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T 2 P t i l lé t iTema 2: Potencial eléctrico

Física IIFísica IIIngeniería de Tecnologías IndustrialesPrimer Curso

Curso 2012/2013Joaquín Bernal Méndez

Dpto. Física Aplicada III - ETSI 1

ÍÍndice Introducción: energía potencial electrostática Diferencia de potencialp

Significado físico Propiedades Superficies equipotenciales

Potencial de un sistema de cargas puntuales Determinación del campo eléctrico a partir del

potencial Potencial de distribuciones continuas de carga Energía potencial electrostática

Física II. Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales Tema 2.-Potencial eléctricoCurso 2012/2013 Dpto. Física Aplicada III 2/32

Energía potencial electrostática

Introducción

La fuerza asociada a campos eléctricos á áestáticos (o electrostáticos) es conservativa

El trabajo realizado por la fuerza cuando actúa en d d l d duna determinada trayectoria solamente depende

del punto inicial y final, no del camino recorrido.El t b j li d i d l El trabajo realizado en un camino cerrado es nulo.

Puede definirse una función energía potencial.


Introducción

El trabajo realizado por l it t iel campo gravitatorio

sobre una masa mequivale a la disminución de energía potencial gravitatoria

El trabajo realizado por El trabajo realizado por el campo electrostático sobre la carga +q es igual a la disminuciónigual a la disminución de energía potencial electrostática

Tierra Carga


Tierranegativa

Energía potencial

Sea una carga q0 en un campo externo Trabajo realizado

por la fuerza E

pconservativa

dW F dl

F E

dl

v

Variación de energíapotencial

0qdW F dl

0F q Edl

potencial

0dU F dl q E dl


Diferencia de potencial

La variación de U es proporcional a q0

Diferencia de potencial:p

dUdV E dl

Incremento entre dos puntos: integral de línea

0q

Incremento entre dos puntos: integral de líneaB

B A AV V V E dl

B

Menos circulación de ¡No depende del camino!

A

AE


¡No depende del camino! A

Diferencia de potencial

La diferencia de potencial (VB-VA) es el menos trabajo realizado por el campo electrostático cuando desplazamosrealizado por el campo electrostático cuando desplazamos la unidad de carga positiva desde A hasta B

La diferencia de potencial (VB-VA) es el trabajo que debe p ( B A) j qrealizarse para desplazar la unidad de carga positiva desde A hasta B en el seno de un campo electrostático

El proceso tiene que ser cuasi-estático Para que no aparezca un término de variación de energía cinética

é í ó Para que no exista pérdida de energía en forma de radiación electromagnética, que aparece cuando hay cargas aceleradas


Propiedades de V Es un campo escalar: función de la posición ( )V r

Es un campo escalar: función de la posición La diferencia de potencial entre dos puntos tiene

significado físico, pero no el valor concreto de V en d t

( )V r

cada punto El “origen de potencial” es arbitrario

La función V es continua en todos los puntos, excepto La función V es continua en todos los puntos, excepto donde el campo eléctrico sea infinito Demostración:

cosdV E dl Edl

Entonces si E es finito dV es infinitesimal V disminuye en la dirección indicada por las líneas de

cosdV E dl Edl

campo Unidades: voltio (V); 1V=1J/C=1Nm/C → 1V/m=1N/C

dU dV dV E dl


0dU q dV dV E dl

Campo eléctrico uniforme: superficies equipotenciales

E Ei

y dV E dl Edx

xB B

B AA AdV V V E dx

B

B A AV V V E dx E x 3V2V1V

Superficies equipotenciales: superficies tales que en todos sus puntos V=cte.

En este ejemplo son todos los planos de x=cte

El trabajo para desplazar una carga de un punto a otro de una

1 2 3V V V


j p p g psuperficie equipotencial es nulo

Aplicación

¿Cuánto vale la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera de unentre dos puntos cualesquiera de un conductor en equilibrio electrostático?

0B

B A AV V V E dl

B

ASe puede hablar del potencial

Ade un conductor en equilibrio electrostático. Su superficie es una superficie equipotencial


una superficie equipotencial

ÍÍndiceI t d ió í t i l l t táti Introducción: energía potencial electrostática

Diferencia de potencialS f d fí Significado físico

PropiedadesS fi i i t i l Superficies equipotenciales

Potencial de un sistema de cargas puntualesD t i ió d l lé t i ti d l Determinación del campo eléctrico a partir del potencialP t i l d di t ib i ti d Potencial de distribuciones continuas de carga



Potencial de una carga puntual

Sea una carga q calculamos dV en r:

Punto dereferencia

calculamos dV en r:

2ˆ

qdV E dl k r dl

r

Punto campo

rˆ cosr dl dl dr

Donde:

Integrando:

2

qdV k dr

r

Integrando:

2

Pr

P ref r

q q qV V k dr k k


2ref

f rP refr r r


La referencia de potencial es arbitrariaarbitraria

Tomamos:( ) 0yfr V

Punto dereferencia

Punto campo

Entonces:( ) 0 y refr V

( ) ( )q q

V V k k0 0

( ) ( )q q

V r V k kr

( )q

V r k( )V r kr

POTENCIAL DE COULOMB:




Superficies equipotenciales:

3V2Vequipotenciales:

esferas centradas en la carga 2r

2V1V

1 2 3V V V ii

qV k

r 3r

1r

Relación con la energía potencialEnergía potencial electrostática de un sistema de dos cargas

ir

Energía potencial electrostática de un sistema de dos cargas tomando U(∞)=0 :

00( ) ( )

qqU r q V r k

Trabajo para llevar q0

desde ∞ hasta r en


0( ) ( )qr presencia de q

Sistema de cargas puntuales

El potencial de un sistema de cargas puntuales en un puntoP es la suma de los potenciales 3r

3q

PP es la suma de los potencialesde cada carga en ese punto

q

33q

1r

2r

iP

i i

qV k

r 1q2q

Esto es una consecuencia del principio de superposición para el campo eléctricop

La suma es escalar, no vectorial: a veces resulta más fácil calcular V como paso previo para obtener el campo eléctrico

¿Cómo se determina el campo eléctrico a partir del potencial?


¿Cómo se determina el campo eléctrico a partir del potencial?

ÍÍndiceI t d ió í t i l l t táti Introducción: energía potencial electrostática

Diferencia de potencialS f d fí Significado físico

PropiedadesS fi i i t i l Superficies equipotenciales

Potencial de un sistema de cargas puntualesD t i ió d l lé t i ti d l Determinación del campo eléctrico a partir del potencialP t i l d di t ib i ti d Potencial de distribuciones continuas de carga



Determinación del campo eléctrico a partir del potencial

dV E dl dl

E cosE dl tE dl

t

dVE

dl

E

tE

dl Si Si es máximo

cos 0 0dl E dV

cos 1dl E dV

El campo eléctrico indica la dirección de máxima variación de V El módulo del campo eléctrico en ese punto es la derivada

direccional máximadireccional máxima

max

dVE

dl


max

Determinación del campo eléctrico a partir el potencial

El di t d f ió l El gradiente de una función escalar es un vector cuya dirección es la de máxima variación d f ió ód l l d i dde esa función y cuyo módulo es la derivada en esa dirección

f f f Cálculo del gradiente: En consecuencia:

f f ff i j k

x y z

Ejemplo: campo uniforme paralelo al eje x

E V

Ejemplo: campo uniforme paralelo al eje x

( )dV

V x Ax E i Aid


dx

Ejemplo: sistema de doscargas puntuales

Las líneas de ampo elé t i o• Las líneas de campo eléctrico son perpendiculares a las superficies equipotenciales

• Suficientemente cerca de cada carga las superficies equipotenciales son esferasequipotenciales son esferas

• Lejos de ambas cargas la superficie equipotenciales sonsuperficie equipotenciales son también esféricas ¿Por qué?

• Existen puntos donde el

Líneas equipotenciales y líneas de campo eléctrico (discontinuas) para dos cargas

potencial es nulo ¿Es nulo el campo eléctrico en esos puntos?


( ) p geléctricas de 3 C y -1 C

p

ÍÍndice

Introducción: energía potencial electrostática Diferencia de potencialp





g p

Potencial de distribuciones continuas de carga

d d Para una carga puntual:

Entonces dV creado por dqz

dq d

Pq

V kr

Entonces, dV creado por dq

en P: x yr

dqdV k

r

Potencial en P: r

dq dV k k

Integro en el

volumen V k kr r volumen

Esta ecuación supone V(∞)=0 y por tanto no puede usarse para ( )distribuciones de carga que se extiendan hasta el infinito.

En estos casos suele poder calcularse V a partir del campo eléctrico, obtenido a s e mediante Ley de Gauss


obtenido a su vez mediante Ley de Gauss

Potencial de distribuciones continuas de carga

Distribución superficial de carga:z dq dS dS

V k

Distribución lineal de carga:

x y r

Ps r

Distribución lineal de carga:

z dlrP

dl

x

z dl

dq dl l

dlV k

r


x y

Cálculo del potencial Ejemplo: Campo eléctrico y potencial en puntos del eje

de un anillo con carga uniforme

2 2l

k Qdq k

r x a

Ql

dqV k

r x a

2 2r x a Es el mismo dq

dV Qxk

dV 3

22 2( )x

dV QxE k

dx x a

dV

E V idx


Cálculo del potencial Ejemplo: Campo eléctrico y potencial en puntos del eje

de un anillo con carga uniforme

2 2

QV k

x a

Q

x a

322 2( )x

QxE k

x a

xE E i

( )x a

Si x>>a (puntos alejados del anillo):Q

V k Potencial de una Si x>>a (puntos alejados del anillo):

En el centro del anillo (x=0):

V kx

carga puntual

0E (0)Q

V k Máximo en el j


0xE (0)V ka eje x

Cálculo del potencial Ejemplo: potencial debido a una corteza esférica

Q En principio se puede calcular V por Q

Rintegración directa

Alta simetría: es más fácil calcular primero el ampo elé t i o mediante Le de Ga ss

1rScampo eléctrico mediante Ley de Gauss

24 4E dA E kQ

2rS

RQ

E k1

24 4r

rsE dA E r kQ

24 4 0E dA E r kQ

r R

r R

2r

QE k

r

0E 2

int4 4 0r

rsE dA E r kQ r R 0rE

El campo eléctrico en el exterior de la esfera coincide con el campo d l d l d


creado por una carga puntual de valor Q situada en su centro


Q r R0

QR

( ) ( )r

V r V E dr

0

2

r dr QkQ k

r r

( )Q

V r kr

r

r R

2( )

r R rdrV r E dr kQ Edr

0Q R 2

( )R

V d kQ dr

( )Q

V r k

Q R

r


( )V r kR


El potencial y el campo fuera de la esfera son iguales que los que crearía una carga puntual Qen su centro

El potencial es continuo al atravesar la corteza esférica

En el interior de la esfera el campo eléctrico es nulo y el potencial es constantepotencial es constante

Si E=0 en una región, no implica V=0 sino V constante


p

ÍÍndice

Introducción: energía potencial electrostática Diferencia de potencialp





g p

Energía potencial electrostática Para traer una carga q desde el infinito a las Para traer una carga q2 desde el infinito a las

proximidades de otra q1 necesitamos realizar un trabajo: q q qqj

Donde hemos tomado 2 1( ) ( ) 0U q V

1 22 1( )

q qW U q V d k

d ext + +

2q1q d

Donde hemos tomado En general, para un sistema de n cargas puntuales:

1 n

2 1( ) ( )q

Í Á

1

1

2

n

i ii

U qV

ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES

La ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA de un sistema de cargas puntuales es el trabajo necesario para transportar las cargas desde una

distancia infinita hasta sus posiciones finales


distancia infinita hasta sus posiciones finales

Energía potencial deconductores en equilibrio

q Para un conductor esférico con carga q: Trabajo para añadir una carga dq:

qV k

R

R+ + +

í i l l á i d l d

qdU Vdq k dq

R

R++

+++

La energía potencial electrostática del conductor en equilibrio electrostático se obtiene integrando:

2 1Qk kQ Válida aunque el

Si se tiene un sistema de n conductores:

2

0

1

2 2

Qk kQU qdq QV

R R

Válida aunque el conductor no sea esférico

Si se tiene un sistema de n conductores:

1

2

n

i iU QV ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA DE UN SISTEMA DE CONDUCTORES


12 i

Energía potencial deconductores (visión alternativa)

El conductor puede considerarse un sistema de cargas puntuales infinitesimales dq situadas todas al mismo p qpotencial V :

1 n

U V 1 1U dQ V QV

La “suma” de todas las cargas infinitesimales es una integral

12 i ii

U qV

2 2

U dQ V QV La suma de todas las cargas infinitesimales es una integral

No es necesario asumir que el conductor es esférico No es necesario asumir que el conductor es esférico


Resumen Las fuerzas electrostáticas son conservativas y, por tanto, puede y, p , p

definirse una función energía potencial como el menos trabajo realizado por la fuerza conservativa

La variación del potencial electrostático es el incremento de energía potencial electrostática por unidad de cargapotencial electrostática por unidad de carga Se calcula como una integral de línea del campo eléctrico. Significado físico de V: trabajo cuasiestático que hay que realizar

para desplazar la unidad de carga positiva entre dos puntosp p g p p El origen de potencial es arbitrario Representación gráfica: superficies equipotenciales

Conocido V es posible calcular el campo: E V

Cálculo del potencial: Distribuciones finitas de carga: integración (distribuciones

continuas) o sumatorio (distribuciones discretas)Distrib ciones con alta simetría p ede es lta más sencillo

E V

Distribuciones con alta simetría: puede resultar más sencillo calcular previamente el campo eléctrico mediante Ley de Gauss

Distribuciones infinitas: debe calcularse primero el campo eléctrico La energía potencial electrostática de una distribución de cargas es el


La energía potencial electrostática de una distribución de cargas es el trabajo que hay que realizar para crear la distribución

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