CÁLCULO VECTORIAL

TEMA 10

SUPERFICIES PARAMÉTRICAS

En notas anteriores estudiamos un objeto geométrico de una dimensión conocido comocurva paramétrica. Es hora de pasar al estudio de objetos geométricos con una dimensiónmás, conocidos como superficies. La idea es hacer un análisis similar al estudio de curvas,es decir, empezaremos por entender qué significa parametrizar una superficie. Luego,para cierto tipo de parametrizaciones, veremos cómo construir el plano tangente a unasuperficie en un punto. Otro aspecto importante será el mostrar cómo calcular el área deuna superficie no necesariamente plana. Finalmente, aprenderemos qué significa que unasuperficie esté orientada.

10.1 Parametrizaciones de superficies

Empecemos definiendo nuestro objeto de estudio en estas notas.

Definición 10.1.1. Una superficie parametrizada es un conjunto de la forma S = X(U),donde U es un subconjunto abierto de R2 y X : U ⊆ R2 → R3 es un campo vectorial con-tinuo, conocido como parametrización de S. Cada punto de S se representa como X(u, v) =(x(u, v), y(u, v), z(u, v)). A las variables u y v se les llama parámetros.

El concepto de superficie seguramente no parece algo nuevo para el lector. En efecto, yase ha tenido un contacto con ejemplos particulares de superficies en el curso anterior deCDIVV, a saber, las gráficas de funciones de dos variables y las superficies de nivel defunciones de tres variables. El primero de éstos se trata de una superficie paramétrica,como detallaremos en breve. Sin embargo, las superficies de nivel no necesariamente sonparamétricas, porque no siempre es posible hallar una función X : U ⊆ R2 → R3 quecubra toda la superficie. Lo bueno es que, bajo ciertas condiciones, se puede parametrizar

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una superficie de nivel localmente, e ir cubriéndola con varias parametrizaciones. Parahacer una analogía, es como si se tratase de cartografiar un país, donde tenemos un mapapara cada región dentro del mismo, y nos hacemos una idea global de su geografía a partirde un atlas formado por estos mapas.

Ejemplo 10.1.2. Los siguientes son ejemplos de superficies paramétricas:

1. Gráfica de una función de dos variables: Dada una función continua f : V ⊆ R2 → R3,su gráfica G(f) ⊆ R3 es una superficie paramétrica, con parametrizaciónX : V → R3 dadapor

X(u, v) = (u, v, f(u, v)), para todo (u, v) ∈ V.

Figura 10.1: Gráfico de una función

2. Hemisferios de una esfera: El campoX : U → R3, con U = {(u, v) ∈ R2 : u2 + v2 < 1},dado por

X(u, v) = (u, v,√

1− u2 − v2)

es una parametrización del hemisferio norte de la esfera S2 (sin incluir el Ecuador).

Figura 10.2: Polo norte

Es claro que no es posible cubrir toda la esfera con la parametrización anterior. Sin embargo,podemos obtener una descripción completa de la esfera mediante un atlas formado por variasparametrizaciones que cubren cada hemisferio: norte, sur, oriental, occdidental, frontal yposterior. Tales parametrizaciones vienen dadas por:

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Hemisferio norte: (u, v) 7→ (u, v,√

1− u2 − v2)Hemisferio sur: (u, v) 7→ (u, v,−

√1− u2 − v2)

Hemisferio oriental: (u, v) 7→ (u,√

1− u2 − v2, v)Hemisferio occidental: (u, v) 7→ (u,−

√1− u2 − v2, v)

Hemisferio frontal: (u, v) 7→ (√

1− u2 − v2, u, v)Hemisferio posterior: (u, v) 7→ (−

√1− u2 − v2, u, v)

Figura 10.3: Cartas esféricas para cada hemisfero de S2.

3. Coordenadas esféricas: El campoX : U → R3, con U = (0, 2π)× (0, π/2), dado por

X(u, v) = (cos(u) sin(v), sin(u) sin(v), cos(v))

es una parametrización del polo norte de la esfera S2, que no incluye ni el Ecuador ni elmeridiano 0.

Figura 10.4: Coordenadas esféricas

3

10.2 Plano tangente

Cuando estudiamos curvas paramétricas en notas anteriores, vimos que no siempre esposible definir la recta tangente que pasa por un punto dado de la curva. Por ejemplo, enpuntos donde la curva presenta picos, esto no es posible. Es por eso que nos restringimosa curvas regulares para no tener problemas a la hora de definir la recta tangente a la curvaen cualquiera de sus puntos. Un enfoque similar se presenta a la hora de estudiar super-ficies paramétricas. El concepto de plano tangente a una superficie en un punto será elanálogo de recta tangente. Acá también puede darse la imposibilidad de definir el planotangente en uno o más puntos de la superficie paramétrica. Es por eso que nos restringire-mos a un tipo especial de parametrizaciones, que definimos a continuación.

Definición 10.2.1. Sea S una superficie paramétrica, con parametrización X : U ⊆ R2 → R3.Decimos queX es regular (o suave) si es de claseC1 y la transformación diferencial dXx0 : R2 →R3 es inyectiva, para todo punto x0 ∈ U .1

En términos matriciales, dXx0 está representada la matriz Jacobiana

JX(x0) =

∂x∂u(x0) ∂x∂v (x0)∂y∂u

(x0)∂y∂v

(x0)∂z∂u

(x0)∂z∂v

(x0)

, dondeX(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).Entonces, son equivalentes:

(a) dXx0 es inyectiva.

(b) JX(x0) tiene rango 2.

(c) Los vectores ∂X∂u

(x0) =(∂x∂u

(x0),∂y∂u

(x0),∂z∂u

(x0))

y ∂X∂v

(x0) =(∂x∂v

(x0),∂y∂v

(x0),∂z∂v

(x0))

son linealmente independientes. Éstos también se denotan comoXu(x0) yXv(x0).

(d) ∂X∂u

(x0)× ∂X∂v (x0) 6= 0.

Ejemplo 10.2.2. Estudiemos la regularidad en las siguientes parametrizaciones para superficiesconocidas:

1. Esfera unitaria S2: Consideremos la parametrización

X(u, v) = (sin(u) cos(v), sin(u) sin(v), cos(u)),

sobre el abierto (0, π)× (0, 2π), que cubre a toda la esfera menos al meridiano 0. Calculemos

1Se puede permitir que U no sea abierto. En estos casos, pedimos que X sea regular al menos sobre U◦, esdecir, que de haber puntos en U dondeX no es regular, entonces tales puntos están en ∂U .

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dXx0 y el producto vectorial∂X∂u

(x0)× ∂X∂v (x0) para x0 = (u, v):

dXx0 =

cos(u) cos(v) − sin(u) sin(v)cos(u) sin(v) sin(u) cos(v)− sin(u) 0

,∂X

∂u(x0)×

∂X

∂v(x0) =

∣∣∣∣∣∣i j k

cos(u) cos(v) cos(u) sin(v) − sin(u)− sin(u) sin(v) sin(u) cos(v) 0

∣∣∣∣∣∣= (sin2(u) cos(v), sin2(u) sin(v), cos(u) sin(u)).

Notamos que ∂X∂u

(x0)× ∂X∂v (x0) = 0 si, y solo si,sin2(u) cos(v) = 0,sin2(u) sin(v) = 0,cos(u) sin(u) = 0.

Lo anterior implica que cos(u) = 0 o sin(u) = 0. Sin embargo, sin(u) 6= 0 ya que u ∈ (0, π),lo cual implica que sin(v) = 0 y cos(v) = 0, y esto es una contradicción. Por lo tanto,∂X∂u

(x0)× ∂X∂v (x0) 6= 0, de dondeX es regular.

2. Bicono circular: El bicono circular tiene por ecuación z2 = z2 + y2. Su parte con altuna nonegativa (z ≥ 0) acepta la parametrizaciónX : R2 → R3 dada por

X(u, v) = (u, v,√u2 + v2).

Figura 10.5: Bicono circular

Notamos queX(R2) es la gráfica de la función f : R2 → R dada por f(u, v) =√u2 + v2, la

cual no es diferenciable en (0, 0). Por lo tanto,X no es una parametrización regular.

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De manera más general, si f : U ⊆ R2 → R una función de clase C1, entonces el gráfico def tiene parametrización regularX(u, v) = (u, v, f(u, v)). Tenemos que

dXx0 =

1 00 1∂f∂u

(x0)∂f∂v

(x0)

,donde ∂f

∂u(x0) y ∂f∂v (x0) existen por ser f ciable. Luego,

∂X

∂u(x0)×

∂X

∂v(x0) =

∣∣∣∣∣∣i j k

1 0 ∂f∂u

(x0)

0 1 ∂f∂v

(x0)

∣∣∣∣∣∣ =(−∂f∂u

(x0),−∂f

∂v(x0), 1

)6= 0.

Volviendo al bicono, consideremos otra parametrización Y : (0,+∞) × (0, 2π) → R3 dadapor

Y (u, v) = (u cos(v), u sin(v), u),

que cubre la parte positiva a excepción de la recta x = z e y = 0.

Figura 10.6: Parametrización del cono en coordenadas polares

En este caso, el diferencial dYx0 viene dado por

dYx0 =

cos(v) −u sin(v)sin(v) u cos(v)1 0

.Luego,

∂X

∂u(x0)×

∂X

∂v(x0) =

∣∣∣∣∣∣i j k

cos(v) sin(v) 1−u sin(v) u cos(v) 0

∣∣∣∣∣∣ = (−u cos(v),−u sin(v), u) 6= 0.Por lo tanto, la parametrización Y sí es regular.

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3. Superficie de tangentes a una curva alabeada (no plana): Sea α : I → R3 una curvaalabeada y regular, donde I es un intervalo abierto, parametrizada por longitud de arco y concurvatura no nula. Consideremos el campo vectorialX : R× I → R3 dado por

X(u, s) = α(s) + ut(s).

Es decir, X asigna a cada par (u, s) la recta tangente a α que pasa por α(s). Al conjuntoX(R× I) ⊆ R3 se le conoce como la superficie de tangentes a la curva α.

Figura 10.7: Superficie de tangentes

Estudiemos siX es regular. El diferencial dXx0 tiene por columnas los vectores

∂X

∂u(x0) = t(s),

∂X

∂s(x0) = t(s) + ut

′(s) = t(s) + ukα(s)n(s).

Luego,

∂X

∂u(x0)×

∂X

∂s(x0) = uk(s)b(s).

Tenemos que ∂X∂u

(x0)× ∂X∂s (x0) 6= 0 si, y sólo si, u = 0. Para u = 0, se obtienen los puntosque corresponden a la curva α. Entonces, la superficie de tangentes no presenta regularidaden α(I).

4. Tubos alrededor de una curva: Considérese una curva α : I → R3 como en el ejemploanterior, y sea {t(s),n(s), b(s)} el triedro de Frénet-Sêrret en α(s). Para θ ∈ (0, 2π), lacombinación cos(θ)n(s) + sin(θ)b(s) representa un punto de la circunferencia de radio 1,centrada en α(s) y contenida en el plano perpendicular a la recta generada por t(s).

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Figura 10.8: Circunferencia perpendicular al versor tangente.

La parametrizaciónX(s, θ) = cos(θ)n(s) + sin(θ)b(s),

con θ ∈ (0, 2π) y s ∈ I , define un tubo circular de radio 1 alrededor de la curva α, excep-tuando el corte correspondiente a θ = 0.

Figura 10.9: Tubo alrededor de α.

Estudiemos la regularidad. El diferencial dXx0 viene dado por:

∂X

∂s(x0) = cos(θ)n

′(s) + sin(θ)b′(s)

= cos(θ)(−k(s)t(s) + τ(s)b(s)) + sin(θ)(−τ(s)n(s)),= − cos(θ)k(s)t(s)− sin(θ)τ(s)n(s) + cos(θ)τ(s)b(s),

∂X

∂θ(x0) = − sin(θ)n(s) + cos(θ)b(s).

Luego,

∂X

∂s(x0)×

∂X

∂θ(x0) = (− cos(θ)k(s)t(s)− sin(θ)τ(s)n(s) + cos(θ)τ(s)b(s))

× (− sin(θ)n(s) + cos(θ)b(s))= sin(θ) cos(θ)k(s)t(s)× n(s)− cos2(θ)k(s)t(s)× b(s)− sin(θ) cos(θ)τ(s)n(s)× b(s)− sin(θ) cos(θ)τ(s)b(s)× n(s)

= sin(θ) cos(θ)k(s)b(s)− cos2(θ)k(s)n(s).

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Como b(s) y n(s) son linealmente independientes, tenemos que ∂X∂s

(x0) × ∂X∂θ (x0) = 0 si,y sólo si, sin(θ) cos(θ)k(s) = 0 y cos2(θ)k(s) = 0. Al ser α de curvatura no nula, tenemosque ∂X

∂s(x0)× ∂X∂θ (x0) = 0 si, y solo si, sin(θ) cos(θ) = 0 y cos(θ) = 0, es decir, cos(θ) = 0.

Por lo tanto,X no presenta regularidad en los puntos donde θ = π/2, 3π/2.

Dada una parametrización regular X : U ⊆ R2 → R3 de una superficie paramétrica S,fijemos un punto x0 = (u0, v0) ∈ U . Considere los abiertos

Ix0 = U ∩ {(u, v) ∈ R2 : v = v0} y Jx0 = U ∩ {(u, v) ∈ R2 : u = u0}.

La curva u 7→X(u, v0), con u ∈ Ix0 , se conoce como la u-curva que pasa por x0. De manerasimilar, v 7→X(u0, v), con v ∈ Jx0 , se conoce como la v-curva que pasa por x0.

Figura 10.10: u-curvas y v-curvas

Note que la inyectividad de dXx0 implica la independencia lineal del conjunto{∂X

∂u(x0),

∂X

∂v(x0)

}.

Note que ∂X∂u

(x0) es un vector tangente a la u-curva en el punto X(x0), mientras que∂X∂v

(x0) es un vector tangente a la v-curva en el mismo punto. Entonces, la siguientedefinición cobra sentido.

Definición 10.2.3. Sea S una superficie paramétrica y p ∈ S. Sea X : U ⊆ R2 → R3 unaparametrización regular con p = X(x0) para algún x0 ∈ U . El plano tangente a S en p,denotado por Tp(S), es el espacio afín en el punto p generado por los vectores ∂X∂u (x0) y

∂X∂v

(x0),es decir,

Tp(S) :={t∂X

∂u(x0) + h

∂X

∂v(x0) + p : (t, h) ∈ R2

}.

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Figura 10.11: Plano tangente a S en p.

Proposición 10.2.4. Sea S una superficie paramétrica, con parametrizaciones X y Y . Entonces,para cada p ∈ S , el plano tangente Tp(S) no depende de X o Y . En otras palabras, para calcularTp(S), se puede tomar cualquier parametrización de S.

Definición 10.2.5. Sea X : U ⊆ R2 → R3 una parametrización regular de una superficie S, yp ∈ S . Un vector tangente a S en p es un vector v ∈ R3 no nulo para el cual existe una curvaregular α : I → X(U), con I un intervalo abierto, es decir α(t) = X(u(t), v(t)) para todo t ∈ I ,tal que existe un t0 ∈ I con α(t0) = p y α′(t0) = v.

Figura 10.12: Vector tangente a S.

Proposición 10.2.6. Sea S una superficie paramétrica con parametrización regularX : U → R3,y sea p ∈ S . Todo vector en Tp(S) es un vector tangente a S en p. Recíprocamente, si v ∈ R3 esun vector tangente a S en p, entonces v ∈ Tp(S).

Demostración: Primero, supongamos que tenemos un vector v ∈ Tp(S). Luego, comoTp(S) es el espacio afín generado por

{∂X∂u

(x0),∂X∂v

(x0)}

, tenemos que existen t0, h0 ∈ Rno nulos tales que

v = t0∂X

∂u(x0) + h0

∂X

∂v(x0).

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Por otro lado, sea x0 ∈ U tal que X(x0) = p. Lo anterior sugiere definir β(t) = x0 +t(t0, h0). A partir de β, construimos la curva

α(t) = X(β(t)) = X(x0 + t(t0, h0)).

Note que α es regular por ser X regular y β(t) una función de clase C1 con β′(t) =(t0, h0) 6= (0, 0). Por un lado, tenemos que α(0) = X(x0) = p. Por la regla de la cadenatenemos que:

α′(0) = (X(β(t))′|t=0 = dXβ(0) · β′(0) = dXx0 ·(t0h0

)=

(∂X

∂u(x0),

∂X

∂v(x0)

)·(t0h0

)= t0

∂X

∂u(x0) + h0

∂X

∂v(x0) = v.

Entonces, tenemos que v es un vector tangente a S en p.

Ahora probemos el recíproco. Supongamos que v es un vector tangente a S en p. Luego,existe una curva regular α : I → X(U) tal que p = α(t0) y α′(t0) = v, para algún t0 ∈ I .Comoα está contenida enX(U), podemos escribirla de la formaα(t) = X(u(t), v(t)). Seaβ(t) = (u(t), v(t)) y x0 = (u(t0), v(t0)). Nuevamente, por la regla de la cadena, tenemos:

v = α′(t0) = dXβ(t0) · β′(t0) =(∂X

∂u(x0),

∂X

∂v(x0)

)·(u′(t0)v′(h0)

)= u′(t0)

∂X

∂u(x0) + v

′(h0)∂X

∂v(x0).

Entonces, al ser v combinación lineal de ∂X∂u

(x0) y ∂X∂v (x0), tenemos que v ∈ Tp(S).

Ejemplo 10.2.7. Hallemos el plano tangente a cualquier punto del paraboloide circular:

S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2}

Consideremos la pamametrizaciónX : R2 → R3 dada por

X(u, v) = (u, v, u2 + v2).

Al calcular la diferencial para todo punto x0 = (u0, v0) ∈ R2 tenemos dXx0 =

1 00 12u0 2v0

.

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Luego,

∂X

∂u(x0)×

∂X

∂v(x0) =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 2u00 1 2v0

∣∣∣∣∣∣ = (−2u0,−2v0, 1) 6= 0.Tenemos entonces que X es regular. Luego, el plano tangente a S en X(x0) = (u0, v0, u20 + v20)viene dado por

t(1, 0, 2u0) + h(0, 1, 2v0) + (u0, v0, u20 + v

20), para todo t, h ∈ R.

Figura 10.13: Paraboloide circular.

10.3 Área de una superficie

Así como ocurrió con la longitud de arco de una curva y el concepto de integral de línea,es necesario entender primero cómo hallar el área de una superficie antes de aventurarnosa definir integrales de superficie.

La idea del cálculo del área de una superficie paramétrica es parecida a lo que se hizoen su momento para calcular la longitud de arco de una curva. Para esto último, apro-ximábamos la longitud de arco mediante longitudes de segmentos rectangulares, ha-ciendo una partición en el intervalo de definición de la parametrización de la curva.Ahora la idea será aproximar el área de una superficie paramétrica a través de áreas deregiones rectangulares, provenientes de una partición en el dominio de definición de laparametrización.

Supongamos que tenemos una superficie paraétrica S = X(U), donde X : U ⊆ R2 → R3es una parametrización regular e inyectiva, con U = (a, b) × (c, d) un intervalo abiertoy acotado de R2. Sean a = u0 < u1 < · · · < un = b y c = v0 < v1 < · · · < vm = dparticiones de (a, b) y (c, d), respectivamente. SeaRij el rectángulo de lados ∆ui = ui−ui−1y ∆vj = vj − vj−1, y sea (u′i, v′j) un punto cualquiera en el interior de Rij . Consideremosen dicho punto el vector normal ∂X

∂u(u′i, v

′i)× ∂X∂v (u

′i, v′j) al plano tangente a S que pasa por

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el puntoX(u′i, v′j) (el cual se puede definir ya queX es regular). Sobre ese plano tangenteconsideramos el paralelogramo de lados ∂X

∂u(u′i, v

′i)∆ui y

∂X∂v

(u′i, v′j)∆vj , al que llamaremos

Tij . Sabemos del curso de GAL 1 que el área de Tij viene dada por

a(Tij) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∂X∂u (u′i, v′i)× ∂X∂v (u′i, v′j)∣∣∣∣∣∣∣∣∆ui∆vj.

A medida que n y m tienden a infinito (es decir, que las particiones de (a, b) y (c, d) sehacen cada vez más fina), tenemos que a(Tij) aproxima al área de X(Rij), y por endela suma

∑ij a(Tij) aproxima al área de S = X(U). Por otro lado, al ser X regular te-

nemos que∣∣∣∣∂X∂u× ∂X

∂v

∣∣∣∣ es una función continua en U , y por lo tanto integrable. Entonces,limn,m→∞

∑ij a(X(Rij)) converge. Por definición de integral múltipe, tenemos que

limn,m→∞

∑ij

a(X(Rij)) = limn,m→∞

∑ij

∣∣∣∣∣∣∣∣∂X∂u (ui, vi)× ∂X∂v (ui, vj)∣∣∣∣∣∣∣∣∆ui∆vj = ∫∫

U

∣∣∣∣∣∣∣∣∂X∂u × ∂X∂v∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv.

Por lo tanto, la siguiente definición cobra sentido2.

Definición 10.3.1. Sea S una superficie paramétrica, con parametrización regular e inyectivaX : U ⊆ R2 → R3. Se define el área de S = X(U) como la integral doble

a(S) =∫∫

U

∣∣∣∣∣∣∣∣∂X∂u × ∂X∂v∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv.

Dentro de la generalidad de la definición anterior, y pensando en las opciones de dominiode integración para las integrales dobles, se puede permitir que S y X : U → R3 cum-plan que: X es regular o regular a trozos, donde cada trozo está representado por unaparametrización Xi : Ui ⊆ R2 → R3 continua, tal que Xi es regular en U◦i salvo quizá enun número finito de puntos.

Observación 10.3.2.

1. Así como ocurre con la longitud de arco de una curva, el área de una superficie paramétricano depende de la parametrización escogida. Esto lo demostraremos más adelante, como uncorolario de un resultado más general para integrales de superficies.

2Sabemos que el dominio de una parametrización no tiene por qué ser en general un intervalo abierto. Sinembargo, lo hemos escogido así para simplificar la explicación del área de una superficie. El argumentomostrado se puede generalizar sin dificultad al caso donde U es un conjunto acotado y medible Jordan (Esnecesario que el lector recuerde esta última definición del curso de CDIVV. Puede ver por ejemplo las notasdel Prof. Fiori).

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2. SiX(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), entonces

a(S) =∫∫

U

∣∣∣∣∣∣∣∣∂X∂u × ∂X∂v∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv = ∫∫

U

√√√√√∣∣∣∣∣∣i j k∂x∂u

∂y∂u

∂z∂u

∂x∂v

∂y∂v

∂z∂v

∣∣∣∣∣∣dudv=

∫∫U

√(∂y

∂u

∂z

∂v− ∂z∂u

∂y

∂v

)2+

(∂z

∂u

∂x

∂v− ∂x∂u

∂z

∂v

)2+

(∂x

∂u

∂y

∂v− ∂y∂u

∂x

∂v

)2dudv.

Ejemplo 10.3.3. Calcule el área del helicoideH de radio 1 y altura 2π:

X : [0, 1]× [0, 2π]→ R3

X(r, θ) = (r cos(θ), r sin(θ), θ).

Figura 10.14: Helicoide.(Imagen tomada de Marsden & Tromba - Cálculo Vectorial).

La parametrizaciónX es claramente inyectiva. Veamos si es regular. Tenemos que

∂X

∂r= (cos(θ), sin(θ), 0),

∂X

∂θ= (−r sin(θ), r cos(θ), 1),

∂X

∂r× ∂X

∂θ=

∣∣∣∣∣∣i j k

cos(θ) sin(θ) 0−r sin(θ) r cos(θ) 1

∣∣∣∣∣∣ = (sin(θ),− cos(θ), r).Vemos que ∂X

∂r× ∂X

∂θsiempre es no nulo, pues no existe ningún ángulo que anule a las funciones

seno y coseno al mismo tiempo. Por lo tanto, X es regular. Entonces, el área del helicoide H con

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parametrizaciónX viene dada por:

a(H) =∫∫

[0,1]×[0,2π]

∣∣∣∣∣∣∣∣∂X∂r × ∂X∂θ∣∣∣∣∣∣∣∣ drdθ = ∫ 2π

0

∫ 10

√sin2(θ) + cos2(θ) + r2drdθ

=

∫ 2π0

∫ 10

√1 + r2drdθ = 2π

∫ 10

√1 + r2dr = 2π

r2

√1 + r2 +

log(r +√

1 + r2)

2

∣∣∣∣∣1

0

= π(

√2 + log(1 +

√2)).

Las superficies de revolución y las gráficas de funciones continuas de dos variables estánentre los ejemplos principales de superficies paramétricas. Probaremos a continuaciónfórmulas generales para calcular su área.

Proposición 10.3.4. Sea f : U ⊆ R2 → R una función continua en U (acotado y medible Jordan)y de clase C1 en U◦. Entonces,

a(G(f)) =

∫∫U

√(∂f

∂u

)2+

(∂f

∂v

)2+ 1dudv.

Demostración: Por hipótesis, tenemos la parametrización regular para G(f) dada porX(u, v) = (u, v, f(u, v)) para todo (u, v) ∈ U . Luego,

a(G(f)) =

∫∫U

∣∣∣∣∣∣∣∣∂X∂u × ∂X∂v∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv = ∫∫

U

∣∣∣∣∣∣∣∣(−∂f∂u,−∂f∂v , 1)∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv

=

∫∫U

√(∂f

∂u

)2+

(∂f

∂v

)2+ 1dudv.

Ejemplo 10.3.5. Halle el área del hemisferio norte de la esfera unitaria S2.

Sabemos que esta superficie en cuestión es la gráfica de la función f(u, v) =√

1− u2 − v2, donde(u, v) ∈ U = {(u, v) ∈ R2 : u2 + v2 ≤ 1}. Lo interesante acá es que f no es de clase C1 en ∂U .Para (u, v) ∈ U◦, tenemos que

∂f

∂u= − u√

1− u2 − v2y

∂f

∂v= − v√

1− u2 − v2.

Por la proposición anterior, tenemos que

a(G(f)) =

∫∫U

√u2

1− u2 − v2+

v2

1− u2 − v2+ 1dudv =

∫ 1−1

∫ √1−u2−√1−u2

1√1− u2 − v2

dvdu.

15

La integral es impropia, pero se puede calcular:∫ √1−u2−√1−u2

1√1− u2 − v2

dv = arcsin

(v√

1− u2

)∣∣∣∣√1−u2

−√1−u2

= arcsin(1)− arcsin(−1) = 2 arcsin(1) = π.

Entonces,

a(G(f)) =

∫ 1−1

∫ √1−u2−√1−u2

1√1− u2 − v2

dvdu =

∫ 1−1πdu = 2π.

Teorema 10.3.6 (de Pappus). Sea f : [a, b] → R una función continua (positiva o negativa) en[a, b] y de clase C1 en (a, b). Considere la superficie de revolución Rf obtenida al girar la gráficade f alrededor del eje X . Entonces,

a(Rf ) = 2π∫ ba

|f(x)|√

1 + (f ′(x))2dx.

Figura 10.15: Rotación de la gráfica de f alrededor del Eje X .(Imagen tomada de Marsden & Tromba - Cálculo Vectorial).

Demostración: La parametrización en este caso viene dada por

X(x, θ) = (x, f(x) cos(θ), f(x) sin(θ))

donde x ∈ [a, b] y 0 ≤ θ ≤ 2π. Acá, θ es el ángulo de rotación respecto al plano XY . Al serf continua en [a, b] y de clase C1 en (a, b), tenemos queX es continua en [a, b]× [0, π] y declase C1 en (a, b)× (0, 2π). Veamos queX es regular:

∂X

∂x= (1, f ′(x) cos(θ), f ′(x) sin(θ)),

∂X

∂θ= (0,−f(x) sin(θ), f(x) cos(θ)),

∂X

∂x× ∂X

∂θ=

∣∣∣∣∣∣i j k1 f ′(x) cos(θ) f ′(x) sin(θ)0 −f(x) sin(θ) f(x) cos(θ)

∣∣∣∣∣∣ = (f(x)f ′(x),−f(x) cos(θ),−f(x) sin(θ)).16

Estudiemos ahora cuando ∂X∂x× ∂X

∂θ= 0. Vemos que lo anterior ocurre si, y solo si,f(x)f ′(x) = 0,f(x) cos(θ) = 0,f(x) sin(θ) = 0.

Como f no tiene puntos de corte en [a, b], el sistema anterior nos queda:f ′(x) = 0,cos(θ) = 0,sin(θ) = 0.

No existe solución ya que cos(θ) y sin(θ) no se anulan al mismo tiempo. Por lo tanto,X esregular. Así, el área deRf viene dada por:

a(Rf ) =∫∫

[a,b]×[0,2π]

∣∣∣∣∣∣∣∣∂X∂x × ∂X∂θ∣∣∣∣∣∣∣∣ dxdθ

=

∫ ba

∫ 2π0

√(f(x))2(f ′(x))2 + (f(x))2 cos2(θ) + (f(x))2 sin2(θ)dθdx

=

∫ ba

∫ 2π0

|f(x)|√

1 + (f ′(x))2dθdx = 2π

∫ ba

|f(x)|√

1 + (f ′(x))2dθ.

10.4 Orientación de una superficie

En el estudio de integrales de línea, vimos dos tipos: para campos escalares y para camposvectoriales. Ocurrirá algo similar con las integrales de superficies. Así como vimos quela integral de línea de un campo vectorial cambia de signo si se cambia la orientación dela curva sobre la cual se integra, tendremos una propiedad similar para las integrales desuperficie de campos vectoriales en relación al concepto de orientación de una superficie,que detallaremos a continuación.

Definición 10.4.1. Sea S una superficie que admite una parametrización regular, y p ∈ S . Unvector n ∈ R3 no nulo es normal a S en p si 〈n,v〉 = 0 para todo v ∈ Tp(S).

Definición 10.4.2. Una orientación sobre una superficie S (como en la definición anterior) es uncampo vectorial continuo N : S → R3 tal que N (p) es un vector normal unitario a S en p, paratodo p ∈ S. Se dice que S es orientable si admite una orientación.

17

En dos de los ejemplos mostrados más adelante, para ver que una superficie S no es ori-entable, bastará ver que cierto campo normal p 7→ np construido a partir de X : U → R3(una parametrización regular de S) no es continuo. Esto se debe a que toda superficieorientable admite únicamente dos orientaciones, como veremos en breve.

Para el siguiente resultado, tenga en cuenta que si S es una superficie paramétrica ori-entable con parametrización inyectivaX : U → R3, entonces se tiene una orientación dadapor

S 3 p 7→∂X∂u

(u, v)× ∂X∂v

(u, v)∣∣∣∣∂X∂u

(u, v)× ∂X∂v

(u, v)∣∣∣∣

donde p = X(u, v) con (u, v) ∈ U único.

Proposición 10.4.3. SeaN : S → R3 una orientación de una superficie paramétrica orientable S,con parametrización X : U ⊆ R2 → R3 inyectiva y regular con U conexo (y por ende S conexa).Entonces, existe σ = ±1 tal que

N (p) = σ∂X∂u

(u, v)× ∂X∂v

(u, v)∣∣∣∣∂X∂u

(u, v)× ∂X∂v

(u, v)∣∣∣∣

para todo p = X(u, v) ∈ S. Cuando σ = 1, se dice queX preserva la orientaciónN , mientrasque cuando σ = −1, se dice queX revierte la orientación deN .

Demostración: Primero probaremos el resultado en U◦ (descartando de U◦ el númerofinito de puntos en los cuales X no es regular, en caso de haberlos). Entonces, sea p ∈ Scon p = X(u, v) donde (u, v) ∈ U◦ es único. Consideremos en el punto p los vectoresN (p) = N (X(u, v)) y ∂X

∂u(u, v) × ∂X

∂v(u, v)/

∣∣∣∣∂X∂u

(u, v)× ∂X∂v

(u, v)∣∣∣∣. Al ser estos vectores

normales y unitarios, se tiene que

N (X(u, v)) =∂X∂u

(u, v)× ∂X∂v

(u, v)∣∣∣∣∂X∂u

(u, v)× ∂X∂v

(u, v)∣∣∣∣ o N (X(u, v)) = − ∂X∂u (u, v)× ∂X∂v (u, v)∣∣∣∣∂X

∂u(u, v)× ∂X

∂v(u, v)

∣∣∣∣ .La idea es probar que se cumple únicamente una de estas dos igualdades para cualquieraque sea el punto escogido p, es decir, no puede ocurrir la igualdad con signo positivo paraun punto p1, y la otra con signo negativo para otro punto p2. Para esto, consideremos elcampo escalar f : U◦ → [0,+∞) dado por

f(u, v) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣N (X(u, v))± ∂X∂u × ∂X∂v∣∣∣∣∂X

∂u× ∂X

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .

Este campo es claramente continuo. Entonces, f(u, v) = 0 o f(u, v) = 2 para todo (u, v) ∈U◦, debido a la continuidad de f y por ser U conexo. Supongamos que se da el primercaso. Entonces,

18

N (p) =∂X∂u

(u, v)× ∂X∂v

(u, v)∣∣∣∣∂X∂u

(u, v)× ∂X∂v

(u, v)∣∣∣∣

para todo (u, v) ∈ U◦. El caso f ≡ 2 se trabaja de forma análoga.

Ahora supongamos que el campo p 7→ ∂X∂u

(u, v) × ∂X∂v

(u, v)/∣∣∣∣∂X∂u

(u, v)× ∂X∂v

(u, v)∣∣∣∣ está

también definido para (u, v) ∈ ∂U . El campo anterior, junto con p 7→ N (X(u, v)) sonfunciones continuas sobre U que coinciden en U◦. Por propiedades de continuidad paracampos vectoriales, se tiene que estos dos campos coinciden también en U = U ∩ ∂U (porlo cual también coinciden en ∂U ). Queda entonces demostrado en resultado.

Gracias al resultado anterior, podemos definir orientación positiva y negativa para unasuperficie orientable.

Definición 10.4.4. Sea S una superficie paramétrica orientable, con parametrización regular in-yectivaX : U → R3. El campo

p 7→∂X∂u

(u, v)× ∂X∂v

(u, v)∣∣∣∣∂X∂u

(u, v)× ∂X∂v

(u, v)∣∣∣∣

define la orientación exterior o positiva de S, mientras que

p 7→ −∂X∂u

(u, v)× ∂X∂v

(u, v)∣∣∣∣∂X∂u

(u, v)× ∂X∂v

(u, v)∣∣∣∣

define la orientación interior o negativa de S.

En términos coloquiales, una superficie es orientable si tiene dos lados, a saber, un ladoindicado por la orientación exterior, y el otro indicado por la orientación interior.

El siguiente resultado es consecuencia de la proposición anterior, y su demostración sedeja como ejercicio.

Corolario 10.4.5. Sean N1 y N2 orientaciones de una superficie paramétrica conexa S, que ad-mite una parametrización inyectiva y regular. Entonces, oN1 = N2 oN1 = −N2.

Ejemplo 10.4.6 (Superficie orientable). Consideremos la esfera unitaria S2 con la parametrizaciónde coordenada esféricasX : (0, 2π)× (0, π)→ S2 dada por

X(u, v) = (sin(v) cos(u), sin(v) sin(u), cos(v)).

19

Para esta parametrización, tenemos el campo normal unitario

N (X(u, v)) =∂X∂u× ∂X

∂v∣∣∣∣∂X∂u× ∂X

∂v

∣∣∣∣ = (sin2(v) cos(u), sin2(v) sin(u), cos(v) sin(v))||(sin2(v) cos(u), sin2(v) sin(u), cos(v) sin(v))||=

(sin2(v) cos(u), sin2(v) sin(u), cos(v) sin(v))

sin(v)

= (cos(u) sin(v), sin(u) sin(v), cos(v)).

Al ser continuo el campo vectorial X(u, v) 7→ (cos(u) sin(v), sin(u) sin(v), cos(v)), tenemos queS2 es orientable.

Ejemplo 10.4.7 (Superficies no orientables).

1. Cinta de Möbius: La cinta de Möbius se define considerando un segmento de recta AB delongitud menor que 2, perpendicular al plano XY y con centro en el punto (0, 2, 0). Luego,movemos el centro de este segmento a lo largo de la curva determinada por la circunferenciax2 + y2 = 4 en el plano XY . Al mismo tiempo, hacemos rotar el segmento AB sobre sucentro. Este movimiento se hace de tal manera que, cuando el centro haya barrido un ángulode u radianes, el segmento barre u/2 radianes al rotar alrededor de su centro.

Figura 10.16: Movimientos de rotación de AB.

Cuando el segmento regrese a su posición inicial, es decir, con centro en (0, 2, 0), la superficieresultante se conoce como cinta de Mob̈ius.

Figura 10.17: Cinta de Moëbius.

20

Teniendo en cuenta lo anterior, podemos dar una parametrizaciónX : [0, 2π]× [−1, 1]→ R3mediante

X(u, v) = (sin(u)(2− v sin(u/2)), cos(u)(2− v sin(u/2)), v cos(u/2)).

Figura 10.18: Parámetros en la cinta de Moëbius.

Estudiemos esta parametrización:

∂X

∂u=(

2 cos(u)− v cos(u) sin(u

2

)− v

2sin(u) cos

(u2

),

−2 sin(u) + v sin(u) sin(u

2

)− v

2cos(u) cos

(u2

),−v

2sin(u

2

)),

∂X

∂v=(− sin(u) sin

(u2

),− cos(u) sin

(u2

), cos

(u2

)).

Calcular el campo normal X(u, v) 7→ ∂X∂u× ∂X

∂v/∣∣∣∣∂X∂u× ∂X

∂v

∣∣∣∣ puede resultar tedioso. Sinembargo, tengamos en cuenta que el objetivo es probar que la cinta de Möbius no es ori-entable, es decir, que el campo anterior no es continuo. Entonces, se suficiente probar lano continuidad dentro de cualquier camino en el dominio del campo normal. Escojamos uncamino sencillo de trabajar, como por ejemplo, la curva sobre la cinta de Möbius determinadapor v = 0. Llamemos a esta curva C.

Figura 10.19: Camino v = 0.(Imagen tomada de Marsden & Tromba - Cálculo Vectorial).

21

Sea p = X(u, 0) ∈ C. Tenemos entonces

∂X

∂u(u, 0) = (2 cos(u),−2 sin(u), 0),

∂X

∂v(u, 0) = (− sin(u) sin(u/2),− cos(u) sin(u/2), cos(u/2)),

∂X

∂u(u, 0)× ∂X

∂v(u, 0) =

∣∣∣∣∣∣i j k

2 cos(u) −2 sin(u) 0− sin(u) sin(u/2) − cos(u) sin(u/2) cos(u/2)

∣∣∣∣∣∣= −2(sin(u) cos(u/2), cos(u) cos(u/2), sin(u/2)),∣∣∣∣∣∣∣∣∂X∂u (u, 0)× ∂X∂v (u, 0)

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2√sin2(u) cos2(u/2) + cos2(u) cos2(u/2) + sin2(u/2) = 2.Tenemos sobre C el campo normal

N |C : p = X(u, 0) 7→ −(sin(u) cos(u/2), cos(u) cos(u/2), sin(u/2)).

Veamos que N |C no es continuo en (0, 2, 0). Supongamos lo contrario. Note que (0, 2, 0) =X(0, 0) = X(2π, 0), por lo que siN |C es continuo en (0, 2, 0), se tiene que cumplir que

limu→0,v=0

N (X(u, 0)) = limp→(0,2,0)

N |C(p) = limu→2π,v=0

N (X(u, 0)).

Sin embargo, el límite de la izquierda vale (0,−1, 0), y el de la derecha vale (0, 1, 0). Por lotanto,N |C no es continuo en (0, 2, 0).

Figura 10.20: Hormigas caminando sobre una cinta de Möbius.Pintura “Möbius strip II”, por M. C. Escher (1963).(Imagen tomada de Marsden & Tromba - Cálculo Vectorial).

Intuitivamente, podemos pensar en el hecho de que la cinta de Möbius no es orientable dela siguiente manera. Supongamos que vamos a caminar sobre una cinta de Möbius gigantehecha de un material transparente, y se nos da un disco pintado por ambas caras con colores

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diferentes (digamos rojo y azul) para marcar nuestro punto de partida. Colocamos el discosobre el “suelo” con el lado rojo apuntando hacia nosotros, y empezamos a caminar recto y avelocidad constante. Eventualmente llegaremos a nuestro punto de partida, el disco, pero alllegar veremos su cara azul.

2. Botella de Klein: Consideremos la curva ocho α : [0, 2π]→ R2 dada por

α(t) = (sin(t), sin(t) cos(t)).

Figura 10.21: Curva ocho.

La superficie conocida como botella de Klein se genera al rotar una curva ocho centrada enun punto (0, a, 0), de forma parecida a como se hizo en el ejemplo anterior, a lo largo de lacircunferencia x2 + y2 = a2 en el plano Z = 0, para algún a > 0.

Figura 10.22: Movimiento que genera la botella de Klein.

Al movimiento descrito se le puede dar la siguiente parametrización:

X(u, v) = (((a+ cos(u/2)) sin(v)− sin(u/2) sin(2v)) cos(u),((a+ cos(u/2)) sin(v)− sin(u/2) sin(2v)) sin(u),sin(u/2) sin(v) + cos(u/2) sin(2v)).

Como ejercicio, compruebe que esta superficie no es orientable.

23

Figura 10.23: Botella de Klein.

Cerraremos estas notas explicando qué significa que el borde de una superficie orientableesté orientado. Para empezar, aunque ya tenemos cierta idea, debemos especificar quésignifica que una superficie tenga borde.

Definición 10.4.8. Sea S una superficie paramétrica con parametrización inyectiva y regular (atrozos)X : U ⊆ R2 → R3 tal que:

1. U es acotado.

2. ∂U es una curva regular (a trozos) de R2 cerrada simple.

3. X se puede extender a U de tal manera que X|∂U es inyectiva, de clase C1, y dXx0 es in-yectiva para todo x0 ∈ ∂U .

Al conjuntoX(∂U), que denotaremos como ∂S, se le conoce como borde de S.

Note que ∂S es una curva simple en R3, ya queX|∂U es inyectiva. ¿Qué hay de su regular-idad? Consideremos una parametrización simple y regular de ∂U , digamos β : [a, b]→ R2.Entonces, α := X ◦ β es una parametrización de ∂S. Es claro que α es inyectiva. Por otrolado, se tiene por la regla de la cadena que

α′(t) = dXβ(t)(β′(t)) 6= 0.

Lo anterior se debe a que dXβ(t) es una transformación lineal inyectiva, y a que β′(t) 6= 0.Por lo tanto, ∂S es una curva cerrada simple y regular.

Ahora, si S es una superficie orientable con borde, ¿qué significa que el borde esté orien-tado? Esto lo especificaremos a continuación.

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Definición 10.4.9. Sea S una superficie paramétrica con borde, con parametrización X : U ⊆R2 → R3 que cumple las condiciones de la definición anterior. Supongamos que S es orientable,con orientación dada por el campo normal (u, v) 7→ ∂X

∂u× ∂X

∂v/∣∣∣∣∂X∂u× ∂X

∂v

∣∣∣∣. Diremos que la curvacerrada ∂S está orientada positivamente si ∂U admite una parametrización β : [a, b] → R2 talque la orientación de α := X ◦ β sea coherente con la de S, es decir,

nα(t) =∂X∂u

(β(t))× ∂X∂v

(β(t))∣∣∣∣∂X∂u

(β(t))× ∂X∂v

(β(t))∣∣∣∣ .

Intuitivamente, que ∂U tenga orientación positiva coherente con la orientación de S sig-nifica, informalmente hablando, que al recorrer el borde de la superficie, con el vectornormal siempre apuntando “hacia arriba”, la la superficie siempre queda “a la izquierda”.

Figura 10.24: Superficie orientable con borde.

Escrito en LATEX por Marco A. Pérez.

Material consultado:• Geometría Diferencial de Curvas y Superficies, notas de M. A. Pérez.• Cálculo Vectorial, de Jerrold E. Marsden y Anthony J. Tromba.• Cálculo Vectorial, notas de A. González.

Última actualización: 28 de Octubre de 2020.

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Superficies paramétricasParametrizaciones de superficiesPlano tangenteÁrea de una superficieOrientación de una superficie