Tablas(Transformadas)

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TABLAS DE SISTEMAS LINEALES Emilio Gago-Ribas 14 de enero de 2004
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TABLAS DE SISTEMAS LINEALESEmilio Gago-Ribas 14 de enero de 2004

ndice general

I

Seales y Sistemas de Variable Continua

13 5 7 7 7 7 7 9 9 9 11

1. Propiedades de la Distribucin Delta de Dirac 2. Operadores y Distribuciones 3. Expresiones Importantes 3.1. Funciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Desarrollo en serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Desarrollo en Serie de Fourier 4.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Desarrollos de seales importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Transformada de Fourier

5.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.2. Transformadas de seales aperidicas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.3. Transformadas de seales peridicas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6. Transformada de Laplace 13

6.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6.2. Transformadas de seales importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II

Seales y Sistemas de Variable Discreta

1516

7. Parmetros de Seal

7.1. Valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7.2. Potencia instantnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7.3. Energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7.4. Potencia media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

ii

8. Expresiones Importantes

17

8.1. Sumatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8.2. Desarrollo en serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8.3. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8.4. Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 9. Desarrollo en Serie de Fourier. 19

9.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 9.2. Desarrollos de seales importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 10.Transformada de Fourier 21

10.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 10.2. Transformadas de seales aperidicas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 10.3. Transformadas de seales peridicas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 11.Transformada Z 23

11.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 11.2. Transformadas de seales importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

iii

iv

Parte I

Seales y Sistemas de Variable Continua

1

2

1.

Propiedades de la Distribucin Delta de Dirac

Unidades

Inverso de las unidades de x

Desplazamiento

(x x0 )

(x x0 ) : f (x) f (x0 ) Z (x x0 )f (x)dx = f (x0 )

Simetra

(x x0 ) = (x0 x) f (x)(x x0 ) = f (x0 )(x x0 ) (ax) = 1 (x) |a|

(x x0 ) = (x0 x) (x) = (x) f (x)(x) = f (0)(x) x(x) = 0(x) = 0

Producto por una funcin

Escalado var. independiente Primera derivada Derivada n-sima Relacin con (x)

x 0 (x) = (x) Z (n) (x)f (x) dx = (1)n f (n) (0)

(x) =

d(x) dx

(x) =

Z

x

(x0 ) dx0

Convolucin

f (x) (x x0 ) = f (x x0 )

f (x) (x) = f (x)

(x) 0 (x) = (x) (*) Rx

(*) Siendo 0 (x) y (x) las respuestas al impulso asociadas a F = d/dx, y F1 =

dy.

3

4

2.

Operadores y DistribucionesZ Z

Operador: F Distribucin: D(x) Como resp. al impulso:

I() Identidad (x) f (x)

d() dx 0 (x) f (x)0

d2 () dx2 00 (x) f (x)00

x

() dy

(x) U (x)x

Z Z Z

f (x)D(x x0 )dx0

f (x0 )dx0

Denicin:

f (x)D(x)dx

f (0)

f 0 (0)

f 00 (0)

Z

0

f (x)dx

Propiedad:

D(x)dx

1

0

0

Divergente

Algunas sucesiones de funciones de buen comportamiento asociadas

f (x) (x) 0 (x) 00 (x) (x) U (x)1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -4 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 -0,5 -1,0 -1,5 -2,0 -4 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -4 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1

g (x)/2

1

ex

2

1 x2 + 2

2 2 2 xex / 3

3

2

2x2 2

2 2 1 ex /

1 2

+

1

tan1

f(x)=0.5 =1.0 =2.0

x

2

3

4

f'(x)

=0.5 =2.0

=1.02 3 4

f''(x)

=2.0 =1.0 =0.5

2

3

4

5

6

3.

Expresiones Importantes

3.1.

Funciones importantessin x . x sin2 x . x2 Z f0 (y)g0 (x y) dy.

a) Funcin sinc: sinc(x) =

b) Funcin sinc cuadrado: sinc2 (x) =

c) Convolucin peridica: f0 (x) g0 (x) = d) Convolucin: f (x) g(x) = Z

hX0 i

f (y)g(x y) dy.

3.2.

Desarrollo en serie de FourierPulsacin: Seales f0 (x) de perodo X0 X

0 = 2/X0

Frecuencia:

f0 = 1/X0

0 (x; m) = ejm0 x , m Z a(m) = 1 X0 Z f0 (x) (x; m) dx 0hX0 i

f0 (x) =

a(m)0 (x; m)

m=

3.3.

Transformada de FourierSeales f (x) arbitrarias Z 1 f (x) = F ()(x; ) d 2 (x; ) = ejx , R Z F () = f (x) (x; ) dx

3.4.

Transformada de LaplaceSeales f (x) arbitrarias f (x) = 1 2j Zs0 +j

(x; s) = esx , s C F (s) = Z

F (s)(x; s) dss0 j

f (x)esx dx

7

8

4.

Desarrollo en Serie de Fourier

4.1.

PropiedadesLinealidad Desplazamiento Producto por una exponencial imaginaria Conjugado de la funcin Reexin Escalado variable indep. Convolucin peridica Modulacin

f0 (x) + g0 (x) f0 (x x0 ) f0 (x)ejM0 x f0 (x)

a(m) + b(m) a(m)ejm0 x0 a(m M ) a (m) a(m) a(m) X0 a(m)b(m) X

f0 (x)0 f0 (ax), a > 0, X0 = X0 /a

f0 (x) g0 (x) f0 (x) g0 (x) df0 (x) dx n d f0 (x) dxn Z x f0 ( ) d

k=

a(k)b(m k)

Primera derivada Derivada n-sima Integracin (nita y peridica si a0 = 0)

jm 0 a(m) (jm 0 )n a(m) 1 a(m) jm 02 X

Relacin de Parseval Funciones reales

Z

hX0 i

|f0 (x)| dx = X0

m=

|a(m)|

2

f0 (x) real

a(m) = a (m)

4.2.

Desarrollos de seales importantesExponencial imaginaria Coseno Seno Constante Tren de deltas Tren de pulsos de anchura < X0 Tren de tringulos de anchura < X0

ej0 x cos 0 x sin 0 x KC 0 (x) P0, (x) T0, (x)

a(1) = 1; a(m 6= 1) = 0 a(1) = 1/2; a(1) = 1/2; a(m 6= 1) = 0 a(1) = j/2; a(1) = j/2; a(m 6= 1) = 0 a(0) = K; a(m 6= 0) = 0 1 , m X0 sinc m X0 X0 sinc2 m 2X0 2X0

9

10

5.

Transformada de Fourier

5.1.

Propiedadesf (x) + g(x) f (x x0 ) f (x)ej0 x f (x) f (x) f (ax) f (x) g(x) f (x)g(x) df (x) dx n d f (x) dxn Z x f (y) dy

Linealidad Desplazamiento Producto por exponencial imaginaria Conjugado de la funcin Reexin Escalado de la variable indep. Convolucin Modulacin Primera derivada Derivada n-sima Integracin Producto por x Dualidad Relacin de Parseval Funciones reales

F () + G() F ()ejx0 F ( 0 ) F () F () 1 F |a| a F ()G() 1 F () G() 2 jF () (j)n F () 1 F () + F (0)() j j dF () d

xf (x) f (x) F () Z E [f (x)] = |f (x)|2 dxx

F (x) 2f () Z 1 1 |F ()|2 d = E [F ()] 2 2 F () = F ()

f (x) real

11

5.2.

Transformadas de seales aperidicas importantesDelta Delta desplazada Heaviside Pulso unidad de ancho x Sinc Tringulo unidad de ancho x Exponenciales

(x) (x x0 ) (x) Px (x) sinc x 2 2 Tx (x) ex (x), Re{} > 0 xex (x), Re{} > 0 xn1 x (x), Re{} > 0 e (n 1)!

1 ejx0 1 j x x sinc 2 () + P () x x 2 sinc 2 4 1 + j 1 ( + j)2

1 ( + j)n

5.3.

Transformadas de seales peridicas importantesPerodo X0 0 = 2/X0 f0 = 1/X0Exponencial imaginaria Coseno Seno Constante DSF

ej0 x cos 0 x sin 0 x K X

2( 0 ) ( 0 ) + ( + 0 ) ( 0 ) ( + 0 ) j j X

2K() a(m)ejm0 x 2 a(m)( m 0 )

m= X

m=

Tren de deltas

n=

(x nX0 )

2 X ( k 0 ) X0 k= 2x X0 X

Tren de pulsos de anchura x

Px (x)

k=

x ( k 0 ) sinc k X0

12

6.

Transformada de Laplace

6.1.

PropiedadesLinealidad Desplazamiento Producto por exponencial Escalado variable indep. Convolucin Primera derivada Derivada n-sima Integracin Producto por x

f (x) + g(x) f (x x0 ) f (x)es0 x f (ax) f (x) g(x) df (x) dx dn f (x) dxn Z x f (y) dy

F (s) + G(s) F (s)esx0 F (s s0 ) 1 s F |a| a F (s)G(s) sF (s) sn F (s) 1 F (s) s dF (s) ds

Al menos RF RG

RF RF desplazada RF escaladaAl menos RF RG Al menos RF Al menos RF Al menos RF Re{s} > 0

xf (x)

RF

6.2.

Transformadas de seales importantesDelta Delta desplazada Heaviside

(x) (x x0 ) (x) x(x) xn1 (x) (n 1)!

1 esx0 1 s 1 s2 1 sn 1 s+ 1 (s + )n s s2 + 2 0 s2 0 + 2 0

s s Re{s} 0 Re{s} > 0 Re{s} 0 Re{s} Re{s} Re{s} > 0 Re{s} > 0 Re{s} > Re{s} >

Exponenciales, R

ex (x) xn1 x (x) e (n 1)!

Coseno a derechas Seno a derechas Prod. coseno y exp. a derechas Prod. seno y exp. a derechas

[cos 0 x](x) [sin 0 x](x) [ex cos 0 x](x) [ex sin 0 x](x)

s+ (s + )2 + 2 0 0 (s + )2 + 2 0

13

f (x) = eax (x), a R

2,0

| f(x) |

a>0

1,00 0,75

f(x)

1,5

0,50 0,25 0,00 -0,25

s'1,0

x

0,5

-a

ROC

-0,50 -0,75

0,0 0 1 2 3 4 5 6

x

-1,00 0 1 2 3 4 5 6

| F(s) |10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 -a 1,00 0,75 0,50 0,25 0,00 -0,25 -0,50 -0,75 2 1 0 0,0 0,5 1,0 -2 -1

F(s)

s'

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5

2 1 0,0 0,5 1,0 -2 0 -1

-a

s'

10 9 8

|f(x)|

a 1

x(p)

Producto por n

n x(n)

RX

23

11.2.Delta

Transformadas de seales importantes(n) (n n0 ) (n) (n 1) 1 zn0

z z (z = 0, ?) |z| > 1 |z| < 1 |z| > |a| |z| > |a| |z| < |a| |z| < |a| |z| > 1 |z| > 1 |z| > a |z| > a

Delta desplazada Heaviside

Exponenciales

an (n) n an (n) an (n 1) n an (n 1)

1 1 z 1 1 1 z 1 1 1 az 1

az 1 (1 az 1 )2 1 1 az 1

az 1 (1 az 1 )2 1 z 1 cos (0 ) z 2 2z 1 cos (0 ) + 1 z 1 sin (0 ) z 2 2z 1 cos (0 ) + 1 1 z 1 a cos (0 ) a2 z 2 2az 1 cos (0 ) + 1 z 1 a sin (0 ) a2 z 2 2az 1 cos (0 ) + 1

Coseno a derechas

[cos 0 n](n)

Seno a derechas

[sin 0 n](n) [an cos 0 n](n) [an sin 0 n](n)

Prod. coseno y exp. a derechas

Prod. seno y exp. a derechas

24

x(n) = an (n)

1 ; ROC = {|z| > |a|}. 1 az 1 Ejemplo dibujado: a = 1.

z''

|z|=|a|

z'

|X(z)|10 8 6 4 2 0 -2 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 -0,5 -1,0 2 -1,5 1 -2,0 0 -2,5 -3,0 -2 -1

|X(z)|

2 1 -1 0 0 -1 2 -2

-1

z'

0

1

2

z'' -2

z''

z'

1

Transformada Z en mdulo y fase.

25