T11 B Sistemas De Representacion (Cad)
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Sistemas de representación
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Sistemas de representación
Sistema de Representación
Conjunto de Principios que determinan la representación de un objeto (3D) mediante la utilización de proyecciones
Proyectar
Trazar líneas rectas desde los puntos de una superficie o elemento geométrico de acuerdo a determinadas reglas, hasta que encuentre la superficie de proyección
Proyección
La figura que se obtiene sobre una superficie (papel, pantalla) al proyectar sobre ella los puntos característicos de una figura
Proyección de un cuerpo sobre un plano
Resultado obtenido
Elementos de un sistema de representación
Centro de proyección Origen de las líneas de proyección
Líneas de proyección Plano de proyección
Papel 2D Pantalla Ordenador Esfera, Cono
C
Líneas de proyección
Plano de proyección
Clasificación de los sistemas de representación
Según el centro de proyección Cercano al plano de
proyección. Es un punto real, origina líneas de proyección divergentes, dando lugar a la proyección cónica.
En el infinito, es un punto singular que origina líneas de proyección paralelas , dando lugar a la proyección cilíndrica.
C
Clasificación de los sistemas de representación Según las líneas de proyección
Ortogonales al plano de proyección Oblicuas al plano de proyección
Clasificación de los sistemas de representación
Según el plano de proyección Un solo plano se denomina Perspectiva Dos planos se denomina Sistema Diédrico Tres planos Triédrico
Sistemas y subsistemas de representación Cilíndrico (Líneas de proyección paralelas)
Ortogonal Un solo plano de proyección
Sistema Axonométrico Subsistema Isométrico (Tres ángulos Iguales) Subsistema Dimétrico (Dos ángulos iguales) Subsistema Trimétrico (todos diferentes)
Subsistema Planos Acotados Varios planos de proyección
Sistema Diédrico Oblicuo
Un solo plano de proyección Sistema Axonométrico
Subsistema Perspectiva Caballera Subsistema de la perspectiva militar
Sistemas y subsistemas de representación
Cónico (líneas de proyección concurrentes en un punto) Un solo plano de proyección
Sistema Cónico Subsistema de cuadro o plano vertical Subsistema de cuadro o plano horizontal Subsistema de cuadro o plano inclinado
Varios planos de proyección Sistema Cónico
Subsistema gnomónico
Sistemas de proyección para modelos 3D sobre pantalla de ordenador
En un modelo 3D se dispone de las tres coordenadas de cada punto del sólido.
Por lo tanto hay que aplicar la trasformación de coordenadas que interese para visualizar la pieza de la manera deseada
En este caso lo importante es situar el punto de vista y definir si se quiere visualizar con líneas de proyección paralelas o divergentes (perspectivas isométricas o cónicas)
El ordenador calcula la proyección de cada vértice y nos lo muestra en pantalla de acuerdo a nuestros deseos. (Incluso en tiempo real, Animación 3D)
Sistemas de proyección para modelos 3D sobre pantalla de ordenador
EL ordenador trabaja siempre con dos sistemas de coordenadas Universales (coordenadas del modelo) Del dispositivo (pantalla, coordenas en pixels)
Para poder tratar numéricamente los puntos del espacio tridimensional se utilizan coordenadas homogéneas. (x, y, z,1)
De esta manera la matriz de transformación que se aplica a los puntos tiene siempre dimensión 4 x 4.
Transformaciones aplicables a modelos de coordenadas 3D
Matriz 3x3 para escalas, reflexiones
y rotaciones
Traslación 1
Esta parte de la matriz genera transformación de la perspectiva
Escala
E 0 0 0
0 E 0 0
0 0 E 0
0 0 0 1
( x, y, z, 1 ) x T = (ex, ey, ez, 1)
T =
Rotaciones (Eje x, angulo A)
1 0 0 0
0 cos A -sen A 0
0 sen A cos A 0
0 0 0 1
( x, y, z, 1 ) x T = (x, (ycosA + z senA), (-ysenA + zcosA), 1)
T =
Traslaciones
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
h j k 1
( x, y, z, 1 ) x T = (x + h, y + j, z + k, 1)
T =
Proyecciones
Las anteriores transformaciones servían para manipular las coordenadas en el espacio.
Para la visualización en soporte 2D (Pantalla, Papel) hay que recurrir a otras transformaciones llamadas proyecciones
Proyección Axonométrica En una proyección ortogonal, donde el
observador se sitúe por ejemplo en el eje x, la proyección resultante es aquella donde x=0. (plano de proyección perpendicular a la línea de proyección)
En el sistema axonométrico general, el observador estará situado en algún punto del espacio (Vx, Vy, Vz)
El plano de proyección será ortogonal al vector que pasa por el origen y el punto donde se sitúa el observador.
Por lo tanto hay que girar los ejes de coordenadas hasta que conseguir que uno de ellos coincida con la dirección del vector anterior
Proyección Axonométrica Para ello hay que realizar dos giros
seguidos El primero (G1) alrededor de z, para
posicionar el eje x en la dirección dada por (Vx, Vy) Modulo giro r= SQR(Vx2 +Vy2) Angulo de giro A1= arcotangente
(Vy/Vx) El segundo (G2) para posicionar
este nuevo eje en (Vx,Vy,Vz) Modulo giro s= SQR(r2 +Vz2) Angulo de giro A2= arcotangente (Vz/r)
Proyección Axonométrica
cos A1 -sen A1 0 0
sen A1 cos A1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
G1 =
cos A2 0 -sen A2 0
0 1 0 0
sen A 2 0 cos A2 0
0 0 0 1
G2 =
Proyección Axonométrica
cos A2cosA1 -sen A1 -senA2cosA1 0
cos A2senA1 cos A1 -senA2senA1 0
senA2 0 cosA2 0
0 0 0 1
Por ello la matriz de transformación compuesta sera T = G1 x G2 o lo que es lo mismo
T =
Proyección Axonométrica
Una vez se aplica dicha transformación a las coordenadas de nuestro modelo, obtenemos unas nuevas coordenadas
X´ = T x X = (x´, y´, z´, 1)
La proyección Axonométrica (2D) buscada serán las coordenadas (y´, z´) de los puntos transformados.
Proyección Axonométrica
La perspectiva Isométrica se obtendrá cuando Vx = Vy = Vz
Aplicando las ecuaciones anteriores se obtiene que los ángulos que hay que girar el modelo son:
A1 = 45 º A2 = 35,264 º
Por lo tanto la matriz de transformación a aplicar será:
0,57735 -0,70711 -0,40825 0
0,57735 0,70711 -0,40825 0
0,57735 0 0,81650 0
0 0 0 1
T =
Proyección Axonométrica
La perspectiva Dimétrica se obtendrá cuando dos de los vectores sean iguales Vx, Vy=Vz
Aplicando las ecuaciones anteriores se obtiene que los ángulos que hay que girar el modelo son:
A1 = 20,705 º A2 = 19,471 º
Calcular la matriz de transformación
T =
a b c 0
d e f 0
g h i 0
0 0 0 1
Proyección AxonométricaLa vistas normalizadas son por lo tanto casos particulares de puntos de vista axonométricos
Alzado Vx= 1 Vy = 0 Vz = 0 A1 = 0 º A2 = 0 º
T =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(x,y,z,1) x T = (x, y, z, 1)
El alzado son las coordenadas (y,z) del modelo
Proyección AxonométricaLa vistas normalizadas son por lo tanto casos particulares de puntos de vista axonométricos
Perfil Izq Vx= 0 Vy = -1 Vz = 0 A1 = -90 º A2 = 0 º
T =
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(x,y,z,1) x T = (y, x, z, 1)
El alzado son las coordenadas (x,z) del modelo
Perspectiva Cónica
La perspectiva cónica es una proyección central sobre un plano 2D.
Se necesitan definir varios parámetros:
a) La posición del observador (Punto de Observación) (Ox, Oy, Oz)
b) la posición del plano sobre el que se proyecta (Punto de vista) (Px, Py, Pz) y distancia a la que está el plano del observador.
Perspectiva CónicaLa primera transformación que hay que llevar a cabo es llevar el origen del nuevo sistema de coordenadas al punto donde se encuentra el observador.
Es decir una translación (-Ox, -Oy, -Oz)
T1 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
-Ox -Oy -Oz 1
Eso implica que el vector que define ahora el plano de proyección es (Px-Ox, Py-Oy, Pz-Oz)
Perspectiva CónicaLa segunda es situar el sistema de coordenadas con el eje x coincidiendo con la nueva dirección de proyección del plano (punto de vista)
cos A2cosA1 -sen A1 -senA2cosA1 0
cos A2senA1 cos A1 -senA2senA1 0
senA2 0 cosA2 0
0 0 0 1
T2 =
Perspectiva CónicaPor último se realizará una proyección cónica desde el punto p (distancia al plano del cuadro)
Esta distancia funciona como la distancia focal de las cámaras fotográficas. Para un objeto dado, cuanto menor es esta distancia, mayor es el campo de visión, manteniéndose la forma proyectada del objeto.
T3 =
1 0 0 -1/p
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
