PROBABILIDADTRABAJO COLABORATIVO 1

PARTICIPANTES

DYRO ALEXIS GIRALDO

JUAN CAMILO TABORDA S

OMAR CORDOVA BERROCAL

GRUPO:

100402_361

TUTOR:AZUCENA GIL

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

OCTUBRE DE 2014

INTRODUCCION

La Estadística se ha convertido en un efectivo método para describir, relacionar y analizar los valores de datos económicos, políticos, sociales, biológicos, físicos, entre otros. Pero esta ciencia no sólo consiste en reunir y tabular los datos, sino en dar la posibilidad de tomar decisiones acertadas y a tiempo, así como realizar proyecciones del comportamiento de algún evento. Es así como el desarrollo de la teoría de la Probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la Estadística.

En el presente trabajo encontremos el desarrollo de la guía de actividades correspondiente al trabajo colaborativo 1 del curso de estadística compleja, costa de una serie de ejercicios resueltos por cada una de las integrantes del grupo colaborativo en el cual se tiene en cuenta los temas vistos en la unidad 1 del modulo, se presenta de manera ordenada de acuerdo a los ejercicios aportados por cada estudiante luego de consultar en diferentes fuentes documentales.

OBJETIVO GENERAL

Hacer uso perspicaz de las diferentes técnicas de conteo, ya que por medio de estas determinamos el espacio muestral o el tamaño del espacio, es decir estudiamos los eventos pasados, los que se están ejecutando y los que podrían presentarse, de tal forma que podemos estimar con menor grado de incertidumbre cualquier comportamiento, ordenando así la información de una manera más metódica.

Objetivos Específicos

Estudiar el módulo del área en su primera unidad, buscando las diferentes definiciones de experimentos aleatorios, espacio muestral, de eventos, técnicas de conteo, axiomas de probabilidad, teorema de Bayes.

Diferenciar entre las técnicas de conteo de permutación y combinación. Aplicar de manera correcta los axiomas de la probabilidad. Desarrollar destrezas para operar algunos ejercicios probabilísticos

propios de la vida diaria.

TEOREMA DE BAYES

En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 1763 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A.

Sea   un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades

condicionales  . Entonces, la probabilidad  viene dada por la expresión:

donde:

 son las probabilidades a priori.

 es la probabilidad de   en la hipótesis  .

 son las probabilidades a posteriori.

Aplicaciónes

El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar

nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.

TECNICAS DE CONTEO

Cardinales finitos

Cuando el número de posibles resultados de un experimento es finito, su espacio muestral es finito y su cardinal es un número natural. Si el experimento es simple, el espacio muestral es unidimensional, constituido por puntos muestrales con una sola componente, y el cardinal es simplemente el número de posibles resultados del experimento, los que se pueden enumerar fácilmente.

Pero si el experimento es combinado, el cardinal puede ser tan grande, que sería del todo absurdo pretender enumerarlos todos, por ser un proceso lento, tedioso, costoso y susceptible de errores. Y realmente no es importante poder numerarlos, sino saber contarlos.

Principio fundamental del Conteo

Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción puede realizarse de n2 maneras diferentes, entonces ambas acciones pueden realizarse secuencialmente de n1n2 maneras diferentes.

Este principio multiplicativo se generaliza para cualquier número de acciones a realizar, esto es, si una primera acción se puede realizar de n1 maneras diferentes, una segunda acción se puede realizar de n2 maneras diferentes,..., y una r- ésima acción se puede realizar de nr maneras diferentes, entonces las r acciones se pueden realizar de n1n2...nr maneras diferentes.

El principio multiplicativo es aplicable cuando el experimento se puede descomponer en un conjunto de acciones secuenciales o independientes, de modo que cada resultado del experimento se conforma con una posibilidad de cada una de esas acciones.

Permutaciones

Se llaman permutaciones de n objetos a las diferentes maneras en que se pueden ordenar esos n objetos; todas las permutaciones constan de los mismos n elementos, pero se consideran diferentes, por el orden en que se colocan éstos.

OrdenacionesSe llaman ordenaciones de n objetos de orden r a las diferentes maneras de escoger secuencialmente r objetos de entre n posibles, de modo cada una de las ordenaciones es distinta de las demás, si difi ere en alguno de sus objetos o en el orden de ellos.

CombinacionesSe llaman combinaciones de n objetos de orden r a los distintos grupos que se pueden formar al escoger secuencialmente r objetos de entre n posibles, de modo cada una de las combinaciones es distinta de las demás, si difieren uno de sus objetos por lo menos, sin importar el orden.

TECNICAS DE CONTEO

Cardinales finitos

Cuando el número de posibles resultados de un experimento es finito, su espacio muestral es finito y su cardinal es un número natural. Si el experimento es simple, el espacio muestral es unidimensional, constituido por puntos muestrales con una sola componente, y el cardinal es simplemente el número de posibles resultados del experimento, los que se pueden enumerar fácilmente.

Pero si el experimento es combinado, el cardinal puede ser tan grande, que sería del todo absurdo pretender enumerarlos todos, por ser un proceso lento, tedioso, costoso y susceptible de errores. Y realmente no es importante poder numerarlos, sino saber contarlos.

Principio fundamental del Conteo

Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción puede realizarse de n2 maneras diferentes, entonces ambas acciones pueden realizarse secuencialmente de n1n2 maneras diferentes.

Este principio multiplicativo se generaliza para cualquier número de acciones a realizar, esto es, si una primera acción se puede realizar de n1 maneras diferentes, una segunda acción se puede realizar de n2 maneras diferentes,..., y una r- ésima acción se puede realizar de nr maneras diferentes, entonces las r acciones se pueden realizar de n1n2...nr maneras diferentes.

El principio multiplicativo es aplicable cuando el experimento se puede descomponer en un conjunto de acciones secuenciales o independientes, de modo que cada

resultado del experimento se conforma con una posibilidad de cada una de esas acciones.

Permutaciones

Se llaman permutaciones de n objetos a las diferentes maneras en que se pueden ordenar esos n objetos; todas las permutaciones constan de los mismos n elementos, pero se consideran diferentes, por el orden en que se colocan éstos.

OrdenacionesSe llaman ordenaciones de n objetos de orden r a las diferentes maneras de escoger secuencialmente r objetos de entre n posibles, de modo cada una de las ordenaciones es distinta de las demás, si difi ere en alguno de sus objetos o en el orden de ellos.

CombinacionesSe llaman combinaciones de n objetos de orden r a los distintos grupos que se pueden formar al escoger secuencialmente r objetos de entre n posibles, de modo cada una de las combinaciones es distinta de las demás, si difieren uno de sus objetos por lo menos, sin importar el orden.

CAPITULO 1: EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS

Lección 1 Definición de experimento aleatorio

Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.

 

Lección 2 Definición de espacio muestral

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio

 

Lección 3 Sucesos o eventos.

Suceso o Evento de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral S. Los elementos de S se llaman sucesos individuales o sucesos elementales. También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible, Ø, y el propio S, suceso seguro.

 

Lección 4 Operaciones con eventos

Los eventos o sucesos son subconjuntos, entonces es posible usar las operaciones básicas de conjuntos, tales como uniones, intersecciones y complementos, para formar otros eventos de interés, denominados eventos o sucesos compuestos.

 

Lección 5 Diagramas de Venn y diagramas de árbol

Para describir las relaciones entre eventos se usan con frecuencia los diagramas.

Estos bien pueden ser los denominados diagramas de Venn o los diagramas de árbol.

 

CAPITULO 2: TÉCNICAS DE CONTEO

Lección 6 Principio fundamental del conteo

Principio de multiplicación o multiplicativo

Principio aditivo

 

Lección 7 Factorial de un número

En el análisis combinatorio interviene con mucha frecuencia el concepto de factorial de un entero no negativo n. Este se denota por el símbolo n! y se define como el producto de n por todos los enteros que le preceden hasta llegar al uno.

 

Lección 8 Permutaciones y variaciones

Considere un conjunto de elementos S = {a,b,c}. Una permutación de los elementos es un acomodo u ORDENAMIENTO de ellos. Una ordenación de un número r de elementos del conjunto de n elementos, r £ n , es denominada variación.

  

Lección 9 Combinaciones

Suponga que tiene un conjunto de n elementos. Una combinación de ellos, tomados r a la vez, es un subconjunto de r elementos donde el orden no se tiene en cuenta.

 

Lección 10 Regla del exponente

Si se tienen un conjunto de N elementos y se construye con estos elementos un conjunto de n elementos, con la condición de que cada vez que se tome un elemento del conjunto de N elementos este sea nuevamente reemplazado, entonces el número de posibles arreglos o acomodos del conjunto de n elementos es: Nn

 

 

CAPÍTULO 3: PROPIEDADES BÁSICAS DE LA PROBABILIDAD

Lección 11: Interpretaciones de la probabilidad

Método clásico de la probabilidad para estimar la posibilidad de ocurrencia de cada uno de ellos. P = 1/n.

 

Concepto de frecuencia relativa o probabilidad frecuentista utiliza la frecuencia relativa de las presentaciones pasadas de un evento como una probabilidad. P(A) = f/n

 

Probabilidades subjetivas. Las probabilidades subjetivas están basadas en las creencias de las personas que efectúan la estimación de probabilidad.

 

Lección 12: Axiomas de probabilidad: regla de la adición

Regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes:

P (A È B) = P (A) + P (B)

Regla de adición para eventos que no son mutuamente excluyentes:

P(A È B) = P(A) + P(B) - P(AÇB)

 

Lección 13 Axiomas de probabilidad: regla de la multiplicación

Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística

P (A Ç B) = P(A) X P(B)

Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística

P( B Ç A) = P(B / A) x P(A)

 

 

Lección 14 Probabilidad condicional

Probabilidad condicional bajo Independencia estadística

P(B/A) = P(B)

Probabilidad condicional bajo dependencia estadística.

P(B / A) = P(BÇA) / P(A)

 

Lección 15 Probabilidad total y teorema de bayes

TEMA: Capítulo 1.PROBABILIDAD MISCELANEA EJERCICIOS UNIDAD 1

Ejercicio 3.

Michael y Robert son dos turistas ingleses que viajaron al Perú a conocer una de las siete maravillas del mundo. Después de visitar Macchu Picchu, ellos deciden ir a disfrutar de las comidas típicas que se ofrecen en el restaurante “El ultimo Inca”. A Carlos, el sobrino del dueño, se le ha encomendado la tarea de observar que platos típicos comerán los dos turistas. La lista de platos es la siguiente: Trucha con papas fritas, Milanesa de alpaca, Cuy con papas, Guiso de alpaca. Suponiendo que cada turista pedirá solo un plato.

¿Cuál es el espacio muestral del experimento?

S1 {trucha con papas}

S2 {Milanesa de Alpaca}

S3 {Cuy Con Papas}

S4 {guiso de Alpaca}

Defina dos eventos A y B

S1 A = {Michael ordenó trucha con papas} 

S4 B= {Robert ordenó Guiso de Alpaca}

TEMA: Capítulo 2. PROBABILIDAD MISCELANEA EJERCICIOS UNIDAD 1

Ejercicio 1.

Que usar? Un joven se alista para la universidad, posee 4 jeans, 12 camisetas y 4 pares de zapatos deportivos, ¿Cuántas combinaciones de jean, camiseta y zapatos puede tener?

4*12*4= 192Esto quiere decir que dispone de 192 combinaciones diferentes.

TEMA: Capítulo 3. PROBABILIDAD MISCELANEA EJERCICIOS UNIDAD 1

Ejercicio 6.

Una muestra de 500 personas fue seleccionada en una gran área metropolitana para estudiar el comportamiento del consumidor. Entre las preguntas estaba ¿Disfruta comprando ropa? De los 240 hombres 136 contestaron que sí, mientras que de las 260 mujeres, 224 contestaron que sí. Si se selecciona al azar un encuestado, cual es la probabilidad de que el elegidoN=500H=240M=260

a) disfrute comprando ropa?

Hay un 72% de probabilidad que el elegido disfrute comprando ropa.

b) sea mujer y disfrute comprando ropa

que sea mujer:

Luego que disfrute comprando ropa

Hay un 44,8% de que el elegido sea mujer y disfrute comprando ropa

c) sea hombre y No disfrute comprando ropaque sea hombre

Ahora que no disfrute comprando ropa

Hay un 20,8% de que sea hombre y no disfrute comprando ropa.

Capítulo 1. Ejercicio 5Se seleccionan al azar cuatro estudiantes de una clase de química y se clasifican como masculino o femenino.a.- Liste los elementos del espacio muestral S usando la letraM para masculino y F para femenino.b. Liste los elementos del espacio muestral S donde los resultados representen el número de mujeres seleccionadas.

a.- S = {MMMM, MMMF, MMFM, MMFM, MFMM, MFMF, MFFM, MFFM, FMMM, FMMF, FMFM, FMFM, FFMM, FFMF, FFFM, FFFM}

b. S = {0, 1, 2, 3, 4}

Capítulo 2. Ejercicio 3Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse el comité si:a- Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.b.-Una mujer determinada debe pertenecer al comité.c.- Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

Solución a:Hombres: C5,2 = 10Mujeres: C7,3 = 35Tenemos que las posibilidades totales son: 10 x 35 = 350

Solución b:

C5,2 = 10Dado que una de las mujeres esta fija, hacemos las ordenaciones posibles de las 06 mujeres restantes para los 02 puestos que quedanC6,2 = 15Tenemos que las posibilidades totales son : 10 x 15 = 150

Solución c:Ya tenemos que para las mujeres tenemos:C7,3 = 35Como tenemos 5 hombres y 2 no pueden estar juntos la operación requerida es la siguiente:C3,1 = 3Uno de los hombres será cualquiera de los que no tienen problema de estar juntos, puede ser cualquiera de los 2. Entonces 3 x 2 = 6Tenemos que las posibilidades totales son = 35 x 6 = 210

Capítulo 3. Ejercicio 3En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar. a.- ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?b.- ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? c.- ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?

Para la solución de este problema vamos a aclarar lo siguiente48 personas hablan inglés y francés y 12 solo hablan inglés. Los que nos da un total de 48 personas.24 personas solo hablan francés y 48 no hablan ni ingles ni francés. Los que nos da un total de 72 personas.Para ordenar los conjuntos llamemos:HI = Habla inglesHf = Habla francés

Solución a:

P [HI U HF] = P [HI] + P [HF] – P [HI ᴖ HF] =

Solución b:P [HF/HI] =12/48 = 0,25

Solución c:P [HF ᴖ NO HF] = 24/120 = 0,2

CONCLUSIONES

Comprender el contenido de la primera unidad es sin duda un avance en nuestra preparación profesional.

La Aplicación correcta de la probabilidad hace que nosotros tengamos más certidumbre sobre algunos eventos que se dan en el ámbito laboral,

económico, social y político, cuando se hace necesario tomar decisiones sobre resultados futuros, aunque siempre trabajamos bajo cierto grado de incertidumbre, es decir puede existir algún error.