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Tabla de contenido Página

Ecuaciones diferenciales no homogéneas 3

Solución de una ecuación diferencial no homogénea con 3

coeficientes constantes

Método de variación de parámetros 11

Resumen 13

Bibliografía recomendada 14

Nexo 14

Autoevaluación formativa 15

5

2

Copyright©1999 FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTIN

Facultad de Ingeniería de Sistemas.

Sistema de Educación Abierta y a Distancia.

Santa Fe de Bogotá, D.C.

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escrito del Presidente de la Fundación.

La redacción de este fascículo estuvo a cargo de

JAIME PRECIADO LOPEZ

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Santa Fe de Bogotá, D.C.

5

3

Ecuaciones diferenciales no homogéneas En este fascículo trabajaremos en la búsqueda de solución a ecuacio-

nes diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes;

emplearemos dos métodos: el método de coeficientes indeterminados y

el de variación de parámetros; reconoceremos la solución general de

una ecuación de este tipo como la suma de las soluciones de la ecua-

ción homogénea asociada y la particular.

Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:

Halla correctamente la solución de una ecuación diferencial homo-

génea asociada.

Emplea correctamente el método de coeficientes indeterminado para

solucionar ecuaciones diferenciales no homogéneas.

Emplea correctamente el método de variación de parámetros para so-

lucionar ecuaciones diferenciales no homogéneas.

Soluciona correctamente ecuaciones no homogéneas con coeficientes

constantes.

Solución de una ecuación diferencial no homogénea con coeficientes constantes

Vamos a buscar la solución de ecuaciones lineales u homogéneas del

tipo

yyadx

dya

dx

yda

dx

yda

n

n

nn

n

n

011

1

1 (1)

Podemos resumir el procedimiento para resolver una ecuación del tipo

(1) en tres pasos:

5

4

1. Hacemos 0)(xg de modo que (1) se convierte en una ecua-

ción homogénea con coeficientes constantes y la resolvemos; a

la solución encontrada se le acostumbra llamar solución homo-

génea asociada y se nota por hy .

2. Buscamos una solución particular de la ecuación no homogénea

(1); a dicha solución se le acostumbra llamar solución particular

py .

3. Sumamos los resultados de los pasos 1 y 2 para encontrar la so-

lución general y , es decir, ph yyy

Al estudiar estos tres pasos, detalladamente, vemos que el paso No. 1

no presenta dificultad porque en el fascículo anterior resolvimos este ti-

po de ecuaciones; el paso No. 3 hace referencia tan solo a la suma de

las soluciones encontradas, pero el paso No. 2 es nuevo y para llevarlo

a cabo podemos utilizar el método conocido como método de los coe-

ficientes indeterminados. Para hallar la solución particular py , consi-

deremos la ecuación:

)("

xgyayay 21

Podemos encontrar py para esta ecuación con base en ensayos de

acuerdo con la expresión )(xg , así:

a. Si 01

1

1 dxdxdxdxgm

m

m

m

)( podemos

ensayar la solución particular

01

1

1 CxCxCxCym

m

m

mp

b. Si x

bexg)( podemos ensayar como solución particular

x

p Cey

5

5

c. Si xCsenxbxg cos)( podemos probar la solución

particular

xCsenxByp cos

d. Si alguno de los términos de )(xg es una solución de la ecua-

ción homogénea, multiplicamos por x nuestra solución.

A continuación vamos a resolver algunos ejemplos para especificar el

método.

Ejemplo

Resolvamos la ecuación 549 yy"

(1).

Sigamos los tres pasos descritos en la metodología

Paso No. 1: resolvemos la homogénea asociada a la ecuación dada

09 yy"

la ecuación auxiliar es

092 m

o

033 ))(( mm

así tenemos dos raíces reales y distintas, por tanto la solución es

xx

n eCeCy3

2

3

1

Paso No. 2: encontremos la solución particular py para nuestra ecua-

ción 54)(xg ; como )(xg es un polinomio de grado cero, proba-

mos una solución particular con un polinomio también de grado cero

kyp ; remplazamos py y sus derivadas en la ecuación dada sabien-

do que:

5

6

0

0

"

'

p

p

p

y

y

ky

así nuestra ecuación 549 yy"

se convierte en 5490 k

de donde 6k , por tanto

6py

Paso No. 3: hacemos ph yyy y obtenemos la solución general:

63

2

3

1 xxeCeCy

Ejemplo

Resolvamos 6244 xyyy'"

Paso No. 1

044 yyy'"

la ecuación auxiliar es

0442 mm

o

022m

así tenemos que 2m es una raíz real y repetida, por tanto

xx

h xeCeCy2

2

2

1

Paso No. 2

Como 62 xxg )( probamos con una solución

BAxyp

Si obtenemos las derivadas de py entonces

5

7

0

"

'

p

p

y

Ay

Si reemplazamos y por py en la ecuación dada

6244 xyyy'"

obtenemos

62440 xBAxA )(

que podemos escribir como

62444 xBAAx )(

si igualamos los coeficientes tenemos

24 A y 644 BA

resolviendo

2

1A y 1B

por tanto

12

1 xy

p

Paso No. 3

pn yyy

12

12

2

2

1 xxeCeCy

xx

Ejemplo

Resolvamos x

eyyy412 '"

Paso No. 1

012 yyy'"

5

8

la ecuación auxiliar es

0122 mm

o

022m

así tenemos raíces reales y distintas, por tanto

xx

n eCeCy3

2

4

1

Paso No. 2

Como x

exg4)( ensayamos

x

p eCy4

3

las derivadas son

x

p

x

p

eCy

eCy

4

3

4

3

16

4

"

'

si reemplazamos py y sus derivadas en la ecuación dada tenemos:

xxxxeeCeCeC

44

3

4

3

4

3 12416

o

xe

40

Lo cual es un resultado incorrecto que debíamos esperar, ya que la so-

lución que estamos ensayando es un término de la solución de la ecua-

ción homogénea; para solucionar el problema debemos multiplicar por

x nuestra solución propuesta, como se dijo en el numeral d); así debe-

mos probar con:

x

p xeCy4

3

Veamos:

xx

p

xx

p

xeCeCy

xeCxeCy

4

3

4

3

4

3

4

3

168

4

"

'

5

9

reemplazando en la ecuación

xxxxxxexeCxeCxeCxeCeC

44

3

4

3

4

3

4

3

4

3 124168

equivalente a

xxeeC

44

37

así

7

13 C

por tanto

x

p xey4

7

1

Paso No. 3

ph yyy

xxxxeeCeCy

43

2

4

17

1

Ejemplo

Resolvamos xsenxyyy '"

Paso No. 1

Debemos resolver la ecuación homogénea

0 yyy'"

la ecuación auxiliar es

012 mm

de donde las raíces son complejas y corresponden a

2

31 im

empleando la identidad de Euler, podemos escribir la solución

homogénea asociada como

5

10

xsenCxCey

x

n2

3

2

321

2 cos

Paso No. 2

Como xsenxxg )( podemos probar con

xDxCxsenxxBAsenxyp coscos

la primera y segunda derivadas de py son

xDxCxsenxxBCsenxDAy

DxsenxxCxsenxBCxDAy

p

p

coscos

coscos

"

'

22

si reemplazamos en la ecuación

xsenxyyy '"

tenemos:

xsenxxCxDxsenxxCDAsenxDCB coscos22

igualando coeficientes tenemos:

0

1

02

02

C

D

CDA

DCB

resolviendo tenemos:

10 2;B1;A DC ;

así remplazando en py obtenemos:

xxxsenxyp coscos 2

Paso No. 3

ph yyy

5

11

Joseph Louis Lagrange

(1736 – 1813). Nació en

Turín. Director de la se-

cción de matemáticas de

la Academia de Berlín.

xxxsenxxsenCxxCeyx

coscoscos

2

2

3

2

321

2

13.1

En los siguientes problemas usa el método de coeficientes indetermi-

nados para resolver las ecuaciones diferenciales.

1. 226 xyyy '"

2. xyy 4 '"

3. x

eyyy 65 '" 4.

xeyyy 296 '"

5. x

eyyy334 '"

6. x

eyyy2322 '"

7. senxyyy 22 '" 8. xyy 224 cos

"

Método de variación de parámetros

Para encontrar la solución py de una ecuación diferencial, puede ha-

cerse uso de un método conocido como variación de parámetros el

cual es atribuido a Joseph Louis Lagrange; este método lo podemos

describir de manera directa y resumir así:

Si )(xu1 y )(xu2 son soluciones independientes de la ecuación ho-

mogénea asociada, existe una solución particular de la ecuación no ho-

mogénea dada por

)()()()( xuxvxuxvyp 2211

en donde se satisface

02211 )()()()(''

xuxvxuxv

y

)()()()()(''''

xgxuxvxuxv 2211

los ejemplos que siguen, muestran la forma de encontrar las funciones

)(xv1 y )(xv2 .

5

12

Ejemplo

Resolvamos xxyy cot.csc"

La ecuación homogénea asociada es

012 m

de donde las raíces son complejas, la solución es:

senxCxCyn 21 cos

si llamamos xxu cos)( 1 y senxxu )(2 entonces podemos decir

que:

senxxvxxvyp )(cos)( 21

con las condiciones

021 senxxvxxv )(cos)(''

y

xxxxvsenxxv cotcsccos)()('' 21

si despejamos )('

xv1 y )(

'xv2

de este sistema de ecuaciones

obtenemos:

xxv cot)(' 1

y

xxv2

2 cot)('

por tanto

senx

xdxdxxvxv

ln

cot)()('

11

xx

xdxdxxvxv

cot

cot)()('

2

22

así

5

13

xsenxxsenxxy

senxxxxsenxy

p

p

coslncos

cotcosln

así la solución general es:

ph yyy

xsenxxsenxxsenxCxCy coslncoscos 21

Agrupando términos podemos escribir esta solución como:

xsenxsenxxsenxCxCy lncoscos 23

Siempre que podamos aplicar el método de los coeficientes in-

determinados, debemos hacerlo ya que es más eficaz y rápido

que el método de variación de parámetros.

13.2

En los siguientes problemas resuelve las ecuaciones diferenciales

mediante variación de parámetros

1. 2523 xyyy'"

2. x

eyy24 "

3. xyy cot"

En este fascículo hemos aprendido a resolver ecuaciones diferenciales

no homogéneas con coeficientes constantes haciendo uso de dos mé-

todos, el método de coeficientes indeterminados y el de variación de pa-

rámetros; con ellos hemos hecho evidente que la solución general de

5

14

una ecuación no homogénea corresponde a la suma de la solución de

la homogénea asociada y la solución particular, es decir, ph yyy .

Rainville, Earl D. y Otros. Ecuaciones Diferenciales. México: Ed. Prentice

Hall, octava edición, 1997, cap. 4.

Zill, Dennis G. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado.

México: Ed. Inter. – Thomson Editores, sexta edición, 2000, cap. 4.

En el próximo fascículo veremos los operadores diferenciales y el opera-

dor anulador de una función; además, buscaremos la solución de siste-

mas de ecuaciones diferenciales por el método de los operadores, un

equivalente al método de eliminación, empleado para resolver sistemas

de ecuaciones no diferenciales.

5

15

Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa

Ecuaciones diferenciales - Fascículo No. 13

Nombre_____________________________________________________________________

Apellidos ________________________________________ Fecha ____________________

Ciudad __________________________________________ Semestre _________________

1. Resuelve, por el método de los coeficientes indeterminados, las ecuaciones siguien-

tes:

a. xsenyy 39 "

b. x

esenxyy29 "

2. Resuelve por el método de variación de parámetros

123

x

x

e

eyyy

'"