SUPERFICIE DE REVOLUCION en autocad

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

SOLIDOS DE REVOLUCIÓN

1. MARCO TEORICO:

SUPERFICIE DE REVOLUCION

Superficie de revolución es la que genera una línea cualquiera, plana o de doble curvatura

al girar alrededor de un eje recto, llamado por ello eje de la superficie.

-Algunos ejemplos comunes de una superficie de revolución son:

Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea

recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un

volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia

entre el eje y la recta se denomina radio.

Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta

alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma

que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica

delimita al volumen denominado cono.

Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de un

semicírculo alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado

esfera.

Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una

circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta

superficie se denomina toro.

NOVIEMBRE DE 2011 Página 1

http://es.wikipedia.org/wiki/Recta

http://es.wikipedia.org/wiki/Toro_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Esfera

http://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metro

http://es.wikipedia.org/wiki/Semic%C3%ADrculo

http://es.wikipedia.org/wiki/Cono_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Volumen_(f%C3%ADsica)

http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido_de_revoluci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Cilindro_(geometr%C3%ADa)


2. APLICACIONES

Algunos ejercicios de creación realizados por los alumnos de la clase de Perspectiva de la Facultad de Bellas Artes. La inventiva de las escenas es libre, pero tienen el condicionante de los trazados geométricos de superficies de revolución, en el contexto perspectivo, a semejanza de las superficies y los métodos estudiados en clase.

Frente al rigor y la uniformidad que suponen los problemas geométricos de la perspectiva, se brinda al alumno de Bellas Artes la oportunidad de desarrollar su personal creatividad, comprobando la compatibilidad de la exigencia matemática con la libertad expresiva de su arte.

3. GENERACIÓN DE FAS SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN:

Supongamos en montea (figura 1), una línea cualquiera representada per sus proyecciones

AH BH CH . . . AF BF CF . . . que gira alrededor de un eje vertical UF VF , generando así una superficie

de revolución. La línea cualquiera será en consecuencia generatriz de la superficie.



Al girar esta línea, todos sus puntos describen círculos contenidos en planos horizontales

(ver rotaciones), cuyos radios serán respectivamente, las distancias de cada uno de ellos al eje; por

definición, las perpendiculares de éstos al eje.

Este movimiento

rotatorio queda

representado en montea en

proyección horizontal, por

el conjunto de círculos

que han descrito los

puntos, y que tienen como

centro común la

proyección integra del eje;

mientras en la vertical, el

movimiento se representa

por las rectas paralelas a

LT, proyecciones de los

planos horizontales,

paralelos entre sí, que

contienen a dichos

círculos, los que por esta

razón, se denominan

círculos paralelos de la

superficie.

Las anchuras

extremas que a uno y otro

lado del eje pueden tener

los puntos en su

movimiento circular y que,

como se ve en la montea,

corresponden a

proyectantes


A1F

B1F

C1F

D1F

E1F

F1F

G1F

AF

CF

DF

EF

FF

GF VFG2F

F2F

E2F

D2F

C2F

B2F

B2F

H

BF

VF

UF

A1HB1H C1H

E1H

F1H

G1H

AH

BH

CH

DH

EH

FH

GH

UH VH

B2HB2HC2H

D2HE2H

F2H

G2H

F

A1F

B1F

C1F

D1F

E1F

F1F

G1F

AH

CH

DH

FH

G2F

F2F

E2F

D2F

C2F

B2F

A2F

H

BH

VF

UF

A1HB1H C1H

E1H

F1H

G1H

UH VH

B2HB2HC2H

D2HE2H

F2H

G2H

F

GHEH

AF

BF

CF

DF

EF

FF

GF


perpendiculares a LT, tangentes a los círculos de la proyección Fig. 1

horizontal en puntos

A1H B1H C1H . . . A2H

B2H C2H . . . ;

determinan en la vertical

dos líneas, A1F B1F C1F .

. . A2F B2F C2F . ., que

limitan la

figura en esa proyección

y que llamaremos

contorno aparente de la

superficie.

Si

observamos ahora la

proyección horizontal,

veremos que de todos

los círculos paralelos

hay uno de diámetro

máximo, el ecuador de

In superficie,

determinado por las

proyectantes tangentes

exteriores, al contorno

aparente de la

proyección vertical, en

los puritos F1F y F2F

hay otro de diámetro

mínimo,

correspondiente a las

tangentes interiores de

ese mismo contorno en

C1F C2F , que llamamos collar de la superficie. Estos dos círculos característicos constituyen el



contorno aparente Fig. 2 dc la

proyección horizontal.

En general, los contornos aparentes son

diferentes para cada proyección de una superficie dada,

y varían según la posición que ésta guarde respecto de

los planos de proyección.

Plano meridiano de una superficie de

revolución (figura 3), os todo aquel como VX, que la

corta pasando por su eje. La intersección del plano

meridiano con la superficie, so denomina línea

meridiana y esta determinada por los puntos A2H B2H

C2H . . . ,en

que este plano corta a los círculos paralelos

en la proyección horizontal; con sus correspondientes

proyecciones verticales A2F B2F C2F . . . Esta

meridiana es entonces una línea plana, que al girar

alrededor del eje genera la misma superficie que

venimos tratando por lo cual es también generatriz Fig. 3

de ella, considerándose como su generatriz característica.

Cuando el plano meridiano está en posición frontal VY, la línea meridiana tiene

proyección vertical en verdadera longitud y magnitud, A1F B1F C1F . . . A2F B2F C2F . . , llamándose

entonces meridiano principal.

En el caso que se presenta, la meridiana principal se confunde con el contorno aparente

por la especial posición de la superficie.

En términos de arquitectura, la meridiana principal de un elemento arquitectónico de

revolución, se llama galibo.


ecuador

collar

ecuador

collar

e

cc

e

F

H


Como idea

general debe aclararse

que una misma superficie

puede tener varios

ecuadores y varios

collares (figure 3), que

corresponderán

respectivamente dentro

del concepto matemático

dc máximos y mínimos,

a taritas tangentes

exteriores e interiores,

como puedan trazarse a

la meridiana principal.

La montea final

(figura 4) muestra todos

los elementos qua hemos

descrito en esta

superficie: el eje UF VF ;

una línea cualquiera, AF

BF CF . . . AH BH CH . . .

generatriz de la

superficie; una meridiana

cualquier A2F B2F C2F

. . . A2H B2H C2H . . ., y

la posición de la

meridiana principal, A1F

B1F C1F . . . A1H B1H

C1H . . ., los círculos

paralelos, cuyas

proyecciones horizontales son círculos Fig. 4


A1F

B1F

C1F

D1F

E1F

F1F

G1F

AF

CF

DF

EF

FF

GF VFG2F

F2F

E2F

D2F

C2F

B2F

A2F

H

BF

VF

UF

A1HB1H C1H

E1H

F1H

G1H

AH

BH

CH

DH

EH

FH

GH

UH VH

A2HB2HC2H

D2HE2H

F2H

G2H

F

A3H

C3H

D3H

F3H

B3H

G3H

E3H

A3F

B3F

C3F

D3F

E3F

F3F

G3F

collar

ecuador


concéntricos en V, mientras sus

proyecciones verticales son líneas paralelas

a LT, destacándose entre ellos, el ecuador y

el collar.

La isométrica (figura 5) muestra

en al espacio esos elementos: meridiana

principal M; línea cualquiera dc la

superficie Q; los círculos paralelos,

entre los cuales se destacan con línea gruesa

el ecuador E y el collar C. Nótese que

mientras la meridiana principal está

contenida en un plano. La línea cualquiera

es de doble curvatura; sin embargo, los

puntos homólogos de esas dos líneas, tienen

el mismo radio puesto que se encuentran

sobre el mismo circulo paralelo, siendo

ambas a la vez, generatrices de la superficie. Fig. 5 .

Las proyecciones mencionadas se invierten, cuando el eje de revolución sea una recta de

punta.

La generación descrita depende de un punto de vista puramente geométrico, pues la

construcción mecánica de estas superficies, responde, por lo regular, a una generación helicoidal

según la cual, la superficie se genera por la sobreposición de una serie de hélices de paso mínimo e

infinitamente próximas.

Ejemplo de esta generación lo

proporciona el torneado de superficies; la

herramienta cortante, describe esas hélices sobre la

superficie que gira en el torno, alrededor de su eje

de revolución. Fig. 6


C

MQ

E

polo


Si en una superficie de

revolución (figura 6) se puede trazar una

recta tangente a la meridiana,

que sea perpendicular al eje, el

punto de tangencia obtenido se llama polo,

y las tangentes en ese mismo punto (figura

7) a todas las meridianas que pasan por él,

determinan un plano tangente a la

superficie en ese polo; para conocer ese

plano, sabemos ya que es suficiente trazar Fig. 7

solo dos de esas tangentes.

Cuando no- existe la posibilidad de esa

tangente perpendicular al eje (figura 8), cada meridiana

puede tener en su mismo plano una tangente en

cualquier punto de ella, que necesariamente corta al eje;

ahora bien, las tangentes en puntos homólogos de las

meridianas (figura 358), cortan al eje en un mismo

punto, generándose un cono tangente a la superficie,

cuyo vértice V, se encuentra en el eje y se denomina

vértice de la superficie.

Fig. 8

Fig. 9


polo

vértice

vértice

C

A

B D

E


4. CARACTERÍSTICAS DE FAS SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN:

Hemos visto ya que la forma más clara de

representar en montea una superficie dc revolución,

consiste en dar las proyecciones de su meridiana

principal, y las dc su ecuador y collar, estos últimos si lo

tiene. De acuerdo con esto vamos a estudiar las monteas

de superficies generadas por las curves geométricas más

conocidas.

a) Esfera: (figura 10). Superficie generada por

un círculo que gira alrededor de uno cualquiera de sus

diámetros, es el cuerpo de revolución por excelencia,

pues Su contorno es siempre el mismo en cualquier

proyección. Se ha llamado forma o cuerpo perfecto por

sus Fig. 10.1 propiedades

universales de simetría: polar, axial o planar en relación con

su centro, de las cuales Se derivan multitud de aplicaciones

geométricas y físicas.

Para determinar una esfera es necesario conocer su

centro O en el espacio y Su radio.

En montea. La meridiana principal que es un

círculo frontal, se proyecta en proyección horizontal en una

recta MH paralela a LT que pasa por el centro O, y tiene como longitud el diámetro de la esfera; en

tanto la vertical Fig. 10.2 es un círculo MF, con el centro y radio

dados. El ecuador, en cambio, es un círculo horizontal, por tanto, su proyección vertical EF es una

recta paralela a LT pasando por el centro, O es decir el diámetro horizontal de la meridiana, y la

horizontal, un círculo igual a ella.

b) Toro de revolución: (figura 11). Superficie generada por un círculo que gira sobre un

eje exterior a él, pero en el mismo plano. En montea. Su meridiana principal se proyecta en

proyección vertical como un círculo MF, o como dos círculos iguales y Simétricos respecto del eje,


H

F

MH

EH

MF

EF

OH

OF

M

E

O


cuyos centros tienen igual altura. En proyección

horizontal, la meridiana principal se proyecta íntegra en la

recta MH paralela a LT, proyección del plano frontal

que la contiene.

Esta superficie tiene ecuador y collar, ambos en

el mismo plano horizontal; por lo que sus respectivas

proyecciones verticales EF y CF, Se proyectan en una

recta paralela a LT que pasa por los centros de la

meridiana; las proyecciones horizontales EH y CH , son

círculos concéntricos en el eje del toro, y con radios

correspondientes, respectivamente, a la amplitud Fig. 11.1 entre las

tangentes exteriores e interiores de la meridiana.

Por extensión se llama toro a toda superficie

que afecte una forma semejante a la descrita, aunque la meridiana

principal no sea circular.

c) Elipsoide de revolución o isósceles: Es toda

superficie generada por una elipse que gira sobre uno de sus ejes Fig. 11.2

principales; se presentan dos casos, según que se tome uno u

otro de estos ejes para la rotación. Cuando la elipse gira

sobre Su eje mayor tenemos el elipsoide peraltado (figura

12), en cuyo caso la meridiana principal, es una elipse que se

proyecta en verdadera forma y magnitud en proyección

vertical MF; mientras en la horizontal lo hace en la recta MH

paralela a LT, que tiene como longitud el eje menor. El

ecuador se representa en proyección vertical EF por el eje

menor de la elipse meridiana, y su proyección horizontal EH,

será por tanto un círculo cuyo diámetro es igual a ese eje.

Si la elipse gira sobre el eje menor, se genera el

elipsoide rebajado (figura 13). La meridiana principal será

en proyección vertical, una elipse MF, que en la horizontal Fig. 12.1


MH CHEH

MFEF CF

HF

EF

MF

OF

MH

OH

EH

HF

M

MC

E


se proyecta en MH paralela a LT; en tanto el ecuador será en

proyección vertical EF, el eje mayor de esa elipse, teniendo

como proyección horizontal un círculo EH, cuyo diámetro es

ese mismo eje. Se pueden establecer entre la esfera y el

elipsoide, relaciones semejantes a las existentes entre

círculo y elipse.

d) Paraboloide de revolución (figura 14).

Superficie generada por una parábola que gira Sobre su eje.

En montea. La meridiana principal es una parábola, Fig. 12.2

MFMH; pero dado que dicha curva se extiende

infinitamente la superficie generada no tendrá jamás un

ecuador sino una serie de círculos paralelos hasta el

infinito.

e) Hiperboloide de revolución: Superficie

generada por una hipérbola que gira alrededor de uno de

sus ejes. Puesto que la hipérbola es una curva de dos

ramas, se presentan también dos casos,

Hiperboloide de revolución de un manto

(figura 15): Superficie generada por una hipérbola que

gira alrededor de su eje transversal.

En montea. La meridiana principal MFMH se representa Fig. 13.1

por las dos ramas de la hipérbola, iguales y simétricas

respecto al eje de revolución; el collar de la superficie CFCH ,

se establece entre los vértices de las dos ramas de la curva y

como éstas se extienden infinitamente la superficie jamás

llega a tener ecuador.

Hiperboloide de revolución de dos mantos (figura

16). Superficie generada por una hipérbola que gira alrededor

de su eje focal; de este modo cada una de las ramas Fig. 13.2


M

E

O

EF

MF

OF

MH

OH

EH

HF

M

E

O


de la hipérliola, genera un casquete hiperbólico; la

superficie está constituida entonces por dos casquetes

iguales y simétricos que se denominan mantos.

En montea. La meridiana MFMH está

representada por las dos ramas de la hipérbola, pero por la

propiedad enunciada para las dos ramas de esta curva,

ninguno de los mantos tiene ecuador ni collar.

Respecto a las superficies de dos mantos, cabe

recordar que en arquitectura generalmente se emplea sólo

uno de ellos, aunque Se le denomine por el nombre de

toda la Superficie como Si Se tratara de los dos mantos.

f) superficies de revolución generada: por una

recta. Se presentan tres casos correspondientes a igual

número de Superficies:

1º La recta es paralela al eje de revolución.

La Superficie generada es el cilindro recto o Fig. 14.1

de revolución (figura 16), es decir un cilindro cuya sección recta es circular.

2º La recta corta al eje de revolución. La superficie

generada será el cono recto o de revolución (figura 17); cono cuyo

vértice es el punto de intersección de la recta con el eje, y que

tiene como directriz un círculo perpendicular al eje, con su centro

en él.

3º La recta no es coplanar con el eje. (No lo corta ni le

es paralelo.) La Superficie que ahora resulte, será un hiperboloide

de revolución de un manto.

Cabe advertir que en los dos primeros casos, la recta es Fig. 14.2

meridiana de la superficie; no así en el


HF

PH

MH

MF

PF

M

P


tercero, que, como sabemos, tiene por

meridiana una hipérbola.

Estas tres superficies son de especial

interés, por participar simultáneamente de las

propiedades inherentes a sus varias formas de

generación.

. Fig. 15.1

Fig. 15.2

Fig. 16.2


HF

MHP1H

P2H

CH

CF

MF

P1F

P2F

CF

M

P2

P1

C

P1

P2

M


Fig. 16.1 Fig. 17.1

Fig. 17.2


HF

MH

P1H

P2H

MF

P1F

P2F

HF

MH

MF

M


Fig. 18.2

Fig. 18.1

5. FORMULAS PARA CALCULAR EL AREA DE SUPERFICIES DE REVOLUCION

SUPERFICIE


HF

MH

MF

VH

VF

M

V


cono

tronco cónico

cilindro

esferoide achatado

prolato esferoide

esfera

toro

zona


http://mathworld.wolfram.com/Zone.html

http://mathworld.wolfram.com/Torus.html

http://mathworld.wolfram.com/Sphere.html

http://mathworld.wolfram.com/ProlateSpheroid.html

http://mathworld.wolfram.com/OblateSpheroid.html

http://mathworld.wolfram.com/Cylinder.html

http://mathworld.wolfram.com/ConicalFrustum.html

http://mathworld.wolfram.com/Cone.html

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