SuperficiesSuperficies

INGENIERÍA INDUSTRIALINGENIERÍA INDUSTRIAL

OCTUBRE 2010OCTUBRE 2010

Objetivo:Objetivo:Identificar y graficar superficies Identificar y graficar superficies

cilíndricas, cuadráticas y de cilíndricas, cuadráticas y de revolución.revolución.

Cilindros, superficies cuadráticas y Cilindros, superficies cuadráticas y superficies de revolución.superficies de revolución.

TemaTema

Clasificación de las superficies Clasificación de las superficies en el espacio:en el espacio:

EsferaPlanoPlanoSuperficies cilíndricas o cilindrosSuperficies cilíndricas o cilindrosSuperficies cuadráticasSuperficies cuadráticasSuperficies de RevoluciónSuperficies de Revolución

EsferaEsfera

Una esfera con centro en (xUna esfera con centro en (x00, y, y00, , zz00) y radio r se define como el ) y radio r se define como el conjunto de puntos (x,y,z) cuya conjunto de puntos (x,y,z) cuya distancia a (xdistancia a (x00, y, y00, z, z00) es r.) es r.

La ecuación canónica de una esfera La ecuación canónica de una esfera es:es:(x-x(x-x00))22 + (y-y + (y-y00))22 + (z-z + (z-z00))22 = r = r22..

PlanoPlanoUn plano que contiene el Un plano que contiene el punto P(xpunto P(x11, y, y11, z, z11) es el ) es el conjunto de todos los puntos conjunto de todos los puntos Q(x, y, z) para los que el Q(x, y, z) para los que el vector vector PQPQ es perpendicular es perpendicular a un vector a un vector

nn = (a, b, c) = (a, b, c)

La ecuación de un plano en el espacio es:La ecuación de un plano en el espacio es:a (x-xa (x-x11) + b (y-y) + b (y-y11) + c (z-z) + c (z-z11) = 0) = 0 (forma (forma

canónica)canónica)a x + by + cz + d = 0a x + by + cz + d = 0 (ecuación general)(ecuación general)

Superficies CilíndricasSuperficies Cilíndricas(Cilindros)(Cilindros)

El conjunto de todas las rectas paralelas que El conjunto de todas las rectas paralelas que cortan a una curva C se llama cilindro de curva cortan a una curva C se llama cilindro de curva directriz C. Cada una de esas rectas paralelas se directriz C. Cada una de esas rectas paralelas se llama una recta generatriz del cilindro.llama una recta generatriz del cilindro.

Si la generatriz es Si la generatriz es perpendicular al plano perpendicular al plano que contiene la que contiene la directriz, se dice que directriz, se dice que es un cilindro recto.es un cilindro recto.

Cilindro Circular Recto x2 + y2 = 4

Cilindros (cont.)Cilindros (cont.)La ecuación de un cilindro cuyas generatrices son paralelas a uno de los ejes de coordenadas contiene solo las variables correspondientes a los otros dos ejes.

16416

22

zx2

1y

z xy sen2

Superficies cuadráticasSuperficies cuadráticasSu ecuación es de la forma:Su ecuación es de la forma:AxAx22 + By + By22 + Cz + Cz22 + Dxy + Exz + Fyz+ + Dxy + Exz + Fyz+ + Gx + Hy + Iz + J = 0+ Gx + Hy + Iz + J = 0Existen 6 tipos:Existen 6 tipos:1.1. ElipsoideElipsoide2.2. Hiperboloide de una hojaHiperboloide de una hoja3.3. Hiperboloide de dos hojasHiperboloide de dos hojas4.4. Cono elípticoCono elíptico5.5. Paraboloide elípticoParaboloide elíptico6.6. Paraboloide hiperbólicoParaboloide hiperbólico

ElipsoideElipsoide

TrazasTrazasxy: Elipse

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

12

2

2

2

by

ax

12

2

2

2

cz

ax

12

2

2

2

cz

by

xz: Elipse

yz: Elipse

HiperboloideHiperboloidede una hojade una hoja 12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

12

2

2

2

by

ax

12

2

2

2

cz

ax

12

2

2

2

cz

by

xz: Hipérbola

yz: Hipérbola

TrazasTrazas

xy: Elipse

HiperboloideHiperboloidede dos hojasde dos hojas 12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

12

2

2

2

by

ax

12

2

2

2

cz

ax

kcz

by 2

2

2

2

xz: Hipérbola

(|x|>0) Elipse yz: (x=0) No existe

TrazasTrazasxy: Hipérbola

Cono ElípticoCono Elíptico 02

2

2

2

2

2

cz

by

ax

kby

ax 2

2

2

2

cazx

cbzy

kcz

ax 2

2

2

2

kcz

by

2

2

2

2

(|z|>0) Elipse

xz: (y=0) Rectas (|y|>0) Hipérbola

yz: (x=0) Rectas (|x|>0) Hipérbola

TrazasTrazas

xy: (z=0) Punto

ParaboloideParaboloideElípticoElíptico 02

2

2

2

zby

ax

kby

ax 2

2

2

2

2

2

axz

2

2

byz

(z>0) Elipse

xz: Parábola

yz: Parábola

TrazasTrazas

xy: (z=0) Punto

ParaboloideParaboloideHiperbólicoHiperbólico 02

2

2

2

zax

by

kax

by 2

2

2

2

2

2

axz

2

2

byz

(|z|>0) Hipérbola

yz: Parábola

xz: Parábola

xaby

TrazasTrazas

xy: (z=0) Recta

Superficies de Superficies de RevoluciónRevolución

Si la gráfica de una función con radio r gira en torno a Si la gráfica de una función con radio r gira en torno a uno de los ejes de coordenadas, la ecuación de la uno de los ejes de coordenadas, la ecuación de la superficie resultante tiene una de las siguientes formas:superficie resultante tiene una de las siguientes formas:

1. En torno al eje x:1. En torno al eje x: yy22 + z + z22 = [r(x)] = [r(x)]22

2. En torno al eje y: 2. En torno al eje y: xx22 + z + z22 = [r(y)] = [r(y)]22

3. En torno al eje z:3. En torno al eje z: x x22 + y + y22 = [r(z)] = [r(z)]22

Ejemplo de Superficies Ejemplo de Superficies de Revoluciónde Revolución

Al girar la gráfica de la función f(x) = f(x) = xx22+1+1 en torno al eje x

se genera la gráfica de la funciónyy22 + z + z22 = (x = (x22 + +

1)1)22.

radio

Resumes Resumes de de

superficiessuperficies

Conos:El cono es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfascen una relación de la forma

x2 y2 z2

a2 b2 c2

x2 y2 z2

a2 b2c2

x2 y2 z2

a2b2 c2+ + + + + += 0, = 0, = 0

Cono Elípticoy

x

z

Paraboloide ElipticoParaboloide Eliptico

El Paraboloide elíptico es el lugar geometrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma.

x2 y2 x2 z2 y2 z2 + = c2 z , + = b2 y , + = a2 xa2 b2 a2 c2 b2 c2

y

x

z

( x – h )2 ( y – k )2 + = c2 ( z – j ) a2 b2

Si a = b , se tiene un paraboloide de revolución, que se obtiene haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.

La ecuación general del Paraboloide La ecuación general del Paraboloide elíptico en el espacio tiene la forma:elíptico en el espacio tiene la forma:

Paraboloide Hiperbólico

El Paraboloide Hiperbólico es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma.

x2 y2 x2 z2 y2 z2 - = c2 z , - = b2 y , - = a2 xa2 b2 a2 c2 b2 c2

x

y

z

La ecuación general del Paraboloide Hiperbólico en el espacio tiene la forma

( x – h )2 ( y – k )2 - = c2 ( z – j ) a2 b2

Hiperboloide de una Hoja El Hiperboloide de una Hoja es el lugar geométrico de

todos los puntos que satisfacen una relación de la forma

x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 + - = 1, - + = 1, - + + = 1a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2

x

y

z

La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja en el espacio es

( x – h )2 ( y – k )2 ( z – j ) 2

+ - = 1 a2 b2 c2

Si a = b se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.

( x – h )2 ( y – k )2 ( z – j ) 2

- + = 1 a2 b2 c2

Hiperboloide de dos Hojas La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja en el

espacio es( x – h )2 ( y – k )2 ( z – j ) 2

- - = 1 a2 b2 c2

Si b = c se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.

x

y

z

El Hiperboloide de dos Hojas es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma

x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 - - = 1, - + - = 1, - - + = 1a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2

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