Suma Inferior, superior y de Riemman

Número 01-15

ISFDyT "Víctor Manuel Almenara"Mayor Villafañe - Formosa

Prof. Martínez Rolando Ramón

La suma de Riemann

Prof. Martínez, Rolando Ramón

2015

2

Dedicado a mi esposa, quien soportó que yo escriba un texto de matemática

en vacaciones.

ÍNDICE 4

Índice

1. Conceptos preliminares 8

1.1. Extremos en un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1. Intervalos y conjuntos acotados . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2. Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.3. Propiedades de los extremos . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. Suma inferior y superior 23

2.1. Partición de un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1. Particiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.2. Comparación de particiones . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.3. Norma y cantidad de puntos . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.4. Ubicación de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Suma inferior y superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1. Suma inferior y superior para funciones no negativas . . 31

2.2.2. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.3. Suma inferior y superior para funciones no positivas . . 55

2.2.4. Suma inferior y superior para funciones . . . . . . . . . 57

2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3. Suma de Riemann 69

3.1. La suma de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.1.1. Análisis de un ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.1.2. Relación con la suma superior e inferior . . . . . . . . . 71

ÍNDICE 5

3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Índice alfabético 76

Introducción

La motivación del siguiente cuadernillo es proveer a los alumnos del ISFDyT

"Víctor Manuel Almenara" de un texto básico sobre suma inferior, superior y

suma de Riemann, tema utilizado en los espacios de Análisis Matemático I y

II, de la carrera de Profesorado de Educación Secundaria en Matemática.

Los temas tratados son complementarios a los que se desarrollan en las clases

teóricas, por lo que este cuadernillo es un agregado esencial para entender

muchos de los conceptos tratados en la unidad curricular.

El presente artículo, trata específicamente la Suma de Riemann, a partir del

uso de sumas superiores e inferiores de una función acotada. En primer lugar,

se tratarán esos temas a partir del estudio de funciones no negativas. Esto es,

a causa de brindar un significado geométrico, que permita una mayor com-

prensión del objeto matemático estudiado. Luego, se avanzará en el estudio de

funciones no positivas, para luego generalizar la suma superior e inferior para

cualquier tipo de funciones definidas en un intervalo cerrado [a; b] ⊂ R.

Por último, se definirá y estudiará la Suma de Riemann como antesala del

cálculo de integrales definidas, tema que no se tratará en este texto.

Este material contiene bastantes ejercicios para que el lector, pueda practicar

teniendo en cuenta los conceptos tratados. Además, se podrá observar una

cantidad interesante de ejemplos luego de cada desarrollo, a partir de los cua-

les, se intenta que quien lee este texto, pueda ir comprendiendo los conceptos

trabajados.

Rolando Ramón Martínez

1 CONCEPTOS PRELIMINARES 8

SECCIÓN 1

Conceptos preliminares

SUBSECCIÓN 1.1 Extremos en un conjunto

1.1.1. Intervalos y conjuntos acotados

Antes de abordar los temas que se tratarán en el presente texto, es necesario,

recordar algunos conceptos básicos para poder entender lo que se desarrollará

en las secciones posteriores. Estos conceptos, tienen relación con los extremos

de un subconjunto A ⊂ R.

Definición 1. Llamaremos intervalo abierto (a; b), con a < b al conjunto

(a; b) = {x ∈ R/a < x < b}

Al número a se lo denominará extremo izquierdo y al número b, extremo de-

recho del intervalo.

En otras palabras, un intervalo está formado por todos los números reales

comprendidos entre dos valores a y b. Este tipo de intervalos nos interesará

particularmente para definir lo que llamaremos un conjunto acotado.

También, definimos los siguientes intervalos:

Definición 2. Siendo a < b, llamaremos:

Intervalo cerrado: [a; b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b}

Intervalo abierto a izquierda: (a; b] = {x ∈ R/a < x ≤ b}


Intervalo abierto a derecha: [a; b) = {x ∈ R/a ≤ x < b}

En este texto, y para lo que vamos a necesitar de ahora en más, nos intere-

sarán particularmente los intervalos abiertos y los intervalos cerrados. Es por

ello que no generalizaremos la definición de intervalo cuando los extremos son

infinitos. Los intervalos abiertos los utilizaremos para determinar si una fun-

ción es acotada o no. Los intervalos cerrados utilizaremos para definir sobre

ellos, funciones continuas o no, con el fin de calcular las sumas superiores,

inferiores y de Riemann.

Un tipo de subconjunto especial de la recta real, son los conjuntos acotados.

En términos poco matemáticos, un conjunto acotado es aquel al que se lo pue-

de incluir en un intervalo abierto cualquiera. En otras palabras, un conjunto

será acotado si no escapa de ese intervalo abierto.

Definición 3. Sea A ⊂ R.

Se dirá que A es acotado ⇔ ∃a ∈ R,∃b ∈ R/A ⊂ (a; b)

Analicemos algunos ejemplos:

Ejemplo 1. Sea A = N. Claramente N ⊂ R, sin embargo no existen dos

números reales a y b tales que N ⊂ (a; b)

Ejemplo 2. Sea A = [2; 5]. Se tiene que [2; 5] ⊂ R, y como [2; 5] ⊂ (−1; 8) se

tiene que el intervalo cerrado [2; 5] es un conjunto acotado.

Ejemplo 3. Sea A = [a; b] un intervalo cerrado cualquiera. Dado cualquier

valor ε > 0 se tiene que a− ε < a y que b+ ε > b, de donde [a; b] ⊂ (a− ε; b+ ε)

y por lo tanto, el intervalo cerrado [a; b] es un conjunto acotado.


Figura 1: Intervalo cerrado [a; b]

Ejemplo 4. Dada la función f(x) = x3, definimos el conjunto A de la siguien-

te manera: A = {f(x) ∈ R/x ∈ [−1; 2]}. En otras palabras, A está formado

por las imágenes de los valores de x que pertenecen al intervalo [1;3] usando

la función f . Claramente, A ⊂ R y además es A = [−1; 8]. Al ser un intervalo

cerrado, A es un conjunto acotado.

Nótese que A debe ubicarse gráficamente sobre el eje real y. (Véase figura 2)

Ejemplo 5. Sea M = {q ∈ Q/q = 1n ;∀n ∈ N}. En otras palabras, M está

formado por las fracciones de numerador igual a 1. Este conjunto M puede

incluirse en el intervalo (0; 2) por lo que se tiene queM es un conjunto acotado.

(Véase figura 3)

¿Por qué no se puede decir que M ⊂ (0; 1)?

Ejemplo 6. Sea P = {p ∈ R/p es un número par}. Este conjunto P no puede

incluirse en ningún intervalo (a; b) por lo que se tiene que P no es un conjunto

acotado.

Ejemplo 7. Dado un número real a cualquiera, definiremos como intervalo

semiabierto, al conjunto R = {r ∈ R/a ≤ r} = [a; +∞). Este conjunto no

puede incluirse en ningún intervalo (a; b) por lo que se tiene que R no es un

conjunto acotado.

Ejemplo 8. Sea el conjunto S = [2; 4) ∪ {6}. Este conjunto puede incluirse

en el intervalo (0; 7) por ejemplo, y por lo tanto se tiene que S es un conjunto

acotado.


Figura 2: El conjunto A = {f(x) ∈ R/x ∈ [−1; 2]}

Figura 3: Idea de la representación gráfica del conjunto M


Como el lector pudo observar, hay una infinidad de conjuntos que pueden ser

acotados o no. De todos ellos, nos interesarán especialmente los conjuntos da-

dos por las imágenes de funciones, tales como el analizado en el ejemplo 4.

A partir de este ejemplo, enunciamos la siguiente:

Definición 4. Una función se dirá acotada, si y solo si existen dos números

reales a y b tales que f(x) ∈ (a; b) para todo x ∈ Dmf .

En otras palabras, una función será acotada si las imágenes pueden incluirse

en algún intervalo abierto (a; b). Esto es importante, puesto que para calcular

las sumas superior, inferior y de Riemann, necesitaremos que las funciones

estén acotadas.

Ejemplo 9. La función f(x) = sen(x) es una función acotada. ¿Por qué?

Ejemplo 10. La función f(x) = c, con c ∈ R, es decir, una función constante,

es una función acotada.

Ejemplo 11. La función f definida en el ejemplo 4 es una función acotada.

Ejemplo 12. La función g : R→ R/g(x) = x2 no es una función acotada.

Ejemplo 13. La función g : [0; 2] → R/g(x) = x2 es una función acotada.

¿Por qué?

Enunciamos algunos teoremas cuyas demostraciones quedan a cargo del lector

y que pasarán a formar parte de la lista de ejercicios.


Teorema 1.1. Si A y B son dos conjuntos no vacíos y acotados, en-

tonces:

1. A ∪B es un conjunto acotado

2. A ∩B es un conjunto acotado

Demostración. La demostración se deja como ejercicio.

Teorema 1.2. El conjunto vacío es un conjunto acotado.

Demostración. La demostración se deja como ejercicio.

1.1.2. Extremos

A partir de lo analizado anteriormente, definiremos algunos conceptos impor-

tantes para entender lo que sigue en el texto. Estos conceptos (cota, ínfimo,

supremo, etc.) serán la base sobre las cuales asentaremos las secciones poste-

riores.

Si tenemos un subconjunto real A cualquiera, interesa saber si existe algún

valor real k que sea mayor que sus elementos. Obviamente si tal número existe

no será único.

Definamos pues lo que deberemos entender por cota de un conjunto:

Definición 5. Dado un conjunto A ⊂ R, se llamará cota superior del conjun-

to A al número k ∈ R tal que x ≤ k;∀x ∈ A.


Definición 6. Dado un conjunto A ⊂ R, se llamará cota inferior del conjunto

A al número k ∈ R tal que k ≤ x;∀x ∈ A.

En otras palabras, la cota superior de un conjunto, es un valor que supera o

es igual a todos los valores de dicho conjunto. De la misma manera, la cota

inferior de un conjunto, es un valor que es igual o que superan todos los valores

de dicho conjunto.

Ejemplo 14. El conjunto B = [0; 2] tiene por cota superior a 5 por ejemplo.

Y tiene, por cota inferior a -2 por ejemplo.

Ejemplo 15. Sea el conjunto C = {−1} ∪ (1; 2] ∪ {3}. Este conjunto tiene

por cota superior a cualquier valor mayor o igual a 3 y por cota superior a

cualquier valor menor o igual a -1.

El 2,5 no es una cota superior del conjunto puesto que si bien supera a casi

todos los elementos de C, resulta que es menor que el 3, y 3 es un elemento

de C. Por ello no puede considerarse una cota superior.

De la misma manera, resulta que 0, no puede considerarse una cota inferior,

puesto que existe un elemento del conjunto C, (el -1) que es menor que 0.

Estos valores llamados cotas no son únicos, puesto que por ejemplo, cualquier

valor mayor o igual a 2 es una cota superior del conjunto B del ejemplo an-

terior. De la misma manera, cualquier valor menor o igual a 0, es una cota

inferior del conjunto B.

De todas las cotas de un conjunto nos interesarán solamente dos. La menor

de todas las cotas superiores y la mayor de todas las cotas inferiores.

Definición 7. Se llamará ínfimo del conjunto A, a la cota inferior i de A tal


que k ≤ i; ∀k cota inferior de A.

Es decir, el ínfimo de un conjunto es la mayor de todas las cotas inferiores del

mismo. Este ínfimo, puede o no pertenecer al conjunto.

Ejemplo 16. El conjunto B = (0; 2] tiene como ínfimo a 0, y este valor no

es un elemento del conjunto.

Ejemplo 17. Sea la función h : [1; 3)→ R/h(x) =√x.

Sea el conjunto C = {h(x) ∈ R/x ∈ [1; 3)}.

El conjunto así definido tiene un ínfimo que es el número 1, y este valor es un

elemento de C.

De la misma manera, se define el supremo de un conjunto.

Definición 8. Se llamará supremo del conjunto A, a la cota superior s tal

que s ≤ k;∀k cota superior de A.

Es decir, el supremo de un conjunto es la menor de todas las cotas superiores

del mismo. Este supremo, al igual que lo que sucede con el ínfimo de un

conjunto, puede o no pertenecer a éste.

Ejemplo 18. El supremo del conjunto B analizado en el ejemplo 16 es el 2,

y este valor es un elemento del conjunto.

Ejemplo 19. El supremo del conjunto C analizado en el ejemplo 17 es√

3,

y este valor no es un elemento del conjunto.


Definición 9. Dado un conjunto A, el número M se llamará máximo del

conjunto si y solo si M es supremo y M ∈ A.

Dado un conjunto A, el número m se llamará mínimo del conjunto si y solo

si m es ínfimo y m ∈ A.

En otras palabras, el máximo de un conjunto es su supremo pero si es que

pertenece a dicho conjunto. Y el mínimo será el ínfimo del conjunto pero si es

que pertenece a dicho conjunto. Si bien, todos los conjuntos tienen supremo

e ínfimo, no todos tienen máximos, mínimos o ambos. Todo depende si el

supremo o el ínfimo pertenecen a él.

Si tenemos un conjunto A ⊂ R y si k es cota superior, k′ es cota inferior, i su

ínfimo y s su supremo, en base a las definiciones presentadas anteriormente se

tiene que

k′ ≤ i ≤ x ≤ s ≤ k;∀x ∈ A

.

Ejemplo 20. Todo intervalo abierto (a; b) tiene ínfimo y supremo, pero no

máximo ni mínimo.

Ejemplo 21. Todo intervalo cerrado [a; b] tiene máximo y mínimo.

Ejemplo 22. El máximo de la función del ejemplo 4 es 8 y su mínimo es -1.

(Ver figura 2)

Ejemplo 23. El conjunto M del ejemplo 5 tiene a 1 como máximo y a 0

como ínfimo. (Ver figura 3)


1.1.3. Propiedades de los extremos

En este apartado, enunciaremos algunas propiedades básicas que tienen los

extremos de un conjunto. Algunas de ellas, muy obvias, y otras no tanto.

Las cotas de un conjunto, como vimos anteriormente, no son únicas. De he-

cho, si un conjunto tiene un cota superior, tiene infinitas cotas superiores.

Ahora bien, ¿qué ocurre con el supremo de un conjunto? Para responder a

esta pregunta, enunciamos el siguiente:

Teorema 1.3. Un conjunto acotado superiormente, no puede tener dos

supremos s y s′ distintos.

En otras palabras, si un conjunto tiene supremo, éste es único.

Demostración. Sea el conjunto M acotado superiormente. Y supongamos por

ahora, que el conjunto M tiene dos supremos, digamos s y s′. Como s y s′

son supremos, entonces son también cotas superiores del conjunto. Ahora bien,

como s es supremo y sabiendo que s′ es cota superior, resulta que por definición

de supremo, se tiene que s ≤ s′. 1

De la misma manera, como s′ es supremo y sabiendo que s es cota superior,

resulta que por definición de supremo, se tiene que s′ ≤ s. 2

De 1 y 2 se tiene que s = s′. Es decir, el supremo de un conjunto es

único.

De la misma manera, el ínfimo de un conjunto, si existe es único, tal como lo

afirma el siguiente:

Teorema 1.4. Un conjunto acotado inferiormente, no puede tener dos

ínfimos i e i′ distintos.


Demostración. La demostración queda a cargo del lector.

Como corolario de los teoremas 1.3 y 1.4 se tiene que:

Corolario 1. Si un conjunto tiene máximo (o mínimo), este es único.

Otra característica básica de un supremo o de un ínfimo, es su relación con los

elementos del conjunto. Es por ello que enunciamos dos teoremas más sobre

estos conceptos.

Teorema 1.5. Dado un conjunto M ⊂ R, acotado superiormente, se

tiene que si s es el supremo del conjunto M , entonces

∀ε > 0 : ∃x ∈M/s− ε < x.

Demostración. En efecto, como s es el supremo del conjunto M se tiene que

∀x ∈M : x ≤ s. Por otro lado, se tiene que ∀ε > 0 : s− ε < s. A

Supongamos ahora que no existe ningún x ∈ M tal que s − ε < x, de donde

resulta que debería ocurrir que x ≤ s− ε. En otras palabras s− ε es una cota

superior del conjunto M y por lo tanto, hemos hallado una cota superior que

es menor por A que el supremo s. Y como consecuencia de esto s no sería el

supremo de M . Absurdo.

Se tiene entonces que ∀ε > 0 : ∃x ∈M/s− ε < x.

Figura 4: s− ε < x


Teorema 1.6. Dado un conjunto M ⊂ R, acotado inferiormente, se

tiene que si i es el ínfimo del conjunto M , entonces

∀ε > 0 : ∃x ∈M/i+ ε > x.

Demostración. La demostración es análoga a la del teorema anterior.

Teorema 1.7. Si el conjunto M ⊂ R es acotado, entonces M tiene cota

superior e inferior.

Demostración. La demostración queda como ejercicio para el lector.

Teorema 1.8. Sea A un conjunto, M y m su máximo y mínimo res-

pectivamente. Entonces el conjunto A tiene un sólo elemento si y solo

si m = M .



SUBSECCIÓN 1.2 Ejercicios

1. Indique para cada conjunto dado, si es acotado o no. Justifique su res-

puesta.

a) A = Z

b) B = {x ∈ R/− 1 ≤ x < 3}

c) C = {f(x) ∈ R/f(x) = 2x con 1 < x < 3}

d) D = [−3; 32) ∪ (1; 10)

e) E = {f(x) ∈ R/f(x) = cos(x)}

2. Sea A ⊂ B. Si B es un conjunto acotado, entonces ¿A es acotado?

Si la respuesta es si, demostrarlo. Si la respuesta es no, proponer un

contraejemplo.

3. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar.

a) La función g(x) = 1x

es acotada.

b) La funcion f : [1; 4]→ R/f(x) = x− 1 es acotada.

c) La función h(x) = 41 + x2 es acotada.

4. Escriba al menos tres cotas superiores y tres cotas inferiores de los con-

juntos que sean acotados del ejercicio 1.

5. Halle al menos dos cotas superiores y dos inferiores de los siguientes

conjuntos:

a) A = {x ∈ R/|x− 2| < 3}

b) B = {x ∈ Z/0 < |x− 3| ≤ 5}

c) C =m⋃i=1

[ 1i+ 1; 1

i

]


d) D =m⋂i=1

[ 1i+ 1; 1

]6. Halle el supremo e ínfimo de los conjuntos del ejercicio anterior.

7. Dada la función g(t) : [2; 4]→ R tal que

g(t) =

0 si t 6= 2, 5

1 si t = 2, 5

a) Escriba el conjunto D = Imgg (Es decir el conjunto imagen de la

función)

b) Grafique la función en un sistema de ejes cartesianos.

c) Determine si la función g es acotada o no.

d) Si la función es acotada encuentre el supremo e ínfimo de la función.

Encuentre también los extremos del dominio de la función g.

8. Dada la función

h(s) =

sen(s) si s 6= π

2 + kπ, ∀k ∈ Z

1 si s = π2 + kπ, ∀k ∈ Z

a) Grafique la función.

b) ¿Es acotada la función h(s)?

c) Si la función es acotada, encuentre el supremo e ínfimo de la función.

Indique si la función tiene máximo y mínimo.

9. Dada la función f : [−2; 2]→ R tal que

f(x) =

x si x ∈ R−Q

0 si x ∈ Q


a) Grafique la función.

b) ¿Es acotada la función?

c) Si la función es acotada, encuentre el supremo e ínfimo de la función.

Indique si la función tiene máximo y mínimo.

10. Dado el conjunto A = [0; 1]−Q.

a) Encontrar al menos tres cotas superiores y tres cotas inferiores del

conjunto A.

b) Escriba el supremo e ínfimo del conjunto. ¿Tiene mínimo y máximo

ese conjunto? Justificar.

2 SUMA INFERIOR Y SUPERIOR 23

SECCIÓN 2

Suma inferior y superior

SUBSECCIÓN 2.1 Partición de un intervalo

2.1.1. Particiones

Definición 10. Dado un intervalo real [a; b], se llamará Partición del intervalo

al conjunto de puntos ti de [a; b] de manera tal que

P = {t0 = a; t1; t2; · · · ; tn−1; tn = b}.

Estos puntos determinan en [a; b], n subintervalos [ti−1; ti], de tal manera que

se cumplen⋃i=1

[ti−1; ti] = [a; b].

t0 = a tn = bt1 t2 t3 tn−1...

Figura 5: Partición del intervalo [a; b].

Es obvio que para cada intervalo [a; b], existen infinitas particiones, depende

de cómo se eligen los puntos ti.

Así por ejemplo, para el intervalo [-1; 2] se tienen las particiones:

P1 = {−1; 0; 2}


P2 = {−1; 1; 1, 5; 1, 7; 2}

P3 = {−1;−0, 5; 0; 0, 5; 1; 1, 5; 2}

Como puede apreciarse en los ejemplos anteriores, no es necesario que los pun-

tos estén a la misma distancia entre sí. Lo que importa para que un conjunto

de puntos de un intervalo pueda llamarse Partición es que el primero de ellos,

sea igual a a y el último, sea igual a b.

En los ejemplos precedentes, se puede apreciar que solo P3 tiene todos sus

puntos a la misma distancia entre sí.

Definamos, dos conceptos más que serán de mucha utilidad.

El primer concepto es el de longitud del intervalo.

Definición 11. Llamaremos longitud del intervalo [ti−1; ti] a ∆ti = ti − ti−1.

Entonces, tomando como ejemplo a la partición P1 anterior, tenemos que:

∆t1 = 0− (−1) = 1

∆t2 = 2− 0 = 2

Si tomamos la partición P2, tenemos que:

∆t1 = 1− (−1) = 2

∆t2 = 1, 5− 1 = 0, 5

∆t3 = 1, 7− 1, 5 = 0, 2

∆t4 = 2− 1, 7 = 0, 3


En la partición P3 es claro que ∆ti = 0, 5; ∀i

El segundo concepto es el de norma de una partición.

Definición 12. Llamaremos Norma de la partición P y lo denotaremos como

‖P‖ a

‖P‖ = max{∆ti, i = 1; 2; 3; · · · ;n}

Así, tenemos que:

‖P1‖ = 2

‖P2‖ = 2

‖P3‖ = 0, 5

A estas alturas, resulta claro que:

Teorema 2.1.n∑i=1

∆ti = b− a

Demostración. La demostración queda como ejercicio.

Teorema 2.2. Dado el intervalo [a; b] y una partición P del mismo,

entonces 0 < b− a ≤ n‖P‖



2.1.2. Comparación de particiones

Comenzaremos con la siguiente:

Definición 13. Dadas dos particiones P y Q del mismo intervalo, diremos

que P es más fina que Q si solo si Q ⊂ P .

En otras palabras, la partición P es más fina que Q si y solo si todo punto de

Q es un punto de P .

Por ejemplo, dado el intervalo [0;3], y dadas las particiones:

P = {0; 1; 2; 3}

Q = {0; 1; 2; 2, 4; 2, 6; 3}

R = {0; 1, 5; 2; 3}

se tiene por ejemplo que P ⊂ Q, de donde se puede decir que Q es más fina

que P . De la misma manera se tiene que Q * R ni R * Q, y por lo tanto

no se pueden comparar esas dos particiones. En estos casos, se dicen que las

particiones Q y R son no comparables. Puede verse también que P y R son no

comparables.

Teorema 2.3. Dadas dos particiones P y Q, resulta que la intersección

entre ambas es menos finas que las particiones dadas. Se tiene también

que la unión es más fina que las particiones dadas.

Demostración. Utilizando las propiedades de Álgebra de Conjuntos se puede

mostrar que dadas dos particiones P y Q del mismo intervalo, se tiene que

P ∩ Q ⊂ P ⊂ P ∪ Q y de la misma manera P ∩ Q ⊂ Q ⊂ P ∪ Q por lo que


se puede decir que dadas dos particiones, la intersección es la menos fina de

ellas y la unión es la más fina de las particiones.

Notemos que, si bien P ⊂ Q, resulta que ‖P‖ = ‖Q‖ y por lo tanto, no pode-

mos asegurar que haya relación entre las inclusión de las particiones con sus

normas. Sin embargo, bajo ciertas condiciones se puede analizar esta relación.

2.1.3. Norma y cantidad de puntos

Pues bien, analicemos el siguiente caso. Dado un intervalo cualquiera [a; b]

tomemos los puntos t0 = a; t1 será el punto medio entre a y b, t2 será el punto

medio entre t1 y b, t3 será el punto medio entre t2 y b, t4 será el punto medio

entre t3 y b y así sucesivamente el punto tk será el punto medio entre tk−1 y b.

Con estos puntos formemos una familia de particiones Pj de la siguiente ma-

nera:

P0 = {a; b}

P1 = {a; t1; b}

P2 = {a; t1; t2; b}

P3 = {a; t1; t2; t3; b}

P4 = {a; t1; t2; t3; t4; b}

y así sucesivamente.

Quedan clara dos cosas:

Primero se tiene que P0 ⊂ P1 ⊂ P2 ⊂ P3 ⊂ · · · ⊂ Pj . Es decir, que cada

partición Pk+1 es más fina que su partición anterior Pk.


t0 = a tn = bt1 t2 t3 ...

Figura 6: Representación gráfica de los puntos tk.

Y segundo, se tiene que la norma de la particiones es la misma para todas

ellas:

‖Pj‖ = ∆t1 = t1 − a = b− a2

Con ello queremos probar que la condición de menos fina no implica que

‖Pj‖ → 0. Si analizamos el ejemplo, también nos daremos cuenta que si bien

n→∞ (es decir, la cantidad de puntos tiende a infinito), ello no implica que

‖Pj‖ → 0. Por otro lado, si ‖Pj‖ → 0, entonces es necesario que la cantidad

de puntos de las particiones, tienda a infinito, pues no habría forma de lograr

con la misma cantidad de puntos que las norma de una familia de particiones

tienda a cero. En resumen se tiene que ‖Pj‖ → 0 ⇒ n → ∞. Enunciamos así

el siguiente:

Teorema 2.4. Dado el intervalo [a; b] y una familia de particiones Pj,

se tiene que

‖Pj‖ → 0⇒ n→∞.

Demostración. Sabemos que por teorema 2.2 se tiene que 0 < b− a ≤ n‖P‖,

de donde se tiene que b− an≤ ‖P‖. Ahora, cuando ‖Pj‖ → 0 entonces se tiene

que b− an→ 0. Pero como a < b es necesario que n→∞.

Supongamos ahora que queremos que una partición tenga todos sus puntos a

la misma distancia. Por lo tanto, deberemos dividir a la longitud del intervalo

en n partes iguales y por ello ∆ti = b− an

,∀i = 1; 2; 3; · · · ;n. De esa manera


resulta que si n→∞, entonces se tiene que lımn→∞

∆ti = lımn→∞

b− an

= 0, y como

‖P‖ = ∆ti, se tiene que si n → ∞ ⇒ ‖P‖ → 0. Esta última implicación, que

se cumple solamente cuando tengo una familia de particiones con sus puntos

a la misma distancia, es importante, puesto que en muchas ocasiones será ne-

cesario hallar determinados límites cuando ‖P‖ → 0 y para ello, utilizaremos

particiones que tengan sus intervalos de la misma medida y por lo tanto po-

dremos calcular el límite utilizando la variable n que será mucho más práctico.

2.1.4. Ubicación de puntos

En muchas ocasiones necesitaremos ubicar los puntos de una partición que

tenga a todo sus intervalos de la misma longitud. Esto es importante cuando

querramos calcular ciertos límites cuando ‖P‖ → 0.

Veamos entonces cómo ubicar a esos puntos. Para ello, consideremos un inter-

valo cualquiera [a; b] y la partición P de tal manera que ‖P‖ = b− an

.

Entonces se tiene que

∆t1 = t1 − a = b− an

,

de donde resulta que

t1 = b− an

+ a.

De la misma manera, se tiene que

t2 − t1 = b− an

,

por lo que resulta que

t2 = b− an

+ t1

y por lo tanto

t2 = b− an

+ b− an

+ a = 2b− an

+ a.


Si seguimos ese proceso, se tiene que

t3 = 3b− an

+ a

o que

t4 = 4b− an

+ a.

En general se tiene entonces que para saber dónde se ubican los puntos ti de

la partición P , se tiene que

ti = ib− an

+ a.

Ejemplo 24. Por ejemplo: si tenemos el intervalo[−1

3; 5]y la partición P

tal que

∆ti =5−

(−1

3

)4 = 4

3

entonces sus puntos son:

t0 = −13

t1 = 1

t2 = 73

t3 = 113

t4 = 5

−13

543210b b b bb

−13 1 7

3113 5

Figura 7: Partición del intervalo [−13 ; 5].


Ejemplo 25. Analicemos otro ejemplo. Sea el intervalo [0;2] y n = 5, se tiene

entonces que ∆ti = 25 de donde se tiene que:

t0 = 0

t1 = 25

t2 = 45

t3 = 65

t4 = 85

t5 = 2

SUBSECCIÓN 2.2 Suma inferior y superior

2.2.1. Suma inferior y superior para funciones no negativas

A partir de una partición P de un intervalo dado, se definen dos conceptos

muy relacionados entre si, el de suma inferior y el de suma superior, los cuales

nos permitirán aproximar áreas encerradas entre una función y el eje real x.

Comenzaremos analizando funciones que, en un determinado intervalo, sean

no negativas, a partir de ello, aproximaremos el área que queda encerrada en-

tre la función y el eje x. Luego, analizaremos qué ocurre cuando la función

es no positiva para, por último, analizar qué ocurre para cualquier tipo de

funciones.

Comenzaremos nuestro análisis, para funciones no negativas.

Sea entonces f : [a; b] → R, acotada y de tal manera que se cumple que

f(x) ≥ 0;∀x ∈ [a; b]. En principio no se pone ninguna otra restricción a la fun-

ción f tales como que sea continua o que sea derivable, sólo que sea acotada,


puesto que queremos que la función no tenga límite infinito en ninguno de sus

puntos y obviamente queremos que la función sea no negativa.

a b

Función continua, no negativa y acotada.

a b

Función discontinua, no negativa y no acotada.

Figura 8: Funciones en el intervalo [a; b].

Dada una partición P del intervalo, quedan determinados n subintervalos

[ti−1; ti] en los cuales se puede analizar la función f . En cada uno de esos

subintervalos, la función alcanza su ínfimo mi y su supremo Mi. Es impor-

tante notar que utilizaremos el ínfimo y el supremo de la función en cada

subintervalo y no su mínimo y máximo. Esto será así, puesto que más ade-

lante vamos a generalizar la noción su suma inferior y superior a funciones

discontinuas pero acotadas.

Para este tipo de funciones definimos:

Definición 14. Sea, f una función acotada y no negativa, definida en un

intervalo cerrado [a; b]. Sea P una partición cualquiera de dicho intervalo y

mi el ínfimo de la función en el subintervalo [ti−1; ti]. Entonces llamaremos

suma inferior de la función f en el intervalo [a; b]; utilizando la partición P a

s(P ) =n∑i=1

mi ∆ti


Definición 15. Sea, f una función acotada y no negativa, definida en un

intervalo cerrado [a; b]. Sea P una partición cualquiera de dicho intervalo y

Mi el supremo de la función en el subintervalo [ti−1; ti]. Entonces llamaremos

suma superior de la función f en el intervalo [a; b]; utilizando la partición P

a S(P ) =n∑i=1

Mi ∆ti

Analicemos los siguientes tres ejemplos:

Ejemplo 26. Sea f : [1; 3] → R/f(x) = x2. Esta función es acotada pues-

to que las imágenes pertenecen al intervalo [1;9], es no negativa, continua y

además es creciente. Si es creciente en todo el intervalo [1;3], lo será en todo

subintervalo determinado por cualquier partición.

Sea entonces la partición P = {1; 2; 2, 5; 2, 8; 3}. Hallemos la suma inferior y

superior.

Suma inferior: s(p) =n∑i=1

mi ∆ti = 1 ·1+4 ·0, 5+6, 25 ·0, 3+7, 84 ·0, 2 = 6, 443

Suma superior: S(p) =n∑i=1

Mi ∆ti = 4·1+6, 25·0, 5+7, 84·0, 3+9·0, 2 = 11, 277

Ejemplo 27. Sea f : [−2; 1] → R/f(x) = 2. Esta función es constante y por

lo tanto acotada, es no negativa y además continua.Al ser constante, resulta

que los ínfimos y supremos en cada subintervalos serán siempre 2. Ello impli-

ca, como se podrá ver más adelante, que la suma inferior y superior valen lo

mismo.

En efecto, sea entonces la partición P = {−2;−1; 0; 1}. Hallemos la suma in-

ferior y superior.


mi ∆ti = 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 = 6


Mi ∆ti = 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 = 6


Figura 9: Suma inferior de la función f(x) = x2.

Si P es cualquier partición del intervalo [-2;1], entonces se tiene para la suma

inferior que:

s(p) =n∑i=1

mi ∆ti = 2∆t1 + 2∆t2 + · · ·+ 2∆tn = 2n∑i=1

∆ti = 2(1− (−2)) = 6

Y para la suma superior se tiene también que:

S(p) =n∑i=1

Mi ∆ti = 2∆t1 + 2∆t2 + · · ·+ 2∆tn = 2n∑i=1

∆ti = 2(1− (−2)) = 6

(Hemos utilizado el teorema 2.1 enunciado anteriormente.)


Figura 10: Suma inferior y superior de la función f(x) = 2 en [-2;1].

Analicemos un último ejemplo. Luego de ello, veremos qué debemos hacer

cuando la función es acotada pero no continua.

Ejemplo 28. Sea f : [0; 5]→ R definida de la siguiente manera:

f(x) =

0 si x ∈ [0; 1]

x− 1 si x ∈ [1; 3]

−x+ 5 si x ∈ [3; 5]

Observe que la función f es no negativa, continua y acotada. Es decir, cumple

todas las condiciones impuestas para hallar la suma inferior y superior.

Sea entonces, por ejemplo, la partición Q = {0; 1; 3; 4, 7; 5}. Se tiene entonces

que:


mi ∆ti = 0 · 1 + 0 · 2 + 0, 3 · 1, 7 + 0 · 0, 3 = 0, 51


Mi ∆ti = 0 · 1 + 2 · 2 + 2 · 1, 7 + 0, 3 · 0, 3 = 7, 49


Figura 11: Suma inferior y superior.

Pensando en el ejemplo 27 analizado con anterioridad, si f es una función

constante ocurre que el ínfimo y el supremo de la función en cada subintervalo

es el mismo y por lo tanto ocurre que:

Teorema 2.5. Sea f(x) = k una función constante definida en el in-

tervalo [a; b]. Dada cualquier partición P del intervalo, se tiene que:

1. s(P ) = k(b− a)

2. S(P ) = k(b− a)

Demostración. En efecto, como la función es constante, se tiene que

mi = k, ∀i = 1; 2; 3; · · · ;n,


de donde

s(P ) =n∑i=1

mi ∆ti =n∑i=1

k ∆ti = kn∑i=1

∆ti = k(b− a)

De la misma manera se demuestra para la suma superior.

Que la función f sea no negativa, trae como consecuencia el siguiente:

Teorema 2.6. Si f(x) ≥ 0⇒ s(P ) ≥ 0 y S(P ) ≥ 0

Demostración. En efecto, como f(x) ≥ 0;∀x ∈ [a; b] se tiene entonces que

mi ≥ 0;∀i = 1; 2; 3; · · · ;n. Y como ∆ti > 0 se tiene también que

mi ∆ti ≥ 0;∀i = 1; 2; 3; · · · ;n

por lo que resulta que

s(P ) =n∑i=1

mi ∆ti ≥ 0.

De la misma manera se prueba que S(P ) ≥ 0.

Además, resulta claro que como mi ≤Mi;∀i = 1; 2; 3; · · · ;n se tiene entonces

que s(P ) ≤ S(P ). Y es por ello que enunciamos el siguiente:

Teorema 2.7. Sea f una función acotada, continua y no negativa de-

finida en el intervalo [a; b], entonces se cumple que s(P ) ≤ S(P ) para

cualquier partición P de dicho intervalo.

Demostración. Escribir todos los detalles de la demostración.

Hasta ahora hemos analizado funciones que son continuas, acotadas y no ne-

gativas en el intervalo [a; b]. Veamos ahora que ocurre cuando la función es


acotada, no negativa pero no es continua. Para ello, analizaremos qué ocurre

cuando la función tiene una discontinuidad evitable y cuando tiene una dis-

continuidad esencial.

Ejemplo 29. Sea f : [0; 2]→ R tal que

f(x) =

0 si x ∈ [0; 1)

1 si x ∈ [1; 2]

Esta función tiene una discontinuidad esencial en el punto x0 = 1, puesto que

lımx→1−

f(x) 6= lımx→1+

f(x),

es decir, @ lımx→1

f(x).

Ahora bien, dada la partición R = {0; 12 ; 1; 2} tenemos que:

Suma inferior:3∑i=1

mi ∆ti = 0 · 12 + 0 · 1

2 + 1 · 1 = 1

Ahora, su suma superior será:

Suma superior:3∑i=1

Mi ∆ti = 0 · 12 + 1 · 1

2 + 1 · 1 = 32

(Nótese que en la suma superior, hemos utilizado el supremo M2 = 1 en el

subintervalo [12 ; 1))

Es necesario, recalcar la utilidad de definir la suma superior e inferior utili-

zando el supremo Mi y el ínfimo mi de cada subintervalo en vez de utilizar

el máximo y el mínimo. Si no lo habríamos hecho de esa manera, la suma

superior para funciones con discontinuidad del estilo presentado, no se podría

hallar.

Analicemos ahora, el siguiente ejemplo:


Ejemplo 30. Sea g : [−1; 2, 5]→ R tal que

g(x) =

x2 si x 6= 0

2 si x = 0

Sea P = {−1;−0, 5; 1; 2; 2, 5} una partición del intervalo dado.

Puede apreciarse que la función es acotada y no negativa, pero tiene una

discontinuidad evitable en x0 = 0, puesto que existe el lımx→0

g(x) = 0.

Calculemos la suma superior e inferior:

Suma superior: S(P ) =4∑i=1

Mi ∆ti = 1 ·0, 5+2 ·1, 5+4 ·1+6, 25 ·0, 5 = 10, 625

(Nótese el uso del supremo 2 en el subintervalo [-0,5;1]. Véase la figura 12.)

Suma inferior: s(P ) =4∑i=1

mi ∆ti = 0, 25 · 0, 5 + 0 · 1, 5 + 1 · 1 + 4 · 0, 5 = 3, 125

(Nótese el uso del ínfimo 0 en el subintervalo [-0,5;1]. Véase la figura 12.)

Analicemos un ejemplo más.

Ejemplo 31. Sea h : [a; b]→ R tal que

h(x) =

1 si x ∈ Q

0 si x ∈ R−Q

En otras palabras, la función h asigna 1 como imagen a los números racionales

del intervalo [a; b] y 0 a los números irracionales del mismo intervalo.

Sea P la partición del intervalo en n subintervalos de la misma longitud. Es

decir que

∆ti = b− an

;∀i = 1; 2; 3; · · · ;n.

Puede apreciarse que la función es acotada, discontinua y no negativa.

Calculemos la suma superior e inferior:


Figura 12: Suma inferior y superior.


Figura 13: Idea de la representación gráfica de la función h(x) del ejemplo 31.

Suma superior: Como en cada subintervalo [ti−1; ti] de la partición existen

infinitos números racionales (esto es por la densidad del conjunto Q) entonces

se tiene que Mi = 1;∀i = 1; 2; 3; · · · ;n.

Entonces

S(P ) =n∑i=1

Mi ∆ti =n∑i=1

∆ti = b− a

Suma inferior: De la misma manera, en cada subintervalo [ti−1; ti] existen

infinitos números irracionales (esto es por la densidad del conjunto R − Q),

entonces se tiene que mi = 0;∀i = 1; 2; 3; · · · ;n.

Entonces

s(P ) =n∑i=1

mi ∆ti =n∑i=1

0 ∆ti = 0

Analizaremos a continuación un ejemplo, para a partir de allí, obtener resul-

tados interesantes que nos permitirán comprender mejor para qué se obtienen

la suma superior e inferior de una función.

En efecto, nos preguntamos ahora, qué ocurre con la suma superior e inferior


a medida que se toman particiones más finas. Esta idea importante, nos per-

mitirá obtener el área de una región encerrada bajo la curva de una función y

el eje x.

Ejemplo 32. Consideremos la función g(t) = 1t

definida en el intervalo

cerrado [1;3]. Y tomemos las siguientes particiones:

1. P = {1; 2; 3}

2. Q = {1; 1, 5; 2; 2, 5; 3}

3. R = {1; 1, 3; 1, 5; 2; 2, 2; 2, 5; 2, 7; 2, 8; 3}

4. T = {1; 1, 2; 1, 3; 1, 5; 1, 6; 1, 8; 2; 2, 1; 2, 2; 2, 4; 2, 5; 2, 7; 2, 8; 2, 9; 3}

Como se podrá observar, P ⊂ Q ⊂ R ⊂ T y por lo tanto las particiones son

cada vez más finas.

Ahora bien, nos interesará calcular las sumas superiores e inferiores y compa-

rarlas entre si, para a partir de allí, obtener algunas conclusiones útiles.

Hallemos entonces las sumas inferiores primeramente.

s(P ) = 0, 833...

s(Q) = 0, 95

s(R) = 1, 001...

s(T ) = 1, 044...

Ahora, hallemos las sumas superiores:

S(P ) = 1, 5

S(Q) = 1, 283...


S(R) = 1, 212...

S(T ) = 1, 157...

Observando los resultados obtenidos, podemos conjeturar en principio tres

hechos relevantes:

1. Cualquier suma inferior, es menor que cualquier suma superior.

2. A medida que la partición se vuelve más fina, la suma inferior crece.

3. A medida que la partición se vuelve más fina, la suma superior decrece.

Esto que sucede, nos hace pensar si habrá algún supremo de las sumas infe-

riores y algún ínfimo de las sumas superiores y qué relación habría entre estos

dos valores. A partir, de esto, es que enunciamos los siguientes teoremas:

Teorema 2.8. Sea f una función acotada, no negativa, definida en el

intervalo [a; b]. Dadas dos particiones P y Q de dicho intervalo, tales

que Q es más fina que P entonces:

s(P ) ≤ s(Q)

S(Q) ≤ S(P )

Demostración. Para demostrar el teorema, dividiremos la demostración en dos

partes.

En primer lugar, como Q es más fina que P , podemos suponer que Q tiene p

puntos más que P . Sean estos puntos u1;u2; ...;up. Luego, es posible obtener,

a partir de P las particiones Rj de la siguiente manera:


R1 = P ∪ {u1}

R2 = R1 ∪ {u2}

R3 = R2 ∪ {u3}

y en general, Rj = Rj−1 ∪ {uj} con j variando de 1 a p.

Evidentemente, se tiene que Rp = Q y además

P ⊂ R1 ⊂ R2 ⊂ · · · ⊂ Rp−1 ⊂ Q.

Veamos entonces la relación entre las sumas superiores e inferiores de las par-

ticiones P y R1. Sea entonces el punto u1 que se encuentra en algún subin-

tervalo determinado por la partición P . Sea [ti−1; ti] ese subintervalo. Es claro

que u1 6= ti−1 y u1 6= ti (¿Por qué?) entonces se tiene que u1 ∈ (ti−1; ti).

(Véase figura 14) Sabemos que mi es el ínfimo de la función en el subintervalo

[ti−1; ti] y llamemos m′i al ínfimo de la función en el subintervalo [ti−1;u1] y

m′′i al ínfimo de la función en el subintervalo [u1; ti]. Evidentemente se tiene

que mi ≤ m′i y mi ≤ m′′i . En realidad, mi es igual a uno de ellos y menor al

otro, pero como no sabemos, podemos tranquilamente poner las desigualdades

anteriores.

Hallemos entonces las sumas inferiores de las particiones P y R1.

s(P ) = m1(t1 − t0) +m2(t2 − t1) + · · ·+mi(ti − ti−1) + · · ·+mn(tn − tn−1)

s(R1) = m1(t1 − t0) +m2(t2 − t1) + · · ·+m′i(u1 − ti−1) +m′′i (ti − u1) + · · ·+

mn(tn − tn−1)

Restando ambas igualdades, y cancelando los términos opuestos, obtenemos

que:

s(P )− s(R1) = mi(ti − ti−1)−m′i(u1 − ti−1)−m′′i (ti − u1)


Figura 14: La función f(x) en el subintervalo [ti−1; ti] (Nótese la discontinuidad

de f)

s(P )− s(R1) = miti −miti−1 −m′iu1 +m′iti−1 −m′′i ti +m′′i u1

s(P )− s(R1) = (mi −m′′i )ti + (m′i −mi)ti−1 + (m′′i −m′i)u1

s(P )−s(R1) = (mi−m′′i )ti+(m′i−mi)ti−1 +(m′′i −mi+mi−m′i)u1 (sumando

y restando mi)

s(P )− s(R1) = (mi −m′′i )ti + (m′i −mi)ti−1 + (m′′i −mi)u1 + (mi −m′i)u1

s(P )− s(R1) = (mi −m′′i )ti + (m′i −mi)ti−1 − (mi −m′′i )u1 − (m′i −mi)u1

s(P )− s(R1) = (mi −m′′i )(ti − u1) + (m′i −mi)(ti−1 − u1) I

Analicemos el segundo miembro de la igualdad I .

Por un lado, tenemos que: mi −m′′i ≤ 0 y como ti − u1 > 0 se tiene que

(mi −m′′i )(ti − u1) ≤ 0 II

Por otro lado, se tiene que: m′i −mi ≥ 0 y como ti−1 − u1 < 0 entonces

(m′i −mi)(ti−1 − u1) ≤ 0 III


De II y III resulta que

(mi −m′′i )(ti − u1) + (m′i −mi)(ti−1 − u1) ≤ 0

y por lo tanto resulta que s(P )− s(R1) ≤ 0, de donde se tiene que

s(P ) ≤ s(R1).

En segundo lugar, tenemos que hemos mostrado que si tengo una partición

R1 más fina (por un punto) que P , entonces se cumple que s(P ) ≤ s(R1).

Entonces aplicando p veces este resultado, se tiene que

s(P ) ≤ s(R1) ≤ s(R2) ≤ · · · ≤ s(Q)

y aplicando la transitividad de la relación ≤ se tiene que s(P ) ≤ s(Q).

Con la misma idea, pero ahora calculando las sumas superiores, se tiene que

S(Q) ≤ S(P ).

Teorema 2.9. Sea f una función acotada, no negativa, definida en el

intervalo [a; b]. Dadas dos particiones P y Q de dicho intervalo, se tiene

que s(P ) ≤ S(Q)

Demostración. Notemos que no es necesario que P yQ sean comparables como

en el teorema 2.8. El teorema afirma en otras palabras, que una suma inferior

usando una partición es menor o igual que una suma superior, usando otra

partición.

Se tiene entonces, por propiedades de álgebra de conjuntos que P ⊂ (P ∪Q)

y también Q ⊂ (P ∪Q), es decir, la partición P ∪Q es una partición más fina

que las particiones P y Q. Utilizando el teorema 2.8 se tiene por un lado que

S(P ∪Q) ≤ S(Q)


y por otro lado

s(P ) ≤ s(P ∪Q)

de donde se tiene que s(P ) ≤ S(Q) que es lo que se quería demostrar.

En base a los dos teoremas anteriores podemos inferir que para un intervalo

[a; b], el conjunto de las sumas inferiores tiene cota superior (cualquier suma

superior es una cota superior del conjunto de sumas inferiores) y por lo tanto

tiene un supremo. De la misma manera, el conjunto de las sumas superiores

tiene un ínfimo.

Es así que enunciamos las siguientes definiciones:

Definición 16. Dada una función f(x) no negativa y acotada, definida en el

intervalo [a; b]. Sea A la familia de todas las particiones del intervalo dado. Se

llamará integral inferior de la función f(x) desde a hasta b a:∫ b

af(x)dx = Sup{s(P ), ∀P ∈ A}

Definición 17. Dada una función f(x) no negativa y acotada definida en el


llamará integral superior de la función f(x) desde a hasta b a:

∫ b

af(x)dx = Inf{S(P ),∀P ∈ A}


Para terminar esta parte, enunciaremos un último teorema que resume algunos

resultados obtenidos hasta ahora.

Teorema 2.10. Dado un intervalo [a; b], sea f : [a; b]→ R una función

acotada y no negativa. Sea m el ínfimo de la función en el intervalo dado

y M su supremo. Dada una partición P cualquiera del mismo. Se tiene

entonces que:

m(b− a) ≤ s(P ) ≤∫ b

af(x)dx ≤

∫ b

af(x)dx ≤ S(P ) ≤M(b− a)


Las dos definiciones anteriores, también se pueden reescribir de la siguiente

manera:



llamará integral inferior de la función f(x) desde a hasta b a:∫ b

af(x)dx = Sup{s(P ),∀P ∈ A} = lım

‖P‖→0s(P )



llamará integral superior de la función f(x) desde a hasta b a:∫ b

af(x)dx = Inf{S(P ), ∀P ∈ A} = lım

‖P‖→0S(P )


2.2.2. Interpretación geométrica

En esta parte veremos una interpretación geométrica de lo hallado hasta aho-

ra. Dada una función acotada y no negativa, definida en un intervalo se tiene

que el gráfico, encierra una porción del plano entre la gráfica de la función, el

eje x y las abscisas x = a y x = b. A esta porción del plano, en general, se le

puede asignar un número, que medirá su área.

Si observamos el gráfico de la figura 15 podremos ver que dada una parti-

ción del intervalo [a; b] se tiene que s(P ) ≤ A ≤ S(P ), llamando A al área

de la región que queda encerrada entre el gráfico de la función y el eje x.

Ahora bien, dada una partición Q más fina que la partición P se tiene que

s(P ) ≤ s(Q) ≤ A ≤ S(Q) ≤ S(P ).

Si la región del plano, es buena como para asignarle un área, entonces a medida

que se toman particiones cada vez más finas, las sumas inferiores y superiores

se acercarán cada vez más a un número. Ese número, intuitivamente será el

área de la región.

¿Por qué decimos si la región es buena? Bueno, dependiendo de la función es-

tudiada, a la región que queda limitada se puede asignar un área. En algunas

ocasiones, la función es tan discontinua, que el concepto de área, pierde todo

significado

Un claro ejemplo es la función analizada en el ejemplo 31 presentada en el

gráfico 13. Se analizó anteriormente que dada cualquier partición, se tiene que

la suma inferior siempre será 0 y la suma superior, siempre b − a, y por lo

tanto, las sumas superiores e inferiores no se acercarán a ningún valor al que

podamos llamar área.

En base a esta idea intuitiva, definimos lo que llamaremos área de una región

del plano limitada por una función f , el eje x y las abscisas x = a y x = b.


Figura 15: El área bajo una curva y su aproximación mediante sumas inferiores

y superiores

Definición 20. Sea f [a; b] :→ R una función acotada y no negativa.

Si ∫ b

af(x)dx =

∫ b

af(x)dx = A

entonces diremos que la región limitada por la función f , el eje x y las abscisas

x = a y x = b tendrá área A.

Veamos el siguiente ejemplo.


Figura 16: Representación gráfica de la suma inferior y superior para n = 10,

n = 20 y n = 50.

Ejemplo 33. Sea f : [0; 1]→ R/f(x) = x. Dividamos al intervalo en n partes

iguales y hallemos las sumas inferiores y superiores.

Redondeando a dos cifras decimales, se tiene entonces que:

1. Si n = 10 entonces:

a) s(P ) = 0, 45

b) S(P ) = 0, 55


a) s(P ) = 0, 48

b) S(P ) = 0, 52


a) s(P ) = 0, 49

b) S(P ) = 0, 51

A medida que n aumenta, la suma superior decrece y la suma inferior crece,

cada vez más acercándose al área de la región, que por geometría básica sabe-

mos que es el área de un triángulo y vale 0,5.


Si bien no hemos probado que∫ b

af(x)dx =

∫ b

af(x)dx = 0, 5,

intuitivamente, el área de la región debería ser esa. Y estamos seguros, puesto

que aplicamos una fórmula geométrica.

El problema se agrava cuando la función no encierra una región sencilla como

un triángulo, una circunferencia, un rectángulo, etc. Un ejemplo de ello es la

región encerrada bajo la función f(x) = x2, el eje x y el intervalo [0;2].

Ejemplo 34. Sea f : [0; 2] → R/f(x) = x2. Hallaremos la suma superior e

inferior para una partición que divide al intervalo en n partes iguales.

Observemos primero que f es creciente en el intervalo dado, luego será creciente

en cada subintervalo [ti−1; ti] por lo que el ínfimo mi se encontrará f(ti−1) y

el supremo Mi en f(ti).

Recordemos además que ti = i2− 0n

+ 0 = i2n, de donde

mi = f(ti−1) =(

(i− 1) 2n

)2= (i− 1)2 4

n2

y también

Mi = f(ti) = i24n2 .

Por último, como todos los subintervalos tienen la misma longitud, entonces

∆ti = 2− 0n

= 2n. Hallemos entonces la suma superior primero.

S(P ) =n∑i=1

Mi∆ti =n∑i=1

(i2

4n2

2n

)= 8n3

n∑i=1

i2

Por álgebra sabemos quen∑i=1

i2 = n(n+ 1)(2n+ 1)6 ,


de donde se tiene que

S(P ) = 8n3n(n+ 1)(2n+ 1)

6 = 8n(n+ 1)(2n+ 1)6n3 = 4(n+ 1)(2n+ 1)

3n2

Por lo tanto:

S(P ) = 8n2 + 12n+ 43n2 .

Hallemos ahora la suma inferior.

s(P ) =n∑i=1

mi∆ti =n∑i=1

(i− 1)2 4n2

2n

= 8n3

n∑i=1

(i− 1)2 = 8n3

n−1∑i=0

i2 = 8n3

n−1∑i=1

i2

Utilizando la fórmula usada para la suma superior, se tiene que:

s(P ) = 8n3

(n− 1)n(2(n− 1) + 1)6 = 4(n2 − n)(2n− 1)

3n3 = 8n3 − 12n2 + 4n3n3 .

Ahora hallaremos la integral superior e inferior de la función:

∫ b

ax2dx = lım

‖P‖→0S(P ) = lım

n→∞8n2 + 12n+ 4

3n2 = 83

∫ b

ax2dx = lım

‖P‖→0s(P ) = lım

n→∞8n3 − 12n2 + 4n

3n3 = 83

Vemos entonces, que la región encerrada entre la función y el eje x tiene área

igual a 83 .

El cálculo de áreas bajo una función no es sencillo, con las herramientas que

se tienen hasta ahora. Para ello, el lector podrá leer cualquier libro de Análisis

Matemático y estudiar la integración de funciones como método mucho más

eficaz para hallar áreas que el utilizado hasta ahora.


Figura 17: Región a la que se le halló su área en el ejemplo 34.


2.2.3. Suma inferior y superior para funciones no positivas

Hasta ahora hemos trabajado sólo con funciones no negativas. Ello fue porque

necesitábamos motivar el uso de la suma superior e inferior para hallar el área

de una región encerrada entre la función y el eje x. Ahora queremos estudiar

qué ocurre cuando la función no es positiva. Esto traerá como consecuencia

algunos cambios en el significado que le hemos dado a la suma superior e

inferior.

En efecto, comenzamos esta parte del texto analizando un ejemplo sencillo:

Ejemplo 35. Sea la función, acotada y no positiva f : [−1; 1] → R tal que

f(x) = −x− 2.

Dada la partición Q = {−1; 0; 12 ; 1}, hallemos su suma superior e inferior:

s(Q) =3∑i=1

mi∆ti = −2 · 1− 52 ·

12 − 3 · 1

2 = −2− 54 −

32 = −19

4

S(Q) =3∑i=1

Mi∆ti = −1 · 1− 2 · 12 −

52 ·

12 = −1− 1− 5

4 = −134

Observemos que si la región analizada tiene área A, entonces debería ocurrir

que s(P ) ≤ A ≤ S(P ) o lo que es lo mismo −194 ≤ A ≤ −13

4 con lo que

estaríamos asegurando que el área A es un número negativo. Sabemos que el

área de una figura plana no debería dar un número negativo, pero ¿entonces

qué ocurrió?

Pues bien, en realidad, lo que se obtiene con las sumas superior e inferior es el

área con signo o área orientada que existe entre la función f(x) y el eje x. Así,

si la función es no positiva, el área de la región debería ser no positiva también.

Es por ello que enunciamos el siguiente:


Teorema 2.11. Sea f : [a; b] → R una función acotada y no positiva.

Dada cualquier partición Q del intervalo, se tiene que:

1. s(Q) ≤ 0

2. S(Q) ≤ 0


Con lo analizado anteriormente, nos vemos obligados a reformular la definición

20:

Definición 21. Sea f [a; b] :→ R una función acotada.

Si ∫ b

af(x)dx =

∫ b

af(x)dx = A

entonces diremos que la región limitada por la función f , el eje x y las abcisas

x = a y x = b tendrá área orientada A.

Nótese que ya no necesitaremos hacer hincapié en que la función sea no positiva

ni no negativa. Es por ello que sólo pedimos que la función sea acotada en el

intervalo analizado.

Al igual que para funciones no negativas, también pueden existir regiones del

plano a las que no se les puede asignar ningún valor A como área. Tal es el

caso del siguiente:


Ejemplo 36. Sea g : [a; b]→ R tal que

g(x) =

−1 si x ∈ Q

0 si x ∈ R−Q

Como se puede apreciar, la función g(x) no es continua pero sí acotada y

no negativa. Dada una partición Q cualquiera, se tiene que S(Q) = 0 y

s(Q) = −(b− a) por lo que no se puede asignar ningún valor A como área.

Es natural ahora, preguntarse qué ocurre cuando la función en el intervalo

[a; b] es no negativa y no positiva.

2.2.4. Suma inferior y superior para funciones

Para ello, analizaremos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 37. Sea f : [−2; 2]→ R tal que f(x) = x2−1 y sean las particiones

P,Q y R de tal manera que dividen al intervalo en 10, 30 y 100 subintervalos

de la misma longitud. Hallando ahora las sumas inferiores y superiores utili-

zando ambas particiones se obtienen los siguientes resultados con dos cifras

decimales:

1. S(P ) = 3, 04

2. S(Q) = 1, 88

3. S(R) = 1, 49

y


1. s(P ) = −0, 16

2. s(Q) = 0, 81

3. s(R) = 1, 17

Se puede ver en el ejemplo anterior, que para la partición P la suma inferior

y superior tienen distinto signo, sin embargo cuando la partición se hace más

fina, ambas sumas tienen el mismo signo. Esto ocurre porque la función varía

de signo en todo el intervalo.

Si analizamos la función en los intervalos [-2;-1], [-1;1] y [1;2] vemos que el

área de la región en los intervalos [-2;-1] y [1;2] tiene signo positivo porque la

función es no negativa allí. Y el área de la región en el intervalo [-1;1] tiene

signo negativo, porque la función es no positiva allí.

Cabe preguntarse entonces ¿hacia qué valor tienden la suma superior e inferior

a medida que la partición es más fina? y ¿cuál es el significado de dicho valor?

Para contestar ambas preguntas hallemos el área de la región estudiada.

Dividiremos la región en cuatro subregiones. La región encerrada en el intervalo

[-2;-1], a la que llamaremos R1. La encerrada en el intervalo [-1;0] a la que

llamaremos R2. R3 será la región encerrada en el intervalo [0;1] y R4 será la

región encerrada en el intervalo [1;2]. Por cuestiones de simetría, las regiones

R1 y R4 tienen la misma área. Así también las regiones R2 y R3.

Calculemos entonces el área A3 de la región R3.


Hallemos primeramente la suma inferior:

s(P ) =n∑i=1

mi∆ti =

=n∑i=1

f(ti−1)∆ti =

=n∑i=1

f

((i− 1) 1

n

) 1n

=

=n∑i=1

([[(i− 1)2] 1

n2 − 1] 1n

)

=n∑i=1

i2 − 2i+ 1n3 − 1

=n∑i=1

i2

n3 − 2∑ i

n3 +∑ 1

n3 − 1 =

= n(n+ 1)(2n+ 1)6n3 − 2n(n+ 1)

2n3 + n

n3 − 1 =

= (n+ 1)(2n+ 1)6n2 − n+ 1

n2 + 1n2 − 1 =

= 2n2 + 3n+ 16n2 − 1

n− 1 =

= 2n2 − 3n+ 16n2 − 1

Luego, la integral inferior es:∫ 1

0

(x2 − 1

)dx = lım

‖P‖→0s(P ) = lım

n→∞

(2n2 − 3n+ 1

6n2 − 1)

= 13 − 1 = −2

3


Hallemos ahora, la suma superior:

S(P ) =n∑i=1

Mi∆ti =

=n∑i=1

f(ti)∆ti =

=n∑i=1

f

((i) 1n

) 1n

=

=n∑i=1

([i2 1n2 − 1] 1

n

)

=n∑i=1

(i2

n3

)− 1

= n(n+ 1)(2n+ 1)6n3 − 1 =

= (n+ 1)(2n+ 1)6n2 − 1 =

= 2n2 + 3n+ 16n2 − 1 =

Luego, la integral superior es:∫ 1

0

(x2 − 1

)dx = lım

‖P‖→0S(P ) = lım

n→∞

(2n2 + 3n+ 1

6n2 − 1)

= 13 − 1 = −2

3

Vemos entonces que, como∫ 1

0

(x2 − 1

)dx =

∫ 1

0

(x2 − 1

)dx = −2

3 , entonces

decimos que el área A3 de la región R3 es −23 .

Calculemos ahora el área A4 de la región R4.


Figura 18: Sumas para dos particiones de la función f(x) = x2 − 1.

Hallemos primeramente la suma inferior:

s(P ) =n∑i=1

mi∆ti =

=n∑i=1

f(ti−1)∆ti =

=n∑i=1

f

(1 + (i− 1) 1

n

) 1n

=

=n∑i=1

([[1 + (i− 1) 1

n

]2− 1

]1n

)

=n∑i=1

([[1 + 2(i− 1) 1

n+ (i− 1)2 1

n2

]− 1

] 1n

)=

=n∑i=1

([2in− 2n

+ i2

n2 −2in2 + 1

n2

]1n

)=

=n∑i=1

(2in2 −

2n2 + i2

n3 −2in3 + 1

n3

)=

= 2n(n+ 1)2n2 − 2n

n2 + n(n+ 1)(2n+ 1)6n3 − 2n(n+ 1)

2n3 + n

n3 =

= n+ 1n− 2n

+ (n+ 1)(2n+ 1)6n2 − n+ 1

n2 + 1n2 =

= 6n2 + 6n− 12n+ 2n2 + 3n+ 1− 6n− 6 + 66n2 =

= 8n2 − 9n+ 16n2


Luego, la integral inferior es:∫ 2

1

(x2 − 1

)dx = lım

‖P‖→0s(P ) = lım

n→∞

(8n2 − 9n+ 1

6n2

)= 4

3

Hallemos ahora, la suma superior:

S(P ) =n∑i=1

Mi∆ti =

=n∑i=1

f(ti)∆ti =

=n∑i=1

f

(1 + i

1n

) 1n

=

=n∑i=1

([[1 + i

1n

]2− 1

]1n

)

=n∑i=1

([[1 + 2i

n+ i2

n2

]− 1

]1n

)=

=n∑i=1

(2in2 + i2

n3

)=

= 2n(n+ 1)2n2 + n(n+ 1)(2n+ 1)

6n3 =

= n+ 1n

+ (n+ 1)(2n+ 1)6n2 =

= 6n2 + 6n+ 2n2 + 3n+ 16n2 =

= 8n2 + 9n+ 16n2

Luego, la integral superior es:∫ 2

1

(x2 − 1

)dx = lım

‖P‖→0S(P ) = lım

n→∞

(8n2 + 9n+ 1

6n2

)= 4

3

Vemos entonces que, como∫ 2

1

(x2 − 1

)dx =

∫ 2

1

(x2 − 1

)dx = 4

3 , entonces

decimos que el área A4 de la región R4 es 43 .


Llamemos A = A1 + A2 + A3 + A4. Se tiene entonces, por los cálculos rea-

lizados anteriormente y por la igualdad de las áreas de las subregiones que

A = 43 −

23 −

23 + 4

3 = 43 .

Este valor es entonces el valor hacia el cual tienden las suma inferior y superior

a medida que la partición se hace cada vez más fina. Y como se puede apreciar,

es la suma de las áreas orientadas.

Es por ello que nos vemos nuevamente en la obligación de cambiar nuestra

definición 21 dada anteriormente.

Definición 22. Sea f [a; b] :→ R una función acotada.

Si∫ b

af(x)dx =

∫ b

af(x)dx = A entonces diremos A es la suma de las áreas

orientadas de la región limitada por la función f , el eje x y las abscisas x = a

y x = b.



1. Dado el intervalo [2;5] escriba cinco particiones del mismo.

2. Dado el intervalo [−π; 1]:

a) Escriba una partición P de 5 puntos.

b) Escriba una partición Q que sea más fina que P .

c) Escriba una partición R que sea más fina que P pero no más fina

que Q.

d) Escriba una partición S no comparable con ninguna de las parti-

ciones anteriores.

3. Dado el intervalo [-2;3], escriba una partición P de manera tal que se

tenga que ‖P‖ = 0, 8

4. Para cada una de las particiones de los ejercicios anteriores calcule todas

las longitudes de los subintervalos. Obtenga también la norma de las

particiones.

5. Dado el intervalo [−23 ; 1] halle una familia de 5 particiones Pj de mane-

ra tal que todas ellas dividan al intervalo en subintevalos de la misma

longitud y que Pj ⊂ Pj+1.

6. Para cada una de las siguientes funciones, halle la suma superior e inferior

de acuerdo a la partición dada.

a) f : [2; 3]→ R/f(x) = −x+ 4

siendo P = {2; 2, 2; 2, 5; 2, 7; 3}

b) f : [−1; 4]→ R/f(x) = |x|

siendo P = {−1;−0, 5; 1; 3; 3, 5; 4}


c) f : [−3;−1]→ R/f(x) = x2

siendo P = {−3;−2, 5;−2;−1, 4;−1, 1;−1}

d) f : [−5; 5]→ R/f(x) = 2

siendo P = {−5;−4;−3;−2;−1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}

e) f : [1; 4]→ R/

f(x) =

x+ 1 si x /∈ N

0 si x ∈ N

siendo P = {1; 1, 5; 2; 2, 5; 3, 5; 4}

f ) f : [−1; 3]→ R/

f(x) =

x2 si x > 0

−x si x ≤ 0

siendo P = {−1;−0, 3;−0, 1; 0; 1; 2; 2, 5; 2, 6; 2, 8; 3}

7. Dado el intervalo [1;π] y la función f(t) = −t + 2 definida sobre él,

encuentra una partición Q de manera tal que S(Q)− s(Q) < 34 .

8. Para cada una de las siguientes funciones, halle la integral superior e

inferior, tomando una partición P que divida al intervalo dado en n

partes iguales y haciendo tender el n hacia infinito.

a) f : [2; 3]→ R/f(x) = x

b) f : [−1; 0]→ R/f(x) = x+ 2

c) f : [−3; 3]→ R/f(x) = x2

d) f : [0; 2]→ R/f(x) = x2

e) f : [−2; 0]→ R/f(x) = 2x+ 2


f ) f : [−2; 1]→ R/f(x) = 3x2 + 2

g) f : [−1; 1]→ R/f(x) = x2 + x

h) f : [−2; 2]→ R/f(x) = −x2 + 3

i) f : [1; 3]→ R/f(x) = −2

9. Sea f(x) = x2 + 1 y el intervalo [-2;4]. Escriba una partición de al menos

4 puntos. Hallar la suma superior y la suma inferior de la partición.

10. Sea g(x) = x y el intervalo [1;3]. Encuentre una partición P del intervalo

dado de manera tal que S(P )− s(P ) < 0, 5.

11. Dada la función y = sen(x) y el intervalo[−π

2 ; π2]. Elija una partición R

de al menos 4 puntos y que los subintervalos no sean todos de la misma

longitud. Dibuje la suma inferior de la partición en el intervalo dado.

12. Dada la función h(x) = x4 + 4 y el intervalo [-4;2], elige una partición P

con al menos 5 puntos de manera tal que los subintevalos sean todos de

la misma longitud. Dibuje la suma superior de la partición en el intervalo

dado.

13. Pruebe que dada una función constante y un intervalo [a; b] cualquiera,

se tiene que para cualquier partición P del intervalo resulta que

S(P )− s(P ) = 0.

14. Sea f(x) = x2 + 2 y el intervalo [-1;3].

Sea la partición P = {−1;−0, 5; 0, 5; 1; 2; 2, 5; 3}.

a) Calcule la suma superior de la partición en el intervalo dado.

b) Halle una partición Q más fina que P .

c) Calcule la suma superior de la partición Q en el intervalo dado.


d) Compruebe que S(P )− S(Q) > 0.

15. ¿Será cierto que si g > 0 en el intervalo [a; b], entonces S(P ) > 0 para

cualquier partición P? Justifique su respuesta.

16. ¿Será cierto que si g < 0 en el intervalo [a; b], entonces S(P ) < 0 para

cualquier partición P? Justifique su respuesta.

17. Encuentre una partición P , una función f y un intervalo [a; b] de tal

manera que S(P ) > 0 pero que f no sea mayor a cero en todo el intervalo.

18. Demuestre que dada la función f(x) = 1x2 y el intervalo [-1;1], entonces

no es posible encontrar S(P ) para cualquier partición P del intervalo

dado.

19. Pruebe que la función tg(θ) no es R-integrable en el intervalo [−π; 0].

(Sug.: demuestre que no se puede calcular la suma inferior usando cual-

quier partición Q de dicho intervalo).

20. Dada una función g, un intervalo [a; b] y una partición Q de dicho inter-

valo, ¿será cierto que si S(Q) > 0 entonces g > 0 en todo el intervalo

[a; b]? Justifique su respuesta.

21. Dada la función h(u) = u+ 1u− 1 y el intervalo [−1; 0], escriba una partición

P de al menos cuatro puntos. Halle la suma superior e inferior.

22. ¿Existe el área entre la función m(t) = 1ty el eje de las abscisas en el

intervalo [−1;√

2]? Si la respuesta es SI, encuentre el valor de la integral.

Si la respuesta es NO, justifique por qué no lo es.

23. Dado el intervalo [2; 4]. Encuentra una partición R del intervalo de ma-

nera tal que ‖R‖ < 12 .


24. Repita el ejercicio anterior para el intervalo [-1; 3] pero con la condición

que 12 < ‖R‖ < 1.

25. Escriba una sucesión de particiones

P1;P2;P3;P4;P5 del intervalo[1; 5

2

]de manera tal que

P1 ⊂ P2 ⊂ P3 ⊂ P4 ⊂ P5

pero que la norma de las particiones no tienda a cero.

3 SUMA DE RIEMANN 69

SECCIÓN 3

Suma de Riemann

SUBSECCIÓN 3.1 La suma de Riemann

3.1.1. Análisis de un ejemplo

En la sección anterior, hemos definido la suma inferior y superior, a partir de

tomar el ínfimo y el supremo de la función en cada subintervalo determinado

por una partición P del intervalo [a; b] en el cual está definida la función. Nos

proponemos estudiar ahora, otro tipo de suma, en la que no se tiene en cuenta

el ínfimo o supremo de la función.

Comencemos entonces por tomar un ejemplo, a partir del cual, desarrollare-

mos los conceptos que se estudiarán en esta sección.

Ejemplo 38. Sea f : [1; 2]→ R tal que f(x) = x.

Sea la partición P = {1; 1, 3; 1, 5; 1, 6; 1, 8; 2}. En cada subintervalo [ti−1; ti]

tomaremos un valor cualquiera, al que llamaremos ci. En otras palabras,

ci ∈ [ti−1; ti].

Tomaremos entonces a c1 = 1, 2; c2 = 1, 35; c3 = 1, 58; c4 = 1, 75 y c5 = 1, 9.

Como puede apreciarse, no es necesario que el ci sea el punto medio del inter-

valo [ti−1; ti]. Puede ser cualquier punto que esté en dicho intervalo, inclusive

ci puede tomar el valor de los extremos ti−1 o ti.

Hallemos la siguiente suma:5∑i=1

f(ci)∆ti = 1, 2 · 0, 3 + 1, 35 · 0, 2 + 1, 58 · 0, 1 + 1, 75 · 0, 2 + 1, 9 · 0, 2 = 1, 518

Podríamos haber tomado otros valores ci, a partir de los cuales, podemos

hallar nuevamente la suma anterior.


Tomaremos entonces a c1 = 1, 25; c2 = 1, 4; c3 = 1, 52; c4 = 1, 7 y c5 = 2.

Hallemos ahora, la siguiente suma con los nuevos ci:

5∑i=1

f(ci)∆ti = 1, 25 · 0, 3 + 1, 4 · 0, 2 + 1, 52 · 0, 1 + 1, 7 · 0, 2 + 2 · 0, 2 = 1, 547

Las sumas anteriores están muy cerca del valor 1,5 que es el área de la región

encerrada entre la función f(x) = x, el eje x y las abscisas x = 1 y x = 2.

Entonces deberíamos preguntarnos: ¿qué relación hay entre esta suma y el

cálculo de áreas? y también ¿qué relación hay entre esta suma y las suma

superior e inferior?

Para responder a esta pregunta, definamos la suma realizada con anteriori-

dad y luego demostraremos algunos teoremas importantes que responder a las

cuestiones anteriores.

Comencemos entonces con la siguiente:

Definición 23. Sea f : [a; b]→ R, una función acotada. Sea P una partición

del intervalo dado. Llamaremos suma de Riemann y lo denotaremos con la

letra griega σ a:

σP (f) =n∑i=1

f(ci)∆ti

con ci ∈ [ti−1; ti], ∀i.

Una suma de Riemann es como una suma superior o inferior, nada más que en

vez de tomar el supremo o el ínfimo en cada subintervalo, se toma la imagen

de los ci elegidos.


3.1.2. Relación con la suma superior e inferior

Como se vio anteriormente, para una función, un intervalo y una partición

dada, hay una sola suma inferior y una sola suma superior. Sin embargo, se

puede observar que hay infinitas sumas de Riemann, dependiendo de cómo

son elegidos los ci en cada subintervalo. Ahora bien, el tener infinitas sumas

de Riemann para una partición es una desventaja.

Sin embargo, como lo muestra el siguiente teorema, todas las sumas de Rie-

mann se encuentran entre la suma inferior y superior.

Teorema 3.1. Sea f : [a; b] → R, una función acotada. Sea P una

partición del intervalo dado. Se tiene que s(P ) ≤ σP (f) ≤ S(P ) con

ci ∈ [ti−1; ti],∀i.

Demostración. Veamos en primer lugar que, en cada subintervalo [ti−1; ti] se

tiene que

mi ≤ f(ci) ≤Mi,∀ci ∈ [ti−1; ti] (Vease figura 19)

Multiplicando en todos los miembros de la desigualdad por ∆ti se tiene que

mi∆ti ≤ f(ci)∆ti ≤Mi∆ti

Y sumando con i variando de 1 a n, resulta que:n∑i=1

mi∆ti ≤n∑i=1

f(ci)∆ti ≤n∑i=1

Mi∆ti

Es decir: s(P ) ≤ σP (f) ≤ S(P ).

En base al teorema anterior, podemos deducir una cuestión teórica muy im-

portante. Para ello, enunciamos el siguiente:


Figura 19: f(x) en el subintervalo [ti−1; ti]


Teorema 3.2. Sea f : [a; b] → R, una función acotada. Sea P una

partición del intervalo dado. Se tiene que∫ b

af(x)dx ≤ lım

‖P‖→0σP (f) ≤

∫ b

af(x)dx

Demostración. En efecto, como s(P ) ≤ σP (f) ≤ S(P ), tomando límite en

cada miembro de la desigualdad resulta que:

lım‖P‖→0

s(P ) ≤ lım‖P‖→0

σP (f) ≤ lım‖P‖→0

S(P )

de donde se tiene que∫ b

af(x)dx ≤ lım

‖P‖→0σP (f) ≤

∫ b

af(x)dx

En otras palabras, todas las sumas de Riemann, a medida que la partición se

vuelve más fina, quedarán entre dos valores: el supremo de las sumas inferiores

y el ínfimo de las sumas superiores.

Y si la suma de las áreas orientadas de la región encerrada entre la función

y el eje x tiene valor A, o en otras palabras, si∫ b

af(x)dx =

∫ b

af(x)dx = A

entonces resulta que:

lım‖P‖→0

σP (f) = A

Hemos encontrado otra forma de definir la suma de las áreas orientadas de

una región encerrada entre la función f y el eje x en el intervalo [a; b]. Esta

definición, tiene usos más teóricos que prácticos, y se utilizará para definir por

ejemplo, la integral definida de una función, tema que excede a las pretensio-

nes de este cuadernillo.



1. Sea la función h(x) = x3 en [1;3].

Sea la partición P = {1; 1, 2; 1, 5; 2; 2, 4; 2, 7; 3}.

a) Calcule su suma inferior y superior.

b) Calcule su suma de Riemman, eligiendo cualquier xi en [ti−1; ti]

c) Compare los resultados con la de tus compañeros y compruebe que

siempre se cumple que s(P ) ≤ σ(P ) ≤ S(P ).

2. Para cada una de las siguientes funciones, escriba una partición del in-

tervalo de al menos 6 puntos y halle la suma de Riemann, eligiendo a

voluntad los xi en [ti−1; ti].

a) f(x) = x2 en [1;3]

b) g(x) = x− 2 en [-1;2]

c) h(x) = x

x2 + 1 en [0;4]

d) j(x) = sen(x2) en[−π; π2

]e) k(x) = 1

x2 en [-2;2]

3. Dada la función f : [−1; 3]→ R/

f(x) =

x+ 1 si x ∈ [−1; 0)

4 si x = 0

−x+ 2 si x ∈ (0; 2]

0 si x ∈ (2; 3]

y la partición P = {−1;−0, 5; 0; 0, 2; 0, 7; 1, 3; 1, 6; 2; 2, 5; 3}, halle la suma

inferior, la suma superior y la suma de Riemann, .

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Índice alfabético

área, 49

orientada, 55

suma de áreas, 63

conjunto

acotado, 9

cota

inferior, 14

superior, 13

extremos, 17

ínfimo, 14, 17, 19, 32

mínimo, 16

máximo, 16

supremo, 15, 17, 18

función

acotada, 12

constante, 36

discontinua, 37

no negativa, 31

no positiva, 55

integral inferior, 47

integral superior, 47

intervalo

abierto, 8

cerrado, 8

partición, 23

comparables, 46

más fina, 26, 43

no comparables, 26

norma, 25

subintervalos, 31

suma

inferior, 32

superior, 32

suma de Riemann, 70

76

ÍNDICE ALFABÉTICO 77

A pesar de todas las correcciones hechas al texto, puede que el lector en-

cuentre algún error. En ese caso desearía que me lo haga llegar a rosomi-

[email protected]. Todas las apreciaciones serán bienvenidas.

Mayor Villafañe, Provincia de Formosa.

29 de octubre de 2015

ISFDyT "Víctor Manuel Almenara"Mayor Villafañe - Formosa

Suma Inferior, superior y de Riemman

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