (decreciente! y es acotada,

as% es una sucesión coner!ente#

"#$ite de una sucesión.-




6or lo tanto { }

=

nnsena

n

π

7

(2! { }

+= 12n

n

an

2

1

12limlim =

+=

∞→∞→ n

na

nn

n, entonces { }

+=

12n

nan 7

Pro(iedades de )as Sucesiones.-Si { }na y { }nb son sucesiones conver"entes y 9c es una constante entonces:

(i! Si una sucesión es conver"ente, su l%mite es único

(ii! $a sucesión constante {c} es 7 y ccn

=∞→

lim

(iii! ( ) nn

nn

nnn

baba∞→∞→∞→

±=± limlimlim

(iv! nn

nn

acca∞→∞→

= limlim

(v! ( ) nn

nn

nnn

baba∞→∞→∞→

= lim*lim*lim

(vi! 0lim,lim

limlim ≠=

∞→∞→

∞→

∞→ n

nn

n

nn

n

n

nb si

b

a

b

a




SERIES INFINITAS

De%.- 8ada la sucesión { }na le asociamos la sucesión { }n

S , entonces:

∑∞

=

++++++=1

4321 ...........n

nn aaaaaa se denomina SERIE INFINITA* donde

nn aaaaS aaaS aaS aS ++++=++=+== ....,...,,, 321321321211 , representan los T+RMINOS DE

"A SERIE+ mientras ue: ∑=

++++==n

i

nin aaaaaS 1

321 ... se denomina n-,si$a Su$a Parcia) y

{ }nS se llama Sucesión de Su$as Parcia)es de la serie#

*onver"encia y 8iver"encia de Series

Sea ∑∞

=1n

na una serie infinita y { }nS la sucesión de sumas parciales de la serie, entonces:

Si

⊄

∞→ sumatieneno y DIV divergentees serielaentoncesexiste Noii

serielade sumalaesS yeconvergent es serielaentoncesS aigual es y xisteiS n

n )(,)(

)(,)(lim

&jemplo: 8ada la serie infinita ∑∞

=

+−

1 1

11

n nn, encontrar los 3 primeros elementos de { }nS y

determinar una fórmula para S n en t;rminos de n#

1

11

+−=nn

an (t;rmino "eneral de la serie!

( ) ( )( ) ( ) ( )

1

11

11

1

43

41

41

31

31

21

21

3213

32

31

31

21

21

212

21

21

11

=−=−+−+−=++=

=−=−+−=+=

=−==

n

aaaS

aaS

aS




011

limlim ≠=+

=∞→∞→ n

na

nn

n DIV por *#0#*#

(2! ∑

∞

= +++++=1

32

.........32n

nn

n

eeee

n

e

0limlimlim ≠∞===∞→∞→∞→

n

n

n

nn

ne

n

ea DIV por *#0#*#

(3! ∑∞

=

++++++=1

....1

...4

1

3

1

2

11

1

n nn

0lim1

limlim ===∞→∞→∞→ nn

nn n

a (no 'ay suficiente información de la serie ∑∞

=1

1

n n

usando la *#0#*#, 'ay

ue usar otro criterio!

Serie 'eo$,trica.-

De%.- $a serie dada por: ∑∞

=

++++++=0

32......

n

nnar ar ar ar aar , se llama SERIE 'EOM+TRICA

DE RA/ÓN 0r1#Teore$a.-

Una serie "eom;trica de raón 9r

−=<<

≥

r

aS es sumacuyar siC!NV"#

r si DIV"#

1:,10,

1,

&jemplos: &studiar la conver"encia o diver"encia de las si"uientes series:

(1! ∑∞

=

==+

+

+

+=0

32

2

1,3.....

2

13

2

13

2

133

2

3

n

n r a

donde ,102

1 <=< r entonces: ∑∞

=0 2

3

n

n7 y su suma 6

1

3

12

1=

−=

−=

r

aS

32n




$a pserie

>

≤

1,

1,

p siC!NV"#

p si DIV"#

&jemplos:

(1! ∑∞

=

++++++=1

....1

...4

1

3

1

2

11

1

n nn, p=1, entonces ∑

∞

=1

1

n n

DIV

(2! ∑∞

=

++++++=1

22222 ....

2...

4

2

3

2

2

22

2

n nn, p=21, entonces ∑

∞

=12

2

n n

7

Serie Te)escó(ica.-6ara encontrar la suma total de una serie ∑

∞

=1n

na se tiene ue calcular primero la suma parcial

∑=

++++==n

i

nin aaaaaS 1

321 ... pero no e.iste un m;todo "eneral para 'allar S n# &ntre los pocos

casos en ue es posi?le calcular el valor de S n, siempre y cuando se pueda e.presar an deuna de las si"uientes formas, se encuentra:

nnn bba −= +1 , entonces:nnnn bbbbbbbbaaaaS −++−+−+−=++++= +1342312321 .......

11 bbS nn −= +

1+−= nnn bba , entonces:

1433221321 ....... +−++−+−+−=++++= nnnn bbbbbbbbaaaaS

11 +−= nn bbS

&jemplos:

(1! Sea la serie ∑∞

= +1 )1(

1

n nn

, calcular S n

1)1(

1+==

$ %an 1&%'n(1)($n %&1 $&*1




SERIES DE T+RMINOS POSITI&OS

Una serie de t;rminos positivos es conver"ente si y sólo si su sucesión de sumas parciales

tiene una cota superior#

Criterio de Co$(aración Directa.- *onsiste en comparar una serie, con t;rminos an-lo"ospero m-s complicados, con otra m-s sencilla cuya conver"encia o diver"encia ya esconocida#*ondiciones:

,####3,2,1n?a/ nn =≤≤

(i! Si ∑

∞

=1nn? *A0B&CD& entonces ∑

∞

=1nna *A0B&CD& (si la serie mayor conver"e

entonces la serie menor conver"e!

(ii! Si ∑∞

=1n

na 8IB&CD& entonces ∑∞

=1n

n? 8IB&CD& (si la serie menor diver"e entonces las

serie mayor diver"e!

E2e$()os: Enaliar si las si"uientes series conver"en o diver"en

(1! ∑∞

= +1nn

321

Sol#

(i! Fuscar una nueva serie ( ∑∞

=1n

n? , la serie mayor!, la cual puede ser "eom;trica o pserie#

∑ ∑∞

=

∞

=

=1n 1n

nn3

1? (Serie "eom;trica!

(ii! *omparar: ∑∞

=1n

na y ∑∞

=1n

n?

∑∑ ∞∞

=1

a ∑ ∑∞ ∞

=1

?




Sol#


=1n

n? , la serie mayor!, la cual puede ser "eom;trica o pserie#

∑∑ ∞

=

∞

==

1n2

1n

nn

1? (pserie!

(ii! *omparar: ∑∞

=1n

na y ∑∞

=1n

n?

∑∑ ∞

=

∞

= +=

1n2

1n

n1n

1a ∑∑

∞

=

∞

=

=1n

21n

nn

1?

2n

nG1

1=a

2n

n

1=? , entonces:

22

n

14

nG1

1 para todo nH1, as%:

1n?a nn ≥<

(iii! Berificar la conver"encia o diver"encia de ∑∞

=1n

n?

∑∑ ∞

=

∞

=

=1n

21n

nn

1? (pserie!, donde p=21, por lo tanto: ∑

∞

=1nn? 7

(iv!*onclusión: 8ado ue ∑∞

=1n

na 4 ∑∞

=1n

n? y ∑∞

=1n

n? 7, entonces ∑∑ ∞

=

∞

= +

=1n

2

1n

n

1n

1a 7 por el

criterio de comparación directa#

(3! ∑∞

= +1n 2n

1

Sol#

(i! Fuscar una nueva serie: ∑

∞

= =1nn

n

1

?

(ii! *omparar:nG2

1=an

n

1=?n , entonces:

n

14

nG2

1 nH1




8ado ue ∑ ∑∞

=

∞

=

=1n 1n

nn

1a 4∑

∞

= +=

1nn

n2

1? y ∑ ∑

∞

=

∞

=

=1n 1n

nn

1a DIV, entonces

∑ ∑

∞

=

∞

= +=

1n 1nn n2

1?

DIV por el criterio de comparación directa#

Criterio de Co$(aración en e) "#$ite.- Su procedimiento es similar al criterio anterior, pues

de?e ?uscarse una nueva serie ( ∑∞

=1n

n? !, la cual puede ser serie "eom;trica o pserie

dependiendo de la estructura de la serie dada# Supon"amos ue 0>na , 0>n? y $

?

alim

n

n

n

=∞→

,

donde $ es finito y positivo# &ntonces, las dos series: ∑∞

=1n

na y ∑∞

=1n

n? , son conver"entes o

diver"entes#

*ondiciones:

(i! Si 0>=∞→

$

?

alim

n

n

n, am?as conver"en o diver"en, depende de la conver"encia o

diver"encia de ∑∞

=1n

n? #

(ii! Si 0=∞→ n

n

n ?

alim y ∑

∞

=1n

n? conver"e, entonces ∑∞

=1nna 7

(iii! Si ∞=∞→ n

n

n ?

alim y ∑

∞

=1n

n? diver"e, entonces ∑∞

=1n

na DIV

E2e$()os: Enaliar si las si"uientes series conver"en o diver"en∞ n

<




(iv! *onclusión: 8ado ue /1?

alim

n

n

n>=

∞→ y ∑∑

∞

=

∞

=

=1n

n

n

1n

n3

<? DIV, entonces ∑∑

∞

=

∞

= +=

1nn

n

1n

n31

<a

DIV por el *riterio de comparación en el $imite#

(2! ∑∞

= ++−

1n>

2

1n2n3

1n2

Sol#


=1n

n? !

∑ ∑∞

=

∞

=

=1n 1n

3>

2

n1

nn (pserie! ∑∑ ∞

=

∞

= ++−=

1n>

2

1nn

1n2n31n2a

(ii! 8efinir la conver"encia o diver"encia de ∑∞

=1n

n?

∑ ∑∞

=

∞

=

++++==1n 1n

3333n #####,<

1

3

1

2

11

n

1? donde p=31 as% ∑

∞

=1n

n? 7

(iii! &valuar el l%mite:

/32

1n2n3nn2limnK

1n2n31n2lim

?alim

>

3>

n

3

>

2

nn

n

n>=

++−=

++−=

∞→∞→∞→

(iv! *onclusión: 8ado ue /3

2

?

alim

n

n

n>=

∞→y ∑ ∑

∞

=

∞

=

=1n 1n

3n ,n

1? 7, entonces

∑∑ ∞

=

∞

= ++−

=1n

>

2

1nn

1n2n3

1n2a 7 por el *riterio de comparación en el $imite#

(3! ∑∞

1

nln




Criterio de )a Inte!ra).- Si f es una función continua, positiva y decreciente para toda .Ha y

!n(f a n = , entonces: ∑∞

=an

na y ∫ ∞

a

d.!.(f , am?as conver"en o diver"en# &s decir, la serie

infinita: ∑∞

=

++++=an

######!n(f ######!2(f !1(f !n(f es conver"ente si la inte"ral impropia

∫ ∞

a

d.!.(f 7, y es diver"ente si la inte"ral impropia ∫ ∞

a

d.!.(f DIV#

E2e$()os: Enaliar si las si"uientes series conver"en o diver"en

(1! ∑∞

=

+++=1n

L<n#####

e

3

e

2

e

1

e

n2

Sol# *ondiciones ue de?e cumplir f'x):

++ .nn

e

.!.(f

e

na!n(f =⇒==

(i! f de?e ser positiva:

1n/e

na,######,/

e

3a,/

e

2a,/

e

1a

2nnL3<21 ≥∀>=>=>=>=

(ii! f de?e ser continua:

2.e

.!.(f = es continua 1. ≥∀

(iii! f de?e ser decreciente:

1.,/e

.21

e

e.2e!.(Mf

2<

22

.

2

.

.2.

≥∀<−

=−

=




1.

.!.(f !n(f

1n

na

22n +=⇒=

+=

(i) f de?e ser positiva:

1n/1n

na,######,/

1/

3a,/

>

2a,/

2

1a

2n321 ≥∀>+

=>=>=>=

(ii) f de?e ser continua:

1.

.!.(f

2 += es continua para toda . N R

(iii) f de?e ser decreciente:

1.,/!1.(

.1!1.(

.21.!.(Mf 22

2

22

22

≥∀<+−=+−+=

8ado ue f,'x)4/, entonces f'x) es decreciente#

Una ve ue se 'an cumplido las condiciones, entonces se procede a evaluar la inte"ralimpropia:

( ) [ ] ∞=−+=

+=+

=+ ∞→∞→

∞

∞→

∞

∫ ∫ !2ln(!1?ln(lim2

11.ln

2

1limd.

1.

.limd.

1.

. 2

?

?

1

2

?

1

2?

1

2

&ntonces ∞=+∫

∞

1

2 d.1.

. DIV

*onclusión# 8e?ido a ue ∫ ∞

+1

2 d.1.

. DIV, entonces∑

∞

= +1n2

1n

nDIV, por el *riterio de la

Inte"ral#

Criterio de )a Ra#3.- Sea $alim nn

n

=∞→

(i! Si $41, entonces la serie ∑∞

na *A0B&CD&




(2! ∑∞

=1nn

3

3

n

Sol#

n3

n

n3

nn

3

n

nn

3

n

nlim3

1

3

n

3

nlim

3

nlim

∞→∞→∞→===

Cesolviendo la forma indeterminada: O0

/.

3lim

.

.ln3lim.ln#

.

3lim.lnlimyln.limy

...

.3

.

.3

.===

==⇒=∞→∞→∞→∞→∞→

1.limy1y/yln .3

.==⇒=⇒=

∞→

&ntonces:

13

1!1(

3

1n

3

1alim n

3n

nn

<===∞→

*onclusión# 8ado ue 1

3

1alim n

nn

<=∞→

, entonces la serie

∑

∞

=1nn

3

3

n7, por el *riterio de la Ca%#

Criterio de) Cociente Ra3ón.- Sea ∑∞

=1n

na una serie con t;rminos no nulos#

(i! Si 1$a

alim

n

1n

n

<=+

∞→, entonces la serie ∑

∞

=1n

na *A0B&CD& (*#E!#

(ii! Si 1$a

alimn

1n

n

>=+

∞→ó si ∞=+

∞→n

1n

n aalim , entonces ∑

∞

=1nna 8IB&CD&

(iii! Si 1a

lim 1n =+el criterio no decide




(2! ∑∞

=1n !Pn3(

1

Sol#!Pn3(

1an =( ) !P3n3(

1P!1n(3

1a 1n +=

+=+

( )( )

( )( ) ( )

1/!1n3!#(2n3#(3n3

1lim

!Pn3!#(1n3!#(2n3#(3n3

Pn3lim

P3n3

Pn3lim

a

alim

nnnn

1n

n

<=+++

=+++

=+

=∞→∞→∞→

+

∞→

*onclusión# 8ado ue 1/a

alim

n

1n

n

<=+

∞→, entonces la serie ∑

∞

=1n !Pn3(

1 7, por el *riterio del

*ociente#




SERIES A"TERNANTES*CON&ER'ENCIA A4SO"UTA 5 CON&ER'ENCIA CONDICIONA"

Series A)ternantes.- Son auellas series cuyos t;rminos son positivos y ne"ativos en formaalternada# &jemplos:

1# ∑∞

=

++ −=+

−+−+−+−

1n

1n1n

n

!1(#####

n

!1(#####

>

1

<

1

3

1

2

11

2# ∑∞

=

−=+

−++−+−+−

1nn

n

n

n

2

<!1(#####

2

<!1(#####

J

1

<

1

2

112

3# ∑∞

=

++ −=+−++−+−+−1n

1n1nn!1(#####n!1(#####@><321

Criterio (ara )a coner!encia de )as series a)ternantes.-

$a serie ∑∞

=

+ +−+−=−1n

<321n

1n#########aaaaa!1( conver"e si se cumplen las si"uientes

condiciones:

(i! n1n aa/ ≤< + , para todo n ue pertenece a los enteros positivos#

(ii! /alim nn

=∞→

&jemplos:

(1! #######e

1

e

1

e

11

e

!1(32

/nn

n

+−+−=−∑

∞

=

Sol#

8e?en cumplirse las si"uientes condiciones, para ue la serie alternada ∑∞

=1n

na sea




(i!( )

/<

1

>n2

3nlimalim

2

2

nn

n≠=

−

+=

∞→∞→ (no se cumple!

*onclusión# 8ado ue /alim nn

≠∞→ entonces la serie alternada ∑∞

= −+−

1n2

2n

!>n2(

3n!1( DIV#

Coner!encia A6so)uta 7 Condiciona)

Una serie ∑∞

=1n

na *A0B&CD& EFSA$U5EQ&05& (*#E#! si la serie correspondiente de

valores a?solutos ∑∞

=1n

na conver"e#

Teore$a: Si ∑∞

=1n

na conver"e, entonces ∑∞

=1n

na conver"e#

Una serie ∑∞

=1n

na *A0B&CD& *A08I*IA0E$Q&05& (*#*! si la serie ∑∞

=1n

na conver"e y la

serie de valores a?solutos ∑

∞

=1nna diver"e#

E2e$()os:

(1! ∑∞

=

+−+−=+

−

1n

n

#####I

1

>

1

3

1

1n2

!1(

Sol# ∑∞

=1nna es una serie alternada, para ue sea 7 de?e cumplir con las si"uientes

condiciones:

(i! /1n2

1limalimn

nn

=+

=∞→∞→

(se cumple!




/2

1

1n2

nlim

?

alim

nn

n

n>=

+=

∞→∞→

8ado ue /2

1

?

a

limn

n

n >=∞→ y ∑

∞

= =1nn n

1

? DIV, entonces ∑∑

∞

=

∞

= += 1n1nn

1n2

1

a DIV

Conclusión Final # 8e?ido a ue ∑∞

=1n

na 7, por el criterio de series alternantes, y ∑∞

=1n

na

DIV, por el criterio de comparación en el limite, entonces la serie ∑∞

= +

−

1n

n

1n2

!1( *A0B&CD&

*A08I*IA0E$Q&05& (*#*!#

(2! ∑∞

=

+ +−+−=−1n

<

12

3

L

2

@3

n

n31n #########

<

2

3

2

2

22

n

2!1(

Sol#

&valuando la serie ∑∞

=1n

na :

∑ ∑∑

∞

=

∞

=

+∞

= =

−

= 1n 1nn

n3

n

n31n

1nn n

2

n

2!1(

a

Se aplicar- el criterio de la ra%#

1/n

2lim

n

2limalim

3

nn

n

n3

n

nn

n<===

∞→∞→∞→

*onclusión ( ∑∞

=1n

na !# 8ado ue 1/alim nn

n<=

∞→ , entonces la serie ∑

∞

=1n

na 7, por el criterio

de la ra%#

Conclusión Final.- 8e?ido a ue ∑∞

=1n

na 7, por el criterio de la ra%, entonces ∑∞

=1n

na 7, por

lo tanto la serie *A0B&CD& EFSA$U5EQ&05& (*#E!#




(vi! decreciente:( )

/!.(ln.

2.ln!.(Mf

32 <+−

= , as% f decrece#

Eplicando el criterio de la inte"ral:

!2ln(

1

!2ln(

1

!ln(

1

.ln

1lim

!.(ln.

d.d.!.(f

?

22 2.2

=+∞

−=

−==∫ ∫

∞ ∞

∞→(7!

*onclusión ( ∑∞

=2n

na !# 8e?ido a ue!2ln(

1

!.(ln.

d.d.!.(f

2 2

2 ==∫ ∫

∞ ∞

7, entonces ∑∞

=2n

na 7,

por el criterio de la inte"ral#

Conclusión Final.- 8ado ue ∑

∞

=2nna 7 entonces ∑ ∑

∞

=

∞

=

+−

=2n 2n2

1n

n !n(lnn

!1(

a 7, por lo tanto la serie

*A0B&CD& EFSA$U5EQ&05& (*#E!#




SERIES INFINITAS*AB&CD&0*IE A 8IB&CD&0*IE AFS&CBE*IA0&S

SERIE 'EOMETRICA:

∑∞

=

++++++=0

32......

n

nnar ar ar ar aar

−=<<

≥

r

aS es sumacuyar siC!NV"#

r si DIV"#

1:,10,

1,

P-SERIE: ∑∞

=

++++++=1

....1

...4

1

3

1

2

11

1

n p p p p p

nn p-0

>

≤

1,

1,

p siC!NV"#

p si DIV"#

PRUE4A E-NESIMA PARA "A DI&ER'ENCIAC.N.C

Si 0lim ≠∞→ n

na R ∑

∞

=1n

na DIV"#

CRITERIO DE COMPARACIÓN DIRECTA:,####3,2,1n?a/ nn =≤≤

∑∞

=1n

na :serie menor ∑∞

=1n

n? :serie mayor

(i! ∑∞

=1nn? C!NV"# R ∑

∞

=1n

na C!NV"#

(ii! ∑∞

=1n

na DIV"# R ∑∞

=1nn? DIV"#

∑∞

=1nn? : es una pserie

o serie "eom;trica

CRITERIO DE COMPARACIÓN EN E" "8MITE:

0>na , 0>n? Lb

a

n

n

n

=∞→

lim

(i! 0> L , si ∑∞

=1n

n? C!NV"# R ∑∞

=1nna

C!NV"#

si ∑∞

=1nn? DIV"# R ∑

∞

=1n

na DIV"#

(ii! 0= L y ∑∞

=1nn? C!NV"# R ∑

∞

=1n

na

C!NV"#

(iii! ∞= L y ∑∞

=1nn? DIV"# R ∑

∞

=1n

na DIV"#

CRITERIO DE "A INTE'RA"(i! ∫

∞

a

d.!.(f C!NV"# R ∑∞

=1n

na C!NV"# Si f es una funcióncontinua, positiva ydecreciente para toda

1L




(ii! ∫ ∞

a

d.!.(f DIV"# R ∑∞

=1nna DIV"#

.Ha

CRITERIO DE "A RAI/

$alim nn

n

=∞→

(i! $41R ∑∞

=1nna C!NV"# %$S!L./%MN/

(ii! $1 ó O R ∑

∞

=1n

na DIV"#

(iii! $=1, entonces el criterio no decide#

CRITERIO DE" COCIENTE

∑∞

=1nna es una serie con t;rminos no nulos#

La

a

n

n

n

=+

∞→

1lim

(i! $41R ∑∞

=1n

na C!NV"# %$S!L./%MN/

(ii! $1 ó O R ∑∞

=1n

na DIV"#

(iii! $=1, entonces el criterio no decide#

CRITERIO DE "AS SERIES A"TERNANTES

∑∞

=

+ +−+−=−1n

<321n

1n #########aaaaa!1(

(i) n1n aa/ ≤< + , para todo n ue pertenece a losenteros positivos#

(ii! /alim nn

=∞→

CON&ER'ENCIA A4SO"UTA 5 CONDICIONA"

∑∞

=1n

na C!NV"# %$S!L./%MN/ 'C0%0) si la

serie ∑∞

=1n

na conver"e#

∑

∞

=1nna C!NV"# C!NDICI!N%LMN/ 'C0C) si

la serie ∑∞

=1nna conver"e y ∑

∞

=1n

na diver"e#

Teore$a:

∑∞

=1nna C!NV"# R

∑∞

=1n

na C!NV"#

2/

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