SUCESIONES Y SUMATORIAS 4º Medio Electivo Procesos Infinitos.
sumatorias
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE HUANCAVELICA
SUMATORIAS
1¿
Sabiendo que:
∑i=1
n
( f ( i )−f ( i−1 ) )=f (n )−f (0 )…1ra regla telesc ó pica
Sea : f ( i )=( i+1 )6
∑i=1
n
i5= [ ( i+1 )6−(i+1−1 )6 ]=(n+1 )6−1
∑i=1
n
i5=[ (i6+6 i5+15 i4+20 i3+15 i2+6 i+1 )−(i )6 ]= (n+1 )6−1
6∑i=1
n
i5+15∑i=1
n
i4+20∑i=1
n
i3+15∑i=1
n
i2+6∑i=1
n
i+∑i=1
n
1=(n+1 )6−1
6∑i=1
n
i5+15[ 6n5+15n4+10n3−n30 ]+20[ n4+2n3+n24 ]+15 [ 2n3+3n2+n6 ]+6 [ n2+n2 ]+ [n ]=(n+1 )6−1
6∑i=1
n
i5+[ 6n5+25n4+40n3+31n2+12n2 ]=[ (n6+6n5+15n4+20n3+15n2+6n+1 ) ]−1
ANÁLISIS MATEMÁTICO III Mag. Mat. César Castañeda Campos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE HUANCAVELICA
6∑i=1
n
i5=[ (n6+6n5+15n4+20n3+15n2+6n+1 ) ]– 1−[ 6n5+25n4+40n3+31n2+12n2 ]6∑
i=1
n
i5=[ 2n6+12n5+30n4+40n3+30n2+12n−6n5−25n4−40n3−31n2+12n2 ]∑i=1
n
i5=[ 2n6+6 n5+5n4−n2
12 ]∑i=1
n
i5=[ n2(2n4+6n3+5n2−1)12 ]∑i=1
n
i5=[ n2(n+1)2(2n2+2n−1)12 ]2¿
Sabiendo que:
∑i=1
n
( f ( i )−f ( i−1 ) )=f (n )−f (0 )…1ra regla telesc ó pica
Sea : f ( i )=( i+1 )11
ANÁLISIS MATEMÁTICO III Mag. Mat. César Castañeda Campos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE HUANCAVELICA
ANÁLISIS MATEMÁTICO III Mag. Mat. César Castañeda Campos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE HUANCAVELICA
3¿
Aplicandola 1° regla telesc ó pica generalizada:
ANÁLISIS MATEMÁTICO III Mag. Mat. César Castañeda Campos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE HUANCAVELICA
ANÁLISIS MATEMÁTICO III Mag. Mat. César Castañeda Campos
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5¿∑i=1
n
ln2(i)
por propiedad de logaritmo tenemos :
∑i=1
n
ln2(i)=∑i=1
n
2 ln(i)
⇒∑i=1
n
2 ln(i)=2∑i=1
n
ln(i)
∑i=1
n
ln (i)=ln (1)+ln (2)+ ln(3)+ln(4)…… ..+ ln(n)
Por propiedad de logaritmo tenemos:
ANÁLISIS MATEMÁTICO III Mag. Mat. César Castañeda Campos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE HUANCAVELICA
∑i=1
n
ln ( i)=ln(1.2 .3 .4 .5 .6…….n)
Por formula.
∑i=1
n
ln (i)=ln(n!)
∑i=1
n
ln2(i)=2 ln (n !)
6¿∑i=1
n
(i6)
Sabiendo que:
∑i=1
n
( f ( i )−f ( i−1 ) )=f (n )−f (0 )…1ra regla telesc ó pica
Sea : f (i )=(i+1 )7
∑i=1
n
i6=[ ( i+1 )7−(i+1−1 )7 ]=(n+1 )7−1
∑i=1
n
i5=[ (i7+7 i6+21 i5+35 i4+35 i3+21 i2+7 i+1 )−( i )7 ]= (n+1 )7−1
ANÁLISIS MATEMÁTICO III Mag. Mat. César Castañeda Campos
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7∑i=1
n
i6+21∑i=1
n
i5+35∑i=1
n
i4+35∑i=1
n
i3+21∑i=1
n
i2+7∑i=1
n
i+∑i=1
n
1=(n+1 )7−1
7∑i=1
n
i6+21[ 2n6+6n5+5n4−n2
12 ]+35[ 6 n5+15n4+10n3−n30 ]+35[ n4+2n3+n24 ]+21[ 2n3+3n2+n6 ]+7[ n2+n2 ]+ [n ]=(n+1 )7−1
7∑i=1
n
i6+[ 210n6+1050n5+2100n4+2170n3+1260n2+410n60 ]=[ (n7+7 n6+21n5+35n4+35n3+21n2+7n+1 ) ]−1
7∑i=1
n
i6=[ (n7+7n6+21n5+35n4+35n3+21n2+7 n+1 ) ] –1−[ 210n6+1050n5+2100n4+2170n3+1260n2+410n60 ]
7∑i=1
n
i6=60n7
60+ 420n
6
60+ 1260n
5
60+2100n
4
60+ 2100n
3
60+1260n
2
60+ 420n60
−210n6
60−1050n
5
60−2100n
4
60−2170n
3
60−1260n
2
60+ 410n60
∑i=1
n
i6=[ 60n7+210n6+210n5−70n3+10n420 ]ANÁLISIS MATEMÁTICO III Mag. Mat. César Castañeda Campos
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∑i=1
n
i6=[ 6n7+21n6+21n5−7n3+n42 ]∑i=1
n
i6=[ n(6n6+21n5+21n4−7n2+1)42 ]∑i=1
n
i6=[ n(n+1)(6n5+15n4+6n3−6n2−n+1)42 ]
8¿
Aplicandola 1° regla telesc ó pica generalizada:
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9¿∑i=1
n
( 4 i25i )HALLANDO LA FORMULA :
4 i2
5i−4 ( i−1 )2
5i−1=4 i
2
5i−4 ( i−1 )2
5i−1
AplicandoSumatorias :
∑i=1
n
( 4 i25i −4 ( i−1 )2
5 i−1 )=∑i=1
n4 i2
5i−∑
i=1
n 4 ( i−1 )2
5i−1
TRABAJANDO EN ELPRIMERMIENBRO
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f ( i )= 4 i2
5i⟹ f (i−1 )=4 (i−1 )2
5i−1
APLICANDO PROPIEDAD07 :
∑i=1
n
[ f ( i )−f ( i−1 ) ]=f (n )−f (0)
∴ f (n )−f (0 )=4 n2
5n−0
4n2
5n=∑
i=1
n4 i2
5i−∑
i=1
n 4 (i−1 )2
5i−1
4n2
5n=∑
i=1
n4 i2
5i−∑
i=1
n 4 (i2−2 i+1 )5i−1
4n2
5n=∑
i=1
n4 i2
5i−4∑
i=1
n (i2−2 i+1 )5i−1
4n2
5n=∑
i=1
n4 i2
5i−4∑
i=1
ni2
5i−1+4∑
i=1
n2 i5i−1
−4∑i=1
n15i−1
4n2
5n=∑
i=1
n4 i2
5i−∑
i=1
n4 i2
5i5−1+4∑
i=1
n2 i5i5−1
−4∑i=1
n1
5i5−1
4n2
5n=∑
i=1
n4 i2
5i−5∑
i=1
n4 i2
5 i+40∑
i=1
ni5i
−20∑i=1
n15i
4n2
5n=−4∑
i=1
n4 i2
5 i+40∑
i=1
ni5i
−20∑i=1
n15 i
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4∑i=1
n4 i2
5i=40∑
i=1
ni5i
−20∑i=1
n15i
−4 n2
5n…(1)
∑i=1
ni5i… ( I )
Hallandouna formula para ( I )
∑i=1
ni5i
i
5i−i−15 i−1
= i
5i−i−15i−1
AplicandoSumatorias :
∑i=0
n
( i5i−i−15 i−1 )=∑
i=0
ni5i
−∑i=0
ni−15 i−1
TRABAJANDO EN ELPRIMERMIENBRO
f ( i )= i
5i⟹ f ( i−1 )=i−1
5i−1
APLICANDO PROPIEDAD07 :
∑i=1
n
[ f ( i )−f ( i−1 ) ]=f (n )−f (0)
∴ f (n )− f (0 )= n
5n−0
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n5n
=∑i=0
ni5 i
−∑i=0
ni−15i−1
n5n
=∑i=0
ni5 i
−∑i=0
ni5i−1
+∑i=0
n15i−1
n5n
=∑i=0
ni5 i
−5∑i=0
ni5i
+5∑i=0
n15i
n5n
=−4∑i=0
ni5i
+5∑i=0
n15 i
∑i=0
ni5i
=54∑i=0
n15i
− n4.5n
Reemplazandoen :
4∑i=1
n4 i2
5i=40∑
i=1
ni5i
−20∑i=1
n15i
−4 n2
5n
4∑i=1
n4 i2
5i=40( 54∑i=0
n15i
− n4.5n )−20∑i=1
n15i
− 4n2
5n
4∑i=1
n4 i2
5i=50∑
i=0
n15i
−10 n5n
−20∑i=1
n15i
−4 n2
5n
4∑i=1
n4 i2
5i=30∑
i=0
n15i
−10 n5n
−4n2
5n…(2)
∑i=0
n15i… ( II)
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE HUANCAVELICAHallandouna formula para ( II )
∑i=1
n15i
1
5i− 1
5i−1= i
5i− 1
5i−1
AplicandoSumatorias :
∑i=0
n
( 15i− 15i−1 )=∑i=0
n15 i
−∑i=0
n15i−1
TRABAJANDO EN ELPRIMERMIENBRO
f ( i )= 1
5i⟹ f ( i−1 )= 1
5 i−1
APLICANDO PROPIEDAD07 :
∑i=1
n
[ f ( i )−f ( i−1 ) ]=f (n )−f (0)
∴ f (n )− f (0 )= 1
5n−0
15n
=∑i=0
n15 i
−∑i=0
n15i−1
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15n
=∑i=0
n15 i
−5∑i=0
n15i
∑i=0
n15i
= −14.5n
Reemplazandoen2 :
4∑i=1
n4 i2
5i=30∑
i=0
n15i
−10 n5n
−4n2
5n…(2)
4∑i=1
n4 i2
5i=30( −1
4.5n )−10 n5n−4n2
5n
4∑i=1
n4 i2
5i=(−304.5n )−10 n5n−4 n
2
5n
∑i=1
n4 i2
5i=−3016 ( 15n )−104 n
5n−n2
5n
∑i=1
n4 i2
5i=−15n (358 +n2)
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10¿∑i=1
n
( sen (i ) )
Usaremos laidentidad : sen (a ) . sen (b )=12
[cos (a−b )−cos (a+b ) ]
Sea :a=i ;b=12
Aplicamos sumatoriasaambos t é rminos
∑i=1
n
(sen ( i ) . sen ( 12 ))=¿12∑i=1
n [cos (i−12 )−cos( i+ 12 )]¿sen( 12 )∑i=1
n
( sen (i ) )=¿−12∑i=1
n [cos(i+12 )−cos (i−12 )]¿−2 sen ( 12 )∑i=1
n
(sen ( i) )=¿∑i=1
n [cos (i+ 12 )−cos (i−12 )]¿
Resolvemos el segundomiembro de la ecuaci ón ,usando :
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∑i=1
n
( f ( i )−f ( i−1 ) )=f (n )−f (0 )…1ra regla telesc ó pica
Sea : f ( i )=cos (i+12 ); f ( i−1 )=cos (i−12 )∑i=1
n [cos( i+ 12 )−(cos (i−12 ))]=cos(n+12 )−cos ( 12 )Por lo tanto :
∑i=1
n
( sen ( i ) )=¿−∑i=1
n [cos (i+ 12 )−cos (i−12 )]2 sen ( 12 )
¿
∑i=1
n
( sen ( i ) )=¿−cos (n+ 12 )−cos( 12 )
2 sen ( 12 )¿
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11¿∑i=1
n
(i7 )
Sabiendo que:
∑i=1
n
( f ( i )−f ( i−1 ) )=f (n )−f (0 )…1ra regla telesc ó pica
Sea : f ( i )=( i+1 )8
∑i=1
n
( ( i+1 )8−i8 )=(n+1 )8−1
∑i=1
n
( i8+8i7+28 i6+56 i5+70 i4+56 i3+28 i2+8i+1−i8 )=n8+8n7+28n6+56n5+70n4+56n3+28n2+8n+1−1
∑i=1
n
(8 i7+28 i6+56 i5+70i4+56i3+28 i2+8 i+1 )=n8+8 n7+28n6+56n5+70n4+56n3+28n2+8n
8∑i=1
n
i7+28∑i=1
n
i6+56∑i=1
n
i5+70∑i=1
n
i4+56∑i=1
n
i3+28∑i=1
n
i2+8∑i=1
n
i+∑i=1
n
1=n8+8n7+28n6+56n5+70n4+56n3+28n2+8n
8∑i=1
n
i7+28( 6n7+21n6+21n5−7n3+n42 )+56 ( 2n6+6n5+5n4−n2
12 )+70 (6 n5+15n4+10n3−n30 )+56 ( n4+2n3+n24 )+28( 2n3+3n2+n6 )+8 ( n2+n2 )+n=n8+8n7+28n6+56n5+70n4+56n3+28n2+8n
8∑i=1
n
i7=n8+8n7+28n6+56n5+70n4+56n3+28n2+8n−n−4 (n2+n )−143
(2n3+3n2+n )−14 (n4+2n3+n2 )−73
(6n5+15n4+10n3−n )−143
(2n6+6n5+5n4−n2)−23
(6n7+21n6+21n5−7n3+n )
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8∑i=1
n
i7=n8+8n7+28n6+56n5+70n4+56n3+28n2+8n−n−4 n2−4 n−283n3−42
3n2−14
3n−14n4−28n3−14n2−14 n5−35n4−70
3n3+ 7
3n−28
3n6−28n5−70
3n4+ 14
3n2−4n7−14n6−14n5+ 14
3n3−2
3n
8∑i=1
n
i7=n8+n7 (8−4 )+n6(28−283 −14 )+n5 (56−14−28−14 )+n4(70−14−35−703 )+n3(56−283 −28−703
+ 143 )+n2(28−4−423 −14+14
3 )+n (8−1−4−143 + 73−23 )
8∑i=1
n
i7=n8+4n7+ 143n6−7
3n4+ 2
3n2
8∑i=1
n
i7=3n8+12n7+14n6−7n4+2n2
3
∑i=1
n
i7=n2 (3n6+12n5+14 n4−7 n2+2 )
24
12¿
ANÁLISIS MATEMÁTICO III Mag. Mat. César Castañeda Campos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE HUANCAVELICAAplicandola 1° regla telesc ó pica generalizada:
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14¿
Aplicandola propiedad de logaritmo
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15¿∑i=1
n
(cos (i ) )
Usaremos laidenti d ad : sen (a ) .cos (b ) ¿ 12
[sen (a−b )+sen (a+b ) ]
Sea :a=1 /2 ;b=i
Aplicamos sumatoriasaambos t é rminos
∑i=1
n [sen ( 12 ) .cos ( i)]=12∑i=1n [sen( 12−i)+sen (i+ 12 )]
sen( 12 )∑i=1n
(cos (i ) )=¿ 12∑i=1
n [ sen(i+ 12 )+sen(−(i−12 ))]¿sen( 12 )∑i=1
n
(cos (i ) )=¿ 12∑i=1
n [ sen(i+ 12 )−sen( i−12 )]¿2 sen ( 12 )∑i=1
n
(cos (i ) )=¿∑i=1
n [sen (i+12 )−sen(i−12 )]¿
ANÁLISIS MATEMÁTICO III Mag. Mat. César Castañeda Campos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE HUANCAVELICA
Resolvemos el segundomiembro de la ecuaci ón ,usando :
∑i=1
n
( f ( i )−f ( i−1 ) )=f (n )−f (0 )…1ra regla telesc ó pica
Sea : f (i )=sen(i+ 12 ); f ( i−1 )=sen (i−12 )∑i=1
n [sen (i+12 )−sen(i−12 )]=sen (n+ 12 )−sen ( 12 )∑i=1
n [sen(i+12 )−sen(i−12 )]=sen(n+ 12 )−sen( 12 )Por lo tanto :
∑i=1
n
(cos (i ) )=¿−∑i=1
n [ sen(i+ 12 )−sen( i−12 )]2 sen ( 12 )
¿
∑i=1
n
(cos ( i ) )=¿sen (n+ 12 )−sen ( 12 )
2 sen( 12 )¿
16¿∑i=1
n
(i8 )
ANÁLISIS MATEMÁTICO III Mag. Mat. César Castañeda Campos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE HUANCAVELICA
Sabiendo que:
∑i=1
n
( f ( i )−f ( i−1 ) )=f (n )−f (0 )…1ra regla telesc ó pica
Sea : f ( i )=( i+1 )9
∑i=1
n
( ( i+1 )9−i9 )=(n+1 )9−1
∑i=1
n
( i9+9i8+36 i7+84 i6+126 i5+126 i4+84 i3+36 i2+9i+1−i9 )=n9+9n8+36n7+84 n6+126n5+126n4+84n3+36n2+9n+1−1
∑i=1
n
(9 i8+36 i7+84 i6+126 i5+126 i4+84 i3+36 i2+9 i+1 )=n9+9n8+36n7+84 n6+126n5+126n4+84n3+36n2+9n
9∑i=1
n
i8+36∑i=1
n
i7+84∑i=1
n
i6+126∑i=1
n
i5+126∑i=1
n
i4+84∑i=1
n
i3+36∑i=1
n
i2+9∑i=1
n
i+∑i=1
n
1=n9+9n8+36n7+84n6+126n5+126n4+84 n3+36n2+9n
ANÁLISIS MATEMÁTICO III Mag. Mat. César Castañeda Campos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE HUANCAVELICA
9∑i=1
n
i8+36( 3n8+12n7+14 n6−7n4+2n224 )+84 ( 6n7+21n6+21n5−7 n3+n42 )+126( 2n6+6 n5+5n4−n2
12 )+126( 6n5+15n4+10n3−n30 )+84 ( n4+2n3+n24 )+36( 2n3+3n2+n6 )+9( n2+n2 )+n=n9+9n8+36n7+84 n6+126n5+126n4+84n3+36n2+9n
9∑i=1
n
i8=n9+9n8+36n7+84n6+126n5+126 n4+84 n3+36n2+9n−n−92
(n2+n )−6 (2n3+3n2+n )−21 (n4+2n3+n2 )−215
(6n5+15n4+10n3−n )−212
(2n6+6n5+5n4−n2 )−2 (6 n7+21n6+21n5−7n3+n )−32
(3n8+12n7+14 n6−7 n4+2n2 )
9∑i=1
n
i8=n9+9n8+36n7+84n6+126n5+126 n4+84 n3+36n2+9n−n−92n2−9
2n−12n3−18n2−6n−21n4−42n3−21n2−126
5n5−63n4−42n3+ 21
5n−21n6−63n5−105
2n4+ 21
2n2−12n7−42n6−42n5+14 n3−2n−9
2n8−18n7−21n6+ 21
2n4−3n2
9∑i=1
n
i8=n9+n8(9−92 )+n7 (36−12−18 )+n6 (84−21−42−21 )+n5(126−1265 −63−42)+n4 (126−21−63−1052 + 212 )+n3 (84−12−42−42+14 )+n2(36−92−18−21+ 212 −3)+n(9−1−92−6+ 215 −2)
9∑i=1
n
i8=n9+ 92n8
+6 n7−215n5+2n3− 3
10n
9∑i=1
n
i8=10n9+45n8+60n7−42n5+20n3−3n
10
∑i=1
n
i8=n (10n8+45n7+60n6−42n4+20n2−3 )
90
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17¿
Aplicandola 1° regla telesc ó pica generalizada:
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19¿
Aplicandola 1° regla telesc ó pica :
21¿∑i=1
n
i9
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Sabiendo que:
∑i=1
n
( f ( i )−f ( i−1 ) )=f (n )−f (0 )…1ra regla telesc ó pica
Sea : f ( i )=( i+1 )10
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22¿
Aplicandola 1° regla telescópica generalizada:
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24¿
Aplicandola 1° regla telescópica :
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28¿∑i=1
n
senh (i )
RESOLUCION :
cos h ( i+1 )−cosh ( i−1 )=cos h ( i+1 )−cosh ( i−1 )…1
Por la identidad.
cosh (A+B )=cosh ( A ) cosh (B )+senh (A ) sen h (B )…2
cosh (A−B )=cosh ( A )cos h (B )−sen h (A ) senh (B )…3
Restando 2 y 3 se tiene.
cosh (A+B )−cosh ( A−B )=2 senh ( A ) senh (B )
Remplazando en 1 se tiene.
cos h ( i+1 )−cosh ( i−1 )=2 senh ( i ) senh (1 )
Aplicando sumatorias a ambos miembros se tiene.
∑i=1
n
[cosh (i+1 )−cosh ( i−1 ) ]=2 senh (1 )∑i=1
n
sen h (i )
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Analizando el primer miembro.
f (i+1 )=cosh ( i+1 ) , f (i−1)=cosh ( i−1 )
Entonces aplicamos la segunda regle telescópica.
⟹ f (n+1 )=cosh (n+1 ) , f (n)=cosh (n ) , f (1)=cosh (1 ) , f (0)=1
∑i=1
n
[cosh (i+1 )−cosh ( i−1 ) ]=2 senh (1 )∑i=1
n
sen h (i )
cosh (n+1 )+cosh (n )−cosh (1 )−1=2 sen h (1 )∑i=1
n
senh ( i )
∑i=1
n
senh (i )= cosh(n+1 )+cosh (n )−cosh (1 )−1
2 senh (1 )
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29¿∑i=1
n
cosh (i )
RESOLUCION
senh (i+1 )−sen h (i−1 )=senh ( i+1 )−sen h (i−1 )… .1
Por la identidad.
senh (A+B )=senh ( A ) cosh (B )+cos h ( A ) senh (B )……… ..2
senh (A−B )=senh ( A )cos h (B )−cosh ( A ) senh (B )………….3
Restando 2 y 3 se tiene.
senh (A+B )−senh ( A−B )=2cosh (A ) sen h (B )
Remplazando en 1 se tiene.
senh (i+1 )−sen h (i−1 )=2cosh ( i ) senh (1 )
Aplicando sumatorias a ambos miembros se tiene.
∑i=1
n
[senh (i+1 )−senh ( i−1 ) ]=2 senh (1 )∑i=1
n
cosh ( i )
Analizando el primer miembro.
f (i+1 )=senh ( i+1 ) , f (i−1)=senh ( i−1 )
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Entonces aplicamos la segunda regle telescópica.
⟹ f (n+1 )=senh (n+1 ) , f (n )=senh (n ) , f (1)=senh (1 ) , f (0 )=0
∑i=1
n
[senh (i+1 )−senh ( i−1 ) ]=2 senh (1 )∑i=1
n
cosh ( i )
senh (n+1 )+senh (n )−senh (1 )=2 senh (1 )∑i=1
n
cosh ( i )
∑i=1
n
cosh ( i )= senh (n+1 )+senh (n )−senh (1 )2 senh (1 )
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