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Sucesiones Sucesiones y y Sumatorias Sumatorias
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SucesionesSucesiones y y SumatoriasSumatorias
SucesionesSucesiones
� Estructura discreta usada para representar una lista ordenada de elementos
� Si elementos de sucesión infinitase pueden enumerar: conjunto contable o numerable
SucesionesSucesiones: : definicidefinicióónn
Función de un subconjunto del conjunto de enteros ( {0,1,2,..} o {1,2,3,...}) en un conjunto S
f(n) = an, an es un término de la sucesión
{an} describe la sucesión
SucesionesSucesiones
Considere la siguiente lista de términos
2, 4, 8, 16, 32, ...,
Lista se obtiene a partir de la secuencia {an} donde an=2n
La lista de términos de esta secuencia es:
a1, a2, a3, ...,
donde a1=2, a2=4, a3=8 y an=2n
SucesionesSucesiones
Considere la secuencia {bn}, donde
bn=(-1)n
Cuál es la lista de términos de la secuencia, comenzando desde b0 ?
SucesiSucesióónn
La lista de términos de la secuencia {bn}, donde bn=(-1)n desde b0
1,-1,1,-1,1,...
b0, b1, b2, b3, ...,
donde b0=1, b1=-1, b2=1 b3=-1, ..., bn=(-1)n
SucesionesSucesiones
Qué “regla” permite producir la siguientelista de términos de la secuencia?
5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59,...
SucesionesSucesiones
5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59,...
La lista se puede expresar como
5, 5+6(1), 5+6(2), 5+6(3), ..., 5+6(n)
SucesionesSucesiones
La lista de términos
5, 5+(1)6, 5+(2)6, 5+ (3)6, ..., 5+ (n)6
es una progresión aritmética donde
a=5 y d=6
ProgresiProgresióónn GeomGeoméétricatrica
Considere la siguiente lista de términos
4, 8, 16, 32, …
Se puede expresar como
4, 4*21, 4*22, 4*23, …
ProgresiProgresióónn GeomGeoméétricatrica
Sucesión de la forma
a, ar, ar2,...,arn
donde, el término inicial a y la razón rson números reales
ProgresiProgresióónn AritmAritmééticatica
Sucesión de la forma
a, a+d, a+2d,a+3d,...,a+nd
donde, el término inicial a y la diferenciad son números reales
ProgresionesProgresiones
Dadas las siguientes listas de términos, indique cuáles corresponden a progresiones
aritméticas o geométricas y en tal caso determine a, d o r
2, 4, 6, 8, 10, 12, …
2, 4, 8, 16, 32, 64, …
3, 1, -1, -3, -5, -7, …
1/2, 3/2, 5/2, 5, 9/2, 11/2, …
ProgresiProgresióónn GeomGeoméétricatrica
Indique el término inicial y la proporción de la siguiente progresión geométrica
2, 6, 18, 53, …
ProgresionesProgresiones
Indique cuáles de las siguientes listas de términos corresponden a progresiones
geométricas
5, 10, 20, 40, …
3, -3, 3, -3, …
1/2, 1/6, 1/12, 1/18, …
SucesionesSucesiones úútilestiles
1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,...n!
3,9,27,81,243,729,2187,6561,19683,59049,...3n
2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,...2n
1,16,81,256,625,1296,2401,4096,6561, 10000,...n4
1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,...n3
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...n2
Primeros términosTérminon-ésimo
SumatoriaSumatoria: : definicidefinicióónn
Sumatoria desde j=m hasta n de aj,
La variable j es el índice de la sumatoria y
toma todos los valores enteros entre el limite inferior y el limite superior de la suma
∑=
n
mjja
SumatoriasSumatorias
Expresar la suma de los primeros 100
términos de la secuencia {an} donde an=1/n para n=1,2,3,…
SumatoriasSumatorias
100 términos de la secuencia {an} donde an=1/n para n=1,2,3,…
∑=
100
1
1
j j
SumatoriasSumatorias
Cuál es el valor de
∑=
5
1
2
j
j
SumatoriasSumatorias
=12 + 22 + 32 + 42 + 52
= 1 + 4 + 9 + 16 + 25
=55
∑=
5
1
2
j
j
SumatoriasSumatorias
Cuál es el valor de
∑=
−8
4
)1(k
k
SumatoriasSumatorias
=(-1)4 + (-1)5 + (-1)6 + (-1)7 + (-1)8
= 1 + (-1) + 1 + -1 + 1
= 1
∑=
−8
4
)1(k
k
SumatoriasSumatorias
Indicar el valor de las siguientes sumatorias
∑=
4
1
1k
∑=
3
0
2k
k
∑=
+9
5
)2(j
jj
SumatoriasSumatorias
SUMAS DOBLES
Para resolver una suma doble se debe resolver primero la suma más interna y luego la suma externa
∑ ∑= =
4
1
3
1
*i j
ji
Sumas Sumas DoblesDobles
∑=
++4
1
)3*2*1*(i
iii
∑=
=4
1
)6*(i
i
= 1*6 + 2*6 + 3*6+ 4*6
= 6 + 12 + 18 + 24
= 60
Sumas dobles
∑ ∑= =
5
2
3
1
2*i j
ji
∑ ∑= =
+−2
1
4
1
2)1(*)1(i j
ji
Sumas Sumas sobresobre conjuntosconjuntos
Representa la suma de los valores de s para todos los miembros del conjunto {0,2,4}
∑ ∈ }4,2,0{Ss
6420}4,2,0{
=++=∑ ∈Ss
EjerciciosEjercicios
Dado S={1,3,5,7}, indique cuáles son los valores de las siguiente sumas:
∑ ∈ Sjj
2
∑ ∈ Sjj
∑ ∈ Sj1
SumatoriaSumatoria progresiprogresióónn geomgeoméétricatrica
A y r son números reales, r ≠0
Si r ≠1
Si r =1
1
1
0 −−=
+
=∑ r
aarar
nn
k
k
anarn
k
k )1(0
+=∑=
1
1
0 −−=
+
=∑
r
aarar
nn
k
k
2
)1(
1
+=∑=
nnk
n
k
6
)12)(1(
1
2 ++=∑=
nnnk
n
k
4
)1( 22
1
3 +=∑=
nnk
n
k
∑=
⋅20
0
)5(3j
j
∑=
100
1k
k
∑=
50
1
2
i
i
∑=
5
1
3
k
k
∑=
+20
1
2 )(j
jj
ConjuntosConjuntos EnumerablesEnumerables
Los conjuntos A y B tien en el mismocardinal si y solo si existe una biyecciónentre A y B
Un conjunto es enumerable o contable sies finito o si tiene el mismo cardinal que el conjunto de los enteros positivos
ConjuntosConjuntos EnumerablesEnumerables
Conjunto de impares positivos es contable
f(n)=2n-1, f : Z+ → Z+ impares
f es biyectiva
ConjuntosConjuntos EnumerablesEnumerables
Conjunto infinito enumerable si se puedenenumerar sus elementos en una sucesión
a1=f(1), a2=f(2),...., an=f(n)
El conjunto anterior se puede enumerarmediante la sucesión a1a2 ,...., an, donde
an=2n-1
