Universidad de CartagenaFacultad de Ciencias Exactas

Analisis MatematicoTaller de ejercicios propuestos en clase.

Eiver Julio Rodrıguez Perez

8 de diciembre de 2015

Analisis Matematico I 5 Sem. 2015

Solucion de los ejercicios propuestos en clase.

1. Demostrar que las siguientes distancias satisfacen las propiedades para serun espacio metrico.

1.a) d1(~x, ~y) =

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2

1.b) d2(~x, ~y) = max1≤i≤n

|xi − yi|

1.c) d3(~x, ~y) =n∑

i=1

|xi − yi|

1.d) d4(~x, ~y) = Supx∈M |f(x)− g(x)|

Solucion:Para la demostracion, se presenta la definicion de espacio metrico.Definicion 1: Un conjunto M cuyos elementos llamaremos puntos, se dice que es unespacio metrico si a cada dos puntos x y y de M hay asociado un numero real d(x, y)llamado distancia de x a y, tal que:a) d(x, y) > 0 si x 6= y; d(x, x) = 0b) d(x, y) = d(y, x)c) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) para todo z ∈M

Cualquier funcion con las tres propiedades anteriores se llama funcion distancia o metri-ca.

1.a) Tome ri = xi − yi Por propiedades de la norma euclidea se cumple a) y b) dadoque ‖ri‖ > 0, o ‖ri‖ = 0 si y solo si xi = yi, ademas, ‖xi − yi‖ = ‖(−1)(yi − xi)‖ =|−1| ‖yi − xi‖ = ‖yi − xi‖

Para probar c) Tome:(xi − yi) = ri

(yi − zi) = si

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d1(x, y) + d1(y, z) =

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2 +

√√√√ n∑i=1

(yi − zi)2

=

√√√√ n∑i=1

r2i +

√√√√ n∑i=1

s2i

≥

√√√√ n∑i=1

(ri + si)2 Desigualdad de Minkowski

=

√√√√ n∑i=1

((xi − yi) + (yi − zi))2

≥

√√√√ n∑i=1

(xi − zi)2

= d1(x, z)

Ası, tenemosd1(x, z) ≤ d1(x, y) + d1(y, z)

Por tanto, la distancia euclidea es una metrica.

1.b) Para verificar que es una metrica observemos primero que las propiedades a) yb) de la Definicion 1 se satisfacen trivialmente por las propiedades de la norma.Paraverificar la desigualdad del triangulo, tomamos:

x = x1, x2, ..., xn

y = y1, y2, ..., yn

z = z1, z2, ..., zn

y suponemos que|xi0 − yi0| = max

1≤i≤n|xi − yi|

Entonces

d(x, y) = |xi0 − yi0|≤ |xi0 − zi0|+ |zi0 − yi0|≤ max

1≤i≤n|xi − zi|+ max

1≤i≤n|zi − yi|

= d(x, z) + d(y, z)

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1.c) Nuevamente la parte a) y b) de la Definicion 1 se satisfacen por las propiedadesde la norma.Veamos que se cumple la desigualdad triangular.

(d3(x, z) + d3(z, y))2 =

( n∑i=1

(xi − zi)2

) 12

+

(n∑

i=1

(zi − yi)2

) 12

2

=n∑

i=1

(xi − zi)2 +

n∑i=1

(zi − yi)2 + 2

(n∑

i=1

(xi − zi)2(zi − yi)

2

) 12

Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz al ultimo sumando de la expresion anterior,se sigue que

≥n∑

i=1

(xi − zi)2 +

n∑i=1

(zi − yi)2 + 2

n∑i=1

(xi − zi)(zi − yi)

=n∑

i=1

[(xi − zi)2 + (zi − yi)

2 + 2(xi − zi)(zi − yi)]

=n∑

i=1

[(xi − zi) + (zi − yi)]2 =

n∑i=1

(xi − yi)2

=

( n∑i=1

(xi − yi)2

) 12

2

= (d3(x, y))2

Es decir, d3(x, y) ≤ d3(x, z) + d3(z, y)

1.d Sea M(E) el conjunto de todas las funciones reales definidas y acotadas en unconjunto E no vacıo.Si f ∈M(E) definimos:

‖f‖ = Supx∈M |f(x)|

Como la � norma sup � de f , veamos que d4(~x, ~y) = Supx∈M |f(x)− g(x)| es una

metrica:

Si d4(f, g) = 0, esto es ‖f − g‖ = Supx∈M |f(x)− g(x)| = 0 ≥ |f(x)− g(x)| para

todo x ∈M , entonces f = g.

Si f = g en M , entonces |f(x)− g(x)| = 0 para todo x ∈M ;esto es ‖f−g‖ = 0 = d4(f, g)

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Analisis Matematico I 5 Sem. 2015

Por otro lado,sean f, g ∈M(E), entonces

d4(f, g) = ‖f − g‖= Sup

x∈M |f(x)− g(x)|= Sup

x∈M |g(x)− f(x)|= ‖g − f‖= d4(g, f)

Por ultimo, veamos que se cumple la desigualdad triangular:

Sean f, g, h ∈M(E), tal que |f(x)− g(x)| ≤ |f(x)− h(x)|+ |h(x)− g(x)|, entonces:

|f(x)− g(x)| ≤(Sup

x∈M |f(x)− h(x)|)

+ Supx∈M |h(x)− g(x)|

≤ ‖f − h‖+ ‖h− g‖

Lo cual implica que,

‖f − g‖ = Supx∈M |f(x)− g(x)| ≤ ‖f − h‖+ ‖h− g‖

2. ¿Que apariencia geometrica tienen los siguientes espacios metricos en R2?.

2.a(R2, d1)

2.b(R2, d2)

2.c(R2, d3)

Solucion

Defincion 2:Si (X, d) es un espacio metrico, a ∈ X y r es un numero real positivo,definimos la bola de radio r y centro en a como:

Br(a) = B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r}

2.a En el espacio euclideo R2, si a = (a1, a2), la bola con centro en a y radio r > 0 es :

B(a, r) = {x ∈ R2 : d(x, a) < r}

= {x ∈ R2 :√

(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 < r}= {x ∈ R2 : (x1 − a1)

2 + (x2 − a2)2 < r2}

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Analisis Matematico I 5 Sem. 2015

Figura 1:B(a,r)∈ R2

Es decir, es el cırculo de centro a y radio r, sin incluir la circunferencia.

Nota:Debe ternerse en cuenta que en C con la distancia usual

B(a, r) = {z ∈ C : |z − a| < r}= {(x, y) ∈ C : (x− a1)

2 + (y − a2)2 < r2}

Donde a = (a1, a2);de modo que una bola en C consiste, al igual que en R2 del cırculode centro a y radio r, sin incluir la circunferencia.

2.b Si usamos la distancia d2 que definimos en el ejercio 1, la bola con centro en 0y radio 1 es:

Bd2(0, 1) = {X = (x1, x2) : d2(X,0) < 1}= {X = (x1, x2) : max{|x1|, |x2|} < 1}

Sea max{|x1|, |x2|} = 1,entonces:

Si max{|x1|, |x2|} = |x1| tenemos:

|x2| ≤ |x1| = 1

x1 = 1 o x1 = −1

−1 = −|x1| ≤ |x2| ≤ |x1| = 1

Cuando x1 = 1, −1 < x2 < 1

Si max{|x1|, |x2|} = |x2| tenemos:

|x1| ≤ |x2| = 1

x2 = 1 o x2 = −1

|x1| ≤ |x2| = 1

Cuando x2 = 1, −1 < x1 < 1

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Analisis Matematico I 5 Sem. 2015

Figura 2:Bd2(0, 1) ∈ R2

Que es la region representada en Figura 2; en general, con esta distancia las bolastienen forma de cuadrados

2.c En R2 con la distancia d3 que definimos en el ejercicio 1, la bola de centro en 0y radio 1 es.

Bd3(0, 1) = {X = (x1, x2) : d3(X,0) < 1}= {X = (x1, x2) : |x1|+ |x2| < 1}

Tomemos |x1|+ |x2| = 1 y hagamos la consideracion de casos

a) Si x + y = 1 x ≥ 0, y ≥ 0b) Si x− y = 1 x ≥ 0, y < 0c) Si x + y = 1 x < 0, y ≥ 0d) Si x + y = 1 x < 0, y < 0

Que es la region representada en la Figura 3;en general, con esta distancia las bo-las tienen forma de rombos.

Figura 3:Bd3(0, 1) ∈ R2

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