Tablas Semanticas - Apunte v2015

8/18/2019 Tablas Semanticas - Apunte v2015

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[Versión corregida: 2015]

TABLAS SEMÁNTICAS

Pablo Usabiaga - 2014

Al igual que las tablas de verdad, las tablas semánticas constituyen un procedimiento para determinarla validez o invalidez de razonamientos, y en el caso de las fórmulas, para determinar si son o no sontautologías. Con respecto a las tablas de verdad, presentan la ventaja de ser muchísimo más breves yrápidas de resolver. Una tabla semántica podría entenderse como una especie de abreviatura de unatabla de verdad, si bien esto no resultará evidente a primera vista, pero se entenderá cuando ya se hayacomprendido la sustancia del método. Las tablas de verdad suelen tener mucha informaciónredundante, irrelevante o ambas cosas. La tabla semántica, en cambio, “va directo al grano”, buscando

la información precisa que se necesita para resolver el problema planteado, y solamente esainformación.

Una tabla semántica es (al igual que las tablas de verdad) un algoritmo. Eso significa que puederesolverse aplicando ciegamente una receta. Pero en este apunte, lo más importante es entender quésignifica conceptualmente cada paso del procedimiento y qué significan cada parte de la tabla, y latabla como un todo. Se puede aprender a resolver una tabla semántica (como otras cosas en lógica)“aplicando la receta”, pero saber aplicar una receta ciegamente sólo sirve para saber aplicar la receta, ycualquiera que conozca a una persona que se aprendió recetas para manejar una computadora o unteléfono celular sabe lo fácil que resulta que esa persona se pierda por el camino. Lo verdaderamenteimportante es la comprensión conceptual, que no puede lograrse sin un estudio reflexivo y profundo, yque es imposible de lograr si lo único que se aprende es a aplicar una receta sin saber los porqués de

cada paso.Expondremos el método de las tablas semánticas alternando una serie de ejemplos, que irán

aumentando en complejidad a medida que avancemos en el apunte, con una serie de definiciones yexplicaciones de los conceptos necesarios para comprender su funcionamiento. Primero expondremosel método aplicado a la resolución de razonamientos (es decir, a la determinación de su validez oinvalidez), y al final del apunte mostraremos cómo se puede extender fácilmente el método paraaplicarlo la determinación de la tautologicidad (y contradictoriedad) de fórmulas y a la consistencia deconjuntos de fórmulas.

Empezaremos por ofrecer algunas definiciones.

Literales

Un literal es una fórmula atómica (=“literal positivo”) o bien la negación de una fórmula atómica (=“literal negativo”). Ejemplos de literales son: p, q, ¬r, s, ¬t, etc.; p, q y s son literales positivos, y ¬r y¬t son literales negativos. Las fórmulas con dobles negaciones o con más negaciones no son literales:

para ser un literal negativo, la fórmula debe tener solamente una negación.Dos literales, uno positivo y otro negativo, y que tienen la misma letra, se llaman literales

complementarios. Por ejemplo p y ¬p son literales complementarios. (Para ser complementarios, dosliterales deben tener la misma letra, de modo que por ejemplo los literales p y ¬q no son complementarios).


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Asignaciones

Dado un conjunto de fórmulas atómicas, llamamos asignación a la atribución, para cada fórmulaatómica del conjunto, de un valor de verdad determinado. Así, dado el conjunto de fórmulas{ p, q, r, s } , las siguientes son asignaciones para dicho conjunto:

p = 1, q = 1, r = 0, s = 1 p = 0, q = 0, r = 0, s = 0 p = 1, q = 1, r = 0, s = 1

p = 1, q = 1, r = 1, s = 1

Dada una sola fórmula atómica, hay dos asignaciones posibles para ella (1 y 0). Dado un conjunto dedos fórmulas, hay cuatro asignaciones posibles para ellas (1-1, 0-1, 1-0, 0-0). Si el conjunto es de tresfórmulas, las asignaciones posibles son 8 (dejamos al lector que haga la lista). Y en general, dado unconjunto de n fórmulas atómicas, hay 2n asignaciones para ellas:

1 fórmula: 21 = 2 2 fórmulas: 22 = 4 3 fórmulas: 23 = 8 4 fórmulas: 24 =16

5 fórmulas: 2

5

= 32 6 fórmulas: 26 = 64 7 fórmulas: 27 = 128etc.(Es fácil ver que a medida que se agrega una fórmula, el número de asignaciones se multiplica pordos, como es característico de toda función exponencial).

Por supuesto, el alumno ya se ha encontrado previamente con el concepto de asignación, si biental vez no lo conozca con ese nombre: cada línea de una tabla de verdad corresponde a una asignación,y dicha asignación es el conjunto de valores que toman las fórmulas atómicas en esa línea, y queconstituyen las columnas del extremo izquierdo de la tabla.

Verdad o falsedad bajo una asignación

Se dice que una fórmula es verdadera bajo una asignación en el caso de que calculando el valorveritativo de la fórmula tomando como valores veritativos de sus fórmulas atómicas componentes losvalores señalados por dicha asignación, la fórmula toma valor 1. Análogamente, se dice que unafórmula es falsa bajo una asignación en el caso de que haciendo eso mismo, el resultado es que lafórmula toma valor 0. Por ejemplo, la fórmula p q es verdadera bajo la asignación {p = 1, q = 0}, yes falsa bajo la asignación {p = 0, q = 0}.

Vale la pena enfatizar aquí una vez más que las fórmulas no son verdaderas ni falsas más que

con respecto a tal o cual asignación. Es decir, no tiene sentido afirmar que una fórmula es falsa overdadera si no se especifica cuál es la asignación bajo la cual ella es falsa o verdadera. En cambio, delos enunciados no ambiguos, al tener un significado fijo, sí que podemos decir que son verdaderos ofalsos sin indicar cuál es la asignación, ya que dicha asignación está sobreentendida, y nos la brindanuestro conocimiento del mundo. “O bien Salta está más al sur que Córdoba, o bien Jujuy está más alnorte que Córdoba” es verdadera pues el primer término es falso y el segundo término es verdadero, ynosotros sabemos esos valores veritativos debido a nuestro conocimiento del mundo. En cambio como

p o q (r s) no nos dicen nada en tanto no sepamos qué enunciados representan p, q, etc., solotiene sentido hablar de su verdad o falsedad o bien cuando los interpretamos como tal o cualenunciado, o bien cuando los consideramos bajo tal o cual asignación. Las asignaciones no son otracosa que los mundos posibles, y cuando hablamos de la verdad o falsedad de un enunciado estamosdando por supuesto que asignamos a sus enunciados atómicos los valores correspondientes a nuestro mundo o universo, que es uno de esos mundos posibles.


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Asignaciones falsadoras. Asignaciones invalidadoras

Dada una fórmula F, se llama asignación falsadora de F a toda asignación bajo la cual F es falsa. Esdecir, es una asignación cuyos valores atribuidos a las fórmulas atómicas de F determinan (cálculomediante) que F resulta falsa.

Dada una forma de razonamiento R (en la que las premisas y conclusión no son enunciados,sino fórmulas), una asignación invalidadora de R es una asignación (para todas las fórmulas atómicas

que aparezcan en las premisas y/o en la conclusión) bajo la cual las premisas de R resultan verdaderasy la conclusión de R resulta falsa. Por ejemplo, dado el razonamiento:q (r s), q / r

la siguiente es una asignación invalidadora de dicho razonamiento:{q = 1, r = 0, s = 1}

El alumno puede comprobar, haciendo el cálculo correspondiente, que bajo esta asignación, las premisas resultan verdaderas y la conclusión resulta falsa.

Las asignaciones invalidadoras se llaman así pues ponen de manifiesto (demuestran) lainvalidez del razonamiento en cuestión, ya que su sola existencia demuestra que es posible que las

premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. (Trivial: si algo sucede, entonces es posible quesuceda.) En otras palabras, y dado que una asignación es un mundo posible, hay al menos un mundo

posible en el que las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa, con lo cual el razonamiento esinválido, ya que si fuera válido, eso sería imposible.

Asignaciones parciales

Dada una fórmula F, una asignación parcial para F es una asignación que atribuye valores a algunas(pero no todas) las fórmulas atómicas de F. Por ejemplo, si F es ( p q ) r , la asignación {p = 1, r =0} es una asignación parcial para F.

Algunas asignaciones parciales de determinada fórmula permiten calcular su valor veritativo,mientras que otras no. Por ejemplo, dada la fórmula ( p q ) r , la asignación parcial {p = 0, r = 0}nos permite calcular el valor veritativo de la fórmula, que es 0 (dejamos al alumno la tarea decomprobarlo mediante el cálculo correspondiente): independientemente del valor que tome q en laasignación total, el valor de la fórmula va a seguir siendo 0. Es decir que podemos afirmar que lafórmula ( p q ) r es falsa bajo la asignación (parcial) {p = 0, r = 0}. En cambio, dada la mismafórmula ( p q ) r , la asignación parcial {p = 1, r = 0} no nos permite calcular el valor veritativo dela fórmula, ya que éste dependerá del valor que tome q en la asignación total.

Una asignación parcial para una fórmula, como la recién señalada {p = 1, r = 0} para( p q ) r , puede expresarse también indicando con el signo de interrogación “?”el valor de lasfórmulas atómicas cuyo valor no conocemos; de modo que podemos escribirla así: {p = 1, r = 0,q = ?}.

Cuando es posible calcular, con los valores de una asignación parcial solamente, que el valor dela fórmula es 0 bajo esa asignación parcial, decimos que se trata de una asignación falsadora parcial.

Análogamente, dado un razonamiento R, una asignación parcial para R es una asignación queatribuye valores a algunas (pero no todas) las fórmulas atómicas componentes de las premisas yconclusión de R.

Cuando es posible calcular, utilizando los valores de una asignación parcial solamente, que las premisas resultan verdaderas y la conclusión falsa (bajo esa asignación parcial), decimos que se tratade una asignación invalidadora parcial.

De más está decir que es indiferente el orden en que pongamos las fórmulas atómicas (con sus

valores) en la asignación. Esto vale tanto para las asignaciones parciales como para las totales.


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Determinación de validez de razonamientos

Comenzaremos con un razonamiento a modo de ejemplo.

Ejemplo 1

Sea el siguiente razonamiento, cuya validez o invalidez queremos determinar:

¬ (p q) , r / p

Ya sabemos determinar su validez o invalidez mediante el método de la tabla de verdad. Empecemos por aplicar este método (luego veremos cómo se aplica el método de las tablas semánticas al mismorazonamiento). He aquí la tabla de verdad:

p q r ¬ ( p q ) r p

1 1 1 0 1 1 1 1 10 1 1 0 0 1 1 1 01 0 1 0 1 1 0 1 10 0 1 1 0 0 0 1 0

1 1 0 0 1 1 1 0 10 1 0 0 0 1 1 0 01 0 0 0 1 1 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0 0

¿Cómo hacemos, una vez hecha la tabla de verdad, para extraer de ella la información de si el

razonamiento es válido o inválido? La respuesta, como ya sabemos, es que debemos fijarnos si hay unao más asignaciones invalidadoras, es decir, asignaciones que hagan verdaderas a las premisas y falsa ala conclusión (o dicho con más propiedad, asignaciones bajo las cuales las premisas sean verdaderas yla conclusión falsa). Si no hay ninguna asignación invalidadora, el razonamiento es válido, y si hayuna o más, es inválido.

En este caso, tenemos ocho asignaciones (recordemos que cada renglón de una tabla de verdadcorresponde por definición a una y exactamente una asignación):

{p = 1, q = 1, r = 1}, correspondiente al primer renglón,{p = 0, q = 1, r = 1}, correspondiente al segundo renglón,{p = 1, q = 0, r = 1}, correspondiente al tercer renglón,etc.

De estas ocho asignaciones, la correspondiente al cuarto renglón es una asignación invalidadora denuestro razonamiento. En la tabla lo hemos indicado resaltando esta línea. (De hecho, la asignacióncorrespondiente al cuarto renglón es la única de las ocho que es invalidadora, pero como ya sabemos,da igual que haya una o quinientas, ello implica la invalidez del razonamiento.)

De modo que nuestro razonamiento es inválido, pues hay una asignación invalidadora. (Hemosseñalado con flechas simples ( ) las columnas de los valores de las premisas, y con una flecha doble( ) la columna de los valores de la conclusión.)

Se ve, entonces, que averiguar si un razonamiento es inválido se reduce a averiguar si hay o nohay al menos una asignación invalidadora para sus fórmulas atómicas. Esta es la clave del

procedimiento llamado tablas semánticas: se trata de no perder el tiempo examinando la larga lista

de todas las asignaciones, sino de ir directo al grano, para tratar de hallar rápidamente unaasignación invalidadora (en cuyo caso el razonamiento será inválido), o bien inferir que es imposiblehallar una, porque no existe ninguna (en cuyo caso el razonamiento será válido).


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¬ (p q) *r

¬p¬ (p q)

¿Qué queremos decir con “desarmar” la fórmula? Quiere decir descomponerla en sus partes. En el

método de tablas semánticas, las fórmulas se van desarmando y las subfórmulas obtenidas se desarmantambién, y así sucesivamente hasta llegar a los literales. Pero no se las desarma de cualquier manera,sino que se lo hace de modo tal que las subfórmulas obtenidas sean todas verdaderas bajo la(s)asignacion(es) invalidadora(s) (al igual que las fórmulas iniciales). La idea es que toda fórmula queaparezca en la columna debe ser verdadera bajo esa(s) asignacion(es).

Observe nuestra tabla semántica. La fórmula de abajo del todo es la negación de unadisyunción. Acabamos de decir que todas las fórmulas que hemos escrito son verdaderas; por lo tantoesa fórmula es verdadera. 3 Por lo tanto, la disyunción es falsa, y en consecuencia sus dos términosson falsos (lo que puede comprobarse mirando la correspondiente tabla de definición de ladisyunción). Eso significa que tanto p como q son falsos (ver nota 3). Por lo tanto, ¬ p y ¬q son ambasverdaderas. Colocamos, entonces, este resultado debajo de las fórmulas anteriores:

¬ (p q) *r

¬ p¬ (p q) *

¬ p¬ q

Al “desarmar” una fórmula, se coloca también un asterisco a su derecha. De modo que hay quegrabase en la cabeza esta instrucción:

Si una fórmula se copia debajo, hay que señalar la original con un asterisco. Si una fórmula se desarma, hay que marcarla con un asterisco. Los asteriscos se usan en estos dos casos, y solamente en estos dos casos.

¿Nos queda alguna otra fórmula para desarmar? No, todas las fórmulas o están marcadas conun asterisco o son literales. Las únicas fórmulas “desarmables” ya han sido desarmadas, dado queestán marcadas con un asterisco. (Aquí se ve cuál es la utilidad del asterisco: señalar las fórmulas yadesarmadas). Dado que no hay más fórmulas que desarmar, la tabla semántica está terminada, y hemoshallado una asignación invalidadora de nuestro razonamiento.

Primero que nada: ¿tabla? ¿qué tabla? ¡Lo que hemos ido escribiendo no es una tabla, sino unacolumna de fórmulas! Bueno, no se enoje usted: es cierto, de modo que, por ahora, el nombre “tabla”le sonará un tanto caprichoso, y parecería más adecuado llamar a esto “columna semántica” y no “tabla

semántica”. De acuerdo. Por ahora, concédanos el lector el capricho de llamar “tabla” semántica a loque hemos escrito; más adelante ya le quedará claro por qué se llama así a este método. Por ahora, piense en esto: ¿qué es una tabla? Es una cuadrícula de filas que se cruzan con columnas. Es decir, loque normalmente llamamos “tabla” (por ejemplo, en las planillas de cálculo o en las tablas de verdad)es una representación gráfica que tiene x filas e y columnas. Bueno, considere ahora el alumno,simplemente, que nuestro primer ejemplo es una tabla que tiene una sola columna (y seis filas). Ytodos contentos.

¿Y adónde está la asignación invalidadora? Muy sencillo: para extraer de la tabla la asignacióninvalidadora, para “cosechar” de la tabla dicha asignación, tenemos que recorrer la columna desde suextremo inferior y siempre hacia arriba, e ir deteniéndonos en cada literal. Si encontramos un literal

3 A fin de no ser repetitivos, daremos por sobreentendido, cuando digamos que una fórmula es verdadera o falsa, que lo es

bajo la o las asignaciones invalidadoras del razonamiento cuya existencia hemos supuesto. Como se explicó previamente,decir que una fórmula es “verdadera” o “falsa” sin que se sepa bajo qué asignación lo es, se trata de un sinsentido.


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positivo X, eso significa que en nuestra asignación, X = 1. Si en cambio, encontramos un literalnegativo ¬ X, eso significa que en nuestra asignación, X = 0. ¿Por qué? Porque todo lo escrito en latabla es verdadero, así que ¬ X es verdadera y por lo tanto X es falsa. Aplicando este criterio,recogemos los valores de la asignación empezando por abajo, es decir, en nuestra tabla, empezando

por ¬q , y ascendemos hasta el extremo superior. De esta manera, determinamos que la asignación encuestión es:

{q = 0, p = 0, r = 1}

Precisamente, se trata de la asignación invalidadora que habíamos hallado al hacer la tabla de verdaddel mismo razonamiento. (No podía suceder de otra manera, porque vimos que ese razonamiento tieneuna sola asignación invalidadora.)

Nótese que en nuestra tabla semántica, el literal ¬ p aparece dos veces, pero la segunda vez queaparece no significa para nosotros más que una confirmación de que el valor de p es 0. Como es obvio,en la asignación solamente consignamos una vez su valor. Es decir, si nos topamos dos (o más) vecescon el mismo literal, hacemos caso omiso de él a partir de la segunda vez que lo hallamos.ATENCIÓN: estamos hablando de encontrar dos o más veces el mismo literal (por ejemplo, s y luegootra vez s, o ¬p y luego otra vez ¬ p , y no de encontrar un literal y su complementario (por ejemplo,

primero s y luego ¬ s). Ya veremos más adelante qué significaría que suceda eso.Una vez que hallamos la asignación invalidadora, podemos hacer la comprobación de la

invalidez; en otras palabras, comprobamos si la asignación encontrada es efectivamente una asignacióninvalidadora. La comprobación consiste en escribir el razonamiento, anotar debajo de cada letra(fórmula atómica) los valores indicados de la asignación encontrada, y calcular el valor de premisas yconclusión: si no hemos cometido ningún error, las premisas deben resultar verdaderas y la conclusiónfalsa, y con ello quedará demostrada la invalidez del razonamiento:

¬ ( p q ) , r / p0 0 1 0

(Hemos copiado, debajo de cada fórmula atómica, el valor correspondiente según la asignación.) Dadoque los dos términos de la disyunción son falsos, la disyunción también lo es:

¬ ( p q ) , r / p0 0 0 1 0

Y dado que la disyunción es falsa, su negación es verdadera:¬ ( p q ) , r / p1 0 0 0 1 0

Vemos entonces que ambas premisas resultan verdaderas y la conclusión resulta falsa bajo laasignación que hallamos. Queda comprobado entonces que se trata de una asignación invalidadora. De

modo que queda demostrada la invalidez del razonamiento.

Reglas de tablas semánticas

El último paso realizado en nuestra tabla fue el “desarmado” de la fórmula ¬ (p q), y ese paso puedesintetizarse como la aplicación de la siguiente regla:

¬ (A B)¬A¬B

Lo que dice esta regla es: si usted tiene una disyunción negada, escriba debajo el primer términonegado y debajo de éste, el segundo término negado. Esta regla se llama falsedad de la disyunción, y


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se deduce de la tabla-definición de la disyunción, en la que vemos que el único caso en que ladisyunción es falsa se da cuando ambos términos son falsos (último renglón):

A B A B

1 1 10 1 11 0 10 0 0

La regla de falsedad de la disyunción es una de las reglas de tablas semánticas, que iremosexponiendo poco a poco a lo largo de este apunte.

La regla que acabamos de aprender se llama así (“ falsedad de la disyunción”) porque cuando esverdadera la negación de una disyunción, ello equivale a afirmar que la disyunción misma es falsa.(Como veremos en seguida, uno de los “trucos” de las tablas semánticas consiste en interpretar lasnegaciones como la afirmación de la falsedad de las fórmulas que ellas niegan.)

Como hemos dicho, todas las fórmulas que anotamos una debajo de otra en columna sonverdaderas bajo las asignaciones invalidadoras (sean una o más de una) del razonamiento. Por lo tanto,si entre esas fórmulas elegimos alguna cuya conectiva principal es una negación y suprimimos esanegación, la fórmula obtenida es falsa (siempre, bajo las asignaciones invalidadoras, por supuesto).Por lo tanto, en la tabla semántica del Ejemplo 1, la fórmula p q es falsa, ya que se obtiene a partir de¬ (p q), que es verdadera, suprimiendo la negación (que es la conectiva principal). A riesgo de

ponernos pesadamente repetitivos, aclaramos: todo ello es así, bajo las asignaciones invalidadoras. Notiene sentido aquí decir que una fórmula sea verdadera o falsa sin aclarar bajo qué asignación o

asignaciones lo es. Por lo tanto, bajo esas asignaciones, son falsas tanto p como q, según se deduce delos dos últimos renglones de la tabla-definición de la disyunción, y la regla expresa esto haciéndonosescribir las respectivas negaciones de p y de q (¬ p y ¬q). Es decir, ¬p nos dice que p es falsa, y ¬q nosdice que q es falsa.

Dijimos que ya se verá más adelante por qué hablamos de “tablas” y no de “columnas”semánticas. Pero, ¿y lo de “semánticas”? Lo que diremos aquí es: no hace falta que el alumno entiendael porqué de este nombre: simplemente, es el nombre de esta técnica, y punto.4

La conexión entre los literales y los valores correspondientes debería ser bastante intuitiva: latabla indica todas las cosas que resultan verdaderas bajo toda asignación invalidadora delrazonamiento. De allí, como es obvio, llegamos a obtener un conjunto de literales (que por tanto sontambién todos verdaderos bajo las asignaciones invalidadoras), y deducimos los valores (en esasasignaciones) de las fórmulas atómicas a partir de los literales: las fórmulas atómicas de los literales

positivos son verdaderas, y las de los literales negativos son falsas, en todas las asignaciones

4 (El alumno curioso podrá leer esta nota al pie, en la que exponemos el porqué de este nombre, pero si esa curiosidad no le

quita el sueño, puede pasar por alto esta nota sin preocuparse más del asunto.) Las tablas semánticas se llaman“semánticas” por hacer uso del “truco” que mencionábamos antes, de interpretar toda fórmula cuya conectiva principal seauna negación como la afirmación de la falsedad de la (sub)fórmula obtenida al suprimir esa negación (es decir, interpretar‘¬A’ como ‘A es falso’: vimos este “artilugio” en la regla de falsedad de la disyunción), e interpretar las fórmulas cuyaconectiva principal sea cualquiera otra de las conectivas (es decir, cualquiera que no una negación) como la afirmación dela verdad de esa misma fórmula. Por eso, los literales negativos se interpretan, según vimos, como la afirmación de lafalsedad de la fórmula atómica correspondiente, mientras que los que los literales positivos se interpretan como laafirmación de la verdad de la fórmula atómica correspondiente. Pero que una fórmula sea una negación (es decir, que suconectiva principal sea una negación) es una cuestión sintáctica, y “verdad” y “falsedad” son conceptos semánticos. Demodo que las tablas semánticas se llaman “semánticas” por recurrir al truco de convertir o traducir un asunto sintáctico en

un asunto semántico.Las tablas veritativas también forman parte del estudio semántico de las fórmulas, pues analizan la verdad y lafalsedad; si son las tablas semánticas las que se llaman “semánticas” es porque consisten en una especie de transformaciónde lo sintáctico en semántico. ¿No entendió? No se preocupe, olvídese de esta nota y siga adelante.


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invalidadoras. (Si no le resulta obvio, el lector tendrá que detener la lectura y ponerse a pensarlo hastaque sí le resulte obvio, y recién entonces seguir adelante.)

Puede apreciarse, asimismo, que la tabla semántica despliega en sentido vertical (en columnas)lo que en la tabla de verdad aparece en una línea horizontal (en filas). Los literales que aparecen alrecorrer en sentido vertical la tabla semántica del Ejemplo 1 (desde el extremo inferior al extremosuperior) corresponden a la cuarta línea de la tabla de verdad (la que, como habíamos dicho,corresponde a una asignación invalidadora). Los literales positivos corresponden a las fórmulas

atómicas que, en esa línea, tienen valor 1, y los negativos a las que tienen, en esa misma línea, valor 0.Cuando decimos aquí que una tabla semántica desarrolla en vertical lo que en lacorrespondiente tabla de verdad desarrolla en horizontal, estamos haciendo una observación un tantosutil: no se trata meramente de que la tabla semántica sea la tabla veritativa girada 90º (aunque algo deeso hay). Hay diferencias. Una diferencia importante (y no es la única), es por ejemplo que una tablasemántica no despliega todas las líneas horizontales de la tabla de verdad, sino que es un intento dedesplegar una sola de ellas (en vertical, como hemos dicho), que corresponderá a alguna asignacióninvalidadora. Intentamos desplegar solamente una, ya que nos bastará encontrar una asignacióninvalidadora para demostrar que el razonamiento es inválido. Decimos “un intento” porque no siemprese logra: como es obvio, si el razonamiento es válido, no existe ninguna asignación invalidadora paraél, ¡y por lo tanto no hay ninguna asignación que desplegar, y el intento resultará fallido!

¿Qué ocurre entonces si el razonamiento es válido? Si el razonamiento es válido, tal comoacabamos de decir, no habrá ninguna asignación invalidadora: ninguna línea de la tabla de verdad seráuna asignación invalidadora, es decir, en ninguna línea de la tabla de verdad las premisas resultarántodas verdaderas y a la vez la conclusión resultará falsa. ¿Qué sucederá al hacer la tabla semántica? Elejemplo siguiente examinará este caso.

Ejemplo 2

Examinemos este sencillo razonamiento (tiene una sola premisa):

q r / rEsta es su tabla de verdad:

q r q r r1 1 1 1 1 10 1 0 0 1 11 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0

% #

No hay en la tabla ninguna asignación invalidadora, ya que no hay ninguna línea en la que todas las

premisas (es decir, la única premisa, en este caso) sean verdaderas y la conclusión sea falsa. Por lotanto, el razonamiento es válido.

Veamos su tabla semántica:q r * (premisa)

¬r (negación de la conclusión)q r (copia de arriba)

Ahora tenemos que desarmar la fórmula q r . ¿Cómo se desarma una conjunción? Veamos: estaconjunción es verdadera, ya que no está negada. Por lo tanto, ambos términos, p y q , son verdaderos.Y esto se sintetiza en esta nueva regla, llamada, como es de esperar, verdad de la conjunción:

A BAB


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Análogamente a lo que vimos en la regla de falsedad de la disyunción, la regla de verdad de laconjunción se obtiene de la tabla-definición de la conjunción.5 Aplicando esta nueva regla, la tablasemántica prosigue así:

q r * (premisa)¬r (negación de la conclusión)

q r * (copia de arriba)

q (2)r (3)

El asterisco en el tercer renglón señala que se ha desarmado la fórmula. (Recordar que se pone unasterisco a una fórmula cuando se la copia abajo, y también cuando se la desarma). Las fórmulasseñaladas con (2) y (3) se obtienen de la fórmula q r por aplicación de la regla de verdad de laconjunción. Bien, ¿qué tenemos aquí? La tabla ya está terminada, pues ya no quedan más fórmulas quese puedan desarmar: todas las fórmulas son literales, o están marcadas con asterisco. ¿Tenemos unaasignación invalidadora? No. ¿Por qué? Porque la presunta “asignación invalidadora” sería la siguiente(empezando de abajo, como ya habíamos indicado que debe hacerse):

r = 1 (último renglón)q = 1 (penúltimo renglón)r = 0 (segundo renglón)

Pero... un momento. ¡Tenemos que r = 1 y que r = 0! ¿En qué quedamos? Podría ser que r fueraverdadera o que r fuera falsa, ¡pero no ambas cosas! No hay que confundir este caso con el quehabíamos visto en el ejemplo 1, en el cual un literal aparecía repetido, es decir, la correspondientefórmula atómica tenía ambas veces el mismo valor veritativo. Lo que ocurre aquí, en el ejemplo 2, esdiferente: no tenemos un literal repetido, sino dos literales complementarios. Podríamos decir que loque tenemos es una “asignación invalidadora trucha”. Hablando con más propiedad, lo que ocurre aquíes que tenemos una inconsistencia o contradicción entre el segundo y el último renglón. Unacontradicción aparece cuando en el sentido vertical (ascendente/descendente) aparece un literal

positivo X y su literal complementario ¬X. Cuando nos topamos con una contradicción, como esta, laseñalamos con el símbolo ‘’:

q r * (premisa)¬r (negación de la conclusión)

q r * (copia de arriba)q (2)r (3) (4)

Esa contradicción se debe a que el razonamiento es válido. Como el razonamiento es válido, en lugarde encontrar una asignación invalidadora, vamos a parar a una contradicción. Y esa contradicción nosindica, precisamente, que el razonamiento es válido.

5 Tabla-definición de la conjunción:A B A B1 1 10 1 0

1 0 00 0 0En esta tabla vemos que el único caso en que la conjunción es verdadera (primer renglón), se da que cuando ambostérminos son verdaderos.


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¿Por qué afirmamos que es válido el último razonamiento? (Olvidémonos que ya lo sabemos por la tabla de verdad; la pregunta es por qué lo sabemos a partir de la tabla semántica). Lo sabemos porque lo que hemos obtenido es una demostración por el absurdo. Hemos hecho una suposición: queel razonamiento era inválido. Hemos deducido, a partir de esa suposición, una serie de cosas,razonando correctamente: dedujimos que hay al menos una asignación invalidadora, y por lo tanto,

bajo cualquiera de esas asignaciones invalidadoras, las premisas son verdaderas (mejor dicho, en estecaso, la premisa es verdadera, porque hay una sola), y la conclusión es falsa. Eso es lo que escribimos

al empezar la tabla: pusimos en columna la premisa y debajo la negación de la conclusión. A partir deestos nuevos datos fuimos desarmando las fórmulas de acuerdo con nuestras reglas, que sondeducciones correctas, hasta que no quedaron fórmulas para desarmar. En caso de ser correcta nuestrasuposición, todas las fórmulas obtenidas deberían ser verdaderas bajo todas las asignacionesinvalidadoras. Por lo tanto, bajo cada una de esas asignaciones, r es verdadera y ¬r también esverdadera. ¡Pero eso es imposible! Es decir, tendríamos una (o más de una) asignación bajo la que r esverdadera y ¬r también es verdadera. En otras palabras, r sería verdadera y falsa al mismo tiempo(bajo la misma asignación). Pero eso es imposible: he aquí el absurdo. La suposición inicial es portanto falsa, de modo que queda demostrado que es falso que el razonamiento es inválido, lo queequivale a decir que queda demostrado que el razonamiento es válido.

MUY IMPORTANTE: No habría ningún problema, por supuesto, con que r fuera verdadera

bajo una asignación y ¬r fuera verdadera bajo otra asignación. En otras palabras, no habría problemacon que r fuera verdadera bajo una asignación y falsa bajo otra asignación: es lo que sucede en todatabla de verdad, donde cada fórmula atómica es verdadera en algunos renglones y falsa en otros. Loque es imposible es que eso suceda bajo la misma asignación: es como si en una tabla veritativa, lamisma fórmula atómica pudiera ser verdadera y falsa en el mismo renglón.

Repasemos lo mismo otra vez, un poco más detenidamente. ¿Cuál fue toda nuestra cadena derazonamiento al elaborar esta tabla? Lo primero que hicimos fue hacer una suposición: lo que

supusimos fue que las premisas eran verdaderas y la conclusión era falsa. Recordemos que siempre, el primer paso de una tabla semántica es suponer que el razonamiento es inválido, lo que equivale asuponer que hay alguna asignación invalidadora: que hay alguna asignación bajo la cual las premisasson verdaderas y la conclusión es falsa. (Eso mismo habíamos hecho en la tabla semántica del

razonamiento anterior). Esa es nuestra hipótesis del absurdo.En otras palabras: suponer que el razonamiento es inválido es lo mismo que suponer que existe

al menos una asignación invalidadora de dicho razonamiento. Lo que hacemos al escribir las líneasiniciales de la tabla es poner por escrito una consecuencia directa de cualquiera de las asignacionesinvalidadoras que damos por supuestas: que las premisas resultan verdaderas y la conclusión resultafalsa. Por eso, escribimos las premisas (sin modificación de ningún tipo), una debajo de la otra (ennuestro ejemplo actual, hay una sola premisa), y escribimos debajo de la(s) premisa(s) la negación dela conclusión. Puesto que la conclusión es falsa, la negación de la conclusión es verdadera (bajocualquiera de esas mismas asignaciones). Esto significa que de ser cierta nuestra suposición, todas lasfórmulas escritas hasta ahora son verdaderas. Y así, seguimos deduciendo qué fórmulas seránverdaderas (bajo todas esas asignaciones invalidadoras) en caso de que la suposición sea correcta,hasta que llegamos a la contradicción, consistente en encontrar dos literales complementarios, quedeberían ser ambos verdaderos bajo todas y cada una de esas asignaciones, lo cual es imposible.

Si nuestra suposición (la de la invalidez) hubiera sido correcta sucedería lo que ya vimos en elEjemplo 1: habríamos encontrado, mediante la tabla semántica, cuál es la asignación invalidadora encuestión (o una de ellas, en caso de que hubiera más de una). Mostrar esa asignación es pues lo mismoque demostrar que el razonamiento es inválido, pues si estamos exhibiendo una asignacióninvalidadora, ello implica, como es obvio, que existe una asignación invalidadora. Pero resulta que ennuestro nuevo ejemplo, a diferencia del anterior, no llegamos a encontrar tal asignación (¡obvio, comola vamos a encontrar si no existe!), sino que desembocamos en una contradicción.

Y es ahí donde entra a tallar la demostración por el absurdo:

1) Suponemos que el razonamiento es inválido.2) Por lo tanto, existe para él una asignación invalidadora.


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3) Desarrollamos la tabla sobre la base de la existencia de al menos una asignacióninvalidadora, escribiendo las premisas y la negación de la conclusión. Bajo esasasignaciones, tanto las premisas como la negación de la serán verdaderas, por definición.4) Extraemos todas las conclusiones que podamos inferir a partir de esos datos, mediante laaplicación de las reglas correspondientes.5) Llegamos a una contradicción. ¡ABSURDO!6) Por lo tanto, la suposición es incorrecta: el razonamiento no es inválido.

7) Queda demostrado entonces que el razonamiento es válido.

Atención: no todas las tablas semánticas son demostraciones por el absurdo, y por eso no en todas lastablas semánticas llamamos “hipótesis del absurdo” a la suposición inicial. Solamente algunas de lastablas semánticas son demostraciones por el absurdo: lo son las que corresponden a los razonamientosválidos. Hasta que no encontramos una contradicción, no podemos llamar “hipótesis del absurdo” a lasuposición, y recién cuando encontramos dicha contradicción (no antes) interpretamos la tabla comouna demostración por el absurdo. En ese caso, sí, la suposición funciona como hipótesis del absurdo.En el caso de los razonamientos inválidos, la suposición inicial (la invalidez) es por supuesto correcta;en tal caso, no hay ningún “absurdo”, y por lo tanto no hay nada a lo que podamos llamar “hipótesisdel absurdo”. Lo que hace la tabla semántica en esos casos es, por lo tanto, confirmar la suposición.

Esto nos permite resumir (de modo preliminar y no del todo adecuado) la esencia del método de lastablas semánticas: se empieza por suponer que hay una asignación invalidadora, se escriben encolumna las premisas y la conclusión negada (que son todas verdaderas bajo todas las asignacionesinvalidadoras), y si se llega a encontrar una asignación invalidadora, el razonamiento es inválido, perosi se llega a contradicción, el razonamiento es válido. El método es un poco más complejo que esteresumen, porque como veremos más adelante, en algunos casos surgen ciertas complicaciones. Pero laidea básica es la que acabamos de exponer. Atención: lo dicho en este párrafo vale exclusivamente

para las tablas semánticas que no presentan bifurcaciones (como las del Ejemplo 1 y Ejemplo 2).Todavía no vimos el concepto de bifurcación, que será expuesto un par de apartados más adelante. Porello, luego de exponer ese concepto, podremos ofrecer un resumen adecuado y general (es decir, válido

para todas las tablas semánticas).De modo que este resumen es todavía provisorio.

Más reglas

Veremos ahora un par de reglas más que podemos inferir a partir de las tablas-definiciones de lasconectivas. (Todas las reglas de tablas semánticas se deducen de las tablas-definiciones de lasconectivas.) Como hemos visto, hay dos tipos de regla: de falsedad y de verdad.

Doble negación

Comencemos por esta regla muy sencilla, llamada doble negación. Es una de las reglas “de falsedad”.Esta regla se de deduce de la tabla-definición de la negación:

A ¬ A

1 00 1

Si ¬¬A es verdadera, entonces ¬A es falsa, y por lo tanto A es verdadera. Esto es precisamente lo quedice la regla de Doble Negación (abreviada DN):

¬¬AA


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Falsedad del condicional

La tabla-definición del condicional es:

A B A B

1 1 10 1 11 0 00 0 1

Podemos apreciar que hay un solo caso en el que el condicional es falso (tercer renglón), y en ese caso,el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Esto da lugar a la regla de falsedad delcondicional:

¬ (A B) A¬ B

Es decir: si usted tiene un condicional falso, puede inferir que el antecedente ( A) es verdadero y que elconsecuente ( B) es falso (lo que expresará negándolo: ¬ B).

A continuación veremos algunos ejemplos que hacen uso de estas nuevas reglas.

Ejemplo 3

De aquí en adelante, recomendamos al lector que tome lápiz y papel y vaya haciendo la tablas de losejemplos a medida que las exponemos aquí.) Sea el razonamiento:

p q , s q / p (r ¬s)

Hagamos la correspondiente tabla semántica:

p q * premisa 1s q * premisa 2

¬ [ p ( r ¬ s ) ] * negación de la concl. p F

¬ ( r ¬ s ) ] *¬ r F ¬ ¬ s *

s DN p q * copia premisa 1

p V

qs q * copia premisa 2

s V q

A la derecha están indicados los pasos que se siguieron. Las nombres de las reglas se indicanabreviando “F” para falsead y “V” para verdad. (En las tablas semánticas no se indican las reglasusadas; aquí las ponemos solamente para guiar al alumno.) Primero se desarmó la conclusión, luego secopió y desarmó la primera premisa, y luego se desarmó y copió la segunda premisa. Nótese que ¬¬ s no es un literal, porque tiene dos negaciones; por eso es que hay que desarmarla (con la regla DN,doble negación).Ya no quedan fórmulas por desarmar. No llegamos a ninguna contradicción.Llegamos, en cambio, a una asignación invalidadora. De abajo hacia arriba, sus valores son:


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q = 1s = 1

p = 1 (nos salteamos la segunda q, que tiene el mismo valor que la anterior)r = 0 (nos salteamos la segunda s, que tiene el mismo valor que la anterior)(Finalmente, nos salteamos la última p, que tiene el mismo valor que la anterior)

Encontramos una asignación invalidadora: queda demostrado entonces que el razonamiento es

inválido. Queda como tarea para el alumno hacer la correspondiente comprobación.

La cosa se complica. Reglas bifurcadoras

¿Qué sucede si, por ejemplo, queremos desarmar un condicional verdadero? Habrá que aplicar, claro,la regla de “verdad del condicional”. Pero acá la cosa se complica. ¿Cómo será esta regla?Examinemos nuevamente la tabla-definición de condicional:

A B A B

1 1 1

0 1 11 0 00 0 1

Hay un solo caso en el que el condicional es falso. Pero hay tres casos en el que el condicional A Bes verdadero:

a) A y B son ambos verdaderos (primer renglón), b) A falso y B verdadero (segundo renglón),y c) A y B son ambos falsos (cuarto renglón).

¿Cuál de estas tres posibilidades es la que corresponde considerar para desarmar la fórmula? Larespuesta es: ¡LAS TRES! Podemos saber que el condicional es verdadero, pero eso no nos permite

deducir nada seguro con respecto a los valores del antecedente y del consecuente. Tenemos entoncesque tener en cuenta los tres casos. Y esto es lo que hace la regla de verdad del condicional. Hace faltadar un pequeño rodeo para comprenderlo, de modo que vayamos paso a paso.

Primero: lo que hace esta regla es ramificar o dividir la columna en dos (¡ahora se empezará aentender por qué estas cosas se llaman “tablas”!) del siguiente modo:

A B A B

¿Qué significa esta regla? Que debemos trazar una raya horizontal al pie de la columna en la que está A B, y dividir esta columna en dos, separadas por una raya vertical, obteniendo una columna a la

izquierda y otra a la derecha. En el resultado de esta regla, a la izquierda tenemos ¬A (es decir, “A esfalso”), y a la derecha tenemos B (es decir, “B es verdadero”), y derecha e izquierda representan las posibilidades. Pero, dirá el lector, ¡esas son dos posibilidades, no tres, y acabábamos de ver que haytres posibilidades cuando el condicional es verdadero!

No tan rápido... y veamos cómo es la cosa. Las tres posibilidades están allí, pese a que a primera vista no se vean y parezcan dos. Esas tres posibilidades son:

(i) que suceda lo de la izquierda pero no lo de la derecha;(ii) que suceda lo de la derecha pero no lo de la izquierda;

(iii) que sucedan ambas cosas, lo de la derecha y lo de la izquierda.

¿Se ve ahora que la regla sí representa tres posibilidades? Examinemos más en detalle las tres

posibilidades:


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(i) A es falsa pero no es cierto que B es verdadera.(Es decir: izquierda sí, derecha no.)Esta posibilidad corresponde al cuarto renglón de la tabla-definición del condicional (ya que si Bno es verdadera, entonces es falsa).

(ii) B es verdadera, pero no es cierto que A es falsa.(Es decir: izquierda no, derecha sí.)Esta posibilidad corresponde al primer renglón de la tabla-definición (ya que si no es cierto que

A es falsa, es verdadera, así que las dos fórmulas, A y B, son verdaderas).(iii) A es falsa y B es verdadera.(Es decir: se dan las dos cosas: izquierda sí, derecha también.)Esta posibilidad corresponde al segundo renglón de la tabla-definición.

De modo que la regla representa las tres posibilidades, y debe interpretarse como que suceden ambascosas (lo de la izquierda y lo de la derecha) o bien una sola de las dos (ya sea lo de la izquierda sí y lode la derecha no, o al revés).

De estas reglas, se dice que “ramifican” o “bifurcan” la tabla, subdividéndola en dos columnas.Un ejemplo de aplicación de esta regla sería:

(p q) s¬ (p q) s

La regla así aplicada en este ejemplo significa que o bien sucede que p q es falsa o bien sucede que s es verdadera, en un sentido INCLUYENTE de la palabra “o” (es decir, incluyendo la posibilidad deque sucedan ambas cosas). De este modo, estamos considerando las tres posibilidades antes señaladas.

Una cosa muy importante a tener en cuenta cuando se aplica una regla bifurcadora es que la rayahorizontal debe ocupar todo el ancho de la hoja, del margen izquierdo al derecho, y la raya verticaldebe seguir hasta el final inferior de la tabla. Lo ideal es que cuando se está haciendo una tabla y hayaque aplicar una regla bifurcadora, el alumno trace la raya vertical hasta el borde inferior de la hoja.Eso le ahorrará muchos errores y dolores de cabeza. Y otra cosa importante es que las dos fórmulasobtenidas se escriban cada una en el centro de su respectiva columna (ni a la derecha ni a la izquierdade la sub-columna, sino centrada).

Hay otras reglas bifurcadoras aparte de la verdad del condicional, y todas ellas tienen la mismaforma básica:

XY Z

En todas ellas, la interpretación es siempre la misma: deben entenderse como la afirmación de quesucede lo de la izquierda (Y) o lo de la derecha (Z), o ambas cosas.

Una tabla puede tener muchas columnas, ya que cada columna puede llegar a tener quesubdividirse en subcolumnas, y estas pueden llegar a tener que subdividirse en sub-sub-columnas, y asísucesivamente, adquiriendo el siguiente aspecto:


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XX [tronco, columna inicial]X

XX [1]X

XX [2]X

X X [1.2] XX X X XX X X X X

X X X XX X X [2.1] X [2.2]

X X XX X X

X X X X[1.1] [1.2.1] [1.2.2] [2.1.1] [2.1.2] [2.2.1] [2.2.2]

La numeración indica la estructura jerárquica de las distintas columnas, sub-columnas, sub-sub-

columnas, etc. Esta numeración se ha puesto acá solamente para guiar al alumno en este gráfico; en lastablas semánticas no se numeran las columnas ni de esta manera ni de ninguna otra. Primero veremosun par de ejemplos sencillos en los que la tabla semántica solo se divide en dos columnas, y luegoveremos ejemplos más complicados.

La introducción de bifurcaciones en las tablas semánticas supone la modificación de algunas delas cosas dichas previamente en el apunte (por ejemplo, como se verá más adelante, lo que sucedecuando se halla una contradicción).

Una de las cosas que debemos modificar es la afirmación previa de que todas las fórmulasescritas en la tabla semántica son verdaderas bajo todas las asignaciones invalidadoras (siempre ycuando sea correcta la suposición de que al menos hay una asignación invalidadora, por supuesto). Enuna tabla con bifurcaciones, esto ya no es necesariamente cierto ( puede ser cierto, pero puede noserlo). Dado que la primera vez que se introduce una bifurcación, sabemos que es cierto lo que figuraen al menos una de las dos columnas, lo que podemos afirmar es que en toda tabla semántica, la

primera vez que se introduce una bifurcación en dos columnas (como las columnas [1] y [2] delesquema de arriba), necesariamente tiene que ser cierto que todas las fórmulas de una de las

columnas son verdaderas, o que todas las fórmulas de la otra columna son verdaderas, y cabe la

posibilidad de que sean verdaderas todas las fórmulas de una y también todas las de la otra. Aplicando sucesivamente este principio, y generalizando, tenemos que, de ser cierta la

suposición de que hay al menos una asignación invalidadora, entonces todas las fórmulas de al menosuna de las columnas “finales” (las de los extremos inferiores; en nuestro esquema de arriba, son siete:

[1.1], [1.2.1], [1.2.2], [2.1.1], [2.1.2], [2.2.1], [2.2.2] ) son verdaderas (pudiendo ser verdaderas todaslas fórmulas de más de una columna, incluso todas las fórmulas de todas las columnas). En rigor, sonverdaderas todas las fórmulas de toda columna terminada que no contenga ninguna contradicción; ycada una de esas columnas constituye una asignación invalidadora (total o parcial).

Ejemplo 4

A continuación resolveremos una tabla semántica en la que tendremos que utilizar la regla de verdaddel condicional. Sea el razonamiento:

(p q) (¬s q) , ¬p / s

Hagamos su tabla semántica:


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(p q) (¬s q) *¬p¬s

(p q) (¬s q) *¬(p q) * ¬s q *

¬p ¬s¬q q

¿Qué tenemos aquí? ¿Cómo se entiende esta tabla? Muy fácil: lo que tenemos aquí son dos asignaciones invalidadoras: una a la izquierda y otra a la derecha. Lo que “dice” esta tabla es: bajotodas las asignaciones invalidadoras, son verdaderas todas las fórmulas que aparecen antes de la

bifurcación (es decir en la columna principal, o troncal). En alguna(s) de ellas, son verdaderas, además,las la columna izquierda, y en otra(s) son verdaderas, además, las de la columna derecha.6

Siempre que tenemos dos columnas, eso ha de entenderse así: bajo las asignacionesinvalidadoras, son verdaderas todas las fórmulas de la columna principal, y además son verdaderastodas las de la columna izquierda ó todas las de la columna derecha (pudiendo ser que sean verdaderastanto unas como las otras). Es decir: las tres posibilidades: tanto lo de la izquierda como lo de laderecha, o una sola de las dos. (En este caso particular, se sucede tanto lo de la izquierda como lo de laderecha, pues las dos están terminadas y en ninguna de ellas hay contradicción).

Las asignaciones se “cosechan” de la tabla, como siempre, partiendo del extremo inferior yascendiendo hasta llegar a la primera fórmula de arriba del todo, copiando todos los valores de losliterales que vayamos encontrando.

De modo que la primera asignación invalidadora que encontramos es (izquierda):q = 0 ; p = 0 ; s = 0

Y la segunda (derecha) es:q = 1; s = 0 ; p = 0

Se deja como tarea para el alumno la comprobación de ambas asignaciones invalidadoras.

Es menester hacer un par de observaciones. Recordemos que un razonamiento es inválido sihay por lo menos una asignación invalidadora. Por lo tanto, basta con encontrar una sola para haberresuelto lo que se quería resolver: demostrar que el razonamiento es inválido o demostrar que es válido(en este caso, demostramos que es inválido). Eso significa que podríamos habernos detenido alterminar la columna izquierda, comprobar que no hay ninguna contradicción (en el recorridoascendente), y dar por terminada la tabla, sin continuar el lado de la derecha, es decir, sin

preocuparnos por desarmar ¬s q , y por lo tanto, sin haber escrito las fórmulas que aparecen debajode esta fórmula (por eso, en la tabla las hemos escrito en esta otra tipografía). Reproducimos acontinuación la misma tabla, pero con esas fórmulas encerradas en un círculo para que se aprecieclaramente cuál es la parte que “sobra”:

6 Como veremos luego, puesto que en esta tabla hay dos columnas, hay dos asignaciones invalidadoras del correspondiente

razonamiento. Cada columna simboliza una asignación invalidadora (siempre que en dicha columna no haya ningunacontradicción). Volveremos sobre esto unos párrafos más adelante.


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Basta con hacer la comprobación de la asignación hallada a la izquierda y mostrar así que es unaasignación invalidadora: al haber una asignación invalidadora, queda demostrado que el razonamiento

es inválido. Ni hace falta que nos fijemos en la de la derecha (y por eso no tiene sentido proseguir eldesarmado de sus fórmulas). Nos da igual si hay una, tres o quinientas asignaciones invalidadoras: essuficiente con que haya una para saber con certeza que el razonamiento es inválido.

En este ejemplo, por razones didácticas, hemos resuelto las dos columnas completas, paraindicar luego la parte que está “de más”. Pero de ahora en adelante, cada vez que en una tablasemántica terminemos una columna sin que en ella hayan aparecido contradicciones, daremos porterminada la tabla, sin desarrollar las demás columnas, ya que habremos hallado ya la solución anuestra pregunta de si el razonamiento es válido o inválido.

La otra observación que vale la pena hacer es que aunque encontramos en una parte de la tablaun literal ¬q (columna izquierda) y en otra su literal complementario q (columna derecha), eso noconstituye ninguna contradicción. Las asignaciones son aquellas que se “cosechan” en caminos

ascendentes. Por lo tanto, dos columnas distintas corresponden a dos asignaciones distintas, y como yahemos dicho, no hay ningún problema en que en distintas asignaciones aparezcan literalescomplementarios. Para encontrar una contradicción, debemos empezar por el extremo inferior de cadacolumna e ir ascendiendo, atravesando líneas horizontales pero sin cruzar ninguna línea vertical , ydeteniéndonos cuando llegamos a la fórmula inicial, sin volver a descender. De modo que hay quegrabarse bien en la cabeza estas dos cosas: la línea del recorrido debe ser siempre ascendente, y lalínea del recorrido no debe atravesar ninguna línea vertical. Ello puede verse gráficamenterecorriendo con una línea el “camino” ascendente correspondiente a cada columna (es decir a cadaasignación): se ve así que en ninguno de los dos caminos aparece ninguna contradicción. Volvemos acopiar la misma tabla aquí, pero con dichas líneas dibujadas:


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Nótese que los “caminitos” cruzan la línea horizontal (cosa que sí se puede hacer), pero no cruzan lalínea vertical. Para hallar la supuesta “contradicción” (entre comillas, porque no lo es) entre ¬q y q ,habría que cruzar la línea vertical. No hay, pues, ninguna contradicción. Si en cambio, a lo largo dealguno de los dos caminos ascendentes encontráramos dos literales complementarios, entonces sí quehabríamos encontrado una contradicción. Pero eso aquí no sucede.

Siempre, al terminar una columna (una columna se termina cuando no hay en ella más fórmulaspara desarmar), hay que fijarse bien que no haya en el recorrido o “caminito” que va desde elfinal de esa columna, siempre ascendiendo, hasta el extremo superior, ninguna contradicción quepudiera habérsenos pasado por alto. Si revisamos las columnas de esta tabla, vemos que no lahay.

En realidad, lo que hay que hacer, para evitar dicho error, es lo siguiente: cada vez queobtenemos un literal, debemos detenernos y comprobar (mirando el camino ascendente) si dicholiteral no entra en contradicción con algo que esté escrito más arriba (es decir, comprobar siascendiendo no aparece su literal complementario). No esperar a que no haya más fórmulas paradesarmar, sino revisar el camino ascendente cada vez que se obtiene un literal.

Una columna está terminada cuando se dan uno de estos dos casos:

en ella aparece una contradicción. no quedan en ella más fórmulas para desarmar.

Más adelante expondremos esto con más detalle.

Los caminitos, pues, corresponden a las distintas asignaciones. El tronco central (la columnainicial) es todo lo que ambas asignaciones tienen en común: todo ello es cierto bajo todas lasasignaciones. Las columnas, en cambio, señalan aquello en lo que las distintas asignaciones sediferencian.

Ejemplo 5

Sea el siguiente razonamiento: p r , p / s q

Tabla semántica: p r *

p¬ (s q) *

¬s¬q

p r *¬p r

¿Y ahora, esto cómo se entiende? Tenemos una contradicción del lado izquierdo (pues hay una líneaascendiente que une ¬p con p, que no cruza ninguna línea vertical), pero del lado derecho no hayninguna contradicción. ¿Qué significa esto?

Bien, pensemos un poco. Esta tabla (como toda tabla semántica) parte de suponer que las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa (los tres primeros renglones). Y luego se deduce todolo que se puede a partir de ello. Pero, ¿qué ocurre al llegar a la bifurcación? Que sabemos que (de sercierta nuestra suposición inicial) al menos una de las dos columnas debe estar formada por fórmulastodas verdaderas (bajo todas las asignaciones invalidadoras). Sabemos que cuando hay una

bifurcación, eso significa que es cierto lo de la izquierda, o lo de la derecha, o ambas cosas. Pero lo dela izquierda no puede ser cierto, porque en ese caso p sería falsa (columna izquierda) y a la vez p sería

verdadera (columna central, segunda fórmula) bajo una misma asignación, lo cual es imposible. Encasos como éste, en los que aparece una contradicción en una columna, se dice que dicha columnaqueda cerrada. Cuando se cierra una columna, dicha columna queda terminada y luego de señalarla


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con el símbolo de contradicción (), no hay nada más que hacer en ella ni con ella. No corresponde aninguna asignación invalidadora, ni a nada. Una columna cerrada no es más que una posibilidad que se

barajó previamente en un momento dado de la confección de la tabla, y que en un momento posterior(el momento en que aparece la contradicción, para ser precisos) se descarta de la lista de posibilidades.Si tenemos dos columnas, entonces, y ambas son las dos posibilidades, y queda descartada una de esasdos posibilidades, queda en pie solamente una posibilidad: la de la columna que no se ha cerrado.

Si todas las columnas desembocaran en contradicción, entonces el razonamiento sería válido.

Pero si una columna se termina (no quedan más fórmulas para desarmar) y no hay en ellacontradicción, entonces esa columna representa una asignación invalidadora, y se la puede “cosechar”como hicimos en los ejemplos anteriores. Esto es, precisamente, lo que sucede en nuestro ejemplo

presente; de la columna de la derecha recogemos la siguiente asignación invalidadora:r = 1 ; q = 0 ; s = 0 ; p = 1.

Recordemos qué significan las columnas: significan que estamos ante distintas asignaciones, esdecir, distintos posibles renglones de la tabla de verdad correspondiente. Las posibilidades, en nuestroejemplo, son: a) Un posible renglón (o más de uno) de la tabla de verdad sería aquel en el que se datodo lo que está escrito antes de la bifurcación, y además en él p sería falso (columna izquierda). b)Otro posible renglón (o más de uno) de la tabla de verdad sería aquel en el que se da todo lo que está

escrito antes de la bifurcación, y además en él r sería verdadero (columna derecha).Pero (a) es imposible, porque en ese caso, tendríamos que p sería a la vez verdadero (según se

ve arriba) y falso (columna izquierda). Esto es así, recordemos, porque las contradicciones se dan en sentido vertical. (Recordemos: no tiene el menor sentido comparar lo que pasa a la izquierda y derechade una raya vertical, pues son posibilidades distintas. Pero sí que es importante ver lo que ocurre“subiendo” y “bajando” pero nunca “cruzando” una raya vertical. Y justamente, “subiendo y bajando”encontramos la contradicción señalada.) Por lo tanto, la posibilidad (a) queda descartada.

Así que la única posibilidad que nos queda es (b). Y allí es donde encontramos una asignacióninvalidadora: partiendo de r y subiendo (es decir, ignorando a la ¬ p que aparece a la izquierda).

Insistimos en esto: al “cosechar” la asignación invalidadora de la columna derecha, hacemoscaso omiso de la fórmula ¬ p, ya que si estamos examinando la columna de la derecha, entonces lo quesuceda en la columna de la izquierda no tiene ninguna relevancia.

El alumno podrá hacer la comprobación por su cuenta (y le queda como tarea) de queefectivamente, bajo esta asignación, las premisas resultan verdaderas y la conclusión resulta falsa.Queda demostrado, entonces, que el razonamiento es inválido.

Ejemplo 6

Sea el siguiente razonamiento: p ¬¬q , p / s q

Tabla semántica: p ¬¬q *

p¬ (s q) *

¬s¬q

p ¬¬q *¬p ¬¬q q

En este ejemplo, tenemos una contradicción en la columna izquierda (con la p de la segunda línea) yuna contradicción en la columna derecha (con la ¬q de la quinta línea). Recordemos qué significa la


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tabla: la columna inicial son las fórmulas que serán verdaderas bajo todas las asignacionesinvalidadoras, y cada una de las sub-columnas son las distintas posibilidades que se pueden dar. Dadoque la posibilidad de la izquierda es imposible, pues significaría tener una “asignación” invalidadoracon valores contradictorios para p, y dado que la posibilidad de la derecha es también imposible, puessignificaría tener una “asignación” invalidadora con valores contradictorios para q, ambas

posibilidades quedan descartadas. Es decir, todos los caminos conducen a contradicción. Por lo tanto,el razonamiento es válido: la suposición de que exista una asignación invalidadora nos lleva a un

absurdo, ya sea por un lado, ya sea por el otro.Tal vez no se vea claramente “el” absurdo, pues hay dos contradicciones. Pero que haya doscolumnas significa que, de ser correcta la suposición inicial (la invalidez del razonamiento y laexistencia de una asignación invalidadora, o más de una) entonces o es cierto lo de la izquierda (bajoalguna asignación invalidadora), o es cierto lo de la derecha (bajo alguna otra asignación invalidadora).Lo de la izquierda no es cierto (es imposible, por la contradicción hallada), así que tiene que ser ciertolo de la derecha. En consecuencia, q es verdadera, pero (según vemos e la columna central) q es falsa

bajo la misma asignación. Absurdo.Cuando se da un caso como el de esta tabla, en el que todas las columnas desembocan en

contradicción, entonces concluimos que el razonamiento es válido. Nótese la diferencia con el ejemploanterior, en que una columna desembocaba en contradicción, pero la otra no, por lo que aquel

razonamiento era inválido.Ahora sí podemos resumir en qué consiste el método de las tablas semánticas (ofrecimos unresumen preliminar en el apartado del Ejemplo 2, pero señalamos allí que había que esperar aexponer las bifurcaciones para poder hacerlo adecuadamente). En el apartado del Ejemplo 2dijimos el método consiste en empezar por hacer la suposición de que el razonamiento esinválido y que por lo tanto existe una asignación invalidadora. A partir de esta suposición seconstruye la tabla. El resultado es que si se llega a encontrar la asignación invalidadora, quedademostrada la invalidez, pero que si se encuentra una contradicción, dijimos que eso significabaque el razonamiento era válido, y que la tabla funcionaba como una demostración por el absurdo.Ello no era totalmente correcto. Esa afirmación es correcta solamente para el caso de las tablasque no presentan ninguna bifurcación. La afirmación general, válida para todas las tablassemánticas (bifurquen o no), es la siguiente: Si todas las ramas de la tabla semánticadesembocan en contradicción, el razonamiento es válido. Es suficiente que una sola rama termine

sin contradicción para demostrar que es inválido. (Dicha rama exhibe una asignacióninvalidadora).

Copia de fórmulas en columnas subdivididas

Antes de seguir con los ejemplos, hay que explicar qué ocurre cuando hay que copiar una fórmula queestá en una columna que ha quedado subdividida. Supongamos que tenemos lo siguiente en una tablasemántica que estamos resolviendo:

XYZ *

V W

En esta tabla, V y W son el resultado de desarmar Z con una regla bifurcadora (por ejemplo, F). Y(supongamos) no se ha llegado a ninguna contradicción en ninguna de las dos columnas. Pero resultaque tenemos que desarmar, todavía, la fórmula Y ¿Adónde la copiamos? Respuesta: en TODAS las

subcolumnas:

XY *Z *

VY

WY


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Seguimos haciendo la misma tabla, y ahora la cosa se complica un poco más. Llegamos a lo siguiente:

XY *Z *

V WY * Y *

U R U R

Hemos desarmado Y, que se bifurca en U y R, porque la fórmula Y es, por ejemplo una disyunciónverdadera. Y por supuesto, lo hemos hecho en ambas columnas. Hemos encontrado, en una de lascolumnas, una contradicción entre R y alguna fórmula de más arriba (por ejemplo, R podría ser unliteral y V su literal complementario). Esa columna queda cerrada, pero todavía quedan otras tres encurso de ser resueltas. Ahora supongamos que tenemos que copiar la fórmula X para resolverla.¿Adónde la copiamos? Respuesta: en todas las columnas que no estén cerradas (se llaman “cerradas”

a las columnas en las que ha aparecido una contradicción). De modo que el paso siguiente es este:

X *Y *Z *

V WY * Y *

U R U RX X X

Quedan cerradas tres columnas debido a dos nuevas contradicciones que han aparecido, y ahoraseguimos adelante con la tabla, desarmando X en la única columna en que no ha quedado cerrada. Latabla prosigue y llegamos a lo siguiente:

X *Y *Z *

V WY * Y *

U R U RX X * X

T * S * Q O M

N

X se desarma en T y S (bifurcando), S se desarma en M y N (sin bifurcar), y T se desarma en Q y O(bifurcando). Y llegados a este punto, tendríamos que copiar todavía, para desarmarlas, W y U. Salvo,claro, que W o U sean literales (recordemos que los literales no se desarman). Supongamos que U es


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un literal: no hay que copiarla, entonces, pues no hay que desarmarla. Y supongamos que en cambio Wno es un literal: entonces tenemos que copiarla abajo, para desarmarla. ¿Adónde, en qué lugares, tenemos que copiar W? Respuesta: al igual que hicimos previamente, hay que copiarla en todas lascolumnas que no tengan contradicción. En este caso son tres. Y el resultado obtenido es:

X *Y *

Z *V W *Y * Y *

U R U RX X * X

T * S * Q O MW W N

W

Y así debemos seguir haciendo la tabla, copiando y desarmando fórmulas hasta que todas las fórmulasdesarmables hayan sido desarmadas en todas las columnas en las que no hayan aparecidocontradicciones, es decir, hasta que todas las columnas se cierren, o hasta que en alguna columnaqueden solamente literales y fórmulas señaladas con asterisco.

Ejemplo 7

Sea el siguiente razonamiento:(p q) s, p s / s qHagamos su tabla semántica:

(p q) s * p s *

( s q) * s * q s *

s p s *

p(p q) s *

s(p q) s *

p q * pq

s

p q * pq

s

El razonamiento es válido. Como puede apreciarse, al copiar la fórmula (p q) s , la copiamos en

todas las columnas (en este caso, son dos columnas).


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¿En qué orden se desarman las fórmulas?

Cuando tenemos en una columna dos o tres o más fórmulas (que no sean todas literales), ¿en qué ordendebemos ir desarmándolas?

Por ejemplo, si hemos llegado a lo siguiente:XY

WZ

y suponiendo que de esas cuatro fórmulas solamente W es un literal, ¿qué fórmula debemos desarmar primero? ¿X, por ser la primera de la tabla? ¿Z por ser la que se puede desarmar sin copiar nada?

No hay una respuesta obligada a esta pregunta. Lo único importante a tener en cuenta es que sidecidimos desarmar X o Y, debemos copiar abajo la que vayamos a desarmar (y marcar con unasterisco la original).

Ahora bien, aunque hay un orden obligado, es más conveniente tener en cuenta estos dostrucos:

Si empezamos por la última de abajo (en este caso, Z), nos ahorramos el paso de copiarla.

Si entre las fórmulas que tenemos que desarmar hay alguna que se desarme(n) con una reglaque no bifurque, y otra(s) que se desarme(n) con reglas que bifurquen, siempre convieneempezar con la que no bifurque: eso simplificará la tabla (o al menos evitará que se haga máscompleja que lo necesario).

Si la de abajo (en este caso, Z) bifurca, y alguna de las de arriba no bifurca, conviene copiar laque no bifurca y desarmarla, pese a que después tengamos que copiar la de abajo (Z en estecaso). Proceder así simplifica más la tabla que lo que se simplifica ahorrándose el paso decopiar la de abajo (la Z).

En los próximos ejemplos veremos casos en los que mostraremos distintas alternativas en el orden deresolución de la tabla, y veremos cómo las que siguen los trucos recién mencionados resultan mássencillas que las otras.

De modo que, en resumen: no hay un orden obligatorio para el desarmado de fórmulas, pero unorden dado resultará más práctico que otros, simplificando la tarea. Con la práctica, el alumnoaprenderá a decidir cuál fórmula conviene desarmar en cada momento.

Ejemplo 8

Sea el siguiente razonamiento:¬ (q s), s p / ¬ (q p )

Hacemos la tabla semántica:

¬ (q s) *s p *¬¬ (q p) *

q p *¬q p

s p * s ps p ¬ (q s)

¬ (q s) * ¬ (q s) *¬q ¬q¬s ¬s


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El razonamiento es inválido, pues encontramos la siguiente asignación invalidadora: {s = 0, q = 0, p = 1}. Nótese que cuando copiamos s p , lo hicimos en todas columnas que estaban abiertas (dos entotal) en ese momento, y luego, cuando copiamos ¬ (q s) , lo hicimos en todas las columnas queestaban abiertas (tres en total) en ese momento. Nótese también que como hallamos una asignacióninvalidadora, no proseguimos con la tabla, y dejamos la columna de la derecha sin terminar. Dado queno desarmamos las fórmulas de esa columna, no tienen puesto ningún asterisco.

¿Es esta la “mejor” manera de resolver la tabla? No, ya que hay una manera más sencilla deresolverla. 7 En lugar de empezar por desarmar q p , que bifurca, podemos copiar abajo ¬ (q s) ydesarmarla primero, ya que no bifurca, y dejar q p para desarmarla después. (En realidad, como severá, no llegaremos a desarmar nunca q p , ya que antes de que eso sea necesario, encontraremosuna asignación invalidadora 8. Precisamente por eso conviene posponer el desarmado de fórmulas que

bifurcan: porque es posible que antes de tener que desarmarlas, la tabla se termine.) La tabla prosigueasí:

¬ (q s) *s p *

¬¬ (q

p) *(q p) *¬ (q s) *

¬ q¬ s

s p *s p

Es fácil darse cuenta de por qué la segunda tabla es más sencilla que la primera: mientras que la primera tiene 17 fórmulas (y bifurca dos veces), la segunda tiene solamente 10 fórmulas (y bifurcasolamente una vez). Por eso, como se ve, siempre conviene desarmar las fórmulas que no dan lugar abifurcaciones, y dejar las que bifurcan para después.

Antes de proseguir la lectura de este texto, en este punto remitimos al alumno a la lectura delApéndice, en el que encontrará todas las reglas para tablas semánticas.

Ejemplo 9

Sea el siguiente razonamiento:

p q, ¬ (q r), / r ¬ p

7 En principio, no hay maneras mejores o peores de resolver un ejercicio en lógica. Sin embargo, con el desarrollo de lateoría de la computación, y la importancia que adquiere en ella el concepto de complejidad computacional, sí que puedehablarse de mejores formas de resolver un problema: son mejores aquellas en las que (como en la buena administración) se

minimizan los recursos (en este caso, de cálculo). La cantidad de fórmulas de una tabla puede considerarse una medida desu complejidad. Una tabla menos compleja ocupa menos bytes de memoria. Y la memoria es un recurso escaso. 8 De hecho, veremos que se trata de la misma que encontramos en la tabla anterior. Podría haber sucedido que hubiéramosencontrado otra asignación invalidadora.


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Tabla semántica: p q *

¬ (q r) *¬ (r ¬ p) *

p q * pq

¬ (q r) *¬ q ¬ r ¬ (r ¬ p) *

r ¬ r¬¬ p * ¬ p

El razonamiento es válido.

Ejemplo 10

Sea el siguiente razonamiento:

p q, q r, / r pTabla semántica:

p q *q r *

¬ (r p) *r

¬ pq r *

¬ q r p q * p q

p ¬ pq ¬ q

El razonamiento es inválido: hallamos la asignación invalidadora en la segunda columna (p = 0, q = 0,r = 1). Dado que ya hemos hallado la asignación invalidadora, no hace falta resolver la terceracolumna.

Tablas con asignación invalidadora parcial

En algunos casos, la tabla se termina pues no hay ya más fórmulas para desarmar, pero lasasignaciones invalidadoras que encontramos son parciales, es decir, no llegamos a establecer todos losvalores de todas las fórmulas atómicas correspondientes, pero los valores hallados son suficientes paramostrar que el razonamiento es válido. Es lo que sucede en los dos ejemplos siguientes.


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Ejemplo 11:

Sea el razonamiento: p q , ( p s ) / ( t r )

Hagamos su tabla semántica: p q *

( p s ) * ( t r ) *

t r *t

p q *r

p q * pq

( p s ) *

p¬ q

( p s ) *

pq

( p s ) *

p¬ q

( p s ) * p

s p s p

s p s

La tabla está terminada (no hay más fórmulas para desarmar: todas tienen asterisco). Sin embargo,todas las asignaciones invalidadoras que hemos hallado son parciales: en las de las columnas segunda,tercera y cuarta no está definido el valor de r, y en las de las columnas sexta, séptima y octava no estádefinido el valor de t. Podemos usar cualquiera de estas asignaciones parciales para demostrar lainvalidez del razonamiento, por lo que son asignaciones invalidadoras parciales: por ejemplo,utilicemos la de la segunda columna, que es {s = 0 , q = 1 , p = 1 , t = 1}, y aplicándola alrazonamiento, comprobamos su invalidez:

Queda así demostrada la invalidez del razonamiento.

Nótese que hemos debido completar todas las columnas, ya que hasta no terminar la última, nosabemos si no hallaremos una asignación invalidadora completa (no parcial). Una vez que el alumnotenga suficiente práctica, ya no necesitará terminar todas las columnas: basta con que detecte que una

columna está terminada 9 para saber que ha hallado, allí, una asignación invalidadora (en caso, por

supuesto, de que no haya contradicciones en ella). En caso de que falte un literal (o más de uno) en el

camino ascendente hasta la primera premisa, esa asignación será una asignación invalidadora

parcial. No hay ninguna necesidad de buscar una asignación completa; al haber hallado unaasignación invalidadora parcial, ya hemos resuelto nuestro problema, que era determinar de modo

concluyente si el razonamiento es válido o inválido.

Ejemplo 12:

Sea el razonamiento: ( p q ) , ( q r ) / ( ( q r) s )

9 Como veremos en el apartado siguiente, una columna está terminada cuando no hay ni en ella ni el camino ascendente

hasta la primera premisa más fórmulas para desarmar, ya que todas las que no son literales están marcadas con asterisco.


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Tabla semántica: ( p q ) * ( q r ) *

( ( q r) s ) *( q r) s *

q r * s (p q) ( q r )

q ( p q) *

r ( p q) ( q r ) p

q ( q r ) *

pq

q r

El razonamiento es inválido, pues hemos hallado en la primera columna de abajo (y también, de pasosea dicho, en la segunda) una asignación invalidadora (parcial). (De paso sea dicho, también lasegunda columna de abajo es una asignación invalidadora parcial). Queda como tarea para el alumno

escribir esa asignación y hacer la correspondiente comprobación.

Terminación de una tabla

¿Cuándo está terminada una tabla semántica? Ya lo hemos visto, al menos intuitivamente, en todos losejemplos expuestos (que el alumno deberá ahora volver a recorrer y revisar). Para responder esta

pregunta debemos explicar previamente cuándo está terminada una columna. Las ideas básicas de esteapartado están ya explicadas en los apartados precedentes, pero es conveniente aquí recapitular esasideas y ordenarlas, a fin de lograr una comprensión más sólida de lo expuesto hasta ahora.

Ante todo, definiremos qué es una columna cerrada. Una columna está cerrada si en ella

aparece una contradicción. Es decir, si recorriendo las fórmulas desde el extremo inferior de lacolumna ascendiendo hasta la primera premisa (siempre ascendiendo y nunca yendo hacia un costado,es decir, nunca atravesando una línea vertical ) encontramos en nuestro recorrido dos literalescomplementarios.

Una columna está terminada cuando sucede alguna de estas dos cosas (cualquiera de las dos):

Dicha columna está cerrada. En dicha columna no quedan más fórmulas sin desarmar (es decir, todas están

marcadas con asterisco, o son literales).

Un par de observaciones importantes al respecto:- Si sucede cualquiera de las dos cosas recién indicadas, la columna está terminada. Por lo tanto, si enla columna aparece una contradicción y se continúa desarrollando dicha columna hacia abajo, se estácometiendo un error. Hay que tener mucho cuidado de no cometer ese error. Para evitarlo, cada vezque se obtiene un literal, hay que detenerse y revisar todo el camino desde ese literal ascendiendo

hasta el extremo superior (la primera premisa), para ver si no encontramos allí su literal

complementario. - Cuando decimos que en la columna no quedan más fórmulas sin desarmar, queremos decir que no

solamente no queden más fórmulas sin desarmar en la columna misma, sino tampoco en el caminoascendente desde esa columna hasta la primera fórmula de la tabla (la primera premisa). Si másarriba, antes de la última bifurcación, hay alguna fórmula sin asterisco, entonces hasta que esa fórmulano sea copiada abajo y desarmada, la columna no estará terminada.

Otra definición: tabla cerrada. Cuando todas las columnas de una tabla están cerradas (esdecir, todas ellas terminan en contradicciones), entonces decimos que la tabla está cerrada. Cuidado:


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no confundir “tabla cerrada” con “columna cerrada”. Una tabla puede tener columnas cerradas sin estarcerrada: si no están cerradas todas las columnas, la tabla no lo estará.

Ahora sí podemos definir cuándo está terminada una tabla. Una tabla semántica está cerradacuando sucede cualquiera de estas dos cosas:

La tabla está cerrada. Una columna está terminada y no tiene contradicciones.

Nótese la asimetría entre los dos casos: basta tener una columna terminada sin contradicciones paraque la tabla esté terminada, pero una sola columna con contradicción no significa que se haya cerradola tabla: hay que seguir desarrollando las siguientes columnas.

Por supuesto, el primer caso (tabla cerrada, es decir, todas las columnas cerradas) significa queel razonamiento es válido. Y el segundo caso (una columna terminada sin contradicciones) significaque es inválido (la columna terminada corresponde a una asignación invalidadora).

FAQS

- ¿Qué sucede si no terminamos de desarmar todas las fórmulas de una columna y aparecen

bifurcaciones? Respuesta: hay que copiarlas EN TODAS LAS COLUMNAS.- ¿Qué sucede cuando aparece una contradicción, es decir un par de literales complementarios en unrecorrido vertical? Respuesta: se cierra la columna y se pasa a las siguientes.- ¿Qué sucede si en una columna no hay más fórmulas para desarmar (ni ninguna para copiar dearriba)? Respuesta: que hemos encontrado una asignación invalidadora. La tabla se termina allí, puesya hemos averiguado que el razonamiento es inválido.- ¿Qué sucede si se termina una columna y no hay contradicción, pero a la asignación invalidadoraobtenida le falta el valor de una o más letras? Respuesta: que lo que hemos obtenido es una asignacióninvalidadora parcial. Queda demostrada la invalidez, pues con los valores disponibles de la asignación,

podemos demostrar que de todos modos las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa.- ¿Cuándo es válido y cuándo es inválido un razonamiento? Respuesta: es inválido cuando en al menosuna columna hallamos una asignación invalidadora. Por lo tanto, es válido solamente en el caso en quetodas las columnas desemboquen en contradicción.- ¿Qué debemos hacer cada vez que obtenemos un literal? Respuesta: comprobar si no hemos llegado auna contradicción antes de seguir adelante con esa columna.- ¿Cómo se “lee” o interpreta una tabla semántica? Respuesta: todas las fórmulas que aparecen en uncamino vertical son verdaderas bajo una asignación (o conjunto de asignaciones). Lo que está arriba yabajo es un “y”: sucede lo de arriba Y lo de abajo. En cambio, las fórmulas que aparecen en columnas

paralelas son verdaderas bajo distintas asignaciones (si bien posiblemente son verdaderas bajo varias otodas), y la bifurcación de columnas debe entenderse como un “o inclusivo”: sucede lo de unacolumna, o lo de otra, o lo de otra, incluyendo la posibilidad de que suceda todo ello. Las sub-

subcolumnas de una subcolumna indican, a su vez, distintas subposibilidades de la posibilidad de lasubcolumna bifurcada. En el caso de los razonamientos inválidos, cada una de las columnas de la tablaque no terminan en contradicción constituye cada una de las asignaciones invalidadoras delrazonamiento. Si hiciéramos la tabla completa (es decir, sin detenernos cuando hallamos una primeraasignación invalidadora), tendríamos representadas, pues, todas las asignaciones invalidadoras: una

por cada columna que no contenga contradicciones.- ¿Por qué las asignaciones invalidadoras se “cosechan” de abajo a arriba, y no al revés? Respuesta: enrigor no es obligatorio ni necesario; sencillamente, es mucho más fácil confundirse si se lo hace dearriba a abajo, porque tenemos que ir eligiendo las bifurcaciones. En cambio, de abajo a arriba no se

presenta ese problema, porque no hay bifurcaciones en sentido ascendente (todas lo son en sentidodescendente): simplemente, hay que fijarse de recorrer el “caminito” siempre hacia arriba y nunca

cruzando líneas verticales.


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Determinación de tautologicidad, contradictoriedad y consistencia

Tablas semánticas para resolver tautologicidad y contradictoriedad de fórmulas

Las tablas semánticas no solamente sirven para resolver la validez o invalidez de razonamientos.También sirven para determinar si una fórmula es o no una tautología, y para determinar si es o no unacontradicción.

A diferencia de las tablas de verdad, una sola tabla semántica no permite determinar si unafórmula es una tautología, una contradicción o una contingencia, sino que solamente nos informa de

si es una tautología o si no lo es (sin que se determine, en caso de que no sea tautológica, si la fórmulaes una contradicción o una contingencia), o de si es una contradicción o si no lo es (sin que sedetermine, en caso de que no sea contradicción, si la fórmula es una tautología o una contingencia).

Para determinar si una fórmula es una tautología, lo que debemos hacer es una tablaencabezada por su negación. Es decir, es como si estuviéramos haciendo la tabla de un razonamientocon cero premisas: solamente ponemos la “conclusión” negada, que sería la fórmula “candidata atautología” negada. Si la tabla se cierra, la fórmula es tautológica, y si en cambio alguna columnatermina sin contradicciones, esa columna constituye una asignación falsadora. Es decir, unaasignación que muestra cómo la fórmula puede ser falsa, y por lo tanto no es tautológica.

Para determinar si una fórmula es o no es una contradicción, es más sencillo todavía: la tablaque tenemos que hacer empieza por anotar la fórmula “candidata a contradicción” misma (sin negarla).Eso equivale a hacer la suposición de que puede ser verdadera. Si la tabla cierra, eso significa quenuestro supuesto es un absurdo y que no puede ser verdadera, sino que es falsa bajo toda asignación.En tal caso, entonces, confirmamos que la fórmula es una contradicción. Si en cambio alguna columnatermina sin ningún par de literales complementarios, eso significa que esa columna corresponde a unaasignación verificadora: la fórmula puede, entonces, ser verdadera, y por lo tanto no es unacontradicción.

Por lo tanto, se puede determinar si una fórmula es una tautología, una contradicción o unacontingencia mediante tablas semánticas, pero para ello se requiere resolver no una sino dos tablas. (La

primera elimina una de las tres posibilidades, y la segunda elimina una de las dos restantes.) De todosmodos, lo habitual y estándar en la literatura lógica es utilizar este método solamente para deter

Tablas Semanticas - Apunte v2015

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