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Tabla de contenido Página

Ecuaciones exactas y lineales 3

Ecuaciones diferenciales exactas 3

Teorema 4

Solución de una ecuación diferencial exacta 6

Ecuaciones lineales 12

Solución de una ecuación lineal 12

Resumen 19

Bibliografía recomendada 19

Párrafo nexo 20

Autoevaluación formativa 21

5

2

Copyright©1999 FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTIN

Facultad de Ingeniería de Sistemas.

Sistema de Educación Abierta y a Distancia.

Santa Fe de Bogotá, D.C.

Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por

escrito del Presidente de la Fundación.

La redacción de este fascículo estuvo a cargo de

JAIME PRECIADO LOPEZ

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MARIANA BAQUERO DE PARRA

Diseño gráfico y diagramación a cargo de

SANTIAGO BECERRA SAENZ

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Santa Fe de Bogotá, D.C.

5

3

Ecuaciones exactas y lineales En este fascículo vamos a continuar el trabajo con las ecuaciones dife-

renciales de primer orden; aprenderemos a reconocer y a solucionar 2

nuevos tipos de ecuaciones, las ecuaciones diferenciales exactas y las

ecuaciones diferenciales lineales; cada uno de estas clases de ecuacio-

nes las trabajaremos por separado. Comenzaremos con las ecuaciones

exactas.

Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:

Reconoce la definición de ecuación diferencial exacta.

Determina si una ecuación es exacta o no.

Resuelve correctamente ecuaciones diferenciales exactas.

Reconoce la forma estándar de una ecuación diferencial lineal.

Halla correctamente el factor de integración para una ecuación dife-

rencial lineal.

Resuelve de forma correcta ecuaciones diferenciales lineales.

Ecuaciones diferenciales exactas

Una ecuación de la forma

0 dyyxNdxyxM ),(),(

se denomina ecuación diferencial exacta si el lado izquierdo de esta

ecuación corresponde a la derivada total de alguna función ),( yxf .

Ejemplo

La ecuación 0 xdyydx es una ecuación diferencial exacta por-

que el primer miembro de la ecuación es la derivada de la función

xyyxf ),( , es decir,

xdyydxxyd )(

5

4

Ejemplo

La ecuación 08445 3 dyyxdxyx )()( es una ecuación dife-

rencial exacta porque

dyyxdxyxyyxxd )()(342 844524

2

5

El teorema que sigue a continuación, nos ayuda a reconocer fácilmente

una ecuación diferencial exacta.

Teorema

Sean ),( yxM y ),( yxN funciones continuas, con derivadas parcia-

les de primer orden, continuas en alguna región R del plano yx, . En-

tonces una condición necesaria y suficiente para que

0 dyyxNdxyxM ),(),( sea una función diferencial exacta es:

x

N

y

M

La demostración de este teorema la puedes encontrar en la bibliografía

recomendada. Veamos ahora algunos ejemplos de aplicación.

Ejemplo

Veamos si la ecuación diferencial 04232 22 dyyxdxxy )()(

es una ecuación exacta.

Identifiquemos 32 2 xyM y 42 2 yxN , ahora si derivamos

haciendo

y

M

y

x

N

tenemos

5

5

x

Nyx

y

M

4

Por tanto, la ecuación dada es exacta.

Ejemplo

Veamos si la ecuación diferencial 01

dyyxy

dxeyyxy

ln)ln(

es exacta.

)ln(xy

eyyM y

yx

yN ln

1

derivando tenemos:

xyxey

y

M

1ln

yx

Nln

de donde

x

N

y

M

Por tanto la ecuación diferencial no es exacta.

Ejemplo

La ecuación diferencial 011

dyxdx

x

yx )ln(ln es exac-

ta. Veamos

x

yxN ln1 y )ln( xM 1

5

6

xy

N 1

y

xx

M 1

, lo que indica que

x

M

y

N

y por tanto la ecuación diferencial dada es exacta.

Solución de una ecuación diferencial exacta

A continuación describimos paso a paso el método de solución de una

ecuación diferencial exacta.

Dada la ecuación 0 dyyxNdxyxM ),(),(

Verifiquemos, en primer lugar, que se trate de una ecuación diferencial

exacta, esto es:

x

N

y

M

podemos suponer entonces que existe una función f tal que

),( yxMx

f

por tanto podemos encontrar f integrando ambos lados de la ecua-

ción con respecto a x y manteniendo y constante, lo cual correspon-

de a:

)(),(),( ygdxyxMyxf (1)

donde )( yg es la constante de integración en términos de y ; ahora si

derivamos ),( yxf con respecto a y , debemos obtener ),( yxN

así:

5

7

),(

)(),(

)(),(

'

yxN

ygdxyxMy

ygdxyxMyy

f

de donde

dxyxM

yyxNyg ),(),()(

'

Si integramos esta última expresión respecto a y obtenemos el valor

de )( yg que al remplazarlo en (1) nos permite encontrar, en su totali-

dad, la función ),( yxf que corresponde a la solución de nuestra

ecuación diferencial exacta. Veamos algunos ejemplos de aplicación.

Ejemplo

Solucionemos la ecuación 01342 )()( ydxx . Verifiquemos

si es una ecuación diferencial exacta:

x

N

y

M

0

por tanto la ecuación es exacta. Ahora procedamos a resolverla.

Supongamos que: 42

xyxM

x

f),(

es decir: 42

x

x

f

Integremos a los dos lados de esta expresión respecto a x y sumemos

la “constante” )( yg

)(),( ygxxyxf 42 (1)

5

8

Ahora derivemos ),( yxf respecto a y e igualémosla a ),( yxN

13

yyg

y

f)(

'

Si integramos con respecto a y esta expresión, encontramos el valor

de )( yg

cyy

yg 2

3 2

)(

si reemplazamos el valor de )( yg en (1) tenemos:

cyy

xxyxf 2

34

2

2),(

de donde podemos escribir como solución de la ecuación diferencial

dada:

cyy

xx 2

34

22

Ejemplo

Resolvamos la ecuación 02

2

2

dyy

xdx

y

x. Verifiquemos que se tra-

te de una ecuación exacta.

y

xyxM

2),( y

2

2

y

xyxN ),(

2

2

y

x

y

M

y

2

2

y

x

x

N

por tanto:

x

N

y

M

Resolvamos esta ecuación diferencial exacta suponiendo que:

5

9

y

x

x

f 2

Integrando respecto a x tenemos:

)(),( ygy

xyxf

2

(1)

Si derivamos (1) respecto a y obtenemos:

)('

ygy

x

x

f

2

2

Igualando a ),( yxN

)('

ygy

x

y

x

2

2

2

2

De donde 0)('

yg .

Al integrar esta expresión tenemos:

cyg )(

donde c es una constante arbitraria. Si reemplazamos en (1) tenemos:

cy

xyxf

2

),(

de donde podemos escribir como solución a nuestra ecuación

cy

x

2

Ejemplo

Resolvamos la ecuación: 262 xyxe

dx

dyx

x

5

10

La integral de dxxex

se realiza por partes ha-

ciendo xu y

dxedvx

podemos reescribir esta ecuación como:

062 2 dxxyxexdyx

)(

veamos si esta es una ecuación exacta:

)(262 xyxeM

x

xN

1

y

M 1

x

N

entonces:

x

N

y

M

por tanto la ecuación dada corresponde a una ecuación diferencial

exacta, vamos a resolverla:

)(262 xyxe

x

f x

integrando respecto a x obtenemos:

dxxyxeyxfx

)(),(262

)(),( ygxyxexeyxf

xx 3222 (1)

Si derivamos (1) respecto a y obtenemos:

xyxNygxy

f

),()('

por tanto:

0

)('

)('

yg

xygx

así cyg )(

Si reemplazamos en (1) obtenemos:

5

11

cxyxexeyxfxx 3222),(

que podemos escribir como:

cxyxexexx 3222

9.1

a. Determina si la ecuación dada es exacta; si lo es, resuélvela:

1. 062 dyyxdxyx )()(

2. 0 dyyyxxdxysenxseny )cos(cos)(

3. 033431

2 3

2 xysenx

x

y

dx

dyx

xy )cos(

4. 02 dyyxxdxyxyx )())((

5. 023 223 dyxyxydxxsenxyy )cos()(

6. 03 233 dyxydxyx )(

7. 023 32 dyyxexdxeyxyy

)()(

8. 091

1 23

2

32

yx

dy

dx

xyx

9. 0 dyyxdxysenxsenx )cos()cos())()((tan

10. 0523333 dyydxxsenxx )()cos(

b. Resuelve la ecuación diferencial con la condición inicial dada

11. 11con 012 22 )()()( ydyxxydxyx

5

12

Ecuaciones lineales

Decimos que una ecuación diferencial es lineal si la podemos escribir

de la forma:

)()( xQyxPdx

dy

donde P(x) y Q(x) son expresiones en términos de la variable x. Son

ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales:

)()(')

')

cos)

)

xfyxfyd

yeyc

xydx

dyb

x

xseny

xdx

dya

x

3

32

2

2

Solución de una ecuación lineal

Para solucionar la ecuación lineal:

)()( xQyxPdx

dy

(1)

Tomamos )(xP y evaluamos dxxp

e)(

; este término es llamado el

Factor de Integración; luego multiplicamos ambos miembros de la

ecuación por el factor de integración obteniéndose:

)()()()()(

xQeyxPedx

dye

dxxpdxxpdxxp (2)

Si observas con atención puedes reconocer el primer miembro de la

ecuación como la derivada de dxxp

ye)(

, de donde podemos reescribir

la ecuación (2) como:

5

13

dxxpdxxp

exQyedx

d )()(

)(

al integrar los dos miembros de esta ecuación obtenemos:

dxexQyedxxpdxxp

)()(

)(

y por tanto la solución y de la ecuación (1) es:

dxxp

dxxp

e

dxexQy

)(

)(

)(

Veamos algunos ejemplos de solución de ecuaciones lineales.

Ejemplo

Resolvamos la ecuación xxyy sectan' . (1)

Esta es una ecuación diferencial lineal; identificamos xxP tan)( , el

factor de integración corresponde a:

xe

x

e

e

ee

dxxp

x

sx

xdxdxxp

cos

)(cos

)(

)ln(cos

cosln

tan)(

1

1

1

Cuando se calcula el factor de integración no es necesario uti-

lizar la constante al realizar la integral.

5

14

Si ahora multiplicamos (1) por el factor de integración obtenemos:

xx

xxyy

x cossec

costan

cos

' 111

equivalente a:

xx

senxyy

x22

11

coscoscos

'

que podemos escribir como:

xx

ydx

d 21sec

cos

Integrando los dos lados de la ecuación tenemos:

xkxy

kxx

y

dxxx

y

cos)(tan

tancos

seccos

1

1 2

Podemos reescribir esta solución como xksenxy cos

Ejemplo

Resolvamos la ecuación:

xeyxxy )(

' 1 (1)

con la condición 0y cuando 1x .

podemos escribir esta ecuación como:

x

ey

x

xy

x

1' (2)

5

15

(2) corresponde a una ecuación lineal, donde

x

xxP

1)( ,

encontremos el factor de integración:

xxxx

xdxxP

xeedxee

ln)(

1

Si multiplicamos los dos miembros de (2) por el factor de integración

obtenemos:

x

exey

x

xxeyxe

xxxx

)(' 1

lo cual equivale a:

11 yxeyxexx

)('

(3)

El lado izquierdo de (3) corresponde a la derivada de yxex

, por tanto,

podemos escribir:

1)( yxedx

d x (4)

Si integramos (4) obtenemos:

cxyxe

dxyxe

x

x

1

de donde

xxe

cxy

(5)

Si reemplazamos la condición inicial 0y cuando 1x en (5) obte-

nemos:

e

c

10

5

16

de donde 1c .

Si reemplazamos en (5) podemos decir que la solución de nuestra

ecuación es:

xxe

xy

1

Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones diferencia-

les corresponde a la física. Veamos una de estas utilidades en los circui-

tos.

En un circuito electrónico simple, como el que se muestra en la figura

No. 1, compuesto de un interruptor S, una resistencia R (medida en

ohms), un inductor con inductancia L (medida en Henrys) y una batería

o generador E que entrega al circuito un voltaje E(t) voltios en el tiempo

t, se cumple que:

)(tERIdt

dIL (1)

donde I corresponde a la corriente del circuito medida en amperios, es

decir

dt

dI representa el cambio de la corriente con respecto al paso del

tiempo después de cerrar el interruptor.

Figura 9.1. Circuito eléctrico sencillo.

La ecuación (1) corresponde a una ecuación diferencial lineal y por tan-

to podemos resolverla para valores de L, R y E(t) dados; veamos un

ejemplo.

5

17

Ejemplo

Encontremos la corriente I en función del tiempo para el circuito que se

presenta a continuación; si el interruptor S se cierra en I = 0 cuando t =

0.

Figura 9.2. Circuito eléctrico para el ejemplo.

Si reemplazamos los valores de los elementos del circuito en la ecua-

ción (1) obtenemos:

1101 6 Idt

dI (2)

de donde nuestro factor de integración es:

tdt

ee6

6

1010

multiplicando (2) por el factor de integración:

ttteIe

dt

dIe

666 1010610 10

de donde:

tteIe

dt

d 66 1010

integrando a ambos lados de la ecuación obtenemos:

t

t

tt

tt

e

ceI

ceIe

dteIe

6

6

66

66

10

10

1010

1010

(3)

5

18

Así, si reemplazamos en (3) la condición inicial I = 0 cuando t = 0 tene-

mos:

c1

de donde (3) se convierte en

t

t

t

ee

etI

6

6

6

10

10

10

11

)(

Este resultado nos indica que si t aumenta )( t la corriente I(t) es

1 amperio.

9.2

1. Resuelve este mismo problema si:

a. Cambiamos la batería por un generador que proporcione un voltaje

tsentE 43)( voltios.

b. Quitamos la resistencia, es decir R = 0

2. Resuelve las ecuaciones siguientes:

a. 02 ydx

dy

b. 1102 ydx

dy

c. 32 ydx

dyx

d. x

eydx

dy 3

e. 223 xyxy '

f. 12 xyyx'

g. yxdx

dy

h. 1 ysenxdx

dyxcos

5

19

i. xseneyxxyx 21 )(

'

j. 021 dxxysenxdyx )tan()cos(

k. x

xeyxdx

dyx

221 )()(

l. 022 2 dyyxyxydx )(

m. 20205 )(, yydx

dy

n. 512 2 )(, yyxdy

dxy

En este fascículo hemos continuado nuestro estudio de las ecuaciones

diferenciales, hemos conocido y solucionado ecuaciones diferenciales

exactas y lineales de primer orden, además las hemos aplicado a la so-

lución de circuitos sencillos compuestos de resistencias, inductores y

fuentes de voltaje.

Rainville, Earl D. y otros. Ecuaciones Diferenciales. Ed. Prentice Hall. Oc-

tava Edición. México 1997, Cap. 1 y 2

Zill, Dennis G. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado.

Ed. Internacional – Thomson Editores. Sexta Edición. México 2000, Cap.

2. Secciones 2.4 y 2.5.

5

20

En el próximo fascículo trabajaremos la solución de ecuaciones dife-

renciales por sustitución; veremos cómo al efectuar una sustitución

sencilla sobre algunas ecuaciones, éstas se pueden transformar en

ecuaciones de alguno de los tipos que hemos trabajado.

Puedes encontrar información sobre este tipo de ecuaciones en la bi-

bliografía recomendada en este fascículo.

5

21

Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa

Ecuaciones diferenciales - Fascículo No. 9

Nombre_____________________________________________________________________

Apellidos ________________________________________ Fecha ____________________

Ciudad __________________________________________ Semestre _________________

1. Define:

a. Ecuación diferencial exacta

b. Factor de integración

2. Resuelve las ecuaciones diferenciales dadas:

a. 0223 322 dyyxysenxdxxyxxy )ln()cos(

ey )(0con

b. 10con 2 )(,cos)(tan'

yxyxy