Escuela Politécnica Superior – 3º Ingeniería Informática

TAA01 – Tratamiento Digital de Señales

Curso 2004/2005. Laboratorio 5B

Práctica 3: La Transformada de Fourier en Tiempo

Discreto (DTFT)

1er. Apellido 2º Apellido Nombre Grupo

Puesto

Fecha

NOTAS PRÁCTICAS SOBRE MATLAB

En cualquier momento, puede obtener ayuda sobre una función Matlab introduciendo en

la consola el comando help <funcion>.

Dependiendo del resultado de cada apartado, puede que se le solicite representarlo de

forma gráfica, para lo cual pueden serle de ayuda los comandos siguientes:

plot o stem para representar gráficamente un conjunto de valores.

subplot para representar conjuntamente más de una gráfica en la misma

ventana.

figure para crear una nueva ventana gráfica y no sobrescribir la gráfica de la

ventana anterior.

title, xlabel, ylabel para insertar texto en el encabezado, en el eje horizontal y

en el eje vertical, respectivamente, de la gráfica activa.

Para pegar la gráfica como imagen en otra aplicación, proceda como sigue:

Sitúese en la ventana de la gráfica que desea copiar.

Seleccione “Edit” -> “Copy Figure” del menú de la parte superior de la ventana.

Tras esta operación, la gráfica quedará copiada como imagen en el portapapeles

de Windows.

Sitúese en la aplicación donde desea copiar la imagen (Word, Paint, etc.) y

péguela siguiendo el método habitual (ctrl+v)

1. Introducción

La representación de Fourier de una señal a través de la DTFT directa e inversa es un punto clave del análisis de señales. Las siguientes ecuaciones son las ecuaciones de análisis y síntesis, respectivamente:

De forma similar, la respuesta en frecuencia de un sistema, que es la DTFT de la respuesta al impulso, proporciona una descripción concisa de un sistema LTI considerado como un filtro. La DTFT es una función compleja periódica en de periodo . El periodo de representación que se suele considerar va de a .

En el contexto de MATLAB, donde la computabilidad es muy importante, la DTFT presenta dos problemas:

1. Su definición es válida para señales infinitamente largas (de a ) .2. Es una función de una variable continua .

Respecto al primer problema, cualquier vector o señal en MATLAB debe ser de longitud finita. Por tanto, MATLAB no va a ser capaz de calcular la DTFT de una señal de duración infinita.

Respecto al segundo problema, se resuelve como todo problema de señales continuas en MATLAB: muestreando la DTFT en un número finito de puntos de frecuencia. Normalmente podemos elegir un número elevado de puntos, de forma que nuestros gráficos resulten aproximaciones suficientemente suaves a la verdadera DTFT. La mejor opción para una computación eficiente es un conjunto de puntos equiespaciados en el intervalo de a . Con este muestreo, la DTFT directa queda como:

La periodicidad de la DTFT implica que los valores entre y 0 sean los correspondientes a .

La fórmula anterior es computable porque es una suma finita de términos evaluada en un número finito de frecuencias . Observe que para aplicar esta fórmula, la longitud de la señal deber ser finita y de duración inferior o igual a .

Al muestrear la DTFT no es necesario que , aunque es conveniente, porque es cuando el cálculo se realiza de forma más eficiente. Si únicamente es necesario rellenar las muestras de la señal con ceros. El caso es bastante más complejo y no lo veremos aquí. Por simplicidad, vamos a asumir que calcularemos la DTFT en más

frecuencias que puntos tiene la señal original, es decir, siempre tendremos .

2. Función para calcular la DTFT (resultado : p3_dtft.m)

En este apartado vamos a generar una función p3_dtft(h,N) que calcule la DTFT de una secuencia h en N puntos de frecuencia.

La función que debemos escribir es:

function [H,W] = p3_dtft(h, N)

%Calculate DTFT at N equally spaced frecuencies

% h: finite-length input vector of length L% N: number of frecuencies for evaluation over [-pi,pi]% ==> constraint: N>=L

% H: DTFT values (complex)% W: vector of frecuencies where DTFT is computed

N=fix(N);L=length(h);h=h( : );

if N<L error('DTFT: # data samples cannot exceed # freq samples')end

W = (2*pi/N) * [0:(N-1)]';mid=ceil(N/2)+1;W(mid:N)=W(mid:N)-2*pi; %Move [pi,2pi) to [-pi,0)W=fftshift(W);H=fftshift(fft(h,N));

Observe que no es necesario proporcionar la longitud de la señal de entrada, sino que se obtiene directamente de la señal. Como la DTFT es periódica, la región de a se transforma en la región de a 0. La función fftshift de MATLAB permite hacer esa transformación de frecuencias y de valores de la DTFT.

3. Diagramas de amplitud y fase

Utilizando la función p3_dtft(h,N) del apartado anterior, represente la respuesta en amplitud y la respuesta en fase de la señal xn siguiente:

nn=0:40;a = 0.88 * exp(i*2*pi/5);xn=a.^nn;

NOTAS:

Utilice el valor N=128 para la llamada a p3_dtft(h,N).

Para representar la respuesta en amplitud, le será de utilidad la función abs de MATLAB y para la respuesta en fase, la función angle.

La función angle devuelve los ángulos en radianes, pero en la respuesta de fase deberá pintarlos en grados.

Respuesta en amplitud y en fase:

4. Propiedad de modulación

Muchas propiedades de la DTFT tienen interpretaciones y aplicaciones útiles. Una de estas es la propiedad de modulación (compleja) que encuentran aplicación en los campos de comunicaciones y radar.

Si una señal se multiplica por una exponencial compleja , el resultado en el

dominio transformado es un desplazamiento en frecuencia de valor ; la señal

se convierte en .

a) Demostrar esta propiedad para un pulso triangular de 21 muestras del intervalo n=0:20 (función triang de MATLAB) modulado por una exponencial

compleja de frecuencia . Utilizando la función p3_dtft(h,N), dibuje la respuesta en amplitud del pulso triangular así como del pulso modulado. Utilice un valor de N=128. Dibuje ambas gráficas y compruebe que el pico de la

DTFT se ha movido a

Gráficas:

Comentarios:

b) Repita el apartado anterior para y comente el resultado

Gráficas:

Comentarios:

c) Repita el apartado anterior para y comente el resultado

Gráficas:

Comentarios:

d) Repita el apartado anterior pero multiplicando el pulso triangular por un coseno (parte real de la exponencial) a la misma frecuencia que en el apartado a). Este tipo de modulación se denomina AM en doble banda. Indique las diferencias con la respuesta en amplitud obtenida en el apartado a) y explique si este nombre es adecuado.

Gráficas:

Comentarios: