SuperfluidosSuperfluidos

Rodrigo Zúñiga P.

IndiceIndice

Introduccion.Introduccion. Historia.Historia. Propiedades exóticas.Propiedades exóticas. Teoria.Teoria. El condensado Bose-Einstein.El condensado Bose-Einstein. Excitaciones elementales.Excitaciones elementales. Teoria de Landau.Teoria de Landau. Velocidad y Flujo de un superfluido.Velocidad y Flujo de un superfluido. Conclusiones.Conclusiones. Referencias.Referencias.

IntroduccionIntroduccion

El estudio de las propiedades termodinamicas de un gas El estudio de las propiedades termodinamicas de un gas de N bosones independientes plateo la interrogante si de N bosones independientes plateo la interrogante si existe en la naturaleza algún sistema que tenga las las existe en la naturaleza algún sistema que tenga las las caracteristicas adecuadas para exibir dichas caracteristicas adecuadas para exibir dichas propiedades.propiedades.

Estudiando la licuefaccion del Estudiando la licuefaccion del 4HeHe se logro determinar se logro determinar que este a muy bajas temperaturas se comporta que este a muy bajas temperaturas se comporta totalmente como un liquido cuantico siendo estas totalmente como un liquido cuantico siendo estas propiedades observables macroscopicamente.propiedades observables macroscopicamente.

Historia.Historia.

El helio es el segundo elemento mas ligero, es un gas El helio es el segundo elemento mas ligero, es un gas noble e inerte por lo que casi no interactúa noble e inerte por lo que casi no interactúa químicamente.químicamente.

Constituye el 23% de la masa del universo.Constituye el 23% de la masa del universo. Dado a sus exóticas propiedades es el segundo liquido Dado a sus exóticas propiedades es el segundo liquido

mas estudiado después del agua.mas estudiado después del agua. En su núcleo esta compuesto por dos protones pero el En su núcleo esta compuesto por dos protones pero el

numero de neutrones puede variar de uno a seis.numero de neutrones puede variar de uno a seis. De los seis isótopos solo el De los seis isótopos solo el 33He y el He y el 44He son estables.He son estables.

De estos dos isótopos el De estos dos isótopos el 44He es el mas abundante He es el mas abundante Numerosos núcleos pesados se desintegran emitiendo Numerosos núcleos pesados se desintegran emitiendo un núcleo de un núcleo de 44He; éste proceso, que se denomina He; éste proceso, que se denomina desintegración alfa y por el que al núcleo emitido se le desintegración alfa y por el que al núcleo emitido se le llama llama partícula alfapartícula alfa, es el origen de la mayoría del helio , es el origen de la mayoría del helio terrestre. terrestre.

El 10 de julio de 1908 se logra por primera vez la El 10 de julio de 1908 se logra por primera vez la licuefaccion del helio, por el fisico Holandes Heike licuefaccion del helio, por el fisico Holandes Heike Kamerlingh Onnes. Kamerlingh Onnes.

Este fue el punto de partida de la fisica e ingenieria de Este fue el punto de partida de la fisica e ingenieria de bajas temperaturas o criogenia.bajas temperaturas o criogenia.

Propiedades exoticas.Propiedades exoticas.

El Helio se comporta de forma muy particular a los El Helio se comporta de forma muy particular a los cambios de temperatura.cambios de temperatura.

Para lograr la licuefaccion del helio a presion Para lograr la licuefaccion del helio a presion atmosferica, es necesario disminuir su temperatura a 4.2 atmosferica, es necesario disminuir su temperatura a 4.2 K.K.

Ahora si intentamos bajar la temperatura podemos ver Ahora si intentamos bajar la temperatura podemos ver que el helio sufre otra cambio de fase al llegar a 2.19 K, que el helio sufre otra cambio de fase al llegar a 2.19 K, pero no a solido, si no a una nueva fase liquida.pero no a solido, si no a una nueva fase liquida.

De esta forma se denomino Helio I al helio entre 4.2 K y De esta forma se denomino Helio I al helio entre 4.2 K y 2.19 K; a temperaturas inferiores el nuevo estado sera el 2.19 K; a temperaturas inferiores el nuevo estado sera el de helio II.de helio II.

Si graficamos el calor Si graficamos el calor especifico con la especifico con la temperatura obtenemos la temperatura obtenemos la denominada curva denominada curva λλ. Y . Y vemos como este decrece vemos como este decrece abruptamente con la abruptamente con la temperatura.temperatura.

Para apreciar mejor la transicion de Helio I a helio II Para apreciar mejor la transicion de Helio I a helio II podemos ver los siguientes graficos.podemos ver los siguientes graficos.

Claramente hay un punto donde el helio se puede Claramente hay un punto donde el helio se puede solidificar, pero para ello hay q subir la presion a 25 solidificar, pero para ello hay q subir la presion a 25 atm.atm.

Dentro de las propiedades que posteriormente se Dentro de las propiedades que posteriormente se descubrieron era que el helio II era un exelente conductor descubrieron era que el helio II era un exelente conductor de calor. Si un tubo capilar se llenaba con este el calor de calor. Si un tubo capilar se llenaba con este el calor fluia de un extremo a otro con una velocidad 200 veces fluia de un extremo a otro con una velocidad 200 veces mayor que un alambre de cobre a temperatura ambientemayor que un alambre de cobre a temperatura ambiente

Para explicar esto P.L. Kapitza planteo que debia existir Para explicar esto P.L. Kapitza planteo que debia existir un flujo de helio dentro del capilar.un flujo de helio dentro del capilar.

Se plantea que el helio II debia tener viscocidad nula, Se plantea que el helio II debia tener viscocidad nula, osea un superfluido.osea un superfluido.

Kapitza realizo los Kapitza realizo los siguientes exoerimentos siguientes exoerimentos esquematizado en las esquematizado en las figuras.figuras.

Se muestra un tubo con Se muestra un tubo con un capilar pequeñisimo.un capilar pequeñisimo.

Por este solo fluye el Por este solo fluye el Helio II, lo que dio razon a Helio II, lo que dio razon a Kapitza para pensar que Kapitza para pensar que era un superfluido.era un superfluido.

Efecto fuente: Para ello se Efecto fuente: Para ello se sumerge en helio II un tubo sumerge en helio II un tubo con un tapon poroso en uno de con un tapon poroso en uno de sus extremos. Ademas se sus extremos. Ademas se coloca una resistencia dentro coloca una resistencia dentro del tubo.del tubo.

Efecto reptación: una pelicula muy delgada de helio Efecto reptación: una pelicula muy delgada de helio puede escalar las paredes del recipiente que lo puede escalar las paredes del recipiente que lo contiene aparentemente desafiando la ley de contiene aparentemente desafiando la ley de gravedad.gravedad.

Para comprobar el flujo del helio al transportar calor Para comprobar el flujo del helio al transportar calor utilizo una pequeña veleta en la abertura de un tubo, utilizo una pequeña veleta en la abertura de un tubo, que fuera capaz de detectar y medir en funcion de la que fuera capaz de detectar y medir en funcion de la desviacion de esta cualquier flujo.desviacion de esta cualquier flujo.

Efectivamente si calentaba un poco el Helio II dentro del Efectivamente si calentaba un poco el Helio II dentro del tuvo existia un flujo.tuvo existia un flujo.

Pero el tuvo no se vaciaba, permanecia lleno.Pero el tuvo no se vaciaba, permanecia lleno. Tambien al tratar de medir la viscocidad resultaba que Tambien al tratar de medir la viscocidad resultaba que

esta tenia un valor que hasta podia ser mayor que la del esta tenia un valor que hasta podia ser mayor que la del helio I.helio I.

Teoria.Teoria.

Landau y Tisza propusieron un modelo en el cual el Landau y Tisza propusieron un modelo en el cual el superfluido estaba compuesto por dos fluidos. Una superfluido estaba compuesto por dos fluidos. Una componente normal y otra superfluida. El Helio I solo componente normal y otra superfluida. El Helio I solo tendria componente normal.tendria componente normal.

La densidad del Helio II seria:La densidad del Helio II seria: ρρ = = ρρnn++ρρss

Ademas se le atribuyen dos campos de velocidades Ademas se le atribuyen dos campos de velocidades dados por:dados por:

ρρvv = =ρρnnvvnn++ρρssvvss

Cuando ambas componentes oscilan en la misma Cuando ambas componentes oscilan en la misma direccion, se produce una onda sonora como en cualquier direccion, se produce una onda sonora como en cualquier liquido. Ahora si estas se mueven en sentido contrario liquido. Ahora si estas se mueven en sentido contrario pasando una a traves de la otra entonces se produce el pasando una a traves de la otra entonces se produce el denominado segundo sonido.denominado segundo sonido.

Para medir la cantidad de fluido normal y superfluido se Para medir la cantidad de fluido normal y superfluido se utilizo el siguiente experimento:utilizo el siguiente experimento:

Se encuentra que el momento de inercia debe ser Se encuentra que el momento de inercia debe ser proporcional a proporcional a ρρnn//ρρ de la forma siguiente: de la forma siguiente:

Obviamente cuando la temperatura es mayor que la Obviamente cuando la temperatura es mayor que la temperatura del cambio de fase 2.19 K solo tendre temperatura del cambio de fase 2.19 K solo tendre fluido normal.fluido normal.

El condensado Bose-Einstein.El condensado Bose-Einstein.

Penrose y Onsager, dieron una estimacion de la fraccion Penrose y Onsager, dieron una estimacion de la fraccion de particulas que en de particulas que en 44He liquido tienen momentum cero, He liquido tienen momentum cero, utilizando el siguiente criterio para un gas utilizando el siguiente criterio para un gas traslacionalmente invariante:traslacionalmente invariante:

De esta forma la matriz densidad para una particula en De esta forma la matriz densidad para una particula en termino de las funciones de onda del sistema esta dado termino de las funciones de onda del sistema esta dado por:por:

Que en el cero absoluto toma la forma Que en el cero absoluto toma la forma

Donde Donde ΨΨ00 es la funcion de onda en el estado es la funcion de onda en el estado

base( ground state). Se espera que esta funcion sea base( ground state). Se espera que esta funcion sea esencialmente una constante, excepto para el caso en esencialmente una constante, excepto para el caso en que tenga dos atomos muy cerca (“tocandose”). Si es que tenga dos atomos muy cerca (“tocandose”). Si es asi la funcion se considerara igual a cero.asi la funcion se considerara igual a cero.

Entonces la funcion esta dada por:Entonces la funcion esta dada por:

Donde ZDonde Znn es una constante de normalizacion: es una constante de normalizacion:

Donde se ve que para distancias pequeñas entre Donde se ve que para distancias pequeñas entre atomos esta funcion es cero.atomos esta funcion es cero.

Exitaciones elementales.Exitaciones elementales. Pequeñas oscilaciones del helio pueden encontrarse Pequeñas oscilaciones del helio pueden encontrarse

experimentalmente por scattering de neutrones. Si la experimentalmente por scattering de neutrones. Si la temperatura es suficientemente baja estas corresponden temperatura es suficientemente baja estas corresponden dominantemente a exitaciones elementales.dominantemente a exitaciones elementales.

Encontramos el espectro Encontramos el espectro

mostrado esquematicamente mostrado esquematicamente

en la figura. La parte lineal en la figura. La parte lineal

corresponde a fonones.corresponde a fonones.

La porcion con k = kLa porcion con k = k00 se comporta como particulasde se comporta como particulasde

masa finita masa finita σσ y que requiere una energia minima y que requiere una energia minima ΔΔ para para su creacion denominados rotones.su creacion denominados rotones.

La neregia esta dada por:La neregia esta dada por:

Estos parametros estan determinados Estos parametros estan determinados experimentalmente por:experimentalmente por:

Teoria de LandauTeoria de Landau

Se asume que solo son posible exitaciones elementales Se asume que solo son posible exitaciones elementales anteriormentee descritas cerca del estado de equilibrio.anteriormentee descritas cerca del estado de equilibrio.

Los estados inmediatamente sobre este estan descritos Los estados inmediatamente sobre este estan descritos por un gas no interactuante de excitaciones elementales por un gas no interactuante de excitaciones elementales con una energia:con una energia:

Donde Donde ħħωωkk la energia de la exitacion elemental con la energia de la exitacion elemental con

numero de onda numero de onda kk y n y nkk=0,1,2,…numeros de ocupacion, =0,1,2,…numeros de ocupacion,

asumiendo que son bosones.asumiendo que son bosones.

La energia interna esta dada entonces por: La energia interna esta dada entonces por:

Podemos calcular CPodemos calcular Cvv notando que en la integral las notando que en la integral las

contribuciones a la energia estan dadas solo por los contribuciones a la energia estan dadas solo por los terminos de fonones y rotones.terminos de fonones y rotones.

De esta forma la contribucion de los fonones esDe esta forma la contribucion de los fonones es

La contribucion de los rotones se puede calcular siempre La contribucion de los rotones se puede calcular siempre que KT/que KT/ΔΔ sea una cantidad pequeña sea una cantidad pequeña

El calor especifico total sera la suma de estos dos.El calor especifico total sera la suma de estos dos. Considerando la funcion de onda del liquido, esta dada Considerando la funcion de onda del liquido, esta dada

en el cero absoluto aproximadamente por en el cero absoluto aproximadamente por ΨΨ00

anteriormente descrita. anteriormente descrita. Esta es la definicion de un superfluido puro en equilibrio Esta es la definicion de un superfluido puro en equilibrio

termico. Ahora si la temperatura incrementa, habra termico. Ahora si la temperatura incrementa, habra exitaciones elementales.exitaciones elementales.

Si consideramos que las funciones de onda de las Si consideramos que las funciones de onda de las exitaciones elementales de momentum levemente exitaciones elementales de momentum levemente diferentes esta dada en forma de paquete de ondas f(r).diferentes esta dada en forma de paquete de ondas f(r).

La funcion de onda de un paquete esta dada por:La funcion de onda de un paquete esta dada por:

Para dos paquetes sera Para dos paquetes sera ΨΨfgfg . .

La funcion La funcion ΨΨ00 sra la misma siempre que sra la misma siempre que

Esto significa que para finitas pero pequeñas Esto significa que para finitas pero pequeñas temperaturas el superfluido continua representado por la temperaturas el superfluido continua representado por la funcion de onda en el estado base, mientras que el funcion de onda en el estado base, mientras que el fluido normal es un fluido de exitaciones elementales.fluido normal es un fluido de exitaciones elementales.

Cerca del cero absoluto el fluido normal corresponde a Cerca del cero absoluto el fluido normal corresponde a un muy diluido gas de exitaciones elementales, en forma un muy diluido gas de exitaciones elementales, en forma de fonones.de fonones.

Para entender todo esto es solo necesario considerar Para entender todo esto es solo necesario considerar que es lo que ocurre si un objeto externo con velocidad que es lo que ocurre si un objeto externo con velocidad vvee es arrastrado a travesde u liquido estacionario. es arrastrado a travesde u liquido estacionario.

Si las exitaciones son solo fonones, la unica forma de Si las exitaciones son solo fonones, la unica forma de impartir momentum y energia al liquido es mediante la impartir momentum y energia al liquido es mediante la exitacion de nuevos fonones, o el scattering de los exitacion de nuevos fonones, o el scattering de los fonones ya existentes.fonones ya existentes.

Si suponemos que la cantidad de energia Si suponemos que la cantidad de energia ΔΔEE transferida transferida a traves de la exitacion de un numero de fonones esta a traves de la exitacion de un numero de fonones esta dada por dada por

Y el monmentumY el monmentum

Donde se debe cumplir que Donde se debe cumplir que

Velocidad y flujo de un superfluido.Velocidad y flujo de un superfluido.

Hasta el momento se ha considerado solo los estados Hasta el momento se ha considerado solo los estados con energia y momentum dados por con energia y momentum dados por

El momentum de estos estados es exclusivamente El momentum de estos estados es exclusivamente dado por el fluido normal, mientras que el superfluido dado por el fluido normal, mientras que el superfluido permanece uniformr y estacionario.permanece uniformr y estacionario.

Esta claro que hay estados no incluidos aca en los que Esta claro que hay estados no incluidos aca en los que el superfluido contribuye al momentum total, los cuales el superfluido contribuye al momentum total, los cuales son importantes al analizar su flujo.son importantes al analizar su flujo.

Para generar estos estados los estados por los cuales el Para generar estos estados los estados por los cuales el superfluido fluye uniformemente, debemos multiplicar la superfluido fluye uniformemente, debemos multiplicar la funcion de estado base por un factor comun de todos los funcion de estado base por un factor comun de todos los estados que estemos considerando.estados que estemos considerando.

Donde Donde P P es el momentum total y es el momentum total y R R la cordenada del la cordenada del centro de masa.centro de masa.

Esta nueva funcion de onda corresponde a un Esta nueva funcion de onda corresponde a un superfluido moviendose uniformemente con velocidad superfluido moviendose uniformemente con velocidad vvss= = PP/Nm./Nm.

Denominando los operadores de la siguiente forma:Denominando los operadores de la siguiente forma:

El Hamiltoniano y el momentum del sistemaEl Hamiltoniano y el momentum del sistema

Ahora bajo las tranformaciones galileanas:Ahora bajo las tranformaciones galileanas:

Con autovalores Con autovalores

Conclusiones.Conclusiones.

Gracias a la superfluidez que se presenta en el He II Gracias a la superfluidez que se presenta en el He II podemos observar macroscopicamente las propiedades podemos observar macroscopicamente las propiedades de un liquido cuantico.de un liquido cuantico.

Ademas es un refrigerante que permite el estudio a Ademas es un refrigerante que permite el estudio a temperaturas menores de 5 K.temperaturas menores de 5 K.

Si bien la descripcion ha sido solo de un gas de Si bien la descripcion ha sido solo de un gas de bosones, el bosones, el 33He tambien presenta propiedades de He tambien presenta propiedades de superfluidez, siendo este un fermion.superfluidez, siendo este un fermion.

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ReferenciasReferencias

Kerson Huang, Statistical Mechanics.Kerson Huang, Statistical Mechanics. Leopoldo Garcia-Colín, Termodinamica Leopoldo Garcia-Colín, Termodinamica

estadistica.estadistica. L. Garcia-Colín, Rosalio Rodriguez, Liquidos L. Garcia-Colín, Rosalio Rodriguez, Liquidos

Exóticos.Exóticos.