Suma y diferencia de dos funciones

Euler - Matemáticas ITema:

12 1Operaciones con funciones. Acotación

Final

Suma y diferencia de dos funciones Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define:• Suma: (f + g) (x) = f(x) + g(x). Por tanto: Dom(f + g) = Dom(f) Dom(g)• Diferencia: (f g) (x) = f(x) g(x). Por tanto: Dom(f g) = Dom(f) Dom(g)

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X

Y

x

f(x) f(x) + g(x)f(x) =

x 1 + x2 : Dom(f) = R

g(x) = 1 x : Dom(g) = R – {0}

(f + g) (x) = f(x) + g(x) =

= x

1 + x2 + 1 x :

Dom(f + g) = R – {0}

g(x)

1



Final

Función opuesta

Si f es una función, se define su función opuesta -f de la siguiente forma: (-f)(x) = - f(x) siendo el dominio de -f el mismo que el de f

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 0 1 2 3 4 5

X

Y

y = f(x)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 0 1 2 3 4 5

X

Y

y =- f(x)

Dom (f) Dom (-f)

(x, f(x))

•

• (x, -f(x))

2



Final

Valor absoluto de una función

Si f es una función, se define el valor absoluto de f, |f|, como: |f|(x) = |f(x)|, para todo x que pertenece al dominio de f.

|f|(x)= |f(x)| = f(x) si f(x) 0 f(x) si f(x) < 0 =

f(x) si f(x) > 0 f(x) si f(x) 0

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X

Y

y = f(x)

puntos conimagen negativa

Simetrizamos las partesnegativas respecto al eje OX

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X

Y

y = |f(x)|

Conocida la gráfica de y = f(x), ¿cómo construir la gráfica de y = |f(x)|?

3



Final

Producto y cociente de dos funciones

Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define:• Producto: (f . g) (x) = f(x) . g(x). •Por tanto: Dom(f . g) = Dom(f) Dom(g)

Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones y g(x) 0 se define:• Cociente: (f g) (x) = f(x) g(x). Por tanto: • Dom(f g) = Dom(f) Dom(g) {x R : g(x) 0}

4



Rec(g)

Final

Composición de funcionesLa función h(x) = (2x - 1)2 es la composición de dos funciones: g(x) = 2x-1 y f(t) = t2

x 2x-1 = t t2 = (2x-1)2

R Rg

Rf

x (2x-1)2

h(x) = f(g(x)) = f(2x-1) = (2x - 1)2 = (f o g)(x)

R R R

Dom

(g)

Rec(f)

g f

Dominio de la composición de funciones

El dominio de fog está formado por los x tales que• x está en el dominio de g• g(x) está en el dominio de fD

om(f)

Dom

(fog)

Rec(fog)

5



Final

Funciones inyectivas

Un función f tiene la propiedad de la recta horizontal en un dominio D, si para todo valor c del recorrido de la función, la recta y = c corta a la gráfica de f en un solo punto.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X

Y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 0 1 2 3 4 5

X

Y

• • •

f no tiene la propiedad de la

recta horizontal

f tiene la propiedad de larecta horizontal

Formulación algebraica de la propiedad de la recta horizontal: una función f es inyectiva en D si para a,b D tal que f(a) = f(b) se tiene que a = b

6



Final

Función inversaSi f inyectiva, la función inversa f, escrita f -1, satisface x = f -1(y) y = f(x)

Como consecuencia:

• El dominio de f es el recorrido de f -1

• El recorrido de f -1 es el dominio de f• Si (x, y) está sobre la gráfica de y = f(x), (x, y) está sobre la gráfica de f -1. Por

tanto las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

X

Y

X

Y

f(x)

f(x)f -1(x)

f -1(x)

• (x, f(x))

• (f(x), x)

• (x, f(x))

• (f(x), x)



Final

Funciones acotadas

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X

Y

• Una función y = f(x) está acotada superiormente (inferiormente) en un conjunto D si existe un número M (m) tal que f(x) M (m f(x)) para todo x de D. Se dice que M (m) es una cota superior (inferior).

• Una función acotada superior e inferiormente se dice que está acotada

M' es cota superior de f(x) en D = R

y = f(x)

y = g(x)

El supremo S, es la menor de las cotas superiores

M'' es cota superior de f(x) en D = R

m' es cota inferior de f(x) en D = R

m'' es cota inferior de f(x) en D = R

El ínfimo I, es la mayor de las cotas inferiores

• y = f(x) está acotada• y = g(x) no está acotada

S

I

8



X

Y

X

Y

Final

Crecimiento y decrecimiento de una función

[a

]b

x

f(x)

y

f(y)

Función creciente en [a, b]

f(x) < f(y) para todo x e y de [a, b]

[a

]b

x

f(x)

Función decreciente en [a, b]

f(x) < f(y) para todo x e y de [a, b]

f(y)

y

9



X

Y

Final

Máximo y mínimo de una función

Mínimo, de valor T en el punto t, de

f(x) en el conjunto D

Máximo, devalor S en el punto s,

de f(x) en el conjunto D

D

•

s

S

t

T•

• El máximo de una función f en D es el mayor de los valores que toma f en D.• El mínimo de una función f en D es el menor de los valores que toma f en D.

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