Tema 3. Sistemas modelo de movimiento rotacional. El tomo de hidrgeno.

En este tema seguimos profundizando en los conceptos de la Mecnica Cuntica a

base de resolver algunos ejemplos conceptualmente sencillos. El tema sigue un

esquema esencialmente paralelo al del tema anterior, una vez introducido el operador

correspondiente al momento angular. Al igual que en el caso clsico, el momento

angular L juega para la rotacin un papel anlogo al del momento lineal p para el

movimiento de traslacin. Por ejemplo, para la energa cintica

Ttras =12m

p2!Trot =12IL2

donde se ha introducido el momento de inercia de la partcula I =mr2

1. Momento angular.

En Mecnica Clsica se define el momento angular de una partcula como el producto

vectorial de los vectores posicin y momento lineal (o cantidad de movimiento):

L = r!p =i j kx y zpx py pz

=

y pz " z pyz px " x pzx py " y px

#

$

%%%%

&

'

((((

Por tanto, en Mecnica Cuntica se puede construir el operador correspondiente sin

ms que realizar la transformacin habitual

q! q = q!!!!!!!pq ! pq =!i""q

!!!!!!!!!!!!!q = x, y, z

con ello

L=

LxLyLz

!

"

####

$

%

&&&&

=

y pz ' z pyz px ' x pzx py ' y px

!

"

####

$

%

&&&&

=

!iy ((z

' z ((y

!

"#

$

%&

!iz ((x

' x ((z

!

"#

$

%&

!ix ((y

' y ((x

!

"#

$

%&

!

"

########

$

%

&&&&&&&&

Obviamente, de manera anloga a la Mecnica Clsica, se puede tambin definir el

operador asociado al mdulo (estrictamente hablando el cuadrado del mdulo) del

momento angular:

L2 = Lx2 + Ly

2 + Lz2

Un punto importante a sealar es que, ahora a diferencia del caso clsico, no es

posible en general conocer simultneamente las tres componentes del momento

angular cuntico. En efecto, recordemos que slo si dos operadores conmutan existe

un conjunto completo comn de funciones propias. Es trivial demostrar que para los

operadores de momento angular se cumplen las siguientes relaciones:

Lx, Ly!" #$= i! Lz !;!! Ly, Lz!" #$= i! Lx !;!! Lz, Ly!" #$= i! Ly

Lx, L2!

"#$= Ly, L

2!"

#$= Lz, L

2!"

#$= 0

En otras palabras, salvo en casos excepcionales, el modelo mecano-cuntico slo

permite conocer simultneamente el mdulo del momento angular y una de las

componentes del vector, la cual se escoge como Lz.

2. La partcula en un anillo.

El caso ms simple de movimiento rotacional que podemos imaginar es una partcula

que se mueve a lo largo de una circunferencia en ausencia de potenciales externos. El

hamiltoniano se expresa como

H = T = ! !2

2m"2

"x2+

"2

"y2#

$%

&

'(

Sin embargo, la simetra del problema nos indica que las

coordenadas cartesianas no son en absoluto las ms

adecuadas para describir el problema, ya que la distancia

al origen, r, se mantiene contante. As pues, cambiamos el

sistema de coordenadas polares planas definido por {r,}

r = x2 + y2 !!!!!!!!!!tan! = yx

Para construir el operador, calculamos inicialmente las primeras derivadas

!!x

=!r!x

!!r

+!!!x

!!!

= cos! !!r

"sin!r

!!!

!!y

=!r!y

!!r

+!!!y

!!!

= sin! !!r

+cos!r

!!!

a continuacin, recordando la expresin de la derivada de un producto y que en

general el producto de operadores no es conmutativo, las segundas

!2

!x2= cos2! !

2

!r2+sin2!r2

!2

!! 2"2sin! cos!

r!2

!r!!+sin2!r

!!r

+2sin! cos!

r2!!!

!2

!y2= sin2! !

2

!r2+cos2!r2

!2

!! 2+2sin! cos!

r!2

!r!!+cos2!r

!!r

"2sin! cos!

r2!!!

y, finalmente, simplificamos

H = ! !2

2m"2

"r2+1r""r+1r2

"2

"! 2#

$%

&

'( r=cte) *)) H = !

!2

2mr2"2

"! 2= !

!2

2I"2

"! 2

donde se ha introducido el momento de inercia I.

Recordemos que en Mecnica Clsica, la energa cintica de rotacin se relaciona con

el momento angular segn

T = L2

2I=Lz2

2I

donde se ha tenido en cuenta que las componentes Lx y Ly son nulas ya que el

movimiento de rotacin se lleva a cabo en el plano XY. La comparacin de la

expresin clsica con la cuntica sugiere* escribir el operador correspondiente a la

componente Z del momento angular como

Lz =!i

!!!

Efectivamente, sta es la forma del operador Lz como puede fcilmente comprobarse

transformando a coordenadas polares planas la expresin que encontramos en el

apartado anterior.

Una vez conocida la forma del Hamiltoniano, slo nos queda resolver la ecuacin de

Schrdinger:

!!2

2I"2

"! 2# = E#

A estas alturas del curso, debera ser ya evidente que matemticamente la solucin, no

normalizada, de la ecuacin anterior es

!m = exp im!( )!!!!!!!!!!!m = 2 I E

!

Sin embargo, como ya sabemos la funcin de onda para ser aceptable ha de ser

univaluada y, por tanto, se ha de cumplir una condicin cclica de contorno

exp im!( ) =!m !( ) =!m ! + 2"( ) = exp im!( )exp i2!m( ) = "1( )2m exp im!( )

As pues, se ha de cumplir que !1( )2m =1 , lo que exige que m sea un nmero entero

(positivo, negativo o cero). En consecuencia, la funcin de onda normalizada es

!m =12!

exp im"( )!!!!!!!!!!!!!!!!!!m = 0, 1, 2 ...

* Una derivacin rigurosa requiere el estudio de las ecuaciones clsicas de Lagrange,

lo cual una vez ms queda fuera del alcance de estas Notas.

Por otra parte, la energa aparece naturalmente cuantizada

Em =!2

2Im2 !!!!!!!!!!!!!!!!!!m = 0, 1, 2 ...

y, dado que depende del cuadrado de m, todos los niveles de energa excepto el

fundamental estn doblemente degenerados.

Obviamente, H y Lz conmutan, por lo que tendrn un conjunto comn de funciones

propias

Lz!m =!i

""!

12"

exp im!( )#

$%

&

'(=m!

12!

exp im"( )#

$%

&

'(=m!!m

de donde los valores propios del momento angular (siendo precisos de la componente

Z del momento angular) son de la forma m! y evidentemente toman valores

cuantizados. Observemos, por otra parte, que se puede conocer exactamente los

posibles resultados de la medicin del momento angular. Ahora bien, el momento

angular y la posicin son observables complementarios en el sentido del principio de

Heisenberg, por lo que debera ser imposible tener informacin alguna del valor de .

En efecto, la densidad de probabilidad es

!m*!m =

12!

exp "im"( ) 12!

exp im"( ) = 12!

que es independiente de y, consecuentemente, la misma para cualquier ngulo. Es

decir, la posicin de la partcula est completamente indefinida.

3. La partcula en una esfera.

De manera anloga a como hicimos para la partcula en una caja, nos toca ahora

generalizar el resultado a ms de una dimensin. La opcin obvia sera permitir que

variara r para conseguir una caja redonda. Sin embargo, este problema

aparentemente simple es, en realidad, bastante complicado. La resolucin se basa en

separar variables a partir de la funcin de prueba! r,!( ) = R r( )" !( ) . Es muy fcil

llegar a que la forma de es justamente la que corresponde a la partcula en un anillo.

La determinacin de R introduce otro nmero cuntico como consecuencia de que

debe anularse a una cierta distancia r0 y conduce a que Rn es bsicamente la funcin

de Bessel de primera especie Jn.

En su lugar, es mucho ms sencillo y, adems, ms til para nuestros propsitos

considerar una partcula que se mueve sobre la superficie de una esfera. De nuevo,

conviene utilizar coordenadas polares, aunque

ahora tridimensionales.

Las ecuaciones de transformacin son, ahora,

!!!!!r = x2 + y2 + z2

tan! = yx

!!!!!cos" = zr

y, a partir de ellas, es tan fcil como laborioso

(y aburrido) escribir la laplaciana en el nuevo sistemas de coordenadas. Siguiendo el

mismo procedimiento que en el caso bidimensional, se llega finalmente al resultado

siguiente

!2 ="2

"x2+"2

"y2+"2

"z2="2

"r2+2r""r+1r2#2

donde se ha introducido el operador legendriano

!2 =1

sin2!"2

"" 2+1sin!

""!sin! "

"!=

1sin2!

"2

"" 2+

1tan!

""!

+"2

"! 2

Puesto que r se mantiene constante, podemos descartar las derivadas correspondientes

en la laplaciana, con lo que la ecuacin de Schrdinger se escribe

1r2!2" = #

2mE!2

" !$%$ !!2" = #!" !!!!!!!!!!! = 2 I E!2

La ecuacin de Schrdinger es separable mediante el cambio ! !,"( ) =" !( )# !( ) .

Insertando esta expresin, dividiendo ambos lados por y multiplicndolos por sin2,

se llega, despus de reordenar trminos, a

1!d2!d! 2

+sin""

dd"sin" d"

d"+# sin2" = 0

El primer sumando del lado izquierdo depende slo de , mientras que el resto de

dicho lado depende slo de . Como ya vimos en el caso de la caja rectangular, para

que dos funciones de variables distintas sumen siempre a una constante,

necesariamente cada una de ellas ha de ser a su vez constantes. Llamamos a dicha

constante para la parte en !ml2 :

1!d2!d! 2

= "ml2 !!#$# !!! = 1

2!exp iml!( )!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!sin!%

dd!sin! d%

d!+" sin2! =ml

2

&

'((

)((

ml * !

La solucin de la ecuacin en es evidente. Por el contrario, la parte en es ms

complicada, aunque es muy conocida en Matemticas. Su solucin son las funciones

(o polinomios) asociadas de Legendre Plml cos!( ) , donde dichas funciones se pueden

expresar como

Plm x( ) =

!1( )m

2l l!1! x2( )

m2 dl+m

d xl+mx2 !1( )

l!!!!!!!!!!!!!!!

l " !+m " !!l #m # l !

$

%&

'&

donde !+ es el conjunto de los nmeros enteros positivos incluyendo el cero.

El punto importante a sealar es que aparece un nuevo nmero cuntico, l, como

consecuencia de la condicin cclica de contorno para . Adems, la ecuacin slo

tiene solucin aceptable para los valores de ! que cumplen que

! = l l +1( )!!!"! !!E =l l +1( )!2

2 I

Es decir, la energa est cuantizada y, como no depende de ml sino slo de l, cada

nivel de energa est 2 l +1( ) veces degenerado.

Las funciones de onda ! l,ml !,"( ) solucin de la ecuacin de Schrdinger son las

funciones conocidas como armnicos esfricos Ylml

! lml !,"( ) =Ylml !,"( ) = NlmlPlml cos!( )exp iml!( )

siendo Nlml una constante de normalizacin

Nlml =

2 l +1( ) l !ml( )!4! l +ml( )!

tal que

Ylm Yl '

m ' = Ylm( )

*Yl '

m ' sin! d!0

"

! d#02"

! = $l, l '$m,m '

Al igual que pasaba en el caso de la partcula en un anillo, a partir de la expresin

clsica de la energa cintica de rotacin podemos intuir la forma del operador

correspondiente al cuadrado del momento angular (e igual que antes el resultado

concuerda con el de la transformacin de coordenadas a partir de la expresin en

cartesianas que se dio al principio de este tema):

L2 = !!2"2 !!#$# !!L2% lml = !!2"2% l

ml = l l +1( )!2% lml

Por otra parte, y dado que la coordenada es la misma que en coordenadas polares

planas, tambin la expresin del operador es la misma:

Lz =!i!!!

!"#" !Lz$ lml =

!i!!!$ l

ml =m!$ lml

Resumiendo, podemos conocer simultneamente los valores

de energa l l +1( )!2

2 I!

"#

$

%& , del mdulo del momento angular

l l +1( ) !( ) y de la componente Z de dicho momento (m! ). Hay que resaltar que la cuantizacin de esta componente supone la cuantizacin de la orientacin del vector momento angular, como ilustra la figura de la derecha, que debe entenderse como un corte de un conjunto de superficies cnicas.

4. Separacin de movimientos interno y externo.

En Mecnica Clsica es habitual separar el movimiento de traslacin de un sistema de

partculas como un todo de los movimientos internos de rotacin y vibracin. Por

ejemplo, al lanzar una jabalina sta describe un movimiento parablico de translacin

al mismo tiempo que realiza una rotacin alrededor de un eje perpendicular (pasa de

apuntar hacia arriba a apuntar hacia abajo).

El caso ms simple es un sistema formado por dos partculas. Sean R el vector que da

la posicin del centro de masa respecto al origen y r el vector de posicin de una partcula respecto a la otra

R = m1r1 +m2r2m1 +m2

!!!!!!!!!!!!!!!!!r = r1 ! r2

Obviamente es posible expresar los vectores r1 y r2 en trminos de R y r:

x1 = X +m2M

x !!!!!!!!!!x2 = X !m1Mx

con expresiones similares para las otras coordenadas y donde se ha introducido

M =m1 +m2 . Para simplificar el clculo trabajemos en una sola dimensin, pues para

las otras dos el desarrollo es absolutamente paralelo. Consecuentemente

p1 =m1 !x1 =m1 !X +m1m2M

!x !!!!!!!!!!p2 =m2 !x2 =m2 !X !m1m2M

!x

donde el punto sobre la variable indica, como de costumbre, derivada temporal.

Sustituyendo estas expresiones, la energa cintica resulta

T = p12

2m1+p22

2m2=12M !X 2 + 1

2 !x2

donde se ha introducido la masa reducida puesto que

m1m22

M 2+m12m2M 2

=m1m2m1 +m2

=1m1

+1m2

!

"#

$

%&

'1

=1

!

"#

$

%&

'1

=

Generalizando ya a tres dimensiones y definiendo los momentos lineales

P =M !R!!!!!!!!!!!p = !r

la energa cintica puede escribirse como

T = P2

2M+p2

2

donde el primer sumando representa el movimiento del centro de masas (es decir, del

sistema considerado como un todo) y el segundo el movimiento relativo de una

partcula respecto de otra.

Claramente la misma tcnica es utilizable en Mecnica Cuntica. Consideremos, pues,

un sistema de dos partculas sujeto a un potencial que slo depende de la distancia

entre las dos partculas. El hamiltoniano para dicho sistema es

H = T + V = ! !2

2m1"12 r1( )!

!2

2m1"22 r2( )

#

$%

&

'(+V r1 ! r2( )

y, debido al trmino en r1 ! r2 no es posible separarlo como H1 + H2 por lo que no se

puede factorizar la funcin de onda ! r1,r2( ) como !1 r1( )!2 r2( ) . Sin embargo, de

forma similar a lo que se hace en Mecnica Clsica, es posible simplificar el problema

cambiando a las coordenadas que acabamos de ver. As,

H = T + V =P2 R( )2M

+p2 r( )2

+ V r( ) = ! !2

2M"CM2 R( )! !

2

2"int2 r( )

#

$%

&

'(+V r( )

Con esta forma del hamiltoniano ya es posible separar la ecuacin de Schrdinger con

la transformacin habitual ! R,r( ) =!CM R( )!int r( ) , lo que conduce a

1!CM R( )

!!2

2M"CM2 R( )!CM R( )

#

$%

&

'(+

1!int r( )

!!2

2"int2 r( )!int r( )+V r( )!int r( )

#

$%

&

'(= E

Como ya sabemos, esta separacin implica que cada uno de los sumandos ha de ser

necesariamente una constante. La primera, ECM , representa la energa asociada al

movimiento del centro de masas, es decir, la energa de traslacin del sistema,

mientras que la segunda, Eint , corresponde al movimiento interno, o sea, de una

partcula respecto de la otra. Naturalmente, se cumple que E = ECM +Eint y hemos de

resolver dos ecuaciones independientes

!!2

2M"CM2 R( )!CM R( ) = ECM!CM R( )

!!2

2"int2 r( )!int r( )+V r( )!int r( ) = Eint!int r( )

#

$%%

&%%

La primera de ellas en realidad no resulta demasiado interesante, ya que no es ms

que la ecuacin para el movimiento de una partcula libre de masa M =m1 +m2 , pero

la segunda es la base para la mayora de los estudios en Qumica Cuntica. Un

ejemplo tpico es el tomo de hidrgeno.

5. El tomo de hidrgeno.

5.1. Separacin de variables

Para este sistema el hamiltoniano contiene, como es evidente, la energa cintica del

electrn, la del ncleo y el potencial electrosttico:

H = ! !2

2me"e2 !

!2

2mN"N2 +V r( )

Siguiendo la estrategia desarrollada en el apartado anterior, introducimos la masa

reducida y despreciamos el movimiento del centro de masas. Con ello conseguimos

reducir el problema al movimiento de una sola partcula

H = ! !2

2"2 +V r( )!!!!!!!!!!!!!!!!V r( ) = ! Z e

2

4! "01r

Naturalmente nos toca ahora resolver la ecuacin de Schrdinger

H! = E!"#" $2! + Z e2

2! "0 !21r! = %

2E!2

!

Para simplificar un poco la notacin llamamos y a las constantes que aparecen en

la ecuacin

!2" +!r" = ""

Para resolver la ecuacin empezamos escogiendo un sistema adecuado de

coordenadas, que en este caso es evidentemente el de coordenadas polares esfricas,

en el que como sabemos la laplaciana se escribe

!2 =! 2

! r2+2r!! r

+1r2

1sin2 "( )

! 2

!# 2+

1sin "( )

!!"sin "( ) !

!"

"#$

%$

&'$

($=1r! 2

! r2r + 1

r2)2

A continuacin, como de costumbre, intentamos separar variables escribiendo la

funcin de onda como el producto de dos funciones que dependen de variables

distintas

! r,!,"( ) = A !,"( )R r( )

Haciendo la substitucin, dividiendo por A !,"( )R r( ) y multiplicando por r2 se llega

a la ecuacin con las variables separadas

r2 1r R

d 2 r Rd r2

!! r2 +" r = ! 1A"2A#$#

1A"2A = !# ! cte( )

r2 1r R

d 2 r Rd r2

+! r !" r2 = #

%

&''

(''

5.2. La parte angular

La ecuacin para la parte angular ya la hemos resuelto, pues no es ms que la

correspondiente al movimiento de una partcula en una esfera

!2A = "! A

Como vimos, la ecuacin slo tiene soluciones aceptables cuando se cumple que

! = l l +1( )!!!!!!!!!!!!!!!!l = 0,1, 2...

y en ese caso las soluciones de dicha ecuacin son los armnicos esfricos, que

recordemos slo tienen sentido para valores de los nmeros cunticos enteros tales

que ml vara entre +l y l:

A !,"( ) =Ylml !,"( ) =2 l +14!

l !ml( )!l +ml( )!

Plml cos!( )exp iml!( )

Debemos sealar que cada armnico esfrico presenta l nodos (puntos en los que la

funcin pasa de positiva a negativa). Como vimos en el apartado anterior, los

armnicos esfricos, excepto si ml = 0 y dado que exp iml!( ) = cos ml!( )+ isin ml!( ) ,

son funciones complejas, aunque muchas veces se construyen combinaciones lineales

de ellos que son reales. Por ejemplo, para los orbitales p

n px =12n p+1 + n p!1( )!!!!!!!!!!!!!!n py =

1i 2

n p+1 ! n p!1( )

A continuacin se representa la parte angular de los orbitales reales p y d. Una

informacin grfica ms completa puede encontrarse en el pgina web The orbitron,

http://winter.group.shef.ac.uk/orbitron/

5.3. La parte radial

Antes de resolver la ecuacin radial

r2 1r R

d 2 r Rd r2

+! r !! r2 = l l +1( )

reescribmosla despus de dividir ambos miembros por r2, introducir temporalmente

los valores de y y reordenar trminos:

!!2

2d 2ud r2

+Veff u = Eu!!!!!!!!!!!!!!!u = r R

ecuacin de Schrdinger que representa a una partcula de masa movindse sujeta a

un potencial efectivo Veff que es la suma de dos contribuciones

Veff = !Z e2

4!"0r+l l +1( )!2

2r2

El primero de estos trminos representa la atraccin coulmbica y es el potencial de

nuestra ecuacin inicial; el segundo corresponde a lo que clsicamente es la fuerza

centrfuga, la cual obviamente se anula para l nulo. A distancia largas predomina el

trmino atractivo electrosttico, pero a distancias cortas la contribucin ms

importante es la centrfuga repulsiva suponiendo que l es distinto de cero. Por tanto,

debemos buscar una solucin que contemple ambas situaciones. Una manera de

conseguir este objetivo es utilizar una funcin de prueba de la forma

R r( ) = f r( )Rasint r( ) , donde Rasint r( ) es una solucin asinttica de la ecuacin original,

es decir, para r grandes. Adems, f(r) debe incluir de alguna manera la solucin para

distancias cortas. Antes de empezar a buscar la solucin asinttica reescribimos la

ecuacin evaluando las derivadas

r2 d2 Rd r2

+ 2r d Rd r

+ !!r2 +" r ! ! !+1( )( )R = 0

haciendo un cambio de variable

r = !2 "

!"!dd r

= 2 " dd !!"!

d 2

d r2= 4" d

2

d !2

e introduciendo una constante n, tal que ! =2 " n . De momento, n es simplemente

un nmero que introducimos por comodidad. Con todo ello, nuestra ecuacin resulta

2! d2 Rd !2

+ 4 d Rd !

+ !!2+ 2n!

2 ! !+1( )!

"

#$

%

&'R = 0

Busquemos ahora la solucin asinttica para r (o ) muy grandes. En estas

circunstancias los trminos que no estn multiplicados por son despreciables y, por

tanto, resolvemos la ecuacin asinttica

2!d 2 Rasint r( )

d !2+ !

!2

"

#$

%

&'Rasint r( ) = 0()(

d 2 Rasint r( )d !2

!Rasint r( )4

= 0

cuya solucin es

Rasint r( ) = Ae!!2 +Be

!2

donde B ha de ser cero para que sea aceptable.

Para encontrar f(r) volvamos por un momento a la ecuacin radial inicial

r2 1ud 2ud r2

+! r !" r2 = l l +1( )"#" d2u

d r2+

!r!l l +1( )r2

$

%&

'

()u = !u

donde, como antes, u = r R . A distancias suficientemente cortas el lado de la derecha

es prcticamente cero y el trmino dominante en el parntesis es el segundo. Por tanto,

podemos plantear la ecuacin aproximada

d 2ur!0d r2

"l l +1( )r2

ur!0 = 0

cuya solucin aceptable es

ur!0 = A 'rl+1"!" Rr!0 =

ur!0r

= A 'rl = A! l

Hasta ahora hemos determinado las soluciones en los casos lmite. Como f ha de

incluir la solucin a distancias cortas, podemos escribirla como

f !( ) = ! l L !( )

donde L es una nueva funcin a determinar. Antes de hacerlo, observemos la forma

que le hemos dado a R

R r( ) = 2 ! r( )lexp ! ! r( )L ! r( )

es decir, la funcin L que andamos buscando nos permite pasar suavemente de

distancias cortas a largas. Despus de un poco de lgebra, la ecuacin radial completa

se puede escribir en trminos de la variable como

!d 2 Ld !2

+ 2 !+1( )! !{ }d Ld !

+ n! !+1( ){ }L = 0

que es una ecuacin muy conocida (por aqullos que saben las Matemticas

necesarias). Se trata, en concreto, de la ecuacin asociada de Laguerre, cuyas

soluciones aceptables son los polinomios asociados de Laguerre, Ln+12l+1 ,

Lnl !( ) = d

l

d ! lLn !( ) =

dl

d ! lexp !( ) d

n

d !nexp !!( )!n( )

"#$

%&' n =1, 2,3...l = 0,1,...n!1{

Observemos que la constante n que introdujimos antes debe ser un nmero entero

estrictamente positivo para que la solucin sea aceptable: Una vez ms las

condiciones de aceptabilidad de la funcin de onda son las responsables de que

aparezca la cuantizacin. En efecto, como n se relaciona con el parmetro y ste a su

vez con la energa obtenemos

E = ! Z2 e4

32! 2 "02 !2

1n2

=RHn2

"#" $E = RH1nf2 !

1ni2

%

&''

(

)**

Finalmente, las funciones radiales normalizadas son

Rn,l r( ) = !2Zna

"

#$

%

&'

n! l !1( )!2n n+ l( )!() *+

3

,-.

/.

01.

2.! l Ln+1

2l+1 !( )exp !! / 2( )

! =2Zna0

r a0 =4!"0 !

2

e2

donde se ha introducido el radio de Bohr, a0. Observemos que mientras que la energa

depende slo de la inversa del cuadrado del nmero cuntico n, la funcin de onda

radial depende de dos nmeros cunticos (n y l). Como decamos anteriormente se

compone bsicamente de tres trminos:

Un factor exponencial que hace que se anule a distancias suficientemente

largas.

El factor rl que hace que la funcin se anule en el ncleo si l es mayor que

cero

El polinomio asociado de Laguerre, Ln+12l+1 que permite el trnsito entre las dos

situaciones lmite y que da lugar a n! l !1 nodos radiales.

5.4. Conclusiones

Resumiendo, las soluciones de la ecuacin de Schrdinger para el tomo de hidrgeno

son de la forma

!n, l, ml r,!,"( ) = Rn, l r( )Ylml !,"( )

n =1, 2,3...l = 0,1, 2...n"1ml = "l,...0..., l

#$%

&%

y la energa de los estados enlazados es

E = ! Z2 e4

32! 2 "02 !2

1n2

Es decir, la funcin de onda depende de tres nmeros cunticos, por lo que podemos

representar cada estado como nlml . En cambio, la energa depende slo de n, por lo

que cada nivel de energa (caracterizado por n) est n2 veces degenerado.

Obviamente, por ser funciones propias de un operador hermtico, forman un conjunto

completo de funciones ortogonales, que hemos escogido normalizadas

!n, l, m !n ', l ', m ' = !n,n '!l,l '!m,m '

Como sabemos esas soluciones se conocen como orbitales atmicos hidrogenoides y

se nombran como 1s, 2p, etc dependiendo de los valores de n y l. Es importante

resaltar que los orbitales atmicos son nada ms ni nada menos que funciones

matemticas solucin de la ecuacin de Schrdinger para un potencial electrosttico

central. En otras palabras, los orbitales no son ni zonas de probabilidad ni regiones del

espacio. Sin embargo, obviamente, el cuadrado del mdulo de cada orbital atmico

nos da la densidad de probabilidad en un punto. Es costumbre definir lo que se conoce

como funcin de distribucin radial P, que puede entenderse como la probabilidad de

encontrar al electrn en una corona esfrica de radio r y espesor dr. Se consigue

integrando la parte angular de la densidad de probabilidad

Pn, l = d! Rn, lYlml

2r2 sin" d"

0

#

!02#

! = r2Rn, l2

Sin embargo, cuando el orbital tiene simetra esfrica, es decir para orbitales s, es

costumbre definir la funcin de distribucin radial como P = 4! r2R2 .

Por otra parte, y puesto que el operador hamiltoniano H conmuta tanto con L2 como

con Lz , los orbitales atmicos son funciones propias de los operadores cuadrado del

momento angular y componente Z del momento angular, con valores propios

l l +1( )!2 y ml ! , respectivamente. Claramente, las combinaciones lineales que

proporcionan los orbitales reales siguen siendo funciones propias de L2 , pero no de

Lz , ya que mezclan funciones propias con distinto valor de ml. Por ejemplo, +1 y 1

en el caso de los orbitales px y py.