7/30/2019 T5 Full2 Grfiques resoltes

1/2

Ampliaci de matemtiquesT5. GRFIQUES

FULL2. GRFIQUES RESOLTES

1.- Feu la grfica aproximada de les segents funcions, i indiqueu-ne el domini, elsextrems relatius, els intervals de creixement i decreixement, els punts dinflexi i els

intervals de concavitat i convexitat.

a) ( )x

xf x

e= b)

1( )

1

x

x

eg x

e

+

=

!

c) 3( ) (2 )h x x x= !

SOLUCIONS

Apartat a) ( )x

xf x

e=

Dom = R ; lim ( ) 0 ; lim ( )x x

f x f x!" !#"

= = #"

La funci t un mxim al punt 1(1, )e! i un punt dinflexi a 2(2, )e!! . La funci s creixent per a x

] [,1! "# , decreixent per a x ] [1,! " , convexa per a x ] [,2! "# i cncava per a ] [2,! "

Apartat b)1

( )1

x

x

eg x

e

+

=

!

{ }( ) 0Dom f x R= ! ; lim ( ) 1x

f x!"

= ; lim ( ) 1x

f x!"#

= " ;0

lim ( )x

f x!

"

= !# ;0

lim ( )x

f x+

!

="

La funci no presenta extrems relatius ni punts dinflexi. s decreixent en tot el domini, convexaper a x ] [,0! "# i cncava per a x ] [0,! " .

7/30/2019 T5 Full2 Grfiques resoltes

2/2

Apartat c) 3( ) (2 )h x x x= !

Dom = R ; lim ( ) ; lim ( )x x

f x f x!" !#"

= #" = #"

No t asmptotes.

Mxim relatiu en el punt3

( ,1'19)2

; Creixent per a x3

,2

! "# $%& '( )

i decreixent per a x3,

2

! "# $% &' (

Punts dinflexi: (2,0) i (3, -3) ; convexa per a x ] [ ] [,2 3,! "# $ # i cncava per a x ] [2,3!

Comentaris addicionals:

Les funcions ( ) i ( )f x g x no presenten cap dificultat especial. La principal peculiaritat de la

funci ( )h x s que no s derivable quan 2x = (s a dir, que { }'( ) 2Dom f x R= ! ). Per tant, aquestvalor sha de tenir en compte a lhora de fer les taules de creixement i decreixement i de concavitati convexitat. Un cop fetes les taules sarriba a la conlusi que 2x = s un punt dinflexi vertical.Per fer la derivada segona de h(x) i trobar laltre punt dinflexi cal que tingueu una mica de

pacincia i que tinguu relativament presents les propietats de les arrels.