T2_Examen resuelto
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8/19/2019 T2_Examen resuelto
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Cálculo infinitesimal
Prueba 2 (Solución) 27-10-2011 (Grupo A-109)
Completa y lee esto antes de empezar
No de matrı́cula:
Apellidos y Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La duración del examen es de 1h. 30min.
Se debe entregar esta hoja correctamente cumplimentada.
No se puede utilizar ni lápiz ni bolı́grafo rojo.
1. Sea la funciónf (x) =
1 − x si x ∈ [0, 1)
x si x ∈ [1, 2]
Si se define F (x) =
x
0
f (t) dt ¿se puede afirmar que F es continua?, ¿como consecuencia
del Primer teorema fundamental se puede afirmar que F es una primitiva de f ? Determinaexplı́citamente la expresión de F (x).
Soluci´ on:
Śı en efecto, se puede afirmar que F es continua, pues aunque f no es continua (tiene una discon-
tinuidad de salto, es falso que la discontinuidad sea evitable ), śı es integrable en [0, 2]. Respecto dela segunda pregunta, no se puede afirmar este extremo, puesto que f no es continua y por tanto elPrimer teorema fundamental no asegura que la función F sea derivable y por tanto no asegura queF (x) = f (x).
x ∈ [0, 1)F (x) =
x0
(1− t) dt =
t − 12
t2x0
= x(1− 12
x)
x ∈ [1, 2]
F (x) =
x0
f (t) dt =
10
(1−t) dt+ x1
t dt =
t − 1
2t210
+1
2
t2x1
=
1 − 1
2
+
1
2
x2 − 1 = 1
2x2
Por tanto la función F es continua en [0, 2]
2. Si x >
π
4, estudia si la función
F (x) =
x
2
√ π
4
ln (|arc tg(t)|) dt
es creciente en dicha región.
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8/19/2019 T2_Examen resuelto
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Soluci´ on:
Puesto que la función
f (x) = ln (|arctg(x)|) =
ln (arctg(x)) si arctg(x) > 0 ⇐⇒ x > 0ln (− arc tg(x)) si arc tg(x) < 0 ⇐⇒ x π4
entonces por el Primer teorema fundamental F es derivable y de esta
manera se estudia el crecimiento analizando el signo de su derivada:
F (x) = ln
arctg(x2) · 2x > 0 ∀x ∈ (
π
4,∞)
Por tanto la función F es creciente.
3. Sea D el recinto acotado en el primer cuadrante, limitado por las curvas y = 1
2x2 y x =
1
2y2.
a ) Calcula el volumen del sólido, generado al girar 2 π alrededor del eje OX , la región D
b) Calcula el volumen del sólido, generado al girar 2 π alrededor del eje OY , la región D
Soluci´ on:
Se trata de la región acotada por las dos curvas: f 1(x) = 1
2x2 y f 2(x) =
√ 2x. Se calcula primero el
punto de intersección de ambas curvas:
√ 2x =
1
2x2 =⇒ 2x = 1
4x4 =⇒ 8x = x4 =⇒ x = 2 e y = 2
a ) Eje O X
V ox = π
20
(f 2(x))2 − (f 1(x))2 dx
sustituyendo:
V ox = π
20
(√
2x)2 dx − π 20
1
2x22
dx = π
x220− π 1
20
x520
= 12
5 π
b) Eje O Y
V oy = 2π
20
xf 2(x)− 2π 20
xf 1(x) dx
sustituyendo:
V oy = 2π
20
x√
2x dx − 2π 20
x1
2x2 dx = 2
√ 2π
2
5
x5/2
20
− π4
x420
= 12
5 π
4. Si a > 0 determina el área del recinto plano acotado por y = 2a2 x− 1
a3 x
2 y el eje de las abscisas¿Depende del valor de a?.
Soluci´ on:
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Se trata de una parábola
f (x) = 2
a2x − 1
a3x2 = x
2
a2 − x
a3
Los puntos de corte con el eje de las abscisas son x = 0 y 2a2 − xa3 = 0, esto es x = 2a. Ası́ pues elárea pedida es:
A = 2a
0
2
a2
x
− 1
a3
x2 dx = 2
a2
2a
0
x dx
− 1
a3
2a
0
x2 dx = 4
3
Por tanto es independiente del valor de a.
5. Calcula
+∞
1
dx
x ln x
Soluci´ on:
Se trata de una integral impropia pues se trata de una integral definida sobre un intervalo no acotadoy además la función no está definida para x = 1. Ası́ pues,
+∞1
dx
x ln x dx = ĺımM →+∞ρ→0+ M 1+ρ
dx
x ln x
La integral es directa:
ĺımM →+∞ρ→0+
[ln(ln x)]M 1+ρ = ĺımM →+∞
ρ→0+ln(ln(M ))− ln(ln(1 + ρ)) = ∞ +∞ = ∞
Bastaŕıa con que uno de los ĺımites fuese infinito, pero en este caso particular, los dos ĺımites soninfinitos, con lo cual la integral es divergente