Taller 8 - Matemticas Especiales - Clases 16-17

1. Resuelva la ecuacin de onda

utt = c2uxx + F (x, t), x R, t > 0

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = v0(x)

con c = 1 y :

a) u0(x) = 1[1,1], v0(x) = 0, F = 0.b) u0(x) = 0, v0(x) = x(1 x)1[0,1](x), F = 0.c) u0(x) = sin(x), g(x) = 2x, F (x, t) = xt2.d) Demuestre que si u0 y v0 son pares, entonces la

solucin a la ecuacin de onda tambin lo es.

2. Halle la solucin a la ecuacin de onda homogneacon x [0,) y condiciones de frontera homog-neas de Neumann.

3. Halle la solucin a la ecuacin de onda en [0, L] concondiciones de Neumann homogneas en ambos ex-tremos. Para v0 = 0, exprese la solucin en trminosde ondas viajeras con velocidades c y c.

4. Halle la solucin a la ecuacin de onda en [0, L] concondiciones de frontera homogneas: de Dirichlet enx = 0 y de Neumann en x = L.

5. Use separacin de variables para resolver el problemano homogneo:

utt = c2uxx + A sin(t), x [0, L], t > 0u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = v0(x)

u(0, t) = u(L, t) = 0.

para algn A > 0.

6. Considere una cuerda de longitud L y amarrada enlos extremos. Demuestre que si la velocidad inicial esv0 = 0 y la posicin inicial u0 es una funcin trian-gular con mximo en x = L/n, entonces el n-simomodo de vibracin no hace parte de la solucin. Da-to curioso: a los pianistas no les gusta el sptimomodo de vibracin, y los martillos tocan las cuerdasa un sptimo de su longitud.

Mayo, 2014. Escuela de Matemticas, Universidad Nacionalde Colombia, Sede Medelln.

7. Un amortiguamiento. Use separacin de variablespara resolver:

utt = c2uxx kut, x [0, L], t > 0

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = v0(x)

u(0, t) = u(L, t) = 0.

Cules modos de vibracin se amortiguan ms r-pido? Qu tipo de amortiguamiento representa estaecuacin?

8. Otro amortiguamiento. Use separacin de variablespara resolver:

utt = c2uxx ku, x [0, L], t > 0

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = v0(x)

u(0, t) = u(L, t) = 0.

Cules modos de vibracin se amortiguan ms r-pido? Qu tipo de amortiguamiento representa estaecuacin?

9. El ltimo amortiguamiento. Considere el problema:

utt = c2uxx kux, x [0, L], t > 0

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = v0(x)

u(0, t) = u(L, t) = 0.

Demuestre que el cambio de variable

v(x, t) = exp

(kx

2c2

)u(x, t)

convierte en problema en uno del tipo del punto 8.

10. Averige qu es y resuelva la ecuacin del telgrafo:

utt = c2uxx Aut Bu, x [0, L], t > 0

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = 0

u(0, t) = u(L, t) = 0.

Suponga que A2L2 < 4(BL2 + c2pi2).